8.3 第2课时 实数的运算-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

36 第2课时 实数的运算 ▶ “答案与解析”见P19 1. 若实数k=33-(9-3),则k是 ( ) A. 有理数 B. 无理数 C. 整数 D. 分数 2. (2024·南昌段考)从“+,-,×,÷”中选择 一种运算符号,填入算式“(- 3-1)□ 3” 的“□”中,使其运算结果为有理数,则应选择 的运算符号是 ( ) A. + B. - C. × D. ÷ 3. 规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部 分,例如:[0.6]=0,[3.14]=3,按此规定, [10+2]的值为 . 4. 计算:1 4- 3-0.125+ (-4)2-|-6|= . 5. 计算: (1) (3-2)+2. (2) 23-5-33+25. (3) |3-2|-|2-1|+|2-3|. (4) 3-27- (-π)2-|π-3|. 6. (2024·淮北期末)数轴上表示 2,π的点分 别为A,B,A 是BC的中点,则点C 表示的 数是 ( ) A. 2-π B. π-2 C. 22-π D. π-22 7. (新情境)嘉淇做一个数学游戏,给9,5,2添 加运算符号,使结果等于4,如图所示为嘉淇 所给的方法,如果给出一种正确的方法得 25分,那么嘉淇的得分为 ( ) (第7题) A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分 8. (2024·德州期末)对任意两个实数a,b,定 义两种运算:a⊕b= a(a≥b), b(a<b), a⊗b= b(a≥b), a(a<b), 并且定义运算顺序仍然是有括号 先算括号内的,例如:(-2)⊕3=3,(-2)⊗ 3=-2,[(-2)⊕3]⊗2=2,那么(5⊕2)⊗ 327的值为 ( ) A. 2 B. 5 C. 3 D. 35 9. 若数a 的相反数等于它本身,则 3a- 5 2a2+1+23a-8= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 37 10. (2024·洛阳期中)若有理数x,y满足x2+ 2y+2y=-42+17,则x+y 的值为 . 11. 若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数. 5-2关于1的平衡数是 . 12. 定义:对于任意的实数a,b,有a*b=a2+ 3 b+1.例如:1*(-8)=12+3-8+1=0, 则(-2*64)*1= . 13. 已知a为无理数,且ab+ 2a- b=2,则b= . 14. ★(2023·合肥庐江期中)同学们知道 2是 无理数,而无理数是无限不循环小数,因此 我们不可能将2的小数部分全部写出来,但 是由于1<2<2,所以 2的整数部分为1, 将2减去其整数部分1,差就是小数部分, 即2的小数部分为2-1. (1) 如果6的整数部分为a,13的整数部 分为b,求a+b的值. (2) 已知12+3=x+y,其中x是整数,且 0<y<1,求-1-y的绝对值. 15. (1) 已 知 实 数 a,b,c 满 足 a+2023+|b-2020|+(c- 1)2=0,求(a+b+c)3的值. (2) 已知m 是 10的整数部分,n是 10的 小数部分,|t|= 10,求2m-n+t的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　实　数 4|+…+| 99- 100|=2-1+ 3- 2+ 4- 3+…+ 100- 99= 100-1 =10-1=9. 15. B [解析] ∵ 9<15<16,∴ 3< 15<4.∴ 10<7+ 15<11. ∴ 7+ 15的整数部分是10.∴ a= 10.∵ -3<-7<-2,∴ 12<15- 7<13.∴ 15- 7的小数部分是 15-7-12=3- 7.∴ b=3- 7. ∴ a+b=10+3-7=13-7. 