8.1 第1课时 平方根-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

(2) 设灯A 转动t秒时,两灯射出的 光束互相平行. ∵ 180°-1°×30=150°, ∴ 0<t<150. ① 当0<t≤90时,如图①,可得 ∠PBD=1°·(30+t)=(30+t)°, ∠CAM=2t°. ∵ PQ∥MN, ∴ ∠PBD=∠BDA. ∵ AC∥BD, ∴ ∠CAM=∠BDA. ∴ ∠CAM=∠PBD. ∴ 2t=30+t,解得t=30. ② 当90<t<150时,如图②,可得 ∠PBD=(30+t)°,∠CAN=(2t- 180)°. ∵ PQ∥MN, ∴ ∠PBD+∠BDA=180°. ∵ AC∥BD, ∴ ∠CAN=∠BDA. ∴ ∠PBD+∠CAN=180°. ∴ 30+t+(2t-180)=180,解得 t=110. 综上所述,灯A 转动30秒或110秒 时,两灯射出的光束互相平行. (3) 100或140. [解析]设两灯转动 的时间为x秒.如图③,当∠EBP= x°,∠EAN = 180° - 2x° 时, ∵ ∠AEB=120°,∴ 易得∠AEB= ∠EAN+∠EBP=180°-2x°+x°= 120°,解得x=60.易得此时AE 与 AB 共 线,不 符 合 题 意,舍 去.当 ∠EBP=x°,∠EAN=2x°-180°时, 易得∠AEB=∠EAN +∠EBP= 2x°-180°+x°=120°,解得x=100. 如 图 ④,当 ∠AEB = 120° 时, ∠MAE =360°-2x°,∠QBE = 180°- x°.∵ 易 得 ∠AEB = ∠MAE+∠QBE,∴ 120°=360°- 2x°+180°-x°,解得x=140.综上所 述,两灯转动的时间为 100秒或 140秒. (第8题) 第八章　实　数 8.1　平 方 根 第1课时 平 方 根 1. A 2. C 3. D 4. D 5. 3 6. ±2 7. (1) ∵ x的一个平方根是3, ∴ x=1-a=9,解得a=-8. (2) ∵ x,y都是同一个数的平方根, ∴ 1-a=2a-5或1-a+(2a- 5)=0,解得a=2或a=4. ∴ (1-a)2=(1-2)2=1或(1- a)2=(1-4)2=9. ∴ 这个数是1或9. 8. D 9. C 10. A [解析] ∵ a是(-5)2 的平 方根,∴ a=±5.∵ b的一个平方根 是3,∴ b=9.∴ 当a=5,b=9时, a-b=-4;当a=-5,b=9时,a- b=-14. 11. -2 [解析] ∵ x是最大的负整 数,∴ x=-1.∵ y 是最小的正整 数,∴ y=1.∵ z是平方根等于本身 的数,∴ z=0.∴ x-y-z=-1- 1-0=-2. 12. ±5 13. 4 [解析] 由题意,得x2-x+ x-1=0,解得x=±1.当x=1时, x2-x=0,x-1=0,则这个数为0, 不合题意,舍去;当x=-1时,x2- x=2,x-1=-2,则这个数为4.综上 所述,这个数为4. 14. 81或9 [解析] ∵ 2a+1和 4a-7都是正数m的平方根,∴ 2a+ 1+4a-7=0或2a+1=4a-7.当 2a+1+4a-7=0时,解得a=1, ∴ 2a+1=3.∴ m的值为9.当2a+ 1=4a-7时,解得a=4,∴ 2a+1= 9.∴ m 的值为81.综上所述,m 的值 为81或9. 15. ±12,8116 ,256 9 [解析] 由题意, 可知① a2=9×16,解得a=±12; ② 16a=92,解得a=8116 ;③ 9a= 162,解得a=2569 .∴ 所有符合条件 的数a的值为±12,8116 ,256 9 . 16. ±16.1 17. (1) ∵ 4(x-1)2=36, ∴ (x-1)2=9. ∴ x-1=±3. ∴ x=4或-2. (2) ∵ 1 2 (2x-2)2-8=0, ∴ 1 2 (2x-2)2=8. ∴ (2x-2)2=16. ∴ 2x-2=±4. ∴ x=3或-1. 18. (1) ∵ 一个正数b的两个平方根 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 分别是a-2与1-2a, ∴ a-2+1-2a=0,解得a=-1. 当a=-1时,a-2=-3, ∴ b=9. ∴ ab=-9. (2) 当a=-1时,原方程可变为 -2x2+5=-3,即x2=4, ∴ x=±4=±2. ∴ 关于x的方程2ax2+5=-3的解 为x=±2. 19. (1) ∵ 正数x的平方根分别为a 和a+b, ∴ a+a+b=0. ∵ b=6, ∴ 2a+6=0. ∴ a=-3. ∴ x=9. (2) ∵ 正数x的平方根分别为a和 a+b, ∴ (a+b)2=x,a2=x. ∵ a2x+(a+b)2x=8, ∴ x2+x2=8. ∴ x2=4. ∵ x>0, ∴ x=2. 第2课时 算术平方根 1. D 2. D 3. C 4. x2+1 5. 3 6. (1) ∵ -4=- 16<- 15, ∴ -4<- 15. (2) ∵ 7<9,9=3, ∴ 7+1<4. 又∵ 2 3= 4 6 , ∴ 7+1 6 < 2 3. (3) ∵ 4<5<9, ∴ 2<5<3. ∴ 5-3<0,5-2>0. ∴ 5-2 2 >0. ∴ 5-3< 5-22 . 7. D 8. D 9. B 10. B [解析] 设长方形纸片的长为 4x厘米,宽为3x厘米,则4x·3x= 120.整理,得12x2=120.∴ x= 10 (负值舍去).∴ 长方形纸片的长为 4 10厘米,宽为3 10厘米.∵ 该长 方形纸片是从一块正方形纸片上沿着 边的方向裁下来的,∴ 正方形的边长 至少是4 10厘米.