第十八章《平行四边形》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第十八章《平行四边形》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．如图，，分别是的边，上的中点，若，则是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，分别是的边，上的中点， 是的中位线， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 2．如图，矩形中，平分交于点，，，则矩形周长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．44 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，，，，再由勾股定理可得，；再根据平分，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 3．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为边AB的M中点，若MO＝4cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．32cm B．24cm C．16cm D．8cm 【答案】A 【分析】根据菱形的性质可以判定O为BD的中点，结合E是AB的中点可知OM是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理可知AD的长，于是可求出四边形ABCD的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO＝DO，即O为BD的中点， 又∵M是AB的中点， ∴MO是△ABD的中位线， ∴AD＝2MO＝2×4＝8cm， ∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4×8＝32cm， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解答本题的关键是证明EO是△ABD的中位线，此题难度不大． 4．如图，在正方形外侧，作等边三角形，、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形，等边三角形，可得，，则，，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形，等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB，AD=BC， ∵AC的垂直平分线交AD于点E， ∴AE=CE， ∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6， ∴▱ABCD的周长=2×6=12， 故选B． 6．如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的折叠、勾股定理等知识．在矩形中，， ，根据折叠的性质得到设，则由勾股定理得到，，列方程即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，， 根据折叠的性质得到 设，则 由勾股定理得到，， 即 解得 即的长度为， 故选：D 7．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90º，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是(    )      A．∠D的度数为α B．a∶b＝CD∶BC C．若α＝60º，则平行四边形ABCD的周长为 D．若α＝60º，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半 【答案】D 【详解】解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴∠α+∠C=180°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C+∠D=180°， ∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意； B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ， ∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF， ∵ AE＝a，AF＝b， ∴BC·a=CD·b， 即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意； C.由A知∠D=∠α， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°， ∴∠B=∠D=60°， ∵AE⊥BC ， ∴∠AEC=90°， ∴∠BAE=30°， 在Rt△ABE中， ∵AE＝a ， ∴BE=AB，AB2=BE2+AE2  ， 即AB2=（AB）2+a2  ， 解得：AB=a， ∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°， ∴∠DAF=30°， 在Rt△ADF中， ∵AF＝b ， ∴DF=AD，AD2=DF2+AF2  ， 即AD2=（AD）2+b2  ， 解得：AD=b， ∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b）， 故正确，C不符合题意； D.由C知AB=a，AD=b， ∴BE=a，DF=b， ∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2  ， S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2  ， ∵S四边形ABCD=BC·AE=ab， ∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF  ， =ab-a2-b2  ， 故错误，D符合题意； 故答案为D. 【点睛】本题主要考查勾股定理和平行四边形的性质，能够灵活运用基础知识进行推理是解题关键. 8．如图．正方形 的面积为 是等边三角形．点 在正方形 内．在对角线 上有一点 ．使 最小．则这个最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由四边形是正方形可以得到．点关于的对称点是点． 则与的交点就是所求的点．再利用等量代换即可． 【详解】如图．设交于点．连接．此时． 最小． ∵正方形 的面积为 ， ∴ , 是的垂直平分线， ∵ 是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质和全等三角形的性质．也考查了将军饮马问题．找到点的位置是解题的关键． 9．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点M，N分别是的中点， ，，，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，    则， 当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ， 的最小值， 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． 10．如图，E是正方形ABCD的边CD右侧一点，，CF平分交BE于点F．下列结论：①：②；③；④若，则四边形BCED的面积为32．以上结论正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】利用正方形的性质得到BC=CD，∠BCD=90°，设∠ECF=∠DCF=x，得到∠BCE=90°+2x，∠CED=90°-x，求出∠CEB=45°-x，即可求出∠BED，由此判断①；连接DF，过点C作CG⊥CF交BE于G，证明△CDF≌△CEF（SAS），得到DF=EF，再证明△CGF是等腰直角三角形，求出∠BGC=∠EFC=135°，CG=CF，证明△CBG≌△CEF，得到BG=EF，即可判断③正确；延长CF交DE于H，得△EFH是等腰直角三角形，过C作CM⊥BE于M，设BG=EF=y，则GF=8-2x，GM=MF=CM=4-y，BM=EM=4，勾股定理求出BC2，EH，得到DE，勾股定理求出CH，根据四边形BCED的面积=S△BCD+S△CDE求出结果，由此判断④错误；若，则2CM=CE，根据计算得到2CM≠CE，由此判断②错误． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=90°， ∵CD=CE， ∴BC=CE，∠CED=∠CDE， 设∠ECF=∠DCF=x， ∴∠BCE=90°+2x，∠CED=(180°-2x)=90°-x， ∴∠CEB=(180°-∠BCE)=45°-x， ∴∠BED=∠CED-∠CEB=45°，故①正确； 连接DF，过点C作CG⊥CF交BE于G， ∵CD=CE，∠DCF=∠ECF，CF=CF， ∴△CDF≌△CEF（SAS）， ∴DF=EF， ∴∠FDE=∠FED=45°， ∴∠DFE=90°， ∴∠DFC=∠EFC=135°， ∴∠DFB=90°，∠BFC=45°， ∴△CGF是等腰直角三角形， ∴∠BGC=∠EFC=135°，CG=CF， ∵∠CBG=∠CEF， ∴△CBG≌△CEF， ∴BG=EF， ∵GF=CF， ∴BF=BG+GF=CF+EF，故③正确； 延长CF交DE于H， ∵CF平分∠DCE，CD=CE， ∴CH⊥DE，DH=EH， ∴△EFH是等腰直角三角形， 过C作CM⊥BE于M， 设BG=EF=y，则GF=8-2x，GM=MF=CM=4-y，BM=EM=4， ∴， 在Rt△EFH中，EF=y， ∴，DE=2EH=y， ∴CH， ∴四边形BCED的面积=S△BCD+S△CDE = = =16， 故④错误； 若，则2CM=CE， ∵CM=4-y，CE=BC=， ∴2CM≠CE， ∴∠BEC≠30°，故②错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 ．    【答案】10 【分析】由平行四边形的性质可得即，再结合可得可得，最进一步说明即可解答． 【详解】解：∵中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键． 12．如图，在菱形ABCD中，，BD=2，DE⊥AB于点E，则DE的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，AC⊥BD，由勾股定理可求AB的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，BD=2，， ∴，，AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 13．如图，矩形的对角线与相交点，，，，分别为，的中点，则的长度为 ． 【答案】2.5 【分析】先利用勾股定理求解 再利用矩形的性质求解 从而根据中位线的性质可得答案. 【详解】解： 矩形，，， ，分别为，的中点， 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，灵活应用以上知识是解题的关键. 14．如图，顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形ABCD，然后顺次连接四边形ABCD的中点得到四边形ABCD，再顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形ABCD，…，已知AB=6， BC=8，按此方法得到的四边形ABCD的周长为( )． 【答案】5 【分析】根据菱形和矩形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可． 【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=8，顺次连接矩形形ABCD各边中点， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AB=5， ∴四边形ABCD的周长是：5×4=20， 同理可得出：AD=8×=4，CD=AB=×6=3， ∴AD=， ∴四边形ABCD的周长是：×4=10， … ∴四边形ABCD周长是：××4=5． 故答案为5． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键． 15．如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】先过点作于点G，利用平行四边形的性质得到，进而利用勾股定理求出，，然后再利用勾股定理得到，即可得到，然后延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点，则，得到，，再根据等角对等边得到，进而计算，继而得到，然后根据勾股定求折痕的长度即可． 【详解】解：过点作于点G， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵点E为的中点， ∴， ∴，， 设，则， ∵，即， 解得，即， ∴， 延长交的延长线于点H，过点A作于点P，过点N作于点， ∵， ，，， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，求证：． 【答案】见解析 【分析】只需要证明即可得到答案. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴. ∵，， ∴. 在和中， ， ∴. ∴. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 17．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，AM∥BD，DM∥AC，AM、DM相交于点M， 求证：四边形AODM是菱形 【答案】见详解 【详解】证明：∵AM∥BD，DM∥AC，即AM∥OD，DM∥OA ∴四边形AODM为平行四边形 ∵在矩形ABCD中，OA=OD ∴四边形AODM是菱形. 18．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点F是AD的中点，过点D作DE∥AC，交CF的延长线于点E，连接BE，AE． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若AB=AC，试判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论． 【答案】见试题解析 【详解】试题分析：（1）首先证明△AFC≌△DFE，根据全等三角形对应边相等可得AC=DE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论； （2）首先证明四边形ADBE为平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得AD⊥CB，进而可得四边形ADBE为矩形． 试题解析：（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠CAF=∠EDF， ∵点F是AD的中点， ∴FA=DF， 在△AFC和△DFE中 ∴△AFC≌△DFE（ASA）， ∴AC=DE， ∴四边形ACDE是平行四边形； （2）解：四边形ADBE为矩形，理由如下： ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AE=CD且AE∥CB， ∵点D是BC的中点， ∴CD=DB， ∴AE=BD且AE∥DB， ∴四边形ADBE为平行四边形， 又∵AB=AC， ∴AD⊥CB， ∴∠ADB=90°， ∴四边形ADBE为矩形． 考点： 平行四边形的判定和性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，四边形的对角线，交于点，已知是的中点，，    (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定． （1）由与平行，得到两对内错角相等，再由为的中点，得到，又，得到，利用即可得证； （2）由，得到，即，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证． 【详解】（1）证明：， ，， 为的中点， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ，且， 四边形为矩形． 20．如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)如图②，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）可证明得到，再由直角三角形的性质证明，进而可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是正方形，得到，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，则． 【详解】（1）证明：为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵且四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∴， 由（1）可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知正方形的性质与判定定理，菱形的判定定理是解题的关键． 21．已知矩形中，，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O． (1)如图1，连接、，求证：四边形为菱形； (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值； ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用证明，得，可知四边形是平行四边形，再说明即可证明是菱形； （2）①设菱形的边长，在中，利用勾股定理求出x的值．通过判断可知因此只有当点P在BF上，Q点在上，才能构成平行四边形，根据，从而得出答案； ②由题意得：四边形是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上，分三种情况分别画出图形，从而解决问题． