7.3 同底数幂的除法&专题特训(一) 幂的运算性质的解题技巧-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（苏科版2024）

8 7.3　同底数幂的除法 第1课时 同底数幂的除法 ▶ “答案与解析”见P2 1. 下列计算正确的是 ( ) A. 4a2-3a2=1 B. a4÷a3=a(a≠0) C. a3·a3=a9 D. (3a)3=9a3 2. 下列计算结果为a8的是 ( ) A. a4·a2 B. a2+a4 C. (a3)5 D. a10÷a2 3. 下列计算中,正确的是 ( ) A. (-a)5÷(-a)2=-a3 B. x6÷x2=x6÷2=x3 C. (-a)7÷a5=a2 D. (-x)8÷(-x)6=-x2 4. 已知2m=3,2n=4,则23m-2n的值为 ( ) A. 27 8 B. 27 16 C. 9 8 D. 1 5. 计算:(1) (-y3)2÷y6= . (2) a16÷(a8÷a2)= . (3) (-x2)6÷(-x3)3= . (4) (23×26)2÷28= . 6. 当a3=2时,(-2a)6÷(2a)3= . 7. 计算: (1) 515÷513. (2) (-ab)7÷(-ab)4. (3) a7÷a5÷a. (4) x12÷[(-x)5·x2]. (5) (x2)4÷(-x3). (6) [(2a-b)3]2÷(b-2a). 8. (易错题)有下 列 各 式:① a4 ÷a3 =a; ② (abc)4÷(abc)2=abc2;③ a6÷(a3÷ a)=a2;④ a3÷a2·a=a2.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知3a=6,3b=2,则32a-b的值为 ( ) A. 3 B. 8 C. 12 D. 18 10. 若x-2y+1=0,则2x÷4y×8的值为( ) A. 1 B. 4 C. 8 D. -16 11. 计算: (1) (-x)2·x3÷(-x3)= . (2) (x5÷x2)2÷(x7÷x6)3= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 9 12. 如果9m+3×27m+1÷34m+7=81,那么m= . 13. 如果xa=3,xb=8,xc=72,那么 xa-b+c的值为 ,a,b,c之 间的数量关系为 . 14. (1) 已知2a÷22b=16,则代数式a-2b+ 1的值是 . (2) 若9m×27m-1÷33m=27,则m2025的个 位数字是 . (3) 如果(a4)3÷(a2)5=64,且a<0,那么 a= . 15. 计算: (1) (x2yz)3÷(x2yz). (2) (2a-b)2025÷(2a-b)2023. (3) (-a3)5÷[(-a2)·(-a3)2]. (4) (x6÷x2)2+x9÷x3·x2. 16. 已知3×9m×27m=321,求(-m2)3÷(m3· m2)的值. 17. (新情境)为了解某种杀菌剂的效果,科学家 们进行了一次测试,发现1毫升杀菌剂可以 杀灭2×105个细菌.若要将长为10米、宽 为8米、高为3米的房间(近似看成长方 体 )内的细菌全部杀灭 ,房间内每立方米的 空气中含有3×106个细菌,则需要多少毫 升杀菌剂? 18. 已知2x+4÷2-2x=112,求x的值. 19. ★已知2a×5b=2c×5d=10,试说 明:(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　幂的运算 10 第2课时 零指数幂与负整数指数幂 ▶ “答案与解析”见P3 1. 下列运算正确的是 ( ) A. (-0.1)-2=100 B. -100=1 C. 1 5-2=- 1 25 D. 3a-2= 13a2 2. (易错题)若(x-1)-1+x0有意义,则x的值 满足 ( ) A. x≠0 B. x≠1 C. x>0且x≠1 D. x≠0且x≠1 3. 已知a= 15 -1 ,b=(-5)-1,c=(π- 2025)0,则a,b,c的大小关系是 ( ) A. c<b<a B. a<c<b C. b<c<a D. b<a<c 4. 