8.3 第1课时 实数的概念与大小比校-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

34 8.3　实数及其简单运算 第1课时 实数的概念与大小比较 ▶ “答案与解析”见P18 1. (2024·重庆期末)一个正方形的面积是27, 估计这个正方形的边长在 ( ) A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 2. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 绝对值是5的数是5 B. -2的相反数是±2 C. 1-2的绝对值是2-1 D. 3-8的相反数是-2 3. (2024·绍兴段考)若a< 12<a+1,则 a2-2的值为 ( ) A. 3 B. 7 C. 8 D. 9 4. (2024·洛阳涧西期中)如图,把38,19, |-6|,348对应的点表示在数轴上,其中, 被墨迹覆盖住的点对应的数是 ( ) (第4题) A. 38 B. 19 C. |-6| D. 348 5. 给出下列说法:① 无理数是带根号的数; ② 无理数包括正无理数、0、负无理数;③ 所 有的无理数都可以用数轴上的点表示出来; ④ 2 2 是实数也是有理数.其中,正确的是 (填序号). 6. -6的相反数是 ,1-π2 的绝对值是 ,4的倒数是 . 7. ★ 把下列各数分别填入相应的集合中:15, π 4 ,1 2 ,0,4,- 3,-3.14,157 ,-39, 3-0.064. 正实数集合:{ …}; 负实数集合:{ …}; 无理数集合:{ …}. 8. (2023·嘉兴平湖期中)将下列各数对应的点 在数轴上表示出来,并用“<”把它们连接 起来. -12 ,-3,3-8,|-2|,94. 9. 有下列说法:① 带根号的数都是无理数; ② 数轴上的每一个点都表示一个有理数; ③ 无理数的相反数是无理数;④ 数轴上有无 数多个表示无理数的点;⑤ 绝对值最小的实 数不存在.其中,正确的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 若a=3,b= 15,c=1234 ,则a,b,c的大 小关系是 ( ) A. a<b<c B. a<c<b C. c<b<a D. c<a<b 11. 如图所示为一个数值转换器的工 作流程图. (1) 当输入x的值为256时,输出 y的值是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 35 (2) 若输入有效的x值后,始终输不出y值, 请写出所有满足要求的x的值: . (3) 若输出y的值是5,请写出两个满足要 求的x的值: . (第11题) 12. 已知a=|- 3- 2|,b=|- 2|- |-3|,c=-3-|-2|,d=-|-2|- (-3),试确定a,b,c,d的大小关系. 13. (2023·永州双牌期末)已知实数x,y满足 x-2+(y2-1)2=0,试判断 x y+3是有 理数还是无理数. 14. (2024·开封期中)(1) 比较大小:1 2 3 4(填“>”“<”或 “=”). (2) ① |1-2|= .② |2-3|= .③ |3-4|= . (3) 计算:|1- 2|+|2- 3|+|3- 4|+…+|99- 100|. 15. (2024·贵阳期中)已知7+ 15的整数部分 是a,15- 7的小数部分是b,则a+b的 值为 ( ) A. 12-7 B. 13-7 C. 14-7 D. 15-7 16. (2024·郑州期末)如果[x]表示最 接近x的整数(x≠n+0.5,n为整 数),求[1]+[2]+[3]+…+ [41]的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　实　数 (-2)= -25,即 x3 = - 27343 , ∴ x=-37. 12. 5 [解析] 根据题意,得9* (-8)=9- 3-8=3-(-2)=5. 