第十九章 一次函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江西专用，人教版）

第十九章 一次函数（A卷·提升卷） 考试时间：90分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．如图，下列各曲线中能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 2．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q＝48－2t 3．表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（ ） A． B． C． D． 4．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 5．如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．在函数中，自变量的取值范围是 ． 8．运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表： 销售量 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 6 9 … 请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式： ． … 9．如果正比例函数的图象经过点，那么k的值等于 ． 10．若是关于x的正比例函数，则m的值是 ． 11．一次函数的图象经过点，则 ． 12．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上．，，，…都是等腰直角三角形，如果，，那么点的纵坐标是 ．    三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 14．在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与当地温度之间有如下的近似关系： 当地温度 5 6 7 8 9 … 蟋蟀叫的次数y 14 21 28 35 42 … (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是______________； (2)①当地温度x（单位：）每增加，这种蟋蟀叫的次数y是怎样变化的？ ②这种蟋蟀叫的次数y与当地温度x之间的关系式为____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求当时该地的温度． 15．如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．    (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 16．如图，直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数关系式： (2)点为轴上一个动点，过点作轴交直线于点，若线段，求的值． 17．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： (1)图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； (2)图①中的图形的面积是多少？ (3)图②中b的值是多少？ 18．如图，已知，在直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C． (1)求点A、C的坐标； (2)若点B在y轴上，且与点A、C构成以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的B点坐标． (3)直线绕A点顺时针旋转得到新的直线，求新的直线解析式． 19．某单位在创建“国家级卫生城市”期间，准备购买、两种新型的垃圾箱，通过市场调研发现：购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需1700元；购买3个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需2700元． (1)求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？ (2)该单位现需要购买、两种型号的垃圾箱共30个，其中购买型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式； ②当购买型垃圾箱个数为多少时总费用最少，最少费用是多少？ 20．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 21．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 22．某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________． (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________． 23．在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴和轴上．已知，，点坐标为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动的时间为秒． (1)如图1，当点恰好到达点时，的长为______． (2)如图2，把长方形沿着直线折叠，点的对应点恰好落在边上，求直线的函数关系式． (3)在点的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，并求出值；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共26页 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 一次函数（A卷·提升卷） 考试时间：90分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．如图，下列各曲线中能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义；根据函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，逐项判断即可． 【详解】解：A、对于自变量x的任何取值，y都有唯一的值与之相对应，则y是x的函数； B、对于自变量x的取值，y有2个值与之相对应，则y不是x的函数； C、对于自变量x的取值，y有2个值与之相对应，则y不是x的函数； D、对于自变量x的取值，y有2个值与之相对应，则y不是x的函数； 故选：A． 2．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（    ） 放水时间t（分） 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … A．放水时间是自变量，水池里的水量是因变量 B．每分钟放水 C．放水25分钟，水池里的水全部放完 D．水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q＝48－2t 【答案】D 【分析】由函数的定义可判断A，由表格信息可判断B，根据题意可得蓄水量Q=50-2t，可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：放水时间是自变量，水池里的水量是因变量，故A不符合题意； 蓄水池每分钟放水2m3，故B不符合题意； 放水25分钟时，Q=50-2×25=0，水池里的水全部放完，故C不符合题意； 水池里的水量Q与放水时间t的关系式为Q=50-2t，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的实际应用，列函数关系式，通过分析题意列出正确的函数解析式是解决本题的关键． 3．表示一次函数与正比例函数（m、n是常数且）图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和正比例函数的图象．根据函数的图象经过的象限得到m，n，的取值范围，逐一判断即得． 【详解】图中的图象过原点，另一条直线是的图象， A．由函数的图象可得，由函数的图象可得，A正确； B．