8.2 立方根-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

32 8.2　立 方 根 ▶ “答案与解析”见P17 1. 下列说法中,正确的是 ( ) A. (-1)2的立方根是-1 B. -3是27的负的立方根 C. 125 216 的立方根是±56 D. 64的立方根是2 2. (2023·石家庄期中)若x2=(-5)2,y3= (-5)3,则x-y的值为 ( ) A. 0 B. ±1 C. 0或10 D. -5 3. 若某自然数的立方根为a,则它前面与其相 邻的自然数的立方根是 ( ) A. a-1 B. 3 a-1 C. 3 a3-1 D. a3-1 4. 已知半径为R 的球的体积是 4 3πR 3,现要生 产一种容积为36πdm3的球形容器(厚度忽略 不计),则该球形容器的半径是 dm. 5. (2023·十堰期末)已知x+1的算术平方根 是2,2x+y-2的立方根是2,则x2+y2的 平方根为 . 6. (2023·石家庄平山期中)已知a= 9, b3=-1,c=3-8,求a-b+c的值. 7. (2023·南充期中)若m2=16,则3m-4的 值为 ( ) A. 0 B. -2 C. 0或-2 D. 0或2 8. (2024·北京西城期末)已知32.37≈1.333, 323.7≈2.872,则30.0237的值约为 ( ) A. 0.1333 B. 0.02872 C. 0.2872 D. 0.01333 9. 若m<0,则化简 m2- 3 m3的结 果为 ( ) A. m B. 2m C. 0 D. -2m 10. (2024·宜春期中)已知3x-1=x-1,则 x的值为 . 11. 343x3-3-8=- 625中x的值是 . 12. 定义运算a*b= a-3b,如4*27= 4- 327=2-3=-1,则9*(-8)= . 13. (2023·南阳期中)有一个长方体水池的长、 宽、高之比为2∶2∶4,其体积为16000cm3. (1) 求长方体水池的长、宽、高. (2) 当有一个半径为rcm的小球放入注满 水的水池中时,溢出水池的水的体积为水池 体积的1 60 ,求该小球的半径 V球=43πr3,π 取3,结果精确到0.01cm . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 33 14. 已知2是x的立方根,且(y-2z+5)2+ z-3=0,求 3 x+y3+z3-9的值. 15. 我们规定用(a,b)表示一个数对, 给出如下定义:记m=3a,n= -b(b>0),将(m,n)和(n,m)称 为数对(a,b)的一对开方对称数对.例如: 数对(8,25)的开方对称数对为(2,-5)和 (-5,2). (1) 数对(27,4)的开方对称数对为 和 . (2) 若数对(x,6)的一个开方对称数对是 -6,32 ,则x= . (3) 若数对(a,b)的一个开方对称数对是 (-4,-5),求a+b的值. 16. 请认真阅读下面的材料,并解答 问题. 依照平方根(即二次方根)和立方 根(即三次方根)的定义,可给出四次方根、 五次方根的定义.例如:若x2=a(a≥0),则 x叫作a的二次方根;若x3=a,则x叫作 a的三次方根;若x4=a(a≥0),则x叫作a 的四次方根. (1) 依照上面的材料,请你给出五次方根的 定义. (2) 81的四次方根为 ;-32的五 次方根为 . (3) 若4a-1有意义,则a的取值范围是 ;若5a有意义,则a的取值范围是 . (4) 已知1 2 (2x-4)4-8=0,求x的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　实　数 分别是a-2与1-2a, ∴ a-2+1-2a=0,解得a=-1. 