【专项练】同类二次根式与最简二次根式-鲁教版五四制八年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 同类二次根式与最简二次根式 1．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A． 12 与 18 B． 16 3 与 2 3 C． 0.5与 5 D． 332x 与 2x 2．若 3和最简二次根式 7 2m 是同类二次根式，则m 的值为（ ） A． 2m  B． 3m  C． 5m  D． 6m  3．在二次根式 0.3、 4 3 a 、 3a 、 27 、 12 b 、 2 2 75a b 中，与 3是同类二次根式 的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．若 2 5与 m 可以合并，则m 的值可以为（ ） A．15 B．25 C．30 D．45 5．若最简二次根式 3与 2b a b 是同类二次根式，则 a 的平方根是（ ） A． 2a  B． 2a   C． 2 D． 2 6．已知最简二次根式 6x  与 40是同类二次根式，则 x 的值为 ． 7．若 8与最简二次根式5 1a  能够合并，则a  ． 8．若最简二次根式 2a  与 3 4a  可以合并，则a  ． 9．最简二次根式 4 3a b 与 1 2 6b a b   能合并，则a b  ． 10．将式子 35 a （a 为正整数）化为最简二次根式后，可以与 8合并．写出一个符合条 件 a 的值 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 11．如果两个最简二次根式 3 4a  与 16 a 是同类二次根式，那么使 5 2a x 有意义的 x 的取值范围是 ． 12．把二次根式 27 a 与 13 分别化成最简二次根式后，能够合并，如果a是非负整数，求 符合条件的 a 的值． 13．已知最简二次根式 5 5a b 与 2 4a  可以合并，且 2( 3 ) 5 0a c b c    ，求代数 式 5 45a b c  的值． 14．定义：若两个二次根式 m、n 满足m n p  ，且 p 是有理数，则称 m 与 n 是关于 p 的和谐 二次根式．已知最简二次根式 2a  与 6 可以合并，请问a的算术平方根与 2是关于 4的 和谐二次根式吗？并说明理由． 15．定义：若根式 A 与根式 B 的乘积不含根式则称 A、B 为共轭根式，例如： 8与 2或 3 2 与 3 2 都是共轭根式． （1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的； ②a，b 均为正整数，若 a 与 b 是同类二次根式，则 a 与 b 也是共轭根式； ③若 A 与 B 是共轭根式，则 A 与 1 B 也是共轭根式． （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化 到最简． 20 ________； 3 2 b a ________； 2 1 ________； 2( 3 2) ________． （3）试找出 3 2 1  的一个共轭根式，并验证其正确性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 同类二次根式与最简二次根式 1．D 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、 12 2 3, 18 3 2  ，不符合题意； B、 16 4 3 2 6, 3 3 3 3   ，不符合题意； C、 20.5 , 5 2  ，不符合题意； D、 332 4 2 , 2x x x x ，符合题意， 故选：D． 2．A 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们 的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的概念列出方程， 解方程即可． 【详解】解：由题意得，7 2 3m  ， 解得 2m  ． 故选：A． 3．D 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，二次根式化成最简 二次根式后，被开方数相同的二次根式即为同类二次根式，可得答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【详解】解：∵ 3 300.3 10 10   ， 4 23 3 3 a a ， 27 3 3 ， 12 2 3 b b  ，    2 2 2 275 5 3a b a b   ， ∴与 3是同类二次根式的有 4 3 a ， 3a ， 27 ， 12 b ，  2 2 75a b 中共 5个， 故选：D． 4．D 【难度】0.85 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是二次根式的化简，同类二次根式的识别，掌握同类二次根式的含义是解 题的关键．将各选项中的数字代入 m ，化简后即可求解． 【详解】解：∵ 2 5与 m 可以合并， ∴ 2 5与 m 是同类二次根式， 当 15m  时， 2 5与 15不是同类二次根式，A选项不符合题意； 当 25m  时， 2 5与 25 5 不是同类二次根式，B选项不符合题意； 当 30m  时， 2 5与 30不是同类二次根式，C选项不符合题意； 当 45m  时， 2 5与 45 3 5 是同类二次根式，D选项符合题意； 故选：D． 5．D 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、求一个数的平方根 【分析】本题考查同类二次根式定义，以及求一个数的平方根，根据被开方数相同的最简二次 根式是同类二次根式，列出方程求出 a ，b ，再根据平方根概念求解，即可解题． 【详解】解：最简二次根式 3与 2b a b 是同类二次根式， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 2 2b  ， 3a b  ， 解得 1b  ， 2a  ， a 的平方根是 2 ， 故选：D． 6．4 【难度】0.65 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的概念，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相 同是同类二次根式，先化简 40，根据最简二次根式被开方数相等，由此可得出关于 x 的方 程，求出 x 的值即可． 【详解】解： 40 2 10 由题意可得： 6 10x   ， 解得： 4x  ． 当 4x  时， 6x  与 40是同类二次根式． 故答案为：4． 7．3 【难度】0.65 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，先计算 8 2 2 ，再根据题意得 1 2a   ， 进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解： 8 2 2 ， 依题意得： 1 2a   ， 解得 3a  ， 故答案为：3． 8．