7.2 第3课时 平行线的性质-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

12 第3课时 平行线的性质 ▶ “答案与解析”见P5 1. (2024·泰安期中)如图,将长方形纸片ABCD 沿EF折叠,A,D 两点的对应点分别为A', D'.若∠1=2∠2,则∠AEF的度数为( ) (第1题) A. 60° B. 65° C. 72° D. 75° 2. (2024·武威凉州期末)如图,a∥b,直角三角 形的直角顶点在直线a上.若∠1=60°,则 ∠2的度数为 ( ) (第2题) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 3. 如图,一束光AB先后经平面镜OM,ON 反 射后(入射光线与平面镜的夹角等于反射光 线与平面镜的夹角),反射光线CD 与AB平 行,则当∠ABM=35°时,∠DCN 的度数为 ( ) (第3题) A. 55° B. 70° C. 60° D. 35° 4. 如图,AB∥CD∥EF,则∠1,∠2,∠3之间的 数量关系为 . (第4题) 5. 如图,EF∥CD,GD∥CA,∠1=140°. (1) 求∠2的度数. (2) 若DG平分∠CDB,求∠A的度数. (第5题) 6. (新情境)(2024·南阳一模)某同学“抖空竹” 的一个瞬间可以抽象成如图所示的数学图 形:在同一平面内,AB∥CD,DC的延长线交 AE于点F.若∠BAE=75°,∠E=35°,则 ∠DCE的度数为 ( ) A. 75° B. 110° C. 115° D. 120° (第6题) (第7题) 7. (2024·汕头模拟)如图所示为一盏可调节台 灯的示意图,支撑杆AO垂直底座MN 于点 O,AB 与BC 分别是可绕点A,B 旋转的调 节杆,台灯灯罩可绕点C旋转来调节光线角 度,在调节过程中,最外侧光线CD,CE组成 的∠DCE 始终保持不变.现调节台灯,使外 侧光线CD∥MN,CE∥BA.若∠BAO= 158°,则∠DCE的度数为 ( ) A. 58° B. 68° C. 32° D. 22° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 13 8. (2024·天津期末)如图,MN∥PQ, 点B在MN上,点C在PQ上,点A 在MN 上方,∠ABD∶∠DBN=3∶ 2,点E在BD 的反向延长线上,且∠ACE∶ ∠ECP=3∶2,设∠A=α,则∠E 的度数为 (用含α的式子表示). (第8题) (第9题) 9. (2024·武汉期末)如图,AB∥CD, ∠ABM 的平分线BP 交∠HCD 的 平分线CQ 的反向延长线于点P, PC交MH 于点E,BP的反向延长线交CD 于点N.若∠HCD-2∠BNC=24°,则∠P+ ∠H= . 10. 如图,点C在∠MON 的一边OM 上,过点 C 的直线AB∥ON,CD 平分∠ACM, CE⊥CD. (1) 若∠O=50°,求∠BCD的度数. (2) 试说明:CE平分∠OCA. (3) 当∠O的度数为多少时,CA 将∠OCD 分成度数之比为1∶2的两部分? 请说明 理由. (第10题) 11. (2023·东莞期中)如图①,AB,CD 两条直 线被直线EF所截,分别交于点E,F,AB∥ CD,EM 平分∠AEF,并与CD交于点M. (1) 试说明:∠FEM=∠FME. (2) 如图②,G 是射线MD 上一动点(不与 点M,F 重合),EH 平分∠FEG 交CD 于 点H,过点 H 作HN⊥EM 于点N,设 ∠EHN=α,∠EGF=β. ① 当点G在点F的右侧时,若β=50°,求α 的度数. ② 点G在整个运动过程中,α和β之间有怎 样的数量关系? 请写出你的猜想. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线 第3课时 平行线的性质 1. C 2. A 3. A 4. ∠1+ ∠2=∠3 5. (1) ∵ EF∥CD, ∴ ∠1+∠ACD=180°. ∵ ∠1=140°, ∴ ∠ACD=40°. ∵ GD∥CA, ∴ ∠2=∠ACD=40°. (2) ∵ DG平分∠CDB,∠2=40°, ∴ ∠BDG=∠2=40°. ∵ GD∥CA, ∴ ∠A=∠BDG=40°. 6. B 7. B 8. 72°+25α [解析] 如图,过点A 作AG∥MN,过点E 作EH∥MN. ∵ MN∥PQ,∴ MN∥PQ∥AG∥ EH.∵ ∠ABD∶∠DBN=3∶2, ∠ACE∶ ∠ECP =3∶2,∴ 设 ∠ABD=3x,∠DBN=2x,∠ACE= 3y,∠ECP=2y.∵ MN∥PQ∥AG∥ EH,∴ ∠DEH = ∠DBN =2x, ∠HEC= ∠ECP =2y,∠GAB = 180°-∠ABD-∠DBN=180°-5x, ∠GAC=∠ACP=5y.∴ ∠DEC= 2(x +y),∠CAB = ∠GAC - ∠GAB=5y-(180°-5x)=5(x+ y)-180°=α.∴ x+y= 180°+α 5 = 36°+15α.∴ ∠DEC=2(x+y)= 72°+25α. (第8题) 9. 36° [解析] 由题意,可知BP平分 ∠ABM,CQ平分∠HCD,∴ ∠ABP= ∠MBP = 12 ∠ABM ,∠DCQ = ∠HCQ=12∠HCD.∵ ∠HCD- 2∠BNC = 24°,∴ 2 ∠DCQ - 2∠BNC=24°,即∠DCQ-∠BNC= 12°.∵ AB ∥CD,∴ ∠BNC = ∠ABP = ∠MBP = 12 ∠ABM. ∴ ∠P=180°-∠BNC-∠PCN= 180°-∠BNC-(180°-∠DCQ)= ∠DCQ-∠BNC=12°.∴ ∠PEB= ∠HEC=180°- ∠P - ∠PBE = 180°- ∠P - (180°- ∠MBP)= ∠MBP - ∠P = ∠BNC -12°. ∴ ∠H=180°-∠HEC-∠HCE= 180°-∠HEC-(180°-∠HCQ)= ∠HCQ - ∠HEC = ∠DCQ - (∠BNC-12°)=∠DCQ-∠BNC+ 12°=24°.∴ ∠P+ ∠H =12°+ 24°=36°. 10. (1) ∵ AB∥ON, ∴ ∠O=∠MCB. ∵ ∠O=50°, ∴ ∠MCB=50°. ∵ ∠ACM+∠MCB=180°, ∴ ∠ACM=180°-50°=130°. 又∵ CD平分∠ACM, ∴ ∠DCM=12∠ACM=65°. ∴ ∠BCD = ∠DCM + ∠MCB = 65°+50°=115°. (2) ∵ CE⊥CD, ∴ ∠DCE=90°. ∴ ∠ACE+∠DCA=90°. 又∵ ∠MCO=180°, ∴ ∠ECO+∠DCM=90°. ∵ CD平分∠ACM, ∴ ∠DCA=∠DCM. ∴ ∠ACE=∠ECO. ∴ CE平分∠OCA. (3) 当∠O=36°或∠O=90°时,CA 将∠OCD分成度数之比为1∶2的两 部分. 理由:① 当∠O=36°时, ∵ AB∥ON, ∴ ∠ACO=∠O=36°. ∴ ∠ACM=180°-∠ACO=144°. 又∵ CD平分∠ACM, ∴ ∠ACD=12∠ACM=72°. ∴ ∠ACO= 12∠ACD ,即 CA 将 ∠OCD分成度数之比为1∶2的两 部分. ② 当∠O=90°时, ∵ AB∥ON, ∴ ∠ACO=∠O=90°. ∴ ∠ACM=180°-∠ACO=90°. 又∵ CD平分∠ACM, ∴ ∠ACD=12∠ACM=45°. ∴ ∠ACD= 12 ∠ACO ,即 CA 将 ∠OCD分成度数之比为1∶2的两 部分. 