7.3 定义、命题、定理-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

16 7.3　定义、命题、定理 ▶ “答案与解析”见P8 1. (2024·盘锦期末)下列命题中,是真命题的为 ( ) A. 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条 直线平行 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 C. 两条直线被第三条直线所截,同位角相等 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫作这 点到直线的距离 2. (2024·周口)下列命题中,是假命题的为 ( ) A. 邻补角相等 B. 若a=-b,则a2=b2 C. 两点之间,线段最短 D. 等角的余角相等 3. (2024·秦皇岛模拟)能说明命题“若a2=b2, 则a=b”是假命题的一个反例可以为 ( ) A. a=1,b=-1 B. a=1,b=2 C. a=-1,b=-1 D. a=-1,b=-2 4. (2024·徐州期末)有下列说法:① 相等的角 是对顶角;② 同位角相等;③ 过一点有且只 有一条直线与已知直线平行;④ 直线外一点 到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线 的距离.其中,真命题有 个. 5. 如图,EF∥CD,数学课上,老师请同学们根据 图形特征添加一个关于角的条件,使得 ∠BEF=∠CDG,并给出证明过程.小丽添 加的条件为∠B+∠BDG=180°. 请你帮小丽将下面的证明过程补充完整. 证明:∵ EF∥CD(已知), ∴ ∠BEF= ( ). ∵ ∠B+∠BDG=180°(已知), ∴ BC∥ ( ). ∴ ∠CDG= ( ). ∴ ∠BEF=∠CDG(等量代换). (第5题) 6. ★有下列命题:① 在同一平面内,已知a,b,c 是三条不同的直线,若a与b相交,b与c相 交,则a与c相交;② 已知a,b,c是三条不 同的直线,若a⊥b,a⊥c,则b∥c;③ 若一个 角的两边与另一个角的两边分别平行,则这 两个角一定相等.其中,正确的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. (2023·绵阳三台期中)如图,有下列论断: ① AB∥CD;② ∠B=∠C;③ ∠E=∠F. 如果以其中两个论断为条件,另一个论断为 结论构造命题,能够构造 个真命题. (第7题) 8. (2023·十堰期中)如图,AB,CD被AE所截, AM,EN 被MN 所截.有下列条件:① AB∥ CD;② AM∥EN;③ ∠BAM=∠CEN.请 你从其中选出两个作为已知条件,另一个作 为结论,得出一个正确的命题. (1) 请按照“∵ , , ∴ ”的形式,写出所有正确的命题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 17 (2) 在(1)中所写的命题里选择一个加以 证明. (第8题) 9. 阅读材料: 判断一个命题是假命题,只要举出一个例子 (反例),该例子符合命题的题设,但不满足结 论就可以了.例如,要判断命题“相等的角是 对顶角”是假命题,可以举出如下反例:如图, OC是∠AOB的平分线,∠1=∠2,但它们不 是对顶角. 判断下列命题的真假,如果是假命题,请举出 一个反例. (1) 两个负数之差为负数. (2) 如果一个四边形的两组对边分别平行, 那么它的不相邻的两个内角相等. (3) 互补的角是同旁内角(要求:画出相应的 图形,并用文字语言或符号语言表述). (第9题) 10. 【教材回顾】 如图①所示为人教版 数学七年级下册教材第7页,关于 同旁内角的定义. 图中∠3和∠6也都在直线AB,CD 之间,但它 们在直线EF 的同一旁(左侧),具有这种位置 关系的一对角叫作同旁内角. (第10题①) 【类比探究】 (1) 如图②,具有∠1与∠2这 种位置关系的两个角叫作同旁外角.