【专项练】定理、命题的判定与改写-鲁教版五四制七年级下册期中、期末专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 定理、命题的判定与改写 1．A 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值 的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正 解对命题进行判断是解决此题的关键． 【详解】解：①若 a b ，则a b ，是假命题，如 3a  ， 3b   就不成立，不符合题意； ②若 0xy  ，则 ,x y同时为 0，是假命题，如 0x  ， 1y  就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如  3 4 1    就不成立，不符合题意； ④如果 2 0x  ，那么 0x  ，是假命题，如  23 9 0   ，就不成立，不符合题意； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断 命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据一元一次方程的解法、余角和补角的概念、角的和差、平行线的判定判断即可． 【详解】解：A选项：若2 1x   ，则 1 2 x   ，选项是真命题； B选项：90 180 90   ，则90的角等于它的补角，选项是假命题； C选项：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，选项是加，假命题； D选项：如：30 120 150   ，则一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角，选项是假命 题． 故选：A． 3．C 【分析】此类问题知识点综合性较强，主要考查学生对所学知识的熟练掌握程度，在中考中比 较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般． 依次分析各选项即可得到结论． 【详解】解：A、如果 ,a b b c∥ ∥ ，那么 a cP ，是真命题，不符合题意； B、三角形中最大的角一定大于或等于60，是真命题，不符合题意； C、两条直线被第三条直线所截，若这两条直线平行，则内错角相等，故原命题是假命题，符 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 合题意； D、对顶角相等，是真命题，不符合题意； 故选：C． 4．(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数 (2)假命题 【分析】本题主要考查了真假命题，绝对值等知识， （1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后 面接的部分是结论解答即可； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可； 熟练掌握命题的定义并能灵活判定真假是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵“绝对值相等的两个数互为相反数” ∴此命题可改写成如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数； （2） 解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；是假命题， 反例： 6 6 ，但6 6 ，这两个数不互为相反数，是假命题． 5．B 【分析】本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的 性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确 定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此 题的关键． 【详解】解：①若 0x  ，则 2 0x  的逆命题为：若 2 0x  ，则 0x  ，正确，是真命题，不符合题 意； ②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意； ③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符 合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确， 是真命题，不符合题意； 故选：B． 6．B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【分析】本题主要考查了命题与定理，平行线的性质、对顶角和等式的性质等知识点，熟练掌 握相关知识是解决此题的关键．根据平行线的性质、对顶角和等式的性质判断即可． 【详解】解：A、所有的直角都是相等的，是真命题； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； C、两直线平行，内错角相等，是真命题； D、若a b ，则 1 1a b   ，是真命题； 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命 题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段 AB的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 8．B 【分析】根据定理证明的一般步骤进行分析判断即可解答． 【详解】解：∵证法 1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论 的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形， ∴A的说法不正确，不符合题意； B的说法正确，符合题意； C、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明， ∴C的说法不正确，不符合题意； D、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关， ∴D的说法不正确，不符合题意， 综上，B的说法正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质的证明以及定理的证明的一般步骤，依据定理证 明的一般步骤分析解答是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 9．A 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结 论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果… 那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理； 根据平行线的判定、对顶角、平行线等知识逐项判断即可； 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原命题错误，是假命 题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题； ④相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题； 真命题有 2个， 故选：A 10．③ 【分析】本题考查判断命题的真假，利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不 等式的性质，逐一进行判断即可，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断． 【详解】解：①两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项为假命题，不 符合题意； ②周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为 3、4、5的三角形和一个边长为 4、 4、4的三角形，它们的周长都是 12，但它们不是全等三角形，故该选项为假命题，不符合题 意； ③若 a b ，则 2 2a b ，该命题是真命题，故该选项符合题意； ④若 2 0x  ，则 0x  ，比如  21 0  ，但 1 0  ，故该选项为假命题，不符合题意； 故答案为：③． 