16. ∵ 1.52=2.25,2.52=6.25, 3.52=12.25,4.52=20.25,5.52= 30.25,6.52=42.25,[x]表示最接近 x的整数(x≠n+0.5,n为整数), ∴ [1]=[2]=1;[3]=[4]= [5]=[6]=2;[7]=[8]= [9]=[ 10]=[ 11]=[ 12]= 3;[ 13]= [ 14]= [ 15]= [ 16]= [ 17]= [ 18]= [19]= [ 20]=4;[ 21]= [ 22]= [ 23]= [ 24]= [ 25]= [ 26]= [ 27]= [28]= [ 29]= [ 30]=5; [ 31]= [ 32]= [ 33]= [ 34]= [ 35]= [ 36]= [ 37]= [ 38]= [ 39]= [40]=[ 41]=6.∴ [1]+ [2]+[3]+…+[ 41]=1×2+ 2×4+3×6+4×8+5×10+6×11= 2+8+18+32+50+66=176. 第2课时 实数的运算 1. B 2. A 3. 5 4. -1 5. (1) 3. (2) 5-3. (3) 3-22. (4) -2π. 6. C [解析] ∵ 数轴上表示2,π的 点分别为A,B,∴ AB=π-2.∵ A 是线段BC 的中点,∴ CA=AB. ∴ 点C表示的数为 2-(π- 2)= 22-π. 7. C [解析] ① 9-5+2= 4+ 2=2+2=4;② (9+5)+2=(3+ 5)+2=8+2=10;③ |9-5|×2= |3-5|×2=|-2|×2=2×2=4; ④ |9-5-2|=|3-5-2|= |-4|=4.计算结果等于4的有3种 方法,故得分为25×3=75(分). 8. B [解析] 由题意,可得(5⊕ 2)⊗ 327=5⊗3=5. 9. -9 [解析] ∵ 数a的相反数等 于它本身,∴ a=0.∴ 原式=-5+ 2×(-2)=-9. 10. 1或-9 [解析] ∵ x2+ 2y+ 2y=-4 2+17,∴ (x2+2y)+ 2y=17-4 2.∴ x2+2y=17, y=-4.∴ x=5,y=-4或x=-5, y=-4.∴ x+y=1或x+y=-9. 11. 2-3 12. 83 [解析] ∵ -2*64= (-2)2+ 364+1=4+4+1=9, ∴ (-2*64)*1=9*1=92+31+ 1=81+1+1=83. 13. -2 [解析] ∵ a为无理数,且 ab+ 2a-b= 2,∴ a(b+ 2)- (b+ 2)=0.根据乘法分配律,得 (a-1)(b+ 2)=0.∵ a-1是无理 数,不为0,∴ b+ 2=0.∴ b= -2. 14. (1) ∵ 4<6<9,9<13<16, ∴ 2<6<3,3< 13<4. ∵ 6的整数部分为a,13的整数部 分为b, ∴ a=2,b=3. ∴ a+b=2+3=5. (2) ∵ 1<3<4, ∴ 1<3<2. ∴ 13<12+3<14. ∵ 12+3=x+y,其中x是整数,且 0<y<1, ∴ x=13,y=3-1. ∴ |-1-y|=|-1-(3-1)|= 3. 确定无理数的整数部分 和小数部分的方法 由于无理数是无限不循环小 数,因此无法确定其小数部分具体 的数值,只能用含整数部分的式子 来表示.解答这类问题的关键是要 先估算出整数部分,再用这个无理 数减去整数部分,其结果就是小数 部分. 15. (1) ∵ a+2023 +|b- 2020|+(c-1)2=0, ∴ a+2023=0,b-2020=0,c-1= 0,解得a=-2023,b=2020,c=1. ∴ (a+b+c)3=(-2023+2020+ 1)3=(-2)3=-8. (2) ∵ 3< 10<4, ∴ 10的整数部分m=3, 10的小 数部分n= 10-3. ∵ |t|= 10, ∴ t= 10或t=- 10. 当m=3,n= 10-3,t= 10时, 2m-n+t=6- ( 10-3)+ 10=9; 当m=3,n= 10-3,t=- 10时, 2m-n+t=6-( 10-3)- 10= 9-2 10. ∴ 2m-n+t的值为9或9-2 10. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 专题特训（三）　实数的 非负性 1. A 2. ∵ (2a-1)2+(b+4)2=0, ∴ 2a-1=0,b+4=0,解得a=12 , b=-4. ∴ (ab)2 = 12× (-4) 2 = 4=2. 3. B 4. C 5. ∵ x-3+ y+3=0, ∴ x-3=0,y+3=0. ∴ x=3,y=-3. ∴ x y 2022 = 3-3 2022 =1. 6. -6 [解析] ∵ |a-1|+(b+ 3)2+ c-4=0,∴ a-1=0,b+3= 0,c-4=0.∴ a=1,b=-3,c=4. ∴ a+b-c=1+(-3)-4=-6. 7. 由题意,得x-1=0,y+3=0,x+ y+z=0,解得x=1,y=-3,z=2. ∴ 4x-2y+3z=4×1-2×(-3)+ 3×2=4+6+6=16. ∴ 4x-2y+3z的平方根是±4. “几个非负数的和为0”的 问题的解决方法 目前学过的典型的非负数有 a2,|b|,c三种,根据非负数的性 质,可知若几个非负数的和为0,则 每一个非负数均为0,即若a2+ |b|+c=0,则a2=0,|b|=0, c=0. 8. 由题意,得-a2≥0. 又∵ a2≥0, ∴ a=0. ∴ a+4+ 9-3a+ -a2=2+ 3+0=5. 9. 由题意,得x2-4≥0且4- x2≥0, ∴ x2=4. ∴ x=±2. ∴ y=3. ∴ 2x+y=7或-1. 专题特训（四）　实数的 估算与规律探究 1. B [解析] ∵ 4< 7< 9, ∴ 2<7<3.∴ -3<- 7<-2. ∴ 2<5-7<3.∴ 表示数5- 7的 点P落在线段CD 上. 2. B [解析] ∵ 1936<2024< 2025,∴ 1936< 2024< 2025, 即 44< 2024<45.又 ∵ n< 2024<n+1,n为整数,∴ n=44. 3. (1) > (2) > 4. < 5. 0.7071 -0.006137 6. (1) 3 (2) 255 7. (1) 根据题意,得 5-526 = 5 526. (2) 6-637 = 6×37-6 37 = 6×36 37 =6 6 37. 得到一般性规律 为 n- n n2+1=n n n2+1 (n 为正 整数). 第八章复习 ［知识体系构建］ 正数 互为相反数 负数 正数 无限不循环小数 ［高频考点突破］ 典例1 ± 3 [解析] ∵ 1-3x 和 y-27互为相反数,∴ 1-3x= 0,y-27=0,解得x= 1 3 ,y=27. ∴ xy=9.∴ xy的平方根是±3. [跟踪训练] 1. (1) 由题意,得x- 3≥0,3-x≥0, ∴ x-3=0,解得x=3,则y=2. ∴ 2x+y=8. ∵ 8的立方根是2, ∴ 2x+y的立方根为2. (2) 由题意,得a-3+2a+15=0, 解得a=-4. ∵ b的立方根是-2, ∴ b=-8. ∴ ab 2= (-4)×(-8) 2 =4. ∵ 4的平方根是±2, ∴ ab 2 的平方根是±2. (3) ∵ x-3y+|x2-9|=0, ∴ x-3y=0,x2-9=0. ∴ x=3,y=1或x=-3,y=-1. ∴ x+3 |y| =6或0. 典例2 (1) ∵ A=6-2x有平方根, ∴ 6-2x≥0,解得x≤3. (2) ∵ 实数A的平方根分别是a+1 和2a-7, ∴ a+1+2a-7=0,解得a=2. ∴ a+1=3. ∴ A=9. [跟踪训练] 2. (1) 由题意,得2x- 2+6-3x=0,解得x=4. 当x=4时,2x-2=6, ∴ a=62=36. (2) 当a=36时,17+3a=125,125 的立方根为5,即 317+3a=5. 典例3 由题意,可知ab=1,c+d= 0,e=±2,f=64, ∴ e2=(±2)2=2,3f= 364=4. ∴ 1 2ab+ c+d 5 +e 2+3f= 1 2+0+ 2+4=612. [跟踪训练] 3. (1) 2;6-2. (2) -3;3-6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02