请在图 中再找出一对同旁外角,分别用∠3,∠4在 图中标记出来. (2) 如图③,直线a∥b,当∠1=145°时, ∠2= . (3) 如图④,∠1+∠2=180°,求证:a∥b,并 归纳出一个真命题(用文字叙述). (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线 ∴ ∠QBC=∠DQB=60°.∵ ∠DQB+ ∠1=180°,∴ ∠1=180°-∠DQB= 120°.由题意,可知 ∠ACB =90°, ∠ACF+∠ACB=180°,∴ ∠ACF= 90°.∵ DG ∥ EF,∴ ∠2 = ∠ACF=90°. (2) ① 40°. [解析] 如图①,根据题 意,得∠ABC=60°,∠FBP=20× 2°=40°,∠AQP =20×3°=60°, ∴ ∠AQP=∠ABC.∴ PQ∥BC. ∴ ∠QPB=∠FBP=40°. ② 存在. 如图②,当点M,N 在BC同侧时. ∵ BM∥QN, ∴ ∠AQN=∠ABM. 由题意,得∠MBF=(2t)°,∠AQN= (3t)°,∠ABC=60°, ∴ ∠ABM=60°-(2t)°. ∴ (3t)°=60°-(2t)°,解得t=12. 如图③,当点M,N 在BC异侧时. ∵ BM∥QN, ∴ ∠ABM=∠BQN. 由题意,得∠MBF=(2t)°,∠AQN= (3t)°,∠ABC=60°. ∴ ∠ABM=(2t)°-60°,∠BQN= 180°-∠AQN=180°-(3t)°. ∴ (2t)°-60°=180°-(3t)°,解得t= 48. 综上所述,存在BM∥QN,此时t的 值为12或48. (第11题) 7.3　定义、命题、定理 1. A 2. A 3. A 4. 1 5. ∠BCD;两直线平行,同位角相等; DG;同旁内角互补,两直线平行; ∠BCD;两直线平行,内错角相等. 6. A [解析] 在同一平面内,已知 a,b,c是三条不同的直线,若a与b 相交,b与c相交,则a与c可能平行, 也可能相交,故①不正确.若a⊥b, a⊥c,则b∥c的前提条件是“在同一 平面内”,故②不正确.若一个角的两 边与另一个角的两边分别平行,则这 两个角相等或互补,故③不正确. ∴ 正确的个数为0. 判断命题真假的方法 要说明一个命题是真命题,一 般需要推理、论证,而判断一个命 题是假命题,只需举出一个反例. 7. 3 [解析] 选择① AB∥CD, ② ∠B=∠C 为条件,③ ∠E=∠F 作为结论,∵ AB∥CD,∴ ∠EAB= ∠C.∵ ∠B= ∠C,∴ ∠EAB = ∠B.∴ EC∥BF.∴ ∠E=∠F. ∴ 此命题为真命题.选择② ∠B= ∠C,③ ∠E=∠F 为条件,① AB∥ CD作为结论,∵ ∠E=∠F,∴ EC∥ BF.∴ ∠C=∠CDF.∵ ∠B=∠C, ∴ ∠B=∠CDF.∴ AB∥CD.∴ 此 命题为真命题.选择① AB∥CD, ③ ∠E=∠F 为条件,② ∠B=∠C 作为结论,∵ AB∥CD,∴ ∠B= ∠CDF.∵ ∠E=∠F,∴ EC∥BF. ∴ ∠C= ∠CDF.∴ ∠B = ∠C. ∴ 此命题为真命题.综上所述,能够 构造3个真命题. 8. (1) 命题1:∵ AB∥CD,AM∥ EN, ∴ ∠BAM=∠CEN. 命题 2:∵ AB ∥CD,∠BAM = ∠CEN, ∴ AM∥EN. 命题 3:∵ AM ∥EN,∠BAM = ∠CEN, ∴ AB∥CD. (2) 选择不唯一,如选择命题1. ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAE=∠CEA. ∵ AM∥EN, ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠BAE-∠1=∠CEA-∠2, 即∠BAM=∠CEN. 9. (1) “两个负数之差为负数”是假 命题. 举例不唯一,如-2-(-3)=1,1不 是负数, ∴ “两个负数之差为负数”是假命题. (2) “如果一个四边形的两组对边分 别平行,那么它的不相邻的两个内角 相等”是真命题. (3) “互补的角是同旁内角”是假 命题. 举例不唯一,如图,∠AOC 与∠BOC 互补,但它们不是同旁内角. ∴ “互补的角是同旁内角”是假命题. (第9题) 10. (1) 如图①,∠3与∠4互为同旁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 外角. (2) 35°. [解析] 如图②,∵ 直线 a∥b,∴ ∠3+∠4=180°.