若|x|=(x-1)0,则x= . 5. (1) 若(-5)x=- 1125 ,则x= . (2) 若 2 3 x =8116 ,则x= . 6. 计算: (1) 5-16×(-2)-3. (2) 52×5-1-90. (3) (-1)2024+(π-2023)0. (4) 20-2-3+(3+5)0+(-1)-100. 7. 已知n是自然数,a2n=1,b2n+1=-1,则(a+ b)n的值不可能是 ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知a=2-55,b=3-44,c=4-33,d=5-22,则 a,b,c,d的大小关系为 ( ) A. a<b<c<d B. d<a<c<b C. a<d<c<b D. b<c<a<d 9. 已知2a=3,8b=16 ,则(a+3b+ 1)3的值是 ( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 10. 若数m,n满足|m-2|+(n-2024)2=0, 则m-1+n0= . 11. 如果 32 243 n ÷ 49 n =338 ,那么n的值为 . 12. 对于有理数a,b,定义新运算:a*b= ab(a>b,a≠0), a-b(a≤b,a≠0), 如2*3=2-3=18,3* 2=32=9.照此运算方式计算3*0+2* 4的结果为 . 13. 计算:x -2y-3(-2x-3y-1)-2 2-1x2y-3 . 14. 计算: (1) (2m2n-3)2·(-mn-2)-2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 11 (2) 4x2y-3z÷(-2x-1yz-2)2. (3) 1 2 -3 -23×0.125+20060+|-1|. (4) 2×(π-3.14)0+8×(3×2)-1+ -12 -4 . 15. 已知am =5,an=2,求a-2m-2n 的值. 16. (1) 通过计算,比较下列各式的大 小(填“>”“<”或“=”): ① 1-2 2-1;② 2-3 3-2;③ 3-4 4-3;④ 4-5 5-4;…. (2) 猜测n-(n+1)与(n+1)-n(n 为正整 数)的大小关系: 当n 时,n-(n+1)>(n+1)-n;当n 时,n-(n+1)<(n+1)-n. 17. ★小明做这样一道题:若(2x-3)x+3=1,求 x的值.他解出来的结果为x=2,小明的解 答过程如下: 解:因为1的任何次幂为1, 所以2x-3=1,解得x=2. 因为(2x-3)x+3=(2×2-3)2+3=15=1, 所以x=2. 老师说小明考虑问题不全面,聪明的你能帮 助小明解答这道题吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　幂的运算 12 第3课时 含负整数指数幂的科学记数法 ▶ “答案与解析”见P4 1. “东风不来,三月的柳絮不飞”.据测定,柳絮 纤维的直径约是0.0000105m,将数据 0.0000105用科学记数法表示为 ( ) A. 10.5×10-7 B. 1.05×10-7 C. 1.05×10-5 D. 0.105×10-5 2. (2024·西藏)随着我国科技迅猛发展,电子 制造技术不断取得突破性成就,电子元件尺 寸越来越小,在芯片上某种电子元件大约占 0.0000007mm2,将0.0000007用科学记数 法表示应为 ( ) A. 0.7×10-7 B. 0.7×10-6 C. 7×10-7 D. 7×10-6 3. 长征二号丁遥四十五运载火箭在太原卫星 发射中心点火升空,成功将高光谱综合观测 卫星送入预定轨道,该卫星搭载的可见短 波红外高光谱相机最高光谱分辨率达到 0.000 000 002 5 m. 数据0.000 000 002 5用 科学记数法表示为 ( ) A. 0.25×10-8 B. 2.5×10-9 C. 2.5×10-8 D. 25×10-10 4. 人体中枢神经系统中约含有1000亿个神经 元.某个神经元的直径约为52微米,52微米 为5.2×10-5 米.