7.2 第4课时 平行线的判定与性质的综合应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

14 第4课时 平行线的判定与性质的综合应用 ▶ “答案与解析”见P6 1. (2024·邯郸二模)将一副三角尺按如图所示 的方式摆放,∠EFG=45°,∠MNP=60°, AB∥CD,则下列结论不正确的是 ( ) (第1题) A. GE∥PN B. ∠PNC=∠AFG C. ∠FMN=150° D. ∠MND=∠PNM 2. (新情境)(2024·泰安期中)如图所示为某品 牌共享单车的示意图,其中AB,CD 都与地 面l平行,∠BCD=62°,∠BAC=53°.若 AM∥CB,则∠MAC的度数为 ( ) (第2题) A. 62° B. 65° C. 75° D. 115° 3. (2024·周口期末)如图,AB⊥BC, AE 平分∠BAD 交BC 于点E, AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M,N 分 别是BA,CD 的延长线上一点,∠EAM 和 ∠EDN 的平分线交于点F.有下列结论: ① AB∥CD;② ∠AEB+∠ADC=180°; ③ DE平分∠ADC;④∠F 的度数为135°. 其中,正确的结论是 (填序号). (第3题) 4. (2024·商丘期末)将一副直角三角尺按如图 所示的方式叠放在一起,∠D=30°,∠OAB= 45°.若固定三角尺AOB,改变三角尺ACD 的位置(其中点A 的位置始终不变),则当 ∠BAD= 时,CD∥OB. (第4题) 5. (2024·宁波期中)如图,∠1=∠2,∠B= ∠C,是否可以推得AB∥CD? 请说明理由. (第5题) 6. (2023·眉山期末)如图,在三角形 ABC中,AD⊥BC,EF∥BC,EC⊥ CF,∠EFC=∠ACF.有下列结论: ① AD⊥EF;② CE平分∠ACB;③ ∠FEC= ∠ACE;④ AB∥CF.其中,正确的结论个 数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (第6题) (第7题) 7. (2024·杭州期末)如图,AB∥CD, EF交AB于点G,GE平分∠BGC, ∠C=α,H 是CD 上一定点,P 是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 15 直线EF上一动点,则在点P的运动过程中, ∠GPH 与∠PHC的关系不可能是 ( ) A. ∠GPH-∠PHC=12α B. ∠GPH+∠PHC=12α C. ∠GPH+∠PHC+12α=180° D. ∠PHC+∠GPH+12α=360° 8. (2023·恩施期末)如图,在直角三角形AOB 和直角三角形COD 中,∠AOB=∠COD= 90°,∠B=40°,∠C=60°,点D 在边OA 上, 将△COD绕点O以每秒10°的速度按顺时针 方向旋转一周,在第 秒时,边CD 与 边AB平行. (第8题) (第9题) 9. 将两把含30°角的三角尺按如图所示的方式 摆放,现固定三角尺ABC,将三角尺DEC绕 顶点C按顺时针方向转动,使两把三角尺至 少有一组边互相平行,且点D 在直线BC的 上方,则∠BCD的度数为 . 10. (2024·广州期末)如图,EF⊥BC于点F, AD⊥BC于点M,∠1=∠2,∠3=∠C.试 说明:AB∥MN. (第10题) 11. (2024·扬州邗江期中)如图,将一把含30° 角的直角三角尺ABC的边BC放置于长方 形DEFG的边EF上,AB与DG交于点Q. (1) 填空:∠1= ,∠2= . (2) 现将射线BF 绕点B 以每秒2°的速度 按逆时针方向旋转得到射线BM,同时将射 线QA绕点Q以每秒3°的速度按顺时针方 向旋转得到射线QN,当射线QN 旋转至与 QB重合时,射线BM,QN 均停止旋转,设 旋转时间为t秒. ① 在旋转过程中,若射线BM 与射线QN 相交,设交点为P,则当t=20时,∠QPB= . ② 在旋转过程中,是否存在BM∥QN? 