第十九章 一次函数（B卷•培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江西专用，人教版）

第十九章 一次函数（B卷·培优卷） 考试时间：90分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（）与下滑的时间（）的关系如下表： 支撑物高 10 20 30 40 50 … 下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（　　） A．当时，约2.66秒 B．随高度增加，下滑时间越来越短 C．估计当时，一定小于2.56秒 D．高度每增加，时间就会减少0.24秒 【答案】D 【分析】根据表格的数据，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、由表格可知：当时，约2.66秒，故A选项正确，不符合题意； B、由表格可知：当由10逐渐增大到50时，的值由3.25逐渐减小到2.56，因此随高度增加，下滑时间越来越短，故B选项正确，不符合题意； C、由B可知：随高度增加，下滑时间越来越短，且当时，，所以估计当时，一定小于2.56秒，故C选项正确，不符合题意； D、由表格可知：时间的减少是不均匀的，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键． 2．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数，，，的图象相交于点P，小逸根据图象得到如下结论： ①在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大； ②在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小； ③方程组与的解相同，都是 ④；⑤．其中结论正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质：根据所经过的象限决定的取值范围，当经过第一、三、二象限，则，当经过第一、三、四象限，则，当经过第二、三、四象限，则，当经过第一、二、四象限，则，据此即可作答． 【详解】解：根据所经过的象限： 得的，则y的值随着x值的增大而增大，故①正确； 得中的，y的值随着x值的增大而减小，故②正确； ∵一次函数，，，的图象相交于点P， ∴方程组与的解相同，都是，故③正确； ∵观察，，，分别与轴的交点的位置，越在上方的b的值越大 ∴，故④正确； ∵，，经过第一、三象限， ∴ ∵比的倾斜程度大， ∴ ∵，经过第二、四象限， ∴ ∵比的倾斜程度大， ∴ ∴ 即，故⑤错误． 故选：C 3．关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①根据一次函数定义即可求解；②，即可求解；③图像经过二、三、四象限，则，，解关于的不等式组即可；④函数图像与轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】解：①根据一次函数定义：形如的函数为一次函数， ， ， 故①正确； ②， 无论取何值，函数图像必经过点， 故②正确； ③图像经过二、三、四象限， ， 解不等式组得：， 故③正确； ④令，则， 函数图像与轴的交点始终在正半轴， ， ， 经分析知：， 解这个不等式组得， 故④正确． ①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点．解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系． 4．如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 5．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A；当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD=6-1=5，当直线经过D点，设直线交BC于N，则DN=2，作DM⊥BC于点M，利用勾股定理可求得DM，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点A，当移动距离是4时，直线经过B，当移动距离是6时经过D，则AD=6-1=5， 设直线经过点D时，交BC于N，则DN=2，作DM⊥BC于点M，如图所示： ∵移动直线为y=x， ∴∠NDM=45°， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴的面积为：AD×DM=5×=5，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，其中根据函数图象确定AD的长，是解答本题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于、两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．点的坐标为 D．的周长为 【答案】C 【分析】根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的解析式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则∠EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出△AEF的周长． 【详解】解：∵一次函数的图象交x轴、y轴与A、B两点， ∴当x=0，则y=12，故B（0，12）， 当y=0，则x=5，故A（5，0）， ∴AO=5，BO=12， 在Rt△AOB中，AB==13， 故AB的长为13； 过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=DA=BC=CD， ∴∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠HAD=90°， ∴∠OBA=∠HAD， 在△OBA和△HAD中， ， ∴△OBA≌△HAD（AAS）， ∴DH=AO=5，AH=BO=12， ∴OH=OA+AH=17， ∴点D的坐标为（17，5），A错误，不符合题意； ∵∠CBN+∠NCB=∠CBN+∠ABO=90°， ∴∠NCB=∠ABO， 在△CNB和△BOA中， ， ∴△CNB≌△BOA（AAS）， ∴BN=AO=5，CN=BO=12， 又∵CF⊥x轴， ∴CF=BO+BN=12+5=17， ∴C的坐标为（12，17），C正确，符合题意； 设直线BD的解析式为y=kx+b， ∴，解得：， ∴直线BD的解析式为， ∵OF=CN=12， ∴AF=12-5=7，E点的坐标为（12，）， ∴EF=≠AF， ∵CF⊥x轴， ∴∠EAF≠45°，B错误，不符合题意； 在△CDE和△ADE中， ， ∴△CDE≌△ADE（SAS）， ∴AE=CE， ∴AE+EF=CF=17，AF=OF-AO=12-5=7， ∴C△AEF=AE+EF+AF=CF+AF=17+7=24，D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 【答案】80 【分析】本题考查了一次函数的应用，设，将，代入解析式求得，进而可得烧杯的质量为140g，72g该种液体和烧杯的总质量为，求出的值即可． 