3.5 整式的化简-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（浙教版2024）

68 3.5　整式的化简 ▶ “答案与解析”见P27 1. 化简(m+2n)2-(m+2n)(2m-n)的结 果是 ( ) A. 4mn+8n2 B. mn C. -m2+mn+2n2 D. -m2+mn+6n2 2. 当x=-712 时,式子(x-2)2-2(2-2x)- (1+x)(1-x)的值为 ( ) A. -2372 B. 23 72 C. 1 D. 49 72 3. 方程(x+3)(x-2)-(x+1)2=1的解为 . 4. (1) (2024·杭州西湖期中)先化简,再求值: (x+2y)2-x(x-4y)-4y2,其中x=-2, y= 1 2. (2) 已知2a2+3a-6=0,求代数式3a(2a+ 1)-(2a+1)(2a-1)的值. 5. (2024·绍兴越城期末)如图,现有一块长为 (3a+b)米、宽为(a+b)米的长方形地块,规 划将涂色部分进行绿化,中间预留部分是边 长为(2a-b)米的正方形. (1) 求绿化面积(用含a,b的代数式表示,并 化简). (2) 若a=3,b=2,绿化成本为100元/米2, 则完成绿化共需要多少元? (第5题) 6. (2024·宁波余姚期中)已知x(x+3)= 2022,则代数式2(x+4)(x-1)-2012的 值为 ( ) A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. (2024·绍兴新昌期中)有两个正方 形A,B,将A,B并列放置后构造新 的图形,分别得到长方形图甲与正 方形图乙(如图).若图甲、图乙中涂色部分的 面积分别为14与36,则正方形B的面积为 ( ) (第7题) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若(x+a)x-32 的结果中不含x项,则(a+ 2)2-(1-a)(-a-1)的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级下 69 9. 已知三月份一棵香樟树和一棵银杏树的收购 价格均为a元,在四月份和五月份这两个月 中,香樟树的收购价格平均每月的下降率为 x,而银杏树的收购价格平均每月的增长率 也为x,则五月份一棵银杏树的收购价格比 一棵香樟树的收购价格高 元. 10. 当a,b互为相反数时,整式ab·(5ka- 3b)-(ka-b)(3ab-4a2)的值恒为0,则k 的值为 . 11. 先化简,再求值:(a-3b)2+(3a+b)2- (a+5b)2+(a-5b)2,其中a=-8,b=-6. 12. (2023·温州洞头期中)如图,边长分别为 a,b的两个正方形并排摆放在一起. (1) 求图中涂色部分的面积(用含a,b的代 数式表示,并化简). (2) 当a+b=16,ab=60时,求涂色部分的 面积. (第12题) 13. (新情境)某植物园中现有A,B两 个园区,已知A 园区为长方形,长 为(x+y)米,宽为(x-y)米;B园 区为正方形,边长为(x+3y)米. (1) 求A,B两个园区的面积之和. (2) 现根据实际,需要对A 园区进行整改, 长增加(11x-y)米,宽减少(x-2y)米,整 改后A 园区的长比宽多350米,且整改后 两个园区的周长之和为980米. ① 求x,y的值. ② 若A园区全部种植C种花,B园区全部 种植D种花,且C,D 两种花投入的费用与 吸引游客的收益如下表: 花的种类 C D 投入/(元/米2) 12 16 收益/(元/米2) 18 26 求整改后A,B两个园区旅游的净收益之和 (净收益=收益-投入). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　整式的乘除 1+128 × … × 1+1232 =2× 1-1264 =2×2 64-1 264 = 264-1 263 . (2) 原式=12× (3-1)×(3+1)× (32+1)×(34+1)×…×(332+1)- 364 2= 1 2× (364-1)-3 64 2= 364 2- 1 2- 364 2=- 1 2. 第2课时 完全平方公式 1. C 2. B 3. 8xy 4. A (3m+ n)2=9m2+6mn+n2 5. (1) 原式=4a2+12a+9-12a- 16=4a2-7. (2) 原式=9x2-30x+25-(4x2+ 28x+49)=9x2-30x+25-4x2- 28x-49=5x2-58x-24. (3) 原式=1-6a+9a2-(2-6a)+ (1+6a+9a2)=1-6a+9a2-2+ 6a+1+6a+9a2=18a2+6a. 6. D 7. B [解析] 因为(x-1)2+bx+ c=x2-ax+16,所以x2-2x+1+ bx+c=x2-ax+16.