将5.2×10-5 用小数表 示为 ( ) A. 0.0052 B. 0.00052 C. 0.000052 D. 0.0000052 5. 某微生物的直径用科学记数法表示为3.2× 10-5,则原数中的“0”有 个. 6. 某种樱桃营养丰富,富含铁、维生素A,B,C 及钙、磷等矿质元素.每克该种樱桃含维生素C 不低于0.0001123克.将0.0001123用科学 记数法表示为 . 7. 用科学记数法表示下列叙述中的数据. (1) 一张金箔的厚度约为0.000012cm. (2) DNA分子的直径约为0.0000002cm. (3) 空气的密度约为0.001293g/cm3. (4) 某种药丸1粒的质量约为0.156g. 8. (2024·烟台)目前全球最薄的手撕钢产自 我国,厚度只有0.015毫米,约是A4纸厚 度的六分之一.已知1毫米=1百万纳米, 0.015毫米等于多少纳米? 将结果用科学记 数法表示为 ( ) A. 0.15×103纳米 B. 1.5×104纳米 C. 15×10-5纳米 D. 1.5×10-6纳米 9. 随着微电子技术的发展,目前可以 在350mm2的芯片上集成约5亿个 元件,则平均每个元件约占 ( ) A. 7×10-6mm2 B. 7×10-7mm2 C. 7×10-8mm2 D. 7×10-9mm2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 13 10. (易错题)某种摸奖游戏,中一等奖的机会为 二十万分之一,用科学记数法表示为( ) A. 2×10-5 B. 5×10-6 C. 5×10-5 D. 2×10-6 11. 北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候、 全天时为各类用户提供高精度、高可靠的定 位、导航、授时服务,其授时精度为10纳秒, 1纳秒为1秒的十亿分之一,则用科学记数 法表示其授时精度为 秒. 12. 已知1nm=0.0000001cm,则9nm用科 学记数法表示为 cm. 13. 已知光在真空中的传播速度约是3×108m/s, 则光在真空中传播60cm约需要 s. 14. 在显微镜下,一种细胞的截面可以近似地看 成圆,它的半径约为8.7×10-9m,试求这 种细胞的截面面积(π≈3.14,结果用科学记 数法表示). 15. 一个正方体集装箱的棱长为0.8m. (1) 这个集装箱的体积是多少(用科学记数 法表示)? (2) 若一个小正方体的棱长为2×10-2m, 则需要多少个这样的小正方体才能将这个 集装箱装满? 16. 如果一种细胞的直径约为1.56×10-6米, 那么它的一百万倍约相当于 ( ) A. 一枚玻璃跳棋棋子的直径 B. 一本数学课本的宽度 C. 一名初中生的身高 D. 五层楼房的高度 17. 有一种细菌,其形状可近似地看成正方体, 它的棱长约是6×10-5cm.若将这种细菌放 在一个棱长为5×10-2cm的正方体容器中 (容器的厚度忽略不计),则大约能放多少个 这样的细菌(结果用科学记数法表示,并精 确到千万位)? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　幂的运算 14 　　　　专题特训（一）　幂的运算性质的解题技巧 ▶ “答案与解析”见P4 类型一 运用幂的运算性质解题 1. 计算:(1) (-8)2018×0.1252017= . (2) 1 3 m+1 ·3m= . 2. 已知7a=3,7b=12,7c=6. (1) 求7a+b-c的值. (2) 试说明:a+b=2c. 3. 已知2a=3,2b=9,2c=12,求a+c-b的值. 4. 用简便方法计算: (1) 4 5 2023 ×(-1.25)2024. (2) 318 12 × 825 11 ×(-2)3. 5. 已知a2m=-2,b3n=3,求(a3m)2-b6n+ a6mb5n÷(ambn)2的值. 6. 已知n为正整数,且x2n=3,求: (1) xn-3·x3(n+1)的值. (2) 5(x3n)2-2(-x2)2n的值. 类型二 运用幂的性质解方程 7. (2023·盐城建湖期中)乐于思考的小宏在学 习“幂的运算”时发现:若am=an(a>0,且 a≠1,m,n都是正整数),则m=n,例如:若 5m=54,则m=4.