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，B错误； C．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，C错误； D．由函数的图象可得，，由函数的图象可得，产生矛盾，D错误． 故选：A． 4．如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于x的方程的解是 B．关于x的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 5．如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为， ∴， 又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且， ∴， 设这个正比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得， 则这个正比例函数的表达式为， 故选：A． 6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于，的二元一次方程有两组解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与方程组的解的问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，画出图象并分析是解题的关键．求出恒过，作出函数的图象，通过数形结合，观察图象和函数式进行作答． 【详解】解：∵可化简为， 无论取何值，恒过， 该函数图象随值不同绕旋转， 作出函数的图象如下： 当与平行时，可得， 此时， 当过点时，可得， 解得：， 此时， 如图可得：当时，的图像与函数的图象有两个交点，即关于，的二元一次方程有两组解． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 8．运城市某超市购进了一批新品种鸭梨，出售时销售量与销售总价的关系如下表： 销售量 1 2 3 4 5 … 销售总价（元） 6 9 … 请根据上表中的数据写出销售总价（元）与销售量之间的关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查观察表格规律求关系式问题，找出表格中的规律是解答此题的关键. 销售总价y是一个整数加一个小数的形式，通过观察发现分别是：，，，……，从而得到销售总价y与销售量x之间的关系. 【详解】解：观察表格即可得到：当时，， 当时，， 当时， … ∴销售总价（元）与销售量之间的关系式为 故答案为：. 9．如果正比例函数的图象经过点，那么k的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查求正比例函数解析式，根据待定系数法求正比例函数解析式即可． 【详解】解：∵图象经过点， ∴，解得：． 故答案为：． 10．若是关于x的正比例函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义， 一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 11．一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将代入函数解析式得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上．，，，…都是等腰直角三角形，如果，，那么点的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先求出直线的解析式，求出直线与轴、轴的交点坐标，分别过等腰直角三角形的直角顶点向轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用勾股定理依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到的坐标，进而得出各点的坐标的规律．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：，在直线上， ， 解得， 直线解析式为； 设直线与轴、轴的交点坐标分别为、， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为，， 作轴于点，轴于点，轴于点，   ，， ， 是等腰直角三角形， ， 设， 点在直线上， ，解得． ， ， ， ， 同理可求，第四个等腰直角三角形， 依此类推，点的纵坐标是． 的坐标是， 故答案为． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)与x之间的函数关系式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式． （1）根据与成正比例函数关系，设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出k的值，进而求出与之间的函数表达式． （2）根据（1）中所求函数解析式，将代入其中，求得的值． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得，解得． 与x之间的函数关系式为； （2）由（1）知，， 则当时，， ． 14．在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与当地温度之间有如下的近似关系： 当地温度 5 6 7 8 9 … 蟋蟀叫的次数y 14 21 28 35 42 … (1)在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是______________； (2)①当地温度x（单位：）每增加，这种蟋蟀叫的次数y是怎样变化的？ ②这种蟋蟀叫的次数y与当地温度x之间的关系式为____________． (3)当这种蟋蟀叫的次数时，求当时该地的温度． 【答案】(1)当地温度，蟋蟀叫的次数 (2)①当地温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加7；② (3) 【分析】本题考查了用表格和函数解析式表示两个变量间的关系，自变量和因变量，求函数值的问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格即可确定； （2）根据表格即可确定变化情况以及函数关系式； （3）把代入函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是当地温度，因变量是蟋蟀叫的次数； 故答案为：当地温度，蟋蟀叫的次数； （2）解：①由表格可得：当地温度x每增加，这种蟋蟀叫的次数y增加7． ②， ∴次数y与当地温度x之间的关系式为， 故答案为：； （3）解：当时，，解得． 故当这种蟋蟀叫的次数时，当时该地的温度为． 15．如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．    (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)和； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴， 将点代入， 得，解得， ∴， ∴这两个函数的解析式分别为和； （2）解：由函数图象可知，当时，． ∴不等式的解集为：． 16．如图，直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数关系式： (2)点为轴上一个动点，过点作轴交直线于点，若线段，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了函数图象中坐标的求法以及线段长度的表示法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点或，再分别代入求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数关系式为：， 把，代入得：， 解得：， 直线的函数关系式为：； （2）解：点，，且， 点或， ①把点代入得：； ②把点代入得：． 的值为或． 17．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： (1)图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； (2)图①中的图形的面积是多少？ (3)图②中b的值是多少？ 【答案】(1)8，24 (2)图①中的图形的面积为 (3) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． （1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；结合，可以计算出的面积，计算可得a的值； （2）分析图形可得，①中的图形面积等于，根据图象求出和的长，代入数据计算可得答案； （3）计算的长度，再由P的速度，计算可得b的值． 【详解】（1）解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：， 故图①中的长是； ∴， 即图②中的a是； 故答案为：8，24； （2）解：由图可得：，， 则， 又∵， 则①图的面积为， ∴图①中的图形面积为； （3）解：根据题意，动点P共运动了， 其速度是，则， ∴图②中的b的值是17． 18．如图，已知，在直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C． (1)求点A、C的坐标； (2)若点B在y轴上，且与点A、C构成以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的B点坐标． (3)直线绕A点顺时针旋转得到新的直线，求新的直线解析式． 【答案】(1)点A的坐标为，点C的坐标为； (2)B点坐标为或或； (3)新的直线解析式为． 【分析】本题为一次函数综合题，能够根据题意将所有情况考虑到是关键． （1）点A和点C是直线与坐标轴的交点，分别令，，求其对应的值即可； （2）根据题意，分类讨论即可； （3）过点作，在上截取，作直线，过点作轴于点，证明，求得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为； （2）解：由（1）得，； ∴， ①当时， 此时x轴为线段的垂直平分线， ∴， ∴点B的坐标为； ②当， ∴点B的坐标为或； 综上，B点坐标为或或； （3）解：过点作，在上截取，作直线，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 即新的直线解析式为． 19．某单位在创建“国家级卫生城市”期间，准备购买、两种新型的垃圾箱，通过市场调研发现：购买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需1700元；购买3个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需2700元． (1)求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？ (2)该单位现需要购买、两种型号的垃圾箱共30个，其中购买型垃圾箱不超过16个． ①求购买垃圾箱的总花费（元）与型垃圾箱（个）之间的函数关系式； ②当购买型垃圾箱个数为多少时总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个型垃圾箱500元，每个型垃圾箱600元 (2)①（，且为整数）；②当购买型垃圾箱个数为16个时，总费用最少，最少费用是16400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得； （2）①先求出购买型垃圾箱个，再根据总花费等于两种垃圾箱的费用之和建立函数关系式，然后根据购买型垃圾箱不超过16个求出的取值范围，由此即可得； ②利用一次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得， 答：每个型垃圾箱500元，每个型垃圾箱600元． （2）解：①∵购买、两种型号的垃圾箱共30个，购买型垃圾箱个， ∴购买型垃圾箱个， 则， ∵购买型垃圾箱不超过16个， ∴， ∴与之间的函数关系式为（，且为整数）． ②由（2）①可知，（，且为整数）， ∵， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为， 答：当购买型垃圾箱个数为16个时，总费用最少，最少费用是16400元． 20．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 (1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； (2)观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； (3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 【答案】(1)见解析 (2)一次， (3)下午 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数． 故答案为：一次． 设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为． （3）解：当时，得， 解得， 上午经过12.5小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 21．【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 22．某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________． (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键； （1）根据图象得出距离，进而计算出速度即可； （2）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，再把代入解答即可； （3）得出直线的解析式，再根据题意分情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：目的地距离学校千米， 小车出发去目的地的行驶速度是千米/时； 故答案为：； （2）解：设直线的解析式是， 把，代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式是：， 当时，； 则点坐标为：； （3）解：设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 当时，解得：； 当，解得：； 当，解得：； 行驶时间为或或， 故答案为：或或 23．在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点分别在轴和轴上．已知，，点坐标为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动的时间为秒． (1)如图1，当点恰好到达点时，的长为______． (2)如图2，把长方形沿着直线折叠，点的对应点恰好落在边上，求直线的函数关系式． (3)在点的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，并求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）分别求得，的长度，然后利用勾股定理解答即可； （2）根据翻折的性质，可知，由勾股定理可以求出的长，从而求出的长，在根据勾股定理求出的长，进而待定系数法求解析式，即可求解． （3）根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论：；；，结合等腰直角三角形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1， ，， ； 故答案为：； （2）解：由折叠的性质可知，，， 在中，由勾股定理可得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 设直线的解析式为，代入得 ，解得： ∴直线的函数关系式为； （3）解：存在， ， ， ①当时， ， 在上， 由勾股定理可得：， ， ②当时，在的垂直平分线上， 在上， ， ③当时，在上， 由①可知，， ， 的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标、勾股定理及等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式，合理运用勾股定理及等腰三角形的性质是本题解题的关键． 试卷第2页，共26页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$