∵ 3< 10<4, ∴ 12<4 10<16.∵ 题干中要求尽 可能节约材料,∴ 正方形纸片的边长 应该在满足条件的前提下尽可能取小 的数.∴ a的值可能是13. 11. 111111 12. ∵ 2a-b+3=2a-b+3, ∴ 2a-b+3=0或2a-b+3=1. ∴ b-2a=3或b-2a=2. ∴ b-2a的值为3或2. 13. C [解析] S1= 1+1+14 = 3 2 =1+1- 1 2 , S2 = 1+ 1 4+ 1 9 = 7 6 =1+ 1 2 - 1 3 , S3 = 1+ 1 9+ 1 16 = 13 12 = 1 + 1 3 - 1 4 , S4 = 1+116+ 1 25= 21 20=1+ 1 4- 1 5 ,…, Sn =1+ 1 n - 1 n+1 ,∴ S1 + S2+…+ S24=1+1- 1 2+1+ 1 2- 1 3+ …+1+124- 1 25=24+1- 1 25=24 24 25. 14. (1) ∵ 3×12=6, 3×32= 96, 12×32= 384,96, 384 不是整数, ∴ 3,12,32不是白银组合. (2) ∵ 2×18=6,2×8=4, 18×8=12, ∴ 2,8,18这三个数是白银组合. ∴ 最小算术平方根是4,最大算术平 方根是12. (3) 分三种情况讨论:① 当9≤a≤25 时,25a=3 9a,解得a=0(不合 题意,舍去); ② 当0<a<9时,9×25=3 9a, 解得a=259 (不合题意,舍去); ③ 当a>25时, 25a=3 9×25, 解得a=81. 综上所述,a的值为81. 8.2　立 方 根 1. D 2. C [解析] ∵ x2=(-5)2=25, ∴ x=±5.∵ y3=(-5)3,∴ y= -5.∴ x-y=5-(-5)=5+5=10 或x-y=-5-(-5)=0. 3. C 4. 3 5. ±5 6. ∵ a=9,b3=-1,c= 3-8, ∴ a=3,b=-1,c=-2. ∴ a-b+c=3-(-1)+(-2)=2. 7. C 8. C 9. D [解析] ∵ m<0,∴ m2- 3 m3=-m-m=-2m. 10. 2或1或0 [解析] ∵ 3 x-1= x-1,∴ x-1=1或x-1=0或x- 1=-1.∴ x=2或x=1或x=0. ∴ x的值为2或1或0. 11. - 37 [解析] 已知343x3- 3-8=- 625,整理,得343x3- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 28 8.1　平 方 根 第1课时 平 方 根 ▶ “答案与解析”见P16 1. 有下列关于平方根的说法:① 1是1的平方 根;② 4的平方根是2;③ -4的平方根是 -2;④ 2是22的平方根;⑤ (-2)2 的平方根 是-2.其中,正确的是 ( ) A. ①④ B. ② C. ④ D. ③⑤ 2. 下列说法中,错误的是 ( ) A. 1 2 是0.25的一个平方根 B. 正数a的两个平方根的和为0 C. 9 16 的平方根是3 4 D. 当x≠0时,-x2没有平方根 3. 下列各数中,一定没有平方根的是 ( ) A. -a B. -a2+1 C. -a2 D. -a2-1 4. (2023·福清期中)若(x-1)2=64,则x的 值为 ( ) A. 8 B. 9 C. ±9 D. 9或-7 5. 若2a-1的平方根为±5,则a= . 6. 已知x,y满足|x-4|+ y-8=0,则y-x 的平方根是 . 7. 已知x=1-a,y=2a-5. (1) 若x的一个平方根为3,求a的值. (2) 如果x,y都是同一个数的平方根,求这 个数. 8. 若一个自然数的一个平方根是a,则与它相 邻的下一个自然数的平方根是 ( ) A. ± a+1 B. a+1 C. a2+1 D. ± a2+1 9. 若x2=16,则5-x的平方根是 ( ) A. ±1 B. ±3 C. ±1或±3 D. 1或3 10. 若a是(-5)2的平方根,b的一个平方根是 3,则代数式a-b的值为 ( ) A. -14或-4 B. -14 C. -4 D. 4或-14 11. 若x是最大的负整数,y是最小的正整数,z 是平方根等于本身的数,则x-y-z的值 是 . 12. 若a2=4,b2=9,且ab<0,则a-b 的 值为 . 13. (易错易混题)若一个正数的平方根分别为 x2-x与x-1,则这个数是 . 14. (易错易混题)(2023·周口西华期中)若 2a+1和4a-7都是正数m 的平方根,则 m= . 15. 已知9,16和a三个数,若这三个 数中的一个数是另外两个数乘积 的一个平方根,则所有符合条件的 数a的值为 . 16. 根据下表中的数据回答:259.21的平方根 是 . x 16 16.1 16.2 16.3 x2 256 259.21 262.44 265.69 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 第八章　实　数 29 17. 求下列式子中x的值: (1) 4(x-1)2=36. (2) 1 2 (2x-2)2-8=0. 18. (2024·南京鼓楼期中)一个正数b的两个 平方根分别是a-2与1-2a.求: (1) ab的值. (2) 关于x的方程2ax2+5=-3的解. 19. (2024·北京海淀期中)已知正数x 的平方根分别为a和a+b. (1) 当b=6时,求x的值. (2) 若a2x+(a+b)2x=8,求x的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第八章　实　数