小宏将这个发现与老师分 享,老师确认他的发现是正确的,请根据小宏 的这个发现解答问题: (1) 如果2×4x×32x=812,求x的值. (2) 如果5x+2+5x+1=750,求x的值. 8. 若31-x·272x-4·9x=816,求x 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级下 (3) 6 [解析] 因为16n=2,所以 (42)n=42n=2.所以4m+2n=4m · 42n=3×2=6. 13. 25 [解析] 根据题意可知, 2a+b+1=2a×2b×2=3×2b×2=30, 所以2b=5.所以22b=(2b)2=52= 25. 14. 因为(xn)2=9, 所以x2n=9. 所以(x3n)2-3(x2)2n=x6n-3x4n= (x2n)3-3(x2n)2=93-3×92=486. 15. (1) 因为am=3,an=4, 所以a2m+3n=a2m ·a3n=(am)2· (an)3=32×43=576. (2) 因为9n+1-32n=72, 所以9n×9-9n=72. 所以8×9n=72,即9n=9. 所以n=1. 16. (1) 因为344=(34)11=8111,433= (43)11=6411,522=(52)11=2511,且 81>64>25, 所以 8111 >6411 >2511,即 344 > 433>522. (2) 因为8131=(34)31=3124,2741= (33)41=3123,961=(32)61=3122,且 124>123>122, 所以 3124 >3123 >3122,即 8131 > 2741>961. (3) 当a<0时,易得a<b. 当a>0时,因为a2=2,b3=3, 所以a6=8,b6=9. 因为8<9, 所以a6<b6. 所以a<b. 综上所述,a<b. (4) 因为312×510=310×510×32, 310×512=310×510×52,且32<52, 所以312×510<310×512. 17. 因为2a=3,2b=5,2c=135,且 135=27×5=33×5, 所以2c=(2a)3·2b=23a+b. 所以3a+b=c. 同底数幂指数之间的 数量关系 解决同底数幂指数之间的数 量关系时,需要将较大数看成几个 较小数的乘积或幂的数量关系,进 而转化为指数中含有的字母之间 的数量关系. 第2课时 积的乘方 1. A 2. B 3. C 4. (1) 64x6 (2) -27a3b6 (3) -18m 3n6 (4) a12b12 (5) 2x2ny6n 5. (1) -4 (2) -27 6. (1) -144a9. (2) 15a8. (3) a3. (4) 18a6. (5) -9a6. 7. C [解 析] 因 为 (2ambn)3 = 8a3mb3n=8a9b15,所以3m=9,3n=15. 所以m=3,n=5. 8. A [解析] 因为N=29+3×59= 29×23×59=8×(2×5)9=8×109= 8000000000,所以数N的位数是10. 9. B 10. 81 4 [解析] 因为a2n=12 ,bn= 3,所以(ab)4n=a4n·b4n=(a2n)2· (bn)4= 12 2 ×34=14×81= 81 4. 11. 243 [解析] (3x3n)2=9x6n= 9(x2n)3=9×33=243. 12. 3 [解析] 因 为 32 9 a × 3 4 2a = 2×169 a × 916 a =2a× 16 9× 9 16 a =2a=8,所以2a=23. 所以a=3. 13. (1) (3x3n)2-4(x2)2n=9x6n- 4x4n=9(x2n)3-4(x2n)2=9×53- 4×52=1025. (2) 因为n为正整数,且x3n=6, 所以(4x2n)3-10(x3)3n=64x6n- 10x9n=64(x3n)2-10(x3n)3=64× 62-10×63=144. (3) 原式 =a6m +b3n -a6mb3n = (a3m)2+b3n-(a3m)2b3n. 将a3m =3,b3n=2代入,则原式= 32+2-32×2=-7. 