若 存在,求出此时t的值;若不存在,请说明 理由. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线 ∴ ∠MEH =∠HEF+∠MEF= 1 2∠FEG+ 1 2∠AEF= 1 2 (∠FEG+ ∠AEF)=12∠AEG=65°. ∵ HN⊥EM, ∴ ∠ENH=90°. ∴ 在 直 角 三 角 形 EHN 中, ∠EHN = 180° - ∠ENH - ∠NEH=180°-90°-65°=25°,即 α=25°. ② 分两种情况讨论: 如图①,当点G在点F的右侧时,α= 1 2β. ∵ AB∥CD, ∴ ∠AEG=180°-β. ∵ EH 平 分 ∠FEG,EM 平 分 ∠AEF, ∴ ∠HEF= 12 ∠FEG ,∠MEF= 1 2∠AEF. ∴ ∠MEH =∠HEF+∠MEF= 1 2∠FEG+ 1 2∠AEF= 1 2 (∠FEG+ ∠AEF)=12∠AEG= 1 2 (180°-β). ∵ HN⊥ME, ∴ ∠ENH=90°. ∴ 在 直 角 三 角 形 EHN 中, ∠EHN = 180° - ∠ENH - ∠MEH=180°-90°-∠MEH = 90°-12 (180°-β)= 1 2β ,即α=12β. 如图②,当点G在点F的左侧时,α= 90°-12β. ∵ AB∥CD, ∴ ∠AEG=∠EGF=β. ∵ EH 平 分 ∠FEG,EM 平 分 ∠AEF, ∴ ∠HEF= 12 ∠FEG ,∠MEF= 1 2∠AEF. ∴ ∠MEH =∠MEF-∠HEF= 1 2∠AEF- 1 2∠FEG= 1 2 (∠AEF- ∠FEG)=12∠AEG= 1 2β. ∵ HN⊥ME, ∴ ∠ENH=90°. ∴ 在 直 角 三 角 形 EHN 中, ∠EHN=180°-∠ENH-∠MEH= 180°-90°-12β=90°- 1 2β ,即α= 90°-12β. 综上所述,α=12β 或α=90°-12β. (第11题) 第4课时 平行线的判定 与性质的综合应用 1. D 2. B 3. ①③④ [解析] ∵ AB⊥BC, AE⊥DE,∴ ∠1+∠AEB=90°, ∠DEC+ ∠AEB =90°.∴ ∠1= ∠DEC.又 ∵ ∠1+ ∠2=90°, ∴ ∠DEC+∠2=90°.∴ ∠C=90°. ∴ ∠B+∠C=180°.∴ AB∥CD.故 ①正确.∵ AB∥CD,∴ ∠BAD+ ∠ADC =180°.又 ∵ ∠AEB ≠ ∠BAD,∴ ∠AEB+∠ADC≠180°. 故②错误.∵ AE⊥DE,∴ ∠AED= 90°.∴ ∠4+∠3=90°.∵ ∠2+ ∠1=90°,AE 平分∠BAD,即∠3= ∠1,∴ ∠2= ∠4.∴ DE 平 分 ∠ADC.故③正确.∵ ∠1+∠2= 90°,∴ ∠EAM +∠EDN=360°- 90°=270°.∵ ∠EAM 和∠EDN 的 平分 线 交 于 点 F,∴ ∠EAF + ∠EDF=12×270°=135°.∵ ∠3+ ∠4=90°,∴ ∠FAD + ∠FDA = 135°-90°=45°.∴ ∠F=180°- (∠FAD+∠FDA)=180°-45°= 135°.故④正确.综上所述,正确的结 论是①③④. 4. 15°或165° [解析] 如图①,当 CD∥OB 时,∠AED=∠O=90°, ∴ ∠EAD = 90°- 30°= 60°. ∴ ∠BAD=60°-45°=15°.如图②, 当CD∥OB 时,过点A 作AM∥OB, ∴ AM∥CD.∴ ∠OAM=∠O=90°, ∠DAM=∠D=30°.∴ ∠BAD= 90°+45°+30°=165°.