【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系， 设， 将，代入解析式得：， 解得：， ， 当时，，即烧杯的质量为 当该种液体时，时，即， 解得：． 故答案为：． 8．若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 【答案】1或2 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得：， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：1或2． 9．要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形．为了方便进出，在边上留了一个米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ．    【答案】 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据题意和图形可以得到与的函数关系式，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】由题意得：， ∴， 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，根据题意得出与相交于点，进而画出函数图象，根据函数图象，即可求解． 【详解】解：的图象经过点 ， 当时，，即在函数的图象上． 又，在的图象上， 与相交于点． 则函数图象如图： 则不等式的解集为． 故答案为． 11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y＝x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为 ． 【答案】（5，6） 【分析】根据平移的性质知BF=AD，由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点F的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段BF的长度，即AD的长度． 【详解】∵点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF， ∴点D的纵坐标是6，点F的纵坐标是4． 又∵点B的对应点F是直线上的一点， ∴，解得x＝7． ∴点F的坐标是（7，4）， ∴BF＝5． ∴根据平移的性质知AD＝BF＝5， ∴点A的对应点D点的坐标为（5，6）． 故答案为：（5，6）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化一一平移，根据平移的性质得到AD=BF是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点，在内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在的边上，且矩形的长是宽的倍，则矩形的宽的长度是 ．    【答案】或或 【分析】分三种情况讨论，①当矩形的长在上时，②当矩形的宽在上时，③当矩形的宽在上时，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】∵直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点， 当时，，当时，,， 则，，， ∴ 设矩形的宽为，则矩形的长为, ①当矩形的长在上时，如图所示，    ∴，又， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得：； ②当矩形的宽在上时，    同理可得， 则， 解得：； ③当矩形的宽在上时，如图所示，    依题意，，又， ∴， 解得：， ④当矩形的长在上时，同③的情形一样，可得， 综上所述，矩形的宽的长度是或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，或 【分析】（1）分别令，可求得；令，可求得，根据，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得，可求，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的长为5； （2）解：由折叠的性质可知，，， ∴，即； 设，则，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得，， ∴存在，点坐标为或． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． 14．在物理课上，老师为了更好的让学生感受光的反射规律并激发学生探索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设计图．已知为平面镜，其中点C，点D的坐标分别为，，点处放置一支激光笔，激光笔发射光线对应函数解析式为． (1)点F为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点F，求所在直线的解析式； (2)已知在魔法盒子的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），上方显示屏就会显示出“我爱物理”的字样．若要让同学们看到“我爱物理”字样，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是关键反射的规律确定直线经过的点坐标． （1）根据点F为平面镜的中点，得，再利用待定系数法求解析式即可； （2）根据平面镜反射的规律，反射的光线一定经过点关于的对称点，再根据点、点求出反射光线的解析式即可解答． 【详解】（1）解：∵F为平面镜的中点，点C，点D的坐标分别为，， ∴点F的坐标分别为， 将点，代入得： ，解得：， 故所在直线的解析式为， （2）取点关于的对称点， ∵点、点， ∴直线的解析式为， 直线的解析式为， 故b的取值范围为． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求，两点的坐标． (2)若将直线向左平移个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若为轴上一点，将直线沿翻折，使得点刚好落在坐标轴上，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理； （1）根据题意分别令，得出，，根据勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得平移后的直线与轴的交点为，设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入，即可求解； （3）设点关于的对称点为，，分在轴负半轴，在轴正半轴，当在轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得直线解析式为， ∵将直线向左平移个单位长度，， ∴平移后的直线与轴的交点为， 设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入得， ， ∴， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为． （3）解：设点关于的对称点为，， 当在轴负半轴时，如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时，， ∴点与点重合，即， 综上所述，或或． 