3 【难度】0.65 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式、最简二次根式的定义解决此题． 【详解】解：∵最简二次根式 2a  与 3 4a  可以合并， ∴ 2 3 4a a   ． 3a  ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握同类二次根式、最简二次根式 的定义是解决本题的关键． 9．2 【难度】0.65 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，代数式求值等知识．熟练掌握同类二次根 式，最简二次根式，代数式求值是解题的关键． 由题意知， 1 2b   ， 4 3 2 6a b a b    ，计算求解，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知， 1 2b   ， 4 3 2 6a b a b    ， 解得， 1b  ， 1a  ， ∴ 2a b  ， 故答案为：2． 10．3（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】最简二次根式的判断、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关 键． 【详解】解：∵ 8 2 2 ， ∴ 35 a 可以为 2，2 2，3 2，4 2， ∴35 2a  或35 8a  或35 18a  或35 32a  ， 解得： 33a  或 27a  或 17a  或 3a  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 故答案为：3． 11． 25 2 x  【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性 质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出 a 的值，代入 5 2a x ，再根据二次根式的定义列出 不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式 3 4a  与 16 a 是同类二次根式， ∴3 4 16a a   ，解得： 5a  ， ∵ 5 2a x 有意义， ∴5 2 0a x  ，即5 5 2 0x   ，解得： 25 2 x  ． 故答案为： 25 2 x  ． 12．符合条件的 a 的值有：0,15, 24 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．由二次根式有 意义的条件及 a 是非负整数得到0 27a  ，根据 1 3 3 3  ，且与 27 a 是同类二次根式， 知 227 3a n  ，分别取 1,2,3n  即可得答案． 【详解】解：根据题意得： 27 0a  ，且 0a  ，  0 27a  ，  1 3 3 3  ，且与 27 a 是同类二次根式， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6  227 3a n  ， 当 1n  时， 27 3a  ，则 24a  ， 当 2n  时， 27 12a  ，则 15a  ， 当 3n  时，27 27a  ，则 0a  ， 符合条件的a的值有：0,15, 24． 13． 5 【难度】0.65 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义 和非负数的性质得出 3a c ①， 5b c ②，3 5 4a b  ③，将①、②代入③得9 5 4c c  ， 求得 1c  ，继而可得 3a  、 5b  ，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式 5 5a b 与 2 4a  可以合并， 2( 3 ) 5 0a c b c    ， 3 0a c   且 5 0b c  、5 5 2 4a b a   ， 则 3a c ①， 5b c ②，3 5 4a b  ③， 将①、②代入③，得：9 5 4c c  ， 解得： 1c  ， 3a  、 5b  ， 5 45a b c  3 5 5 45 1    4 5 3 5  5 ． 14． a 的算术平方根与 2是关于 4的和谐二次根式，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】二次根式的乘法、最简二次根式的判断、同类二次根式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【分析】本题主要考查了最简二次根式、算术平方根、二次根式的乘法运算等知识点，理解和 谐二次根式的定义是解题的关键． 先根据最简二次根式的定义求得 a 的值，然后求得 a 的算术平方根，最后根据和谐二次根式的 定义判断即可． 【详解】解： a 的算术平方根与 2是关于 4的和谐二次根式，理由如下： ∵最简二次根式 2a  与 6 可以合并， ∴ 2 6a   ，即 8a  ， ∴ a 的算术平方根为 2 2， ∵ 2 2 2 4  ， ∴ a 的算术平方根与 2是关于 4的和谐二次根式． 15．（1）②；（2） 5 ； 6ab ； 2 1 ；5 2 6 ；（3） 2 6 2  【难度】0.4 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式、二次根式的混合运算 【分析】（1）根据共轭根式的性质和同类二次根式的性质判断即可； （2）分别将各根式化简，从而找到共轭根式； （3）根据二次根式的混合运算即可找到并验证. 【详解】解：（1）①错误，例如根式 2， 2 8 16 4   ， 2 18 36 6   ， ∴原命题错误； ②正确，∵ a 与 b 是同类二次根式，则 a × b = ab 中，ab为平方数（式），即结果 ab 不含根式，故原命题正确； ③∵若 A 与 B 是共轭根式，令 A= 3 2 ，B= 3 2 ，则 1 1 3 2 3 2B     ，  21 3 2 5 2 6A B     ，故原命题错误； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 故答案为：②； （2） 20 = 2 5，则共轭根式为： 5 ； 3 2 b a = 6 2 ab a ，则共轭根式为： 6ab ； 2 1 ，∵   2 1 2 1 1   ，则共轭根式为： 2 1 ； 2( 3 2) =5 2 6 ，   5 2 6 5 2 6  =1，则共轭根式为：5 2 6 ； 故答案为： 5 ； 6ab ； 2 1 ；5 2 6 ； （3） 3 2 1  的一个共轭根式为： 2 6 2  ， 验证：    2 6 2 3 2 1     = 2 3 2 2 2 6 3 6 2 6 2 3 2 2 2            = 6 2 2 3 2 2 3 6 2 3 2 2 2        =4. 故验证正确. 【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了同类二次根式，二次根式的性质，二次根式的混合 运算，解题的关键是理解共轭根式的性质，结合所学二次根式的知识解答.