综上所述,当 ∠BAD=15°或165°时,CD∥OB. (第4题) 5. 可以. 理由:如图,∵ ∠1=∠2,∠1=∠3, ∴ ∠2=∠3. ∴ CE∥BF. ∴ ∠C=∠BFD. ∵ ∠B=∠C, ∴ ∠B=∠BFD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 ∴ AB∥CD. (第5题) 6. C 7. D [解 析] ∵ AB ∥CD, ∴ ∠BGC=∠C=α.∵ GE 平分 ∠BGC,∴ ∠BGE = ∠CGE = 1 2∠BGC= 1 2α. 如图①,当点P 在 直线AB和直线CD 之间时,过点P 作PM∥AB,∴ ∠BGE=∠GPM= 1 2α.∵ AB∥CD,∴ MP∥CD. ∴ ∠MPH = ∠PHC= ∠GPH - ∠GPM=∠GPH-12α.∴ ∠GPH- ∠PHC=12α. 故A不符合题意.如 图②,当点P 在直线AB 上方时,过 点 P 作 PN ∥AB,∴ ∠FPN = ∠FGA=∠BGE=12α.∵ AB∥CD, ∴ PN∥CD.∴ ∠NPH=∠PHC. ∵ ∠FPN +∠NPH +∠GPH = 180°,∴ 1 2α+∠PHC+∠GPH= 180°.故C不符合题意,D符合题意. 如图③,当点P 在直线CD 下方时, 过点P 作PK∥AB,∴ ∠GPK= ∠AGF=∠BGE=12α.∵ AB∥CD, ∴ PK∥CD.∴ ∠PHC=∠KPH. ∵ ∠GPH+∠KPH=∠GPK=12α , ∴ ∠GPH +∠KPH =∠GPH + ∠PHC=12α. 故B不符合题意. (第7题) 8. 10或28 [解析] ① 如图①,设 CD与OB 相交于点E.∵ AB∥CD, ∴ ∠CEO=∠B=40°.∵ ∠C=60°, ∠COD=90°,∴ ∠D=90°-60°= 30°.∴ ∠DOE=180°-∠OED- ∠D=180°- (180°- ∠CEO)- ∠D=∠CEO-∠D=40°-30°= 10°.∴ ∠AOD=∠AOB+∠DOE= 90°+10°=100°.∵ 每秒旋转10°, ∴ 100°÷10°=10(秒).② 如图②,延 长BO与CD 交于点E.∵ AB∥CD, ∴ ∠CEO=∠B=40°.∵ ∠C=60°, ∠COD=90°,∴ ∠D=90°-60°= 30°.∴ ∠DOE=180°-∠OED- ∠D=180°- (180°- ∠CEO)- ∠D=∠CEO-∠D=40°-30°= 10°.∴ 旋转角为90°+180°+10°= 280°.∵ 每秒旋转10°,∴ 280°÷10°= 28(秒).综上所述,在第10或28秒 时,边CD与边AB平行. (第8题) 9. 30°或60°或90°或120° [解析] 由 题意,得∠B=∠DCE=60°,∠BCA= ∠E=30°,∠A=∠EDC=90°.如图 ①,当DE∥AB 时,∠BCD=30°.如 图②,当AB∥CE时,∠BCD=180°- ∠B-∠DCE=60°.如图③,当DE∥ BC时,∠BCD=∠EDC=90°.如图 ④,当AB∥CD 时,∠BCD=180°- ∠B=120°. (第9题) 10. ∵ EF⊥BC,AD⊥BC, ∴ ∠EFC=∠DMC=90°. ∴ EF∥AD. ∴ ∠2=∠CDM. ∵ ∠1=∠2, ∴ ∠1=∠CDM. ∴ CD∥MN. ∵ ∠3=∠C, ∴ AB∥CD. ∴ AB∥MN. 11. (1) 120°;90°. [解析] 由题意, 可 知 ∠QBC = 60°,DG ∥EF, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 ∴ ∠QBC=∠DQB=60°.∵ ∠DQB+ ∠1=180°,∴ ∠1=180°-∠DQB= 120°.由题意,可知 ∠ACB =90°, ∠ACF+∠ACB=180°,∴ ∠ACF= 90°.