14. (1) 因为2x+3×3x+3=36x-2, 所以(2×3)x+3=62(x-2). 所以x+3=2(x-2),解得x=7. (2) 因为2x+3×5x+3=100x+1, 所以(2×5)x+3=102(x+1). 所以x+3=2(x+1),解得x=1. (3) 因为33x+5-27x+1=648, 所以9×33x+3-33x+3=648,即8× 33x+3=648. 所以33x+3=81. 所以33x+3=34. 所以3x+3=4,解得x=13. 15. (1) 400=(20)2=(4×5)2= (10a×10b)2=(10a+b)2=102a+2b. (2) 4545=(5×9)45=545×945= (59)5×(95)9=a5b9. 16. 因为52×32n+1×2n-3n×6n+2= 25×32n+1×2n-3n×2n+2×3n+2= 25×32n+1×2n-3×32n+1×22×2n= 25×32n+1×2n-12×32n+1×2n= 32n+1×2n×(25-12)=13×32n+1× 2n,且32n+1×2n 是整数, 所以52×32n+1×2n-3n×6n+2 能被 13整除(n为正整数). 7.3　同底数幂的除法 第1课时 同底数幂的除法 1. B 2. D 3. A 4. B 5. (1) 1 (2) a10 (3) -x3 (4) 210 6. 16 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 7. (1) 25. (2) -a3b3. (3) a. (4) -x5. (5) -x5. (6) (b-2a)5. 8. B 9. D [解析] 因为3a=6,3b=2, 所以32a-b=32a÷3b=(3a)2÷3b= 36÷2=18. 10. B [解析] 因为x-2y+1=0, 所以x-2y=-1.所以原式=2x÷ 22y×23=2x-2y+3=22=4. 11. (1) -x2 (2) x3 12. 2 [解析] 因为9m+3×27m+1÷ 34m+7=81,所以 32m+6 ×33m+3 ÷ 34m+7=81.所以32m+6+3m+3-4m-7=34. 所以2m+6+3m+3-4m-7=4. 所以m=2. 13. 27 2a+b=c [解析] 因为 xa=3,xb=8,xc=72,所以xa-b+c= xa÷xb·xc=3÷8×72=27.因为 (xa)2=x2a=9,所以x2a×xb=9× 8=72=xc,即x2a+b=xc.所以2a+ b=c. 14. (1) 5 [解析] 因为2a÷22b= 16=24,所以a-2b=4.所以a-2b+ 1=5. (2) 3 [解析] 因为9m ×27m-1÷ 33m=27,所以32m×33(m-1)÷33m= 33.所以2m+3(m-1)-3m=3,解 得m=3.因为31 的个位数字是3, 32的个位数字是9,33 的个位数字是 7,34的个位数字是1,35的个位数字 是3……所以3n 的个位数字是以3, 9,7,1四个数字为一个循环组依次循 环的.因为2025÷4=506(个)……1, 所以32025的个位数字与31的个位数 字相同,是3. (3) -8 [解析] 因为(a4)3÷ (a2)5=64,所以a12÷a10=a2=64. 所以a= ±8.因为a<0,所以 a=-8. 15. (1) x4y2z2. (2) (2a-b)2. (3) a7. (4) 2x8. 16. 因为3×9m×27m=3×(32)m× (33)m=3×32m×33m=35m+1=321, 所以5m+1=21,解得m=4. 所以(-m2)3÷(m3·m2)=-m6÷ m5=-m=-4. 17. 10×8×3×(3×106)÷(2× 105)=3.6×103(毫升). 所以需要3.6×103毫升杀菌剂. 18. 因为2x+4÷2-2x=112, 所以16×2x÷2-2x=112. 所以7×2x=112. 所以2x=16,即2x=24. 所以x=4. 19. 因为2a×5b=10=2×5, 所以2a-1×5b-1=1. 所以(2a-1×5b-1)d-1=1d-1①. 同理,可得(2c-1×5d-1)b-1=1b-1②. 