所以x2+(b- 2)x+c+1=x2-ax+16.所以b- 2=-a,c+1=16.所以a+b=2,c= 15.所以a+b+c=2+15=17. 8. C [解析] 因为a-b=8,所以 (a-b)2=82.所以a2+b2-2ab= 64.因为a2+b2=82,所以82-2ab= 64,解得ab=9.所以3ab=27. 9. B [解析] 设x-2022=a, 2023-x=b,则ab=0.25,a+b= x-2022+2023-x=1.所以(a+ b)2=12,即a2+b2+2ab=1.因为 ab=0.25,所以a2+b2=1-2× 0.25=0.5,即(x-2022)2+(2023- x)2=0.5. 10. C [解析] 由题意,得大正方形 的边长为a+b,小正方形的边长为 b-a.因为大正方形的面积为100,小 正方形的面积为16,所以(a+b)2= 100,(b-a)2=16,即a2+2ab+b2= 100,a2-2ab+b2=16.故①②正确. 因为4个长为b、宽为a的小长方形 的面积为100-16=84,即4ab=84, 所以ab=21.又因为a2+2ab+b2= 100,所以a2+b2=100-2×21=58. 故③不正确.综上所述,正确的为 ①②,有2个. 11. 18 [解析] 因为(a+3)2=82,所 以a2+6a+9=82.所以a2+6a= 73.所以(a+11)(a-5)=a2+11a- 5a-55=a2+6a-55=73-55=18. 12. (1) 原式=[(2m+1)(2m- 1)]2=(4m2-1)2=16m4-8m2+1. (2) 原式=(a2-4b2)(a2-4b2)= a4-8a2b2+16b4. 13. (1) 4;17. (2) (2n+1)2-4n2=4n+1. 左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1= 右边. 14. (1) -b2. (2) 公式①的右边=14 [a2+b2+ 2ab-(a2+b2-2ab)]=14 (a2+ b2+2ab-a2-b2+2ab)= 14 × 4ab=ab. 因为公式①的左边=ab, 所以公式①的左边=右边. 所以公式①成立. (3) 把a+b=5,a-b=7代入公式 ①,得ab=14× (52-72)=14× (-24)=-6. 3.5　整式的化简 1. D 2. A 3. x=-8 4. (1) (x+2y)2-x(x-4y)- 4y2=x2+4xy+4y2-x2+4xy- 4y2=8xy. 当x=-2,y= 1 2 时,原式=8× (-2)×12=-8. (2) 3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)= 6a2+3a-4a2+1=2a2+3a+1. 因为2a2+3a-6=0, 所以2a2+3a=6. 所以原式=6+1=7. 5. (1) 长方形地块的面积为(3a+ b)(a+b)=(3a2+4ab+b2)平方米, 中间预留部分的面积为(2a-b)2= (4a2-4ab+b2)平方米, 所以绿化面积为3a2+4ab+b2- (4a2-4ab+b2)=(8ab-a2)平方米. (2) 由题意知,绿化面积为8×3×2- 32=48-9=39(平方米), 所以完成绿化共需要39×100= 3900(元). 6. B [解析] 2(x+4)(x-1)- 2012=2(x2+3x-4)-2012= 2x2+6x-8-2012=2x2+6x- 2020.因为x(x+3)=2022,所以 x2+3x=2022.所以2x2+6x=4044. 所以原式=4044-2020=2024. 7. B [解析] 设正方形A 的边长为 a,正方形B 的边长为b.由题意,得 a(a+b)-a2-b2=14,(a+b)2- a2-b2=36,即ab-b2=14,ab=18, 所以b2=18-14=4,即正方形B 的 面积为4. 8. 11 [解析] (x+a)x-32 = x2+ a-32 x-32a.因为其结果中 不含x项,所以a-32=0 ,解得a= 3 2. 所以(a+2)2-(1-a)(-a- 1)=a2+4a+4-(a2-1)=4a+5= 4×32+5=11. 9. 4ax [解析] 根据题意,得五月份 一棵银杏树的收购价格比一棵香樟树 的收购价格高a(1+x)2-a(1- x)2=a(1+2x+x2)-a(1-2x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 x2)=a+2ax+ax2-a+2ax- ax2=4ax(元). 10. -2 [解析] ab(5ka-3b)- (ka-b)(3ab-4a2)=5ka2b- 3ab2 - (3ka2b-4ka3 -3ab2 + 4a2b)=5ka2b-3ab2 -3ka2b+ 4ka3+3ab2-4a2b=2ka2b-4a2b+ 4ka3=(2k-4)a2b+4ka3.