当a=-1时,a-2=-3, ∴ b=9. ∴ ab=-9. (2) 当a=-1时,原方程可变为 -2x2+5=-3,即x2=4, ∴ x=±4=±2. ∴ 关于x的方程2ax2+5=-3的解 为x=±2. 19. (1) ∵ 正数x的平方根分别为a 和a+b, ∴ a+a+b=0. ∵ b=6, ∴ 2a+6=0. ∴ a=-3. ∴ x=9. (2) ∵ 正数x的平方根分别为a和 a+b, ∴ (a+b)2=x,a2=x. ∵ a2x+(a+b)2x=8, ∴ x2+x2=8. ∴ x2=4. ∵ x>0, ∴ x=2. 第2课时 算术平方根 1. D 2. D 3. C 4. x2+1 5. 3 6. (1) ∵ -4=- 16<- 15, ∴ -4<- 15. (2) ∵ 7<9,9=3, ∴ 7+1<4. 又∵ 2 3= 4 6 , ∴ 7+1 6 < 2 3. (3) ∵ 4<5<9, ∴ 2<5<3. ∴ 5-3<0,5-2>0. ∴ 5-2 2 >0. ∴ 5-3< 5-22 . 7. D 8. D 9. B 10. B [解析] 设长方形纸片的长为 4x厘米,宽为3x厘米,则4x·3x= 120.整理,得12x2=120.∴ x= 10 (负值舍去).∴ 长方形纸片的长为 4 10厘米,宽为3 10厘米.∵ 该长 方形纸片是从一块正方形纸片上沿着 边的方向裁下来的,∴ 正方形的边长 至少是4 10厘米.∵ 3< 10<4, ∴ 12<4 10<16.∵ 题干中要求尽 可能节约材料,∴ 正方形纸片的边长 应该在满足条件的前提下尽可能取小 的数.∴ a的值可能是13. 11. 111111 12. ∵ 2a-b+3=2a-b+3, ∴ 2a-b+3=0或2a-b+3=1. ∴ b-2a=3或b-2a=2. ∴ b-2a的值为3或2. 13. C [解析] S1= 1+1+14 = 3 2 =1+1- 1 2 , S2 = 1+ 1 4+ 1 9 = 7 6 =1+ 1 2 - 1 3 , S3 = 1+ 1 9+ 1 16 = 13 12 = 1 + 1 3 - 1 4 , S4 = 1+116+ 1 25= 21 20=1+ 1 4- 1 5 ,…, Sn =1+ 1 n - 1 n+1 ,∴ S1 + S2+…+ S24=1+1- 1 2+1+ 1 2- 1 3+ …+1+124- 1 25=24+1- 1 25=24 24 25. 14. (1) ∵ 3×12=6, 3×32= 96, 12×32= 384,96, 384 不是整数, ∴ 3,12,32不是白银组合. (2) ∵ 2×18=6,2×8=4, 18×8=12, ∴ 2,8,18这三个数是白银组合. ∴ 最小算术平方根是4,最大算术平 方根是12. (3) 分三种情况讨论:① 当9≤a≤25 时,25a=3 9a,解得a=0(不合 题意,舍去); ② 当0<a<9时,9×25=3 9a, 解得a=259 (不合题意,舍去); ③ 当a>25时, 25a=3 9×25, 解得a=81. 综上所述,a的值为81. 8.2　立 方 根 1. D 2. C [解析] ∵ x2=(-5)2=25, ∴ x=±5.∵ y3=(-5)3,∴ y= -5.∴ x-y=5-(-5)=5+5=10 或x-y=-5-(-5)=0. 3. C 4. 3 5. ±5 6. ∵ a=9,b3=-1,c= 3-8, ∴ a=3,b=-1,c=-2. ∴ a-b+c=3-(-1)+(-2)=2. 7. C 8. C 9. D [解析] ∵ m<0,∴ m2- 3 m3=-m-m=-2m. 10. 2或1或0 [解析] ∵ 3 x-1= x-1,∴ x-1=1或x-1=0或x- 1=-1.∴ x=2或x=1或x=0. ∴ x的值为2或1或0. 11. - 37 [解析] 已知343x3- 3-8=- 625,整理,得343x3- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 (-2)= -25,即 x3 = - 27343 , ∴ x=-37. 