11．(1)a b 是题设， a b 是结论；逆命题 q是：如果 a b ，那么 a b (2)假命题，见解析． 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题 是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为 a b ，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 （2）命题 q是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵命题 :p “如果 a b ，那么 a b ． ∴a b 是题设， a b 是结论； 逆命题 q是：如果 a b ，那么 a b ． （2）解：命题 q是假命题， 反倒： 3 3 3 3a b    ， ， ，但是 3不等于 3 ． 12．(1)真命题，证明见解析 (2)逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，此命题 是假命题；举例见解析 【分析】本题主要考查命题真假的判断和逆命题的知识，解题的关键是熟知课本中有关的定义 和性质定理； （1）判断命题，需要分析由题设是否能推出结论，若为真，然后证明即可； （2）先写出逆命题，再按照由题设是否能推出结论进行判断，在举出反例即可． 【详解】（1）解：真命题，证明如下： 设这两个三角形分别为 ABCV ， A B C  ， ABCV 的底为 a，高为 h， A B C  的底为 a，高为h， ∴ 12ABC S ah ， 1 2A B C S a h    △ ∵a a ，h h ， ∴ ABC A B CS S   △ △ ， 故命题为真命题； （2）解：逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形， 此命题是假命题； 举例：若 ABCV 的底为 2，高为 6， A B C  的底为 3，高为 4，此时 1 2 6 6 2ABC S     ， 1 3 4 6 2A B C S        ，面积相等，但不是等底等高的另两个三角形， 故逆命题为假命题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 13．2 【分析】根据三位同学的最后得分情况列出关于 a，b，c的等量关系式，然后结合a b c  且 a， b，c均为正整数确定 a，b，c的值，从而确定小婷同学有几轮获得第三． 【详解】解：由题意可得：   6 27 11 10 48a b c       ， ∴ 8a b c   ． ∵a，b，c均为正整数， 若每轮比赛第一名得分 a为 4，则最后得分最高的为 4 6 24 27   ， ∴a必大于 4． 又∵a b c  ， ∴b c 最小取 3， ∴4 6 a ， ∴ 5a  ， 2b  ， 1c  ， ∴小关同学最后得分 27分，他 5轮第一，1轮第二； 小雯同学最后得分 11分，他 1轮第一，1轮第二，4轮第三， ∴小关第二轮为第二，其余均为第一， 小雯第一、三、四轮均为第三， ∴小婷第一、三、四、六轮均为第二，第二、五轮均为第三， ∴小婷有 2轮获得第三，如下图． 第一 轮 第二轮 第三 轮 第四轮 第五 轮 第六轮 最后得分 小 关 a b a a a a 27 小 雯 c a c c b c 11 小 婷 b c b b c b 10 故答案为：2． 【点睛】本题考查，一元一次方程的应用，方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 定理、命题的判定与改写 1．给出下列命题：①若 a b ，则 a b ；②若 0xy  ，则 x，y同时为 0；③两个负数的差一 定是负数④如果 2 0x  ，那么 0x  ，其中真命题的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列命题中，真命题的是（ ） A．若2 1x   ，则 1 2 x   B．任何一个角都比它的补角小 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 3．下列命题中是假命题的是（ ） A．如果 ,a b b c∥ ∥ ，那么 a cP B．三角形中最大的角一定大于或等于60 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．对顶角相等 4．已知命题“绝对值相等的两个数互为相反数”． (1)将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断该命题的真假 5．给出下列命题：①若 0x  ，则 2 0x  ；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两 条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列命题中，是假命题的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．所有的直角都是相等的 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若 a b ，则 1 1a b   7．下列是假命题的是（ ） A．取线段 AB的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 8．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠ACD是 ABCV 的外角，求证： ACD A B   ． 证法 1：如图． ∵ 180A B ACB    （三角形内角和定理） 又∵ 180ACD ACB   （平角定义） ∴ ACD ACB A B ACB     （等量代换） ∴ ACD A B   （等式性质） 证法 2：如图， ∵ 76A  ， 59B  ， 且 135ACD  （量角器测量所得） 又∵135 76 59   （计算所得） ∴ ACD A B   （等量代换） 下列说法正确的是（ ） A．证法 1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法 1用严谨的推理证明了该定理 C．证法 2用特殊到一般法证明了该定理 D．证法 2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 9．下列命题中，真命题有（ ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．下列命题是真命题的是 （填序号）．①内错角相等；②周长相等的两个三角 形全等；③若 a b ，则 2 2a b ；④若 2 0x  ，则 0x  ． 11．【阅读理解】 如果把一个命题（记作 p）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作 q），那么这两个 命题叫做互逆命题，其中命题 p称为原命题，命题 q称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题 :p “如果 a b ，那么 a b ．” (1)写出命题 p的题设和结论，及逆命题 q． (2)判断命题 q是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 12．已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题， 请举出一个反例． 13．为了传承中华文化，激发爱国情怀，提高文学素养，师达中学初一（1）班举办了“古诗词” 大赛，现有小关、小雯、小婷三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮， 规定：每 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 轮分别决出第 1，2，3 名（没有并列），对应名次的得分都分别为 a ，b ，c(a  b  c且 a ， b ， c 均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手 在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，则小婷同学在这六轮中，共有 轮获得 了第三． 第一 轮 第二轮 第三 轮 第四轮 第五 轮 第六轮 最后得分 小 关 a a 27 小 雯 a b c 11 小 婷 c b 10