又∵ ∠1= ∠3,∠2=∠4,∴ ∠1+∠2=180°. ∵ ∠1=145°,∴ ∠2=180°- ∠1=35°. (3) ∵ ∠1+∠2=180°,∠1+∠3= 180°, ∴ ∠2=∠3. ∴ a∥b. 归纳出一个真命题为同旁外角互补, 两直线平行. (第10题) 7.4　平　移 1. B 2. 8 3. 6或8 [解析] 当两斜边重合时, 可组成一个长方形,此时m=2,n= 4,m+n=6.当两直角边重合时,有两 种情况:① 当短直角边重合时,m= 2,n=4,m+n=6;② 当长直角边重 合时,m=2,n=6,m+n=8.综上所 述,m+n的值为6或8. 4. 如图,延长AB交直线n于点O. ∵ 将直线m平移后得到直线n, ∴ m∥n. ∴ ∠3+∠5=180°,即∠5=180°- ∠3=105°. ∵ ∠4=∠1=25°, ∴ 易得∠2=∠4+∠5=130°. (第4题) 5. B 6. D 7. B 8. 48 [解析] 由题意,易得阴影部分 的面积等于梯形ABEH 的面积.由平 移,得DE=AB=10,BE=6,∴ EH= DE-DH =10-4=6.∴ 梯形 ABEH 的面积为 1 2× (EH+AB)× BE=12× (6+10)×6=48.∴ 阴影 部分的面积为48. 9. 11 [解析] 由平移的性质,可知 DE=AB=4cm,AD=BE=acm, ∴ EC=(5-a)cm.∴ 涂色部分的周 长=AD+EC+AC+DE=11cm. 10. (1) 涂 色 部 分 ⑥ 的 周 长 为 2AB=2a. (2) ②. 设正方形纸片②的边长是m. ∴ 涂色部分⑤的周长是2(a-m). ∴ 涂色部分⑥的周长-涂色部分⑤ 的周长=2a-2(a-m)=2m. ∴ 涂色部分⑥与涂色部分⑤的周长 之差与正方形纸片②的边长有关. 11. (1) 答案不唯一,如图所示. (2) 设三个图中除去阴影部分后剩下 部分的面积分别为S1,S2,S3,则 S1=ab-b,S2=ab-b,S3=ab-b. (3) 由(2),可知这块菜地的面积为 40×10-10×1=390(m2). (第11题) 专题特训（一）　平行线 中的“拐点”问题 1. A [解析] 如图,过点M 作MG∥ AB,∴ ∠1=∠EMG.∵ AB∥CD, ∴ CD ∥MG.∴ ∠2= ∠FMG. ∵ ∠EMF = ∠EMG + ∠FMG, ∴ ∠EMF=∠1+∠2=n°.同理,可 得∠ENF=∠3+∠4.∵ EN 平分 ∠AEM,FN 平分∠CFM,∴ ∠3= 1 2 ∠AEM ,∠4 = 12 ∠CFM. ∴ ∠ENF=12∠AEM+ 1 2∠CFM= 1 2 (180°- ∠1+180°- ∠2)= 1 2 [360°-(∠1+∠2)]=12 (360°- n°)= 180-12n °. (第1题) 2. ①②④⑤ [解析] ∵ ∠CFP+ ∠FPH=180°,∴ CD∥PH.故①正 确.∵ AB∥CD,∴ AB∥CD∥PH. ∴ ∠BEP=∠EPH,∠DFP=∠FPH. ∴ ∠BEP + ∠DFP = ∠EPH + ∠FPH = ∠EPF.又 ∵ PG 平分 ∠EPF,∴ ∠EPF = 2 ∠EPG. ∴ ∠BEP+∠DFP=2∠EPG.故② 正确.由题意无法得出∠FPH = ∠GPH.故 ③ 错 误.∵ ∠AGP = 180°- ∠HGP =180°- (180°- ∠HPG - ∠PHG)= ∠GPH + ∠PHG,∠DFP=∠FPH,∠FPH+ ∠GPH=∠FPG,∠FPG=∠EPG, ∴ ∠A + ∠AGP + ∠DFP - ∠FPG=∠A+∠GPH+∠PHG+ ∠FPH-∠FPG=∠A+∠FPG+ ∠PHG-∠FPG=∠A+∠PHG. ∵ AB∥PH,∴ ∠A+∠PHG= 180°,即∠A+∠AGP+∠DFP- ∠FPG=180°.故④正确.∵ ∠BEP- ∠DFP = ∠EPH - ∠FPH = (∠EPG + ∠GPH)- ∠FPH = ∠FPG + ∠GPH - ∠FPH = ∠GPH + ∠GPH = 2 ∠GPH, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9