由 ①② 两 式,可 得 2(a-1)(d-1) × 5(b-1)(d-1)=2(c-1)(b-1)×5(d-1)(b-1),即 2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1), 所以(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 不能根据底数之间的特征转化 问题导致错误 解决这类与指数有关的问题 时,往往会无从下手,究其原因,是 不能把握各底数之间的数量关系 特征,导致解题受困.解答本题时, 首先根据所给等式中含有幂的几 个底数2,5,10之间的数量关系, 将蕴含的两个等式进行变形,进而 转化为相同底数,指数分别为(a- 1)(d-1),(b-1)(c-1)的两个等 式具有相等关系,从而根据幂的性 质解决问题. 第2课时 零指数幂 与负整数指数幂 1. A 2. D 3. C 4. -1 5. (1) -3 (2) -4 6. (1) 7. (2) 4. (3) 2. (4) 278. 7. D [解析] 因为n是自然数,所 以2n 是偶数,2n+1是奇数.因为 a2n=1,b2n+1=-1,所以b=-1.当 n≠0时,a=±1;当n=0时,a为任 何非零实数.当a=-1,b=-1,n= 1时,(a+b)n 的值为-2,故选项A 不符合题意;当a=1,b=-1,n≠ 0时,(a+b)n 的值为0,故选项B不 符合题意;当a=-1,b=-1,n=0, (a+b)n 的值为1,故选项C不符合 题意;(a+b)n 的值不可能是2,故选 项D符合题意. 8. D [解析] 因为a=2-55 = (2-5)11 = 132 11 ,b = 3-44 = (3-4)11 = 181 11 ,c = 4-33 = (4-3)11 = 164 11 ,d = 5-22 = (5-2)11= 125 11 ,且1 81< 1 64< 1 32< 1 25 ,所以b<c<a<d. 9. A [解析] 因为8b=16 ,所以 8b=(23)b=23b=16. 因为2a=3, 所以2a+3b=2a×23b=3×16= 1 2= 2-1.所以a+3b=-1.所以原式= (-1+1)3=0. 10. 3 2 [解析] 因为m,n满足|m- 2|+(n-2024)2=0,所以m-2=0, n-2024=0.所以m=2,n=2024. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 所以m-1+n0=2-1+20240=12+ 1=32. 11. -1 [解析] 因为 32 243 n ÷ 4 9 n = 32243÷ 4 9 n = 827 n ,所 以 8 27 n =278. 所以n=-1. 12. 17 16 [解析] 3*0+2*4=30+ 2-4=1+116= 17 16. 13. 原式=x-2y-3(-2)-2x6y2× 2x-2y3 = 1 2x -2+6+(-2)y-3+2+3 = 1 2x 2y2. 14. (1) 原式=4m4n-6·m-2n4= 4m2n-2=4m 2 n2 . (2) 原式=4x2y-3z÷(4x-2y2z-4)= x4y-5z5= x4z5 y5 . (3) 原式=8-8×0.125+1+1=8- 1+1+1=9. (4) 原式=2×1+8×16+16=2+ 4 3+16=19 1 3. 15. a-2m-2n = 1 a2m+2n = 1 a2(m+n) = 1 (am+n)2= 1 (am·an)2. 因为am=5,an=2, 所以a-2m-2n= 1(5×2)2= 1 100. 16. (1) ① > ② > ③ < ④ < (2) ≤2 >2 [解析] 由(1)可知,当 n=1时,1-(1+1)>(1+1)-1;当n= 2时,2-(2+1)>(2+1)-2;当n=3时, 3-(3+1)<(3+1)-3;当n=4时, 4-(4+1)<(4+1)-4.所以当n≤2 时, n-(n+1)>(n+1)-n;当n>2 时, n-(n+1)<(n+1)-n. 17. 