13. (1) ∵ 有一个长方体水池的长、 宽、高之比为2∶2∶4,其体积为 16000cm3, ∴ 设长方体水池的长、宽、高分别为 2xcm,2xcm,4xcm. ∴ 2x·2x·4x=16000. ∴ 16x3=16000. ∴ x=10. ∴ 长方体水池的长、宽、高分别为 20cm,20cm,40cm. (2) 由题意,得 4 3 ×3r 3= 160× 16000, ∴ r3=160×16000× 1 4. ∴ r≈4.05. ∴ 该小球的半径约为4.05cm. 14. ∵ 2是x的立方根, ∴ x=8. ∵ (y-2z+5)2+ z-3=0, ∴ z-3=0,y-2z+5=0,解得z= 3,y=1. ∴ 3 x+y3+z3-9= 38+1+27-9=3. 15. (1) (3,-2);(-2,3). (2) 27 8. (3) ∵ 数对(a,b)的一个开方对称数 对是(-4,-5), ∴ 当3a=-4,-b=-5时, 解得a=-64,b=25. ∴ a+b=-64+25=-39. 当3a=-5,-b=-4时, 解得a=-125,b=16. ∴ a+b=-125+16=-109. 综上所述,a+b 的值为 -39或 -109. 16. (1) 若x5=a,则x叫作a的五次 方根. (2) ±3;-2. (3) a≥1;a为任意数. (4) ∵ 1 2 (2x-4)4-8=0, ∴ (2x-4)4-16=0. ∴ (2x-4)4=16. ∴ 2x-4=± 416. ∴ 2x-4=±2. ∴ x=3或x=1. 8.3　实数及其简单运算 第1课时 实数的概念与大小 比较 1. C 2. C 3. B 4. D 5. ③ 6. 6 π2-1 1 2 7. 正实数集合: 15,π4,12,4, 15 7 ,… ;负 实 数 集 合:{- 3, -3.14,-39,3-0.064,…};无理 数集合: π4,-3,-39,… . 对无理数的概念理解 不透彻导致答案错误 此类题易把无理数与无限小 数及带根号的数混为一谈,造成这 种错误的原因是没有理解“无限不 循环小数叫作无理数”这一概念. 判断一个数是不是无理数时,一定 要根据概念,看它是不是“无限”且 “不循环”的小数. 8. 各数对应的点在数轴上表示如图 所示. -3< 3-8<-12< 9 4<|-2|. (第8题) 9. B 10. D 11. (1) 2 [解析] ∵ 256的算术平 方根是16,16是有理数,∴ 16不能输 出.∵ 16的算术平方根是4,4是有理 数,∴ 4不能输出.∵ 4的算术平方 根是2,2是有理数,∴ 2不能输出. ∵ 2的算术平方根是 2,是无理数, 可以输出,∴ 输出y的值是2. (2) 0,1 [解析] ∵ 0和1的算术平 方根是它们本身,且0和1是有理数, ∴ 当x的值为0,1时,始终输不出y 的值. (3) 答案不唯一,如5,25 [解析] 答 案不唯一,如25的算术平方根是5,5 的算术平方根是 5,故满足要求的x 值可以是5,25. 12. a>d>b>c [解析] a= |-3-2|=3+2,b=|-2|- |-3|= 2 - 3,c= - 3 - |-2|=-3-2,d=-|- 2|- (-3)=3- 2,∵ 3+ 2> 3- 2>2-3>-3- 2,∴ a>d> b>c. 13. 由题意,得x-2=0,y2-1=0, ∴ x=2,y=±1. 当x=2,y=1时, x y+3= 24=2, 是有理数; 当x=2,y=-1时, x y+3= 22= 2,是无理数. 14. (1) <;<;<. (2) ① 2-1. ② 3-2. ③ 4-3. (3) |1- 2|+|2- 3|+|3- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 4|+…+| 99- 100|=2-1+ 3- 2+ 4- 3+…+ 100- 99= 100-1 =10-1=9. 15. B [解析] ∵ 9<15<16,∴ 3< 15<4.∴ 10<7+ 15<11. ∴ 7+ 15的整数部分是10.∴ a= 10.∵ -3<-7<-2,∴ 12<15- 7<13.∴ 15- 7的小数部分是 15-7-12=3- 7.∴ b=3- 7. ∴ a+b=10+3-7=13-7. 