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵平分， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①设菱形的边长，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴； 如图， 显然当点P在上时，Q点在上，此时A，C，P，Q的四点不可能构成平行四边形， 同理P点在上时，Q点在或上也不能构成平行四边形， 因此只有当点P在BF上，Q点在上，才能构成平行四边形， ∴以A，C，P，Q的四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒， ∴， 即QA=24-4t， ∴5t=15-4t， ∴， ∴当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为； ②由题意得：四边形APCQ是平行四边形时，点P，Q在互相平行的对应边上． ∵四边形为菱形， ∴． 如图，当P点在上，Q点在上时， ∵， ∴， ∴； 如图，当P点在上，Q点在上时， ∵，即， ∴； 如图，当P点在上，Q点在上时， ∵， ∴， ∴， 综上所述，a与b满足的数量关系为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解（2）的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在中，，点为直线上一动点（点不与，重合）以为边作菱形，使，连接． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上，且 时． ①问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； ②延长交于点，连接，若，，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①（）中的结论仍然成立；理由见解析；② 【分析】(1)由证明，得出对应边相等即可； (2)①由证明，得出对应边相等即可； ②过A作于H，过E作于M，于N，证出，由证明，得出，，得出，，证出是等腰直角三角形，得出，求出，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：菱形中，， ， ， 在与中， ， ； （2）解：①（）中的结论仍然成立； 理由如下： ， ， 在与中， ； ②过 A 作于，过作于，于， 如图所示： ，， ，， ， ，， 四边形是正方形， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在 与 中， ， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作出辅助线是解决本题的关键． 23．在矩形中，，，点是边上一动点（不与点B、C重合），将沿直线折叠得到，直线交直线于点． (1)如图1，当点是的中点时，求的值； (2)如图1，连接，求周长的最小值； (3)如图2，延长，交的延长线于点，连接，若点，分别为，的中点，连接交于点，求证；． 【答案】(1) (2)12 (3)见解析 【分析】（1）根据折叠得出，，，，，证明，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）根据折叠得出，，由的周长为：，为定值，得出当最小时，的周长最小， 根据，得出当、、C在同一直线上时，最小，求出最小值即可； （3）取的中点Q，连接，，，先证明四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】（1）解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据折叠可知，，，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． （2）解：根据折叠可知，，， 的周长为：， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∵，为定值， ∴当、、C在同一直线上时，最小， ∵， ∴的最小值为， ∴的周长最小值为． （3）解：取的中点Q，连接，，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵Q为的中点，为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的判定和性质． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章《平行四边形》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．如图，，分别是的边，上的中点，若，则是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．如图，矩形中，平分交于点，，，则矩形周长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．44 3．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为边AB的M中点，若MO＝4cm，则菱形ABCD的周长为（　　） A．32cm B．24cm C．16cm D．8cm 4．如图，在正方形外侧，作等边三角形，、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 6．如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 7．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90º，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是(    )      A．∠D的度数为α B．a∶b＝CD∶BC C．若α＝60º，则平行四边形ABCD的周长为 D．若α＝60º，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半 8．如图．正方形 的面积为 是等边三角形．点 在正方形 内．在对角线 上有一点 ．使 最小．则这个最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 10．如图，E是正方形ABCD的边CD右侧一点，，CF平分交BE于点F．下列结论：①：②；③；④若，则四边形BCED的面积为32．以上结论正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为 ．    12．如图，在菱形ABCD中，，BD=2，DE⊥AB于点E，则DE的长为 ． 13．如图，矩形的对角线与相交点，，，，分别为，的中点，则的长度为 ． 14．如图，顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形ABCD，然后顺次连接四边形ABCD的中点得到四边形ABCD，再顺次连接四边形ABCD四边的中点得到四边形ABCD，…，已知AB=6， BC=8，按此方法得到的四边形ABCD的周长为( )． 15．如图，在平行四边形中，，，，点E为的中点，将平行四边形沿折痕翻折，使点D落在点E处，则线段的长为 ．    三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，求证：． 17．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，AM∥BD，DM∥AC，AM、DM相交于点M， 求证：四边形AODM是菱形 18．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点F是AD的中点，过点D作DE∥AC，交CF的延长线于点E，连接BE，AE． （1）求证：四边形ACDE是平行四边形； （2）若AB=AC，试判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，四边形的对角线，交于点，已知是的中点，，    (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 20．如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)如图②，连接，若，，求的长． 21．已知矩形中，，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O． (1)如图1，连接、，求证：四边形为菱形； (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值； ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．在中，，点为直线上一动点（点不与，重合）以为边作菱形，使，连接． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上，且 时． ①问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； ②延长交于点，连接，若，，请求出的长． 23．在矩形中，，，点是边上一动点（不与点B、C重合），将沿直线折叠得到，直线交直线于点． (1)如图1，当点是的中点时，求的值； (2)如图1，连接，求周长的最小值； (3)如图2，延长，交的延长线于点，连接，若点，分别为，的中点，连接交于点，求证；． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$