因为当a, b互为相反数,即b=-a时,整式的 值为0,所以(2k-4)a2·(-a)+ 4ka3=0.所以(4-2k)a3+4ka3=0. 所以(2k+4)a3=0.所以2k+4=0. 所以k=-2. 11. 原式=a2-6ab+9b2+9a2+ 6ab+b2-a2-10ab-25b2+a2- 10ab+25b2=10a2-20ab+10b2= 10(a-b)2. 当a=-8,b=-6时,原式=10× [(-8)-(-6)]2=40. 12. (1) 如图,S涂色部分=S正方形ABCD+ S正方形CEFG -S三角形ABG -S三角形EFG = a2+b2-12a (a+b)-12b 2=a2+ b2-12a 2-12ab- 1 2b 2=12a 2+ 1 2b 2-12ab. (2) 因为a+b=16, 所以(a+b)2=a2+2ab+b2=256. 所以1 2a 2+ab+12b 2=12×256= 128. 因为ab=60, 所以S涂色部分=12a 2+12b 2-12ab= 1 2a 2+12b 2+ab-32ab= 12a2+ ab+ 12b 2 - 32ab=128- 32 × 60=38. (第12题) 13. (1) 因为(x+y)(x-y)+(x+ 3y)2=x2-y2+x2+6xy+9y2= (2x2+6xy+8y2)平方米, 所以A,B 两个园区的面积之和为 (2x2+6xy+8y2)平方米. (2) ① 整改后,A园区的长为x+y+ 11x-y=12x(米),宽为x-y- (x-2y)=y(米). 由题意,得 12x-y=350, 2(12x+y)+4(x+3y)=980, 解得 x=30, y=10. ② 整改后A园区的面积为12×30× 10=3600(平方米),B园区的面积为 (30+3×10)2=3600(平方米). 所以(18-12)×3600+(26-16)× 3600=6×3600+10×3600= 57600(元). 所以整改后A,B两个园区旅游的净 收益之和为57600元. 专题特训（六）　乘法公式的 巧用 1. (1) 原式=[3x+(y-2)][3x- (y-2)]=(3x)2-(y-2)2=9x2- y2+4y-4. (2) 原式=[(a+2)+2b][(a+2)- 2b]-4(a-2)2=(a+2)2-(2b)2- 4(a2-4a+4)=a2+4a+4-4b2- 4a2+16a-16= -3a2 +20a- 4b2-12. 2. (1) 原式=(-3x+1)(-3x- 1)(9x2+1)=(9x2-1)(9x2+1)= 81x4-1. (2) 原式=(9m2-16n2)(9m2- 16n2)=81m4-288m2n2+256n4. (3) 原式=[-(3m-n)]2·[2(3m+ n)]2=(3m-n)2×4(3m+n)2= 4[(3m-n)(3m+n)]2=4(9m2- n2)2=4(81m4-18m2n2+n4)= 324m4-72m2n2+4n4. (4) 原式=(x4+y4)-(x2-y2)· (x2-y2)=(x4+y4)-(x2-y2)2= (x4+y4)-(x4-2x2y2+y4)= x4+y4-x4+2x2y2-y4=2x2y2. 3. (1) 原式= 500-23 × 500+ 2 3 =5002- 23 2 =250 000-49= 249 99959. (2) 原式= 360 2 (360+1)×(360-1)+1= 3602 3602-1+1=1. (3) 原式=20232-(2023-2)× (2023+2)=20232-(20232-22)= 20232-20232+22=4. (4) 原式=14× (5-1)×(5+1)× (52+1)×(54+1)×(58+1)×(516+ 1)+14= 1 4× (52-1)×(52+1)× (54+1)×(58+1)×(516+1)+14= 1 4× (54-1)×(54+1)×(58+1)× (516+1)+14= 1 4× (58-1)×(58+ 1)×(516+1)+14= 1 4× (516-1)× (516+1)+14= 1 4× (532-1)+ 1 4= 532 4. 4. 原式=9x2-4-(5x2-5x)+ 4x2-4x+1=9x2-4-5x2+5x+ 4x2-4x+1=8x2+x-3. 当x=-13 时,原式=8×19- 1 3- 3=-229. 5. (2x+3)(2x-3)-x(5x+4)- (x-1)2=4x2-9-5x2-4x-x2+ 2x-1=-2x2-2x-10. 因为x2+x-2 024=0, 所以x2+x=2 024. 所以原式=-2(x2+x)-10=-2× 2 024-10=-4 048-10=-4 058. 6. (1) 去括号,得x2+x-6-x2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82