16. ∵ 1.52=2.25,2.52=6.25, 3.52=12.25,4.52=20.25,5.52= 30.25,6.52=42.25,[x]表示最接近 x的整数(x≠n+0.5,n为整数), ∴ [1]=[2]=1;[3]=[4]= [5]=[6]=2;[7]=[8]= [9]=[ 10]=[ 11]=[ 12]= 3;[ 13]= [ 14]= [ 15]= [ 16]= [ 17]= [ 18]= [19]= [ 20]=4;[ 21]= [ 22]= [ 23]= [ 24]= [ 25]= [ 26]= [ 27]= [28]= [ 29]= [ 30]=5; [ 31]= [ 32]= [ 33]= [ 34]= [ 35]= [ 36]= [ 37]= [ 38]= [ 39]= [40]=[ 41]=6.∴ [1]+ [2]+[3]+…+[ 41]=1×2+ 2×4+3×6+4×8+5×10+6×11= 2+8+18+32+50+66=176. 第2课时 实数的运算 1. B 2. A 3. 5 4. -1 5. (1) 3. (2) 5-3. (3) 3-22. (4) -2π. 6. C [解析] ∵ 数轴上表示2,π的 点分别为A,B,∴ AB=π-2.∵ A 是线段BC 的中点,∴ CA=AB. ∴ 点C表示的数为 2-(π- 2)= 22-π. 7. C [解析] ① 9-5+2= 4+ 2=2+2=4;② (9+5)+2=(3+ 5)+2=8+2=10;③ |9-5|×2= |3-5|×2=|-2|×2=2×2=4; ④ |9-5-2|=|3-5-2|= |-4|=4.计算结果等于4的有3种 方法,故得分为25×3=75(分). 8. B [解析] 由题意,可得(5⊕ 2)⊗ 327=5⊗3=5. 9. -9 [解析] ∵ 数a的相反数等 于它本身,∴ a=0.∴ 原式=-5+ 2×(-2)=-9. 10. 1或-9 [解析] ∵ x2+ 2y+ 2y=-4 2+17,∴ (x2+2y)+ 2y=17-4 2.∴ x2+2y=17, y=-4.∴ x=5,y=-4或x=-5, y=-4.∴ x+y=1或x+y=-9. 11. 2-3 12. 83 [解析] ∵ -2*64= (-2)2+ 364+1=4+4+1=9, ∴ (-2*64)*1=9*1=92+31+ 1=81+1+1=83. 13. -2 [解析] ∵ a为无理数,且 ab+ 2a-b= 2,∴ a(b+ 2)- (b+ 2)=0.根据乘法分配律,得 (a-1)(b+ 2)=0.∵ a-1是无理 数,不为0,∴ b+ 2=0.∴ b= -2. 14. (1) ∵ 4<6<9,9<13<16, ∴ 2<6<3,3< 13<4. ∵ 6的整数部分为a,13的整数部 分为b, ∴ a=2,b=3. ∴ a+b=2+3=5. (2) ∵ 1<3<4, ∴ 1<3<2. ∴ 13<12+3<14. ∵ 12+3=x+y,其中x是整数,且 0<y<1, ∴ x=13,y=3-1. ∴ |-1-y|=|-1-(3-1)|= 3. 确定无理数的整数部分 和小数部分的方法 由于无理数是无限不循环小 数,因此无法确定其小数部分具体 的数值,只能用含整数部分的式子 来表示.解答这类问题的关键是要 先估算出整数部分,再用这个无理 数减去整数部分,其结果就是小数 部分. 15. (1) ∵ a+2023 +|b- 2020|+(c-1)2=0, ∴ a+2023=0,b-2020=0,c-1= 0,解得a=-2023,b=2020,c=1. ∴ (a+b+c)3=(-2023+2020+ 1)3=(-2)3=-8. (2) ∵ 3< 10<4, ∴ 10的整数部分m=3, 10的小 数部分n= 10-3. ∵ |t|= 10, ∴ t= 10或t=- 10. 当m=3,n= 10-3,t= 10时, 2m-n+t=6- ( 10-3)+ 10=9; 当m=3,n= 10-3,t=- 10时, 2m-n+t=6-( 10-3)- 10= 9-2 10. ∴ 2m-n+t的值为9或9-2 10. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91