12. 5 [解析] 根据题意,得9* (-8)=9- 3-8=3-(-2)=5. 13. (1) ∵ 有一个长方体水池的长、 宽、高之比为2∶2∶4,其体积为 16000cm3, ∴ 设长方体水池的长、宽、高分别为 2xcm,2xcm,4xcm. ∴ 2x·2x·4x=16000. ∴ 16x3=16000. ∴ x=10. ∴ 长方体水池的长、宽、高分别为 20cm,20cm,40cm. (2) 由题意,得 4 3 ×3r 3= 160× 16000, ∴ r3=160×16000× 1 4. ∴ r≈4.05. ∴ 该小球的半径约为4.05cm. 14. ∵ 2是x的立方根, ∴ x=8. ∵ (y-2z+5)2+ z-3=0, ∴ z-3=0,y-2z+5=0,解得z= 3,y=1. ∴ 3 x+y3+z3-9= 38+1+27-9=3. 15. (1) (3,-2);(-2,3). (2) 27 8. (3) ∵ 数对(a,b)的一个开方对称数 对是(-4,-5), ∴ 当3a=-4,-b=-5时, 解得a=-64,b=25. ∴ a+b=-64+25=-39. 当3a=-5,-b=-4时, 解得a=-125,b=16. ∴ a+b=-125+16=-109. 综上所述,a+b 的值为 -39或 -109. 16. (1) 若x5=a,则x叫作a的五次 方根. (2) ±3;-2. (3) a≥1;a为任意数. (4) ∵ 1 2 (2x-4)4-8=0, ∴ (2x-4)4-16=0. ∴ (2x-4)4=16. ∴ 2x-4=± 416. ∴ 2x-4=±2. ∴ x=3或x=1. 8.3　实数及其简单运算 第1课时 实数的概念与大小 比较 1. C 2. C 3. B 4. D 5. ③ 6. 6 π2-1 1 2 7. 正实数集合: 15,π4,12,4, 15 7 ,… ;负 实 数 集 合:{- 3, -3.14,-39,3-0.064,…};无理 数集合: π4,-3,-39,… . 对无理数的概念理解 不透彻导致答案错误 此类题易把无理数与无限小 数及带根号的数混为一谈,造成这 种错误的原因是没有理解“无限不 循环小数叫作无理数”这一概念. 判断一个数是不是无理数时,一定 要根据概念,看它是不是“无限”且 “不循环”的小数. 8. 各数对应的点在数轴上表示如图 所示. -3< 3-8<-12< 9 4<|-2|. (第8题) 9. B 10. D 11. (1) 2 [解析] ∵ 256的算术平 方根是16,16是有理数,∴ 16不能输 出.∵ 16的算术平方根是4,4是有理 数,∴ 4不能输出.∵ 4的算术平方 根是2,2是有理数,∴ 2不能输出. ∵ 2的算术平方根是 2,是无理数, 可以输出,∴ 输出y的值是2. (2) 0,1 [解析] ∵ 0和1的算术平 方根是它们本身,且0和1是有理数, ∴ 当x的值为0,1时,始终输不出y 的值. (3) 答案不唯一,如5,25 [解析] 答 案不唯一,如25的算术平方根是5,5 的算术平方根是 5,故满足要求的x 值可以是5,25. 12. a>d>b>c [解析] a= |-3-2|=3+2,b=|-2|- |-3|= 2 - 3,c= - 3 - |-2|=-3-2,d=-|- 2|- (-3)=3- 2,∵ 3+ 2> 3- 2>2-3>-3- 2,∴ a>d> b>c. 13. 由题意,得x-2=0,y2-1=0, ∴ x=2,y=±1. 当x=2,y=1时, x y+3= 24=2, 是有理数; 当x=2,y=-1时, x y+3= 22= 2,是无理数. 14. (1) <;<;<. (2) ① 2-1. ② 3-2. ③ 4-3. (3) |1- 2|+|2- 3|+|3- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81