∵ DG ∥ EF,∴ ∠2 = ∠ACF=90°. (2) ① 40°. [解析] 如图①,根据题 意,得∠ABC=60°,∠FBP=20× 2°=40°,∠AQP =20×3°=60°, ∴ ∠AQP=∠ABC.∴ PQ∥BC. ∴ ∠QPB=∠FBP=40°. ② 存在. 如图②,当点M,N 在BC同侧时. ∵ BM∥QN, ∴ ∠AQN=∠ABM. 由题意,得∠MBF=(2t)°,∠AQN= (3t)°,∠ABC=60°, ∴ ∠ABM=60°-(2t)°. ∴ (3t)°=60°-(2t)°,解得t=12. 如图③,当点M,N 在BC异侧时. ∵ BM∥QN, ∴ ∠ABM=∠BQN. 由题意,得∠MBF=(2t)°,∠AQN= (3t)°,∠ABC=60°. ∴ ∠ABM=(2t)°-60°,∠BQN= 180°-∠AQN=180°-(3t)°. ∴ (2t)°-60°=180°-(3t)°,解得t= 48. 综上所述,存在BM∥QN,此时t的 值为12或48. (第11题) 7.3　定义、命题、定理 1. A 2. A 3. A 4. 1 5. ∠BCD;两直线平行,同位角相等; DG;同旁内角互补,两直线平行; ∠BCD;两直线平行,内错角相等. 6. A [解析] 在同一平面内,已知 a,b,c是三条不同的直线,若a与b 相交,b与c相交,则a与c可能平行, 也可能相交,故①不正确.若a⊥b, a⊥c,则b∥c的前提条件是“在同一 平面内”,故②不正确.若一个角的两 边与另一个角的两边分别平行,则这 两个角相等或互补,故③不正确. ∴ 正确的个数为0. 判断命题真假的方法 要说明一个命题是真命题,一 般需要推理、论证,而判断一个命 题是假命题,只需举出一个反例. 7. 3 [解析] 选择① AB∥CD, ② ∠B=∠C 为条件,③ ∠E=∠F 作为结论,∵ AB∥CD,∴ ∠EAB= ∠C.∵ ∠B= ∠C,∴ ∠EAB = ∠B.∴ EC∥BF.∴ ∠E=∠F. ∴ 此命题为真命题.选择② ∠B= ∠C,③ ∠E=∠F 为条件,① AB∥ CD作为结论,∵ ∠E=∠F,∴ EC∥ BF.∴ ∠C=∠CDF.∵ ∠B=∠C, ∴ ∠B=∠CDF.∴ AB∥CD.∴ 此 命题为真命题.选择① AB∥CD, ③ ∠E=∠F 为条件,② ∠B=∠C 作为结论,∵ AB∥CD,∴ ∠B= ∠CDF.∵ ∠E=∠F,∴ EC∥BF. ∴ ∠C= ∠CDF.∴ ∠B = ∠C. ∴ 此命题为真命题.综上所述,能够 构造3个真命题. 8. (1) 命题1:∵ AB∥CD,AM∥ EN, ∴ ∠BAM=∠CEN. 命题 2:∵ AB ∥CD,∠BAM = ∠CEN, ∴ AM∥EN. 命题 3:∵ AM ∥EN,∠BAM = ∠CEN, ∴ AB∥CD. (2) 选择不唯一,如选择命题1. ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAE=∠CEA. ∵ AM∥EN, ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠BAE-∠1=∠CEA-∠2, 即∠BAM=∠CEN. 9. (1) “两个负数之差为负数”是假 命题. 举例不唯一,如-2-(-3)=1,1不 是负数, ∴ “两个负数之差为负数”是假命题. (2) “如果一个四边形的两组对边分 别平行,那么它的不相邻的两个内角 相等”是真命题. (3) “互补的角是同旁内角”是假 命题. 举例不唯一,如图,∠AOC 与∠BOC 互补,但它们不是同旁内角. ∴ “互补的角是同旁内角”是假命题. (第9题) 10. (1) 如图①,∠3与∠4互为同旁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8