综上所述,当∠O=36°或∠O=90° 时,CA 将∠OCD 分成度数之比为 1∶2的两部分. 11. (1) ∵ EM 平分∠AEF, ∴ ∠AEM=∠FEM. ∵ AB∥CD, ∴ ∠AEM=∠FME. ∴ ∠FEM=∠FME. (2) ① 如图①,∵ AB∥CD,β=50°, ∴ ∠AEG=180°-β=130°. ∵ EH 平 分 ∠FEG,EM 平 分 ∠AEF, ∴ ∠HEF= 12 ∠FEG ,∠MEF= 1 2∠AEF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 ∴ ∠MEH =∠HEF+∠MEF= 1 2∠FEG+ 1 2∠AEF= 1 2 (∠FEG+ ∠AEF)=12∠AEG=65°. ∵ HN⊥EM, ∴ ∠ENH=90°. ∴ 在 直 角 三 角 形 EHN 中, ∠EHN = 180° - ∠ENH - ∠NEH=180°-90°-65°=25°,即 α=25°. ② 分两种情况讨论: 如图①,当点G在点F的右侧时,α= 1 2β. ∵ AB∥CD, ∴ ∠AEG=180°-β. ∵ EH 平 分 ∠FEG,EM 平 分 ∠AEF, ∴ ∠HEF= 12 ∠FEG ,∠MEF= 1 2∠AEF. ∴ ∠MEH =∠HEF+∠MEF= 1 2∠FEG+ 1 2∠AEF= 1 2 (∠FEG+ ∠AEF)=12∠AEG= 1 2 (180°-β). ∵ HN⊥ME, ∴ ∠ENH=90°. ∴ 在 直 角 三 角 形 EHN 中, ∠EHN = 180° - ∠ENH - ∠MEH=180°-90°-∠MEH = 90°-12 (180°-β)= 1 2β ,即α=12β. 如图②,当点G在点F的左侧时,α= 90°-12β. ∵ AB∥CD, ∴ ∠AEG=∠EGF=β. ∵ EH 平 分 ∠FEG,EM 平 分 ∠AEF, ∴ ∠HEF= 12 ∠FEG ,∠MEF= 1 2∠AEF. ∴ ∠MEH =∠MEF-∠HEF= 1 2∠AEF- 1 2∠FEG= 1 2 (∠AEF- ∠FEG)=12∠AEG= 1 2β. ∵ HN⊥ME, ∴ ∠ENH=90°. ∴ 在 直 角 三 角 形 EHN 中, ∠EHN=180°-∠ENH-∠MEH= 180°-90°-12β=90°- 1 2β ,即α= 90°-12β. 综上所述,α=12β 或α=90°-12β. (第11题) 第4课时 平行线的判定 与性质的综合应用 1. D 2. B 3. ①③④ [解析] ∵ AB⊥BC, AE⊥DE,∴ ∠1+∠AEB=90°, ∠DEC+ ∠AEB =90°.∴ ∠1= ∠DEC.又 ∵ ∠1+ ∠2=90°, ∴ ∠DEC+∠2=90°.∴ ∠C=90°. ∴ ∠B+∠C=180°.∴ AB∥CD.故 ①正确.∵ AB∥CD,∴ ∠BAD+ ∠ADC =180°.又 ∵ ∠AEB ≠ ∠BAD,∴ ∠AEB+∠ADC≠180°. 故②错误.∵ AE⊥DE,∴ ∠AED= 90°.∴ ∠4+∠3=90°.∵ ∠2+ ∠1=90°,AE 平分∠BAD,即∠3= ∠1,∴ ∠2= ∠4.∴ DE 平 分 ∠ADC.故③正确.∵ ∠1+∠2= 90°,∴ ∠EAM +∠EDN=360°- 90°=270°.∵ ∠EAM 和∠EDN 的 平分 线 交 于 点 F,∴ ∠EAF + ∠EDF=12×270°=135°.∵ ∠3+ ∠4=90°,∴ ∠FAD + ∠FDA = 135°-90°=45°.∴ ∠F=180°- (∠FAD+∠FDA)=180°-45°= 135°.故④正确.综上所述,正确的结 论是①③④. 4. 15°或165° [解析] 如图①,当 CD∥OB 时,∠AED=∠O=90°, ∴ ∠EAD = 90°- 30°= 60°. ∴ ∠BAD=60°-45°=15°.如图②, 当CD∥OB 时,过点A 作AM∥OB, ∴ AM∥CD.∴ ∠OAM=∠O=90°, ∠DAM=∠D=30°.∴ ∠BAD= 90°+45°+30°=165°.综上所述,当 ∠BAD=15°或165°时,CD∥OB. (第4题) 5. 可以. 理由:如图,∵ ∠1=∠2,∠1=∠3, ∴ ∠2=∠3. ∴ CE∥BF. ∴ ∠C=∠BFD. ∵ ∠B=∠C, ∴ ∠B=∠BFD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6