16．茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． (1)A，B两种茶具每套进价分别为多少元？ (2)由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【答案】(1)A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元 (2)采购A种茶具30个，B种茶具50个可获得最大利润为1900元 【分析】本题考查一次了函数的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元，根据题意列方程组并求解即可； （2）计算再次购进A、B两种茶具时，A种茶具和B种茶具每套的价格，根据“A种茶具每套进价×购进A种茶具的套数+B种茶具每套进价×购进B种茶具的套数”列关于x的一元一次不等式并求解，设获得的利润为W元，根据“获得的利润＝每套A种茶具的利润×购进A种茶具的套数+每套B种茶具的利润×购进B种茶具的套数”写出W关于x的关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时W的值最大，求出其最大值此时的值即可． 【详解】（1）解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元． 根据题意，得 解得， ∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元． （2）解：再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为（元），B种茶具每套进价为（元）． 设购进A种茶具x套，则购进B种茶具套． 根据题意，得， 解得； 设获得的利润为W元，则， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W的值最大，，此时购进B种茶具（套）， 购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元． 17．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． (1)折线表示赛跑过程中_________的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中________的路程与时间的关系．（填“乌龟”和“兔子”）赛跑的全程是_________米． (2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ (3)兔子醒来，以米分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算一算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】(1)兔子，乌龟， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（行程问题），从函数的图象获取信息等知识点，能够读懂函数图象，获取正确信息是解题的关键．需要注意的是，解答图象信息题首先是读懂题目，分析图象，弄清楚每一个点所表示的实际意义，图象上的特殊点最为重要，是帮助理解题意，确定运动状态的重要信息． （1）通过观察图象即可直接得出答案； （2）先根据“速度路程时间”求出乌龟的速度；由图象可知，兔子睡觉时的路程为米，然后根据“时间路程速度”即可求出乌龟追上兔子所用的时间； （3）用兔子全程用时减去开始时跑的分钟和醒来后跑的分钟，即可得出答案． 【详解】（1）解：从图象可知： 折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系，赛跑的全程是米， 故答案为：兔子，乌龟，； （2）解：乌龟的速度是：（米分）， 乌龟追上兔子所用时间为：（分钟）， 答：乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子； （3）解：兔子全程共用时：（分钟）， 其中，开始时跑了分钟，醒来后又跑了：（分钟）， 兔子中间停下睡觉共用时：（分钟）， 答：兔子中间停下睡觉用了分钟． 18．我们规定：若m，n是正实数，且满足时，则称点为“回归点”． (1)当时，求此时满足关系的“回归点”； (2)判断是否为直线上的一个“回归点”； (3)如图，已知点与点B都在直线上，且点B是“回归点”，C为直线与y轴的交点，求的长． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）把代入求解n的值，再利用新定义的含义可得答案； （2）由，且m，n是正实数，可得，再把点代入，即可判断； （3）先求解，可得直线的表达式为，再解方程组，可得点B的坐标为，过点B作轴，则有，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得． ∴，即此时的“回归点”为． （2）∵，且m，n是正实数， ∴由，得，即， ∴点的坐标可化为． ∵满足， ∴是直线上的“回归点”． （3）∵点在直线上， ∴． ∴直线的表达式为． ∴“回归点”B既在直线上，也在直线上． ∴，解得． ∴点B的坐标为． ∵C为直线与y轴的交点， ∴当时，，即点C的坐标为，． 过点B作轴，则有，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，求解一次函数的解析式，一次函数的交点坐标，勾股定理的应用，二次根式的化简，理解题意，确定相对应的解题方法是解本题的关键． 19．一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标； (3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)．的解析式为； (2)点坐标为或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及巧妙运动分类讨论的思想是解题的关键． （1）将点坐标代入的函数解析式可求出，再将点坐标代入即可； （2）根据和的面积关系，可求出的长，进而解决问题； （3）分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得． 则点坐标为． 令的解析式为， 将点坐标代入得， ， 解得， 所以的解析式为； （2）解：将代入得， ， 所以点坐标为． 又， 故． 又， 所以． 又， 则， 所以， 又点坐标为， 所以点坐标为或； （3）解：过点作轴的垂线，垂足为， 在中， ． 当点为等腰三角形的顶点时， ， 所以点的坐标为或． 当点为等腰三角形的顶点时， ， 又， 所以， 故点坐标为． 当为等腰三角形的顶点时， ， 则点在的垂直平分线上， 连接， 在中， ， 即， 解得， 所以点坐标为． 综上所述，点的坐标为或或或． 20．初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息：    请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： (1)求 ______， ______， ______，并补全函数图象； (2)在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； (3)已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，，图象见解析 (2)图象关于轴对称 (3)或 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质、解一元一次不等式是解题的关键． （1）将，2，，别分别代入解析式即可得a、b、c的值然后补全图象即可； （2）观察图象即可得到； （3）根据图象求得即可． 