分情况讨论:① 因为1的任何次 幂为1, 所以2x-3=1,解得x=2. ② 因为-1的任何偶数次幂为1, 所以2x-3=-1,且x+3为偶数,解 得x=1. ③ 因为任何不等于0的数的零次幂 为1, 所以x+3=0,且2x-3≠0,解得 x=-3. 综上所述,x=2或1或-3. 正确理解零指数幂的性质 解决有关问题 解决与零指数幂有关问题的一 般方法是正确理解、熟练掌握零指 数幂的性质,同时掌握其中的逆向 思维.幂的运算结果为1有三种情 况:① 1的任何次幂为1;② -1的 任何偶数次幂为1;③ 任何不等于 0的数的零次幂为1.因此,本题需 要分三种情况讨论. 第3课时 含负整数指数幂的 科学记数法 1. C 2. C 3. B 4. C 5. 5 6. 1.123×10-4 7. (1) 1.2×10-5. (2) 2×10-7. (3) 1.293×10-3. (4) 1.56×10-1. 8. B [解析] 由题意,得1毫米= 1百万纳米=106纳米.所以0.015毫 米=1.5×10-2×106 纳米=1.5× 104纳米. 9. B [解析] 由题意,得平均每个元 件约占350÷500000000=0.0000007= 7×10-7(mm2). 10. B [解析] 二十万分之一= 0.000 005=5×10-6. 11. 1×10-8 [解析] 因为1纳秒= 10-9秒,所以10纳秒=10×10-9秒= 1×10-8秒. 12. 9×10-7 [解析] 因为1nm= 0.0000001cm,所 以 9 nm = 0.0000009cm=9×10-7cm. 13. 2×10-9 [解析] 因为60cm= 0.6m,所以光在真空中传播60cm约 需要0.6÷(3×108 )=2×10-9(s). 14. π×(8.7×10-9)2 ≈3.14× 8.72 × 10-18 = 2.376 666 × 10-16(m2). 所以这种细胞的截面面积约为 2.376666×10-16m2. 15. (1) 因为一个正方体集装箱的棱 长为0.8m, 所以0.8×0.8×0.8=0.512= 5.12×10-1(m3). 所以这个集装箱的体积是5.12× 10-1m3. (2) 因为一个小正方体的棱长为2× 10-2m, 所以5.12×10-1÷(2×10-2)3= 64000(个). 所以需要64000个这样的小正方体才 能将这个集装箱装满. 16. C [解析] 因为一种细胞的直径 约为1.56×10-6 米,所以它的一百 万倍为1.56×10-6×1000000= 1.56(米),约相当于一名初中生的身高. 17. (5×10-2)3÷(6×10-5)3= (1.25×10-4)÷ (2.16×10-13)≈ 5.7×108(个). 所以大约能放5.7×108 个这样的 细菌. 专题特训（一）　幂的运算 性质的解题技巧 1. (1) 8 (2) 1 3 2. (1) 因为7a=3,7b=12,7c=6, 所以7a+b-c=7a×7b÷7c=3×12÷ 6=6. (2) 因为7a=3,7b=12,7c=6, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 所以7a×7b=7a+b=36,(7c)2= 72c=36. 所以7a×7b=72c,即a+b=2c. 3. 因为2a=3,2b=9,2c=12, 所以2a·2c÷2b=3×12÷9=4. 所以2a+c-b=22. 所以a+c-b=2. 4. (1) 原式= 45 2023 × -54 2023 × -54 = 45× -54 2023 × -54 =-1× -54 =54. (2) 原式=258× 25 8 11 × 825 11 × (-8)=-25× 258× 8 25 11 =-25. 5. 因为a2m=-2,b3n=3, 所 以 (a3m )2 -b6n +a6mb5n ÷ (ambn)2 =a6m -b6n +a6mb5n ÷ a2mb2n=a6m-b6n+a4mb3n=(a2m)3- (b3n)2+(a2m)2b3n=(-2)3-32+ (-2)2×3=-8-9+12=-5. 