【详解】（1）分别将，2，，别代入， 求得，，， 补全该函数图象如图，    故答案为：，，． （2）由图象可得，图象关于轴对称． （3）观察图象可知，或， 的取值范围为或． 21．将边长为4的正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，且A点的坐标是，点E的坐标是． (1)直线经过点C，且与轴交与点E．求四边形的面积； (2)若直线L经过点E且将正方形分成面积相等的两部分求直线L的解析式． (3)若直线经过点且与直线平行．将（2）中直线L沿着y轴向上平移1个单位交x轴于M，交直线于点N，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，直线的交点坐标等知识．熟练掌握坐标与图形，一次函数解析式，直线的交点坐标是解题的关键． （1）由题意知，，则，根据，计算求解即可； （2）设直线L与的交点为，如图1，则，根据，，可求，即，待定系数法求直线L的解析式即可； （3）设直线的解析式为，将代入可求，则直线的解析式为，由题意知，（2）中直线L沿着y轴向上平移1个单位的解析式为，可求，联立，可求，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：设直线L与的交点为，如图1， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得，， ∴， 设直线L的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由题意知，（2）中直线L沿着y轴向上平移1个单位的解析式为， 当时，， 解得，，即， 联立， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 22．八年级数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：在自变量x的取值范围内，x与y的几组值如表： x 0 1 2 3 4 … y1 2 1 0 1 2 … (1)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象，并回答以下问题： ①当时，随x的增大而 ； ②当时，的最大值与最小值的差是 ； (2)已知函数的图象与函数的图象关于y轴对称，在图中画出函数的图象，并回答以下问题： ①若直线与，的图象有三个交点，则 ； ②若直线与函数，的图象有唯一交点，则b的取值范围是 ． 【答案】(1)①减小；②4． (2)①2；②或 【分析】本题考查的是画一次函数的图象，一次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）根据表格信息描点，再画图即可；①根据图象可得答案，②根据函数图象先求解函数最小值与最大值，可得答案； （2）根据对称性先画图，①结合图象可得的值，②直线与直线平行，结合函数图象求解过临界点的的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：（1）描点画图如下： ①由图象可得，当时，随x的增大而减小， 故答案为：减小； ②当时， 当时，函数最小值为：， 当时．函数最大值为： ∴的最大值与最小值的差是4 （2）∵函数的图象与函数的图象关于y轴对称，如图如下， ①观察图象，若直线与，的图象有三个交点，则； ②如图，函数的图象关于y轴翻折后， ∵直线与直线平行， 当直线经过时，， 解得， 当直线经过时，， ∵直线与函数，的图象有唯一交点， ∴． 当直线经过时，， 解得， ∴时直线与函数，的图象有唯一交点． 23．（1）如图1，是等腰直角三角形，，D为中点，E，F分别为边上的点，且，在探究的形状时，程思同学是这样做的：连接，证明．因此可得，同时可得：，，由此可得出线段三者之间满足的等量关系是：______； （2）如图2，是非等腰直角三角形，，D为中点，E，F分别为边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，记，． ①求y关于x的函数关系式； ②当时，的长是______． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）①；② 【分析】（1）连接，证，得，，再证，然后由勾股定理得，即可得出结论； （2）延长到使得，连接、，证，得，，再证，则，然后证，即可得出结论； （3）①由勾股定理得，，再由，则，即可得出结论；②如图3，当时，点与点重合，则，得，解方程即可． 【详解】解：（1）线段、、三者之间满足的等量关系是：，理由如下： 如图1，连接，    ∵为等腰直角三角形，点为线段中点， ，，， ， ∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ∵， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到使得，连接、，    ∵为中点， ， ∵，， ， ，， ∵， ， ， 即， ， ∵，， ， ； （3）①，， ，， ∵， ， ， ∵， ， 整理得：； ②如图3，    当时，点与点重合， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、求函数解析式、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 试卷第36页，共38页 20 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 一次函数（B卷·培优卷） 考试时间：90分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（）与下滑的时间（）的关系如下表： 支撑物高 10 20 30 40 50 … 下滑时间 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（　　） A．当时，约2.66秒 B．随高度增加，下滑时间越来越短 C．估计当时，一定小于2.56秒 D．高度每增加，时间就会减少0.24秒 2．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数，，，的图象相交于点P，小逸根据图象得到如下结论： ①在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大； ②在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小； ③方程组与的解相同，都是 ④；⑤．其中结论正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．关于函数（为常数），有下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图像必经过点；③若图像经过二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图像与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中，正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 5．