6. (1) 因为n为正整数,且x2n=3, 所以xn-3·x3(n+1)=xn-3·x3n+3= x4n=(x2n)2=32=9. (2) 因为n为正整数,且x2n=3, 所以5(x3n)2-2(-x2)2n=5x6n- 2x4n=5(x2n)3-2(x2n)2=5×33- 2×32=117. 7. (1) 因为2×4x×32x=812, 所以2×22x×25x=236,即21+7x= 236. 所以1+7x=36,解得x=5. (2) 因为5x+2+5x+1=750, 所以5×5x+1+5x+1=6×125. 所以6×5x+1=6×53,即5x+1=53. 所以x+1=3,解得x=2. 8. 因为31-x·272x-4·9x=816, 所以31-x·36x-12·32x=324. 所以37x-11=324. 所以7x-11=24. 所以x=5. 第7章复习 ［知识体系构建］ am+n amn ambm am-n 1 1 an ［高频考点突破］ 典例1 B [解析] A. 3a2-2a2= a2,原计算错误,不符合题意;B. a3÷ a2=a(a≠0),正确,符合题意; C. a2·a3=a5,原计算错误,不符合 题意;D. (2a)3=8a3,原计算错误,不 符合题意. [跟踪训练] 1. B 典例2 B [解析] a2与a不是同类 项,无法合并,则选项A不符合题意; a·a2=a3,则选项 B符合题意; (a2)3=a6,则选项C不符合题意; (2ab2)3=8a3b6,则选项 D不符合 题意. [跟踪训练] 2. 16 [解析] 因为 3m-n-4=0,所以3m-n=4.所 以8m÷2n=23m÷2n=23m-n=24= 16. 典例3 原式=8-1-4+1=4. [跟踪训练] 3. 原式=-8÷4+4- 2+1=-2+4-2+1=1. 典例4 B [解析] 百万分之一= 0.000001=1×10-6. [跟踪训练] 4. 4.3×10-17 [解析] 因为1阿秒是10-18 秒,所 以43阿秒=43×10-18 秒=4.3× 10-17秒. 典例5 (1) 原式=4x6-8x6= -4x6. (2) 原式=9a8-a9-a8=8a8-a9. [跟踪训练] 5. 原式=16x8n - x12n=16(x4n)2-(x4n)3. 当x4n=2时,原式=16×22-23=56. 典例6 (1) 因为10a=2,10b=3, 所以原式=(10a)2+(10b)3=22+ 33=4+27=31. (2) 因为10a=2,10b=3, 所以原式=102a×103b=(10a)2× (10b)3=22×33=4×27=108. [跟踪训练] 6. (1) 因为am=2, an=3, 所以a4m+3n=a4m ·a3n=(am)4· (an)3=24×33=16×27=432. (2) 因为am=2,an=3, 所以a5m-2n=a5m ÷a2n=(am)5÷ (an)2=25÷32=329. 典例7 (1) 3;2. [解析] 因为 103=1000,(-5)2=25,所以(10, 1000)=3,(-5,25)=2. (2) ±4. [解析] 因为(±4)2=16, 所以(±4,16)=2.所以x=±4. (3) 因为42=16,23=8, 所以(4,16)=2,(2,8)=3. 所以a=16,b=2. 又因为24=16, 所以(b,a)=(2,16)=4. [跟踪训练] 7. (1) 2. (2) (7,30). [解析] 设(7,3)=x, (7,10)=y,则(7,3)+(7,10)=x+ y.所以7x=3,7y=10.所以7x×7y= 7x+y=30.所以(7,30)=x+y.所 以(7,3)+(7,10)=(7,30). (3) 64. [解析] 因为(3,m+17)= 4,所以34=m+17,解得m=64. 因为(9,m)=n,所以9n=m.所以 9n=32n=64.所以(3,64)=2n. (4) 因为(3n,2n)=s,(3,2)=t, 所以3ns=2n,3t=2. 所以3tn=2n. 所以3ns=3tn. 因为n为正整数, 所以s=t. ［综合素能提升］ 1. A 2. D 3. D 4. D 5. C [解析] 根据1的任何次幂都 等于1,得x+3=1,解得x=-2.根 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5