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为（    ） A．5 B． C．10 D． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于、两点，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．点的坐标为 D．的周长为 二、填空题（每题3分，共18分） 7．在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m（g）与该种液体的体积V（cm³），绘制了如图所示的函数图像（图中为一线段），则72g该种液体的体积为 cm3． 8．若关于x的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与y轴相交于正半轴，则整数m的值为 ． 9．要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形．为了方便进出，在边上留了一个米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ．    10．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 ． 11．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y＝x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为 ． 12．在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点，在内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在的边上，且矩形的长是宽的倍，则矩形的宽的长度是 ．    三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．在物理课上，老师为了更好的让学生感受光的反射规律并激发学生探索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设计图．已知为平面镜，其中点C，点D的坐标分别为，，点处放置一支激光笔，激光笔发射光线对应函数解析式为． (1)点F为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点F，求所在直线的解析式； (2)已知在魔法盒子的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），上方显示屏就会显示出“我爱物理”的字样．若要让同学们看到“我爱物理”字样，求b的取值范围． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求，两点的坐标． (2)若将直线向左平移个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若为轴上一点，将直线沿翻折，使得点刚好落在坐标轴上，直接写出点的坐标． 16．茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． (1)A，B两种茶具每套进价分别为多少元？ (2)由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 17．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． (1)折线表示赛跑过程中_________的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中________的路程与时间的关系．（填“乌龟”和“兔子”）赛跑的全程是_________米． (2)乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？ (3)兔子醒来，以米分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算一算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 18．我们规定：若m，n是正实数，且满足时，则称点为“回归点”． (1)当时，求此时满足关系的“回归点”； (2)判断是否为直线上的一个“回归点”； (3)如图，已知点与点B都在直线上，且点B是“回归点”，C为直线与y轴的交点，求的长． 19．一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标； (3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 20．初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息：    请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： (1)求 ______， ______， ______，并补全函数图象； (2)在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； (3)已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 21．将边长为4的正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，且A点的坐标是，点E的坐标是． (1)直线经过点C，且与轴交与点E．求四边形的面积； (2)若直线L经过点E且将正方形分成面积相等的两部分求直线L的解析式． (3)若直线经过点且与直线平行．将（2）中直线L沿着y轴向上平移1个单位交x轴于M，交直线于点N，求的面积． 22．八年级数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：在自变量x的取值范围内，x与y的几组值如表： x 0 1 2 3 4 … y1 2 1 0 1 2 … (1)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象，并回答以下问题： ①当时，随x的增大而 ； ②当时，的最大值与最小值的差是 ； (2)已知函数的图象与函数的图象关于y轴对称，在图中画出函数的图象，并回答以下问题： ①若直线与，的图象有三个交点，则 ； ②若直线与函数，的图象有唯一交点，则b的取值范围是 ． 23．（1）如图1，是等腰直角三角形，，D为中点，E，F分别为边上的点，且，在探究的形状时，程思同学是这样做的：连接，证明．因此可得，同时可得：，，由此可得出线段三者之间满足的等量关系是：______； （2）如图2，是非等腰直角三角形，，D为中点，E，F分别为边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，记，． ①求y关于x的函数关系式； ②当时，的长是______． 试卷第36页，共38页 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$