7.2 第2课时 平行线的判定-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

10 第2课时 平行线的判定 ▶ “答案与解析”见P4 1. 如图,∠1=∠2=∠3=∠4,则图中所有的平 行线是 ( ) (第1题) A. AB∥CD∥EF B. CD∥EF C. AB∥EF D. AB∥CD∥EF,BC∥DE 2. (2024·石家庄期中)如图,四种沿AB 折叠 的方法中,不一定能判定纸带两条边a,b互 相平行的是 ( ) (第2题) A. 图①中,展开后测得∠1=∠2 B. 图②中,展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C. 图③中,测得∠1=∠2 D. 图④中,展开后测得∠1+∠2=180° 3. 如图,若要使l1与l2平行,则l1绕点O旋转 的度数至少为 . (第3题) 4. (2023·石家庄栾城期末)如图,∠B=40°, ∠BDC=40°,∠A=∠1,试说明:AC∥DE (写出每一步的理论依据). (第4题) 5. ★(2024·德州期末)如图,有下列条件:① ∠3= ∠4;② ∠3+∠5=180°;③ ∠1= ∠2; ④ ∠4+∠BCD=180°,且∠D=∠4.其中, 能推出AD∥BC的条件为 ( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ (第5题) (第6题) 6. (2024·天津期中)如图,∠F+ ∠FGD=80°(∠F>∠FGD).有下 列条件:① ∠FEB+2∠FGD= 80°;② ∠F + ∠FGC =180°;③ ∠F + ∠FEA=180°;④ ∠FGC-∠F=100°.其 中,添加后能使AB∥CD的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图,EF⊥MN,垂足为F,且∠1=140°.若 增加一个条件使得AB∥CD,试写出一个符 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 11 合要求的条件: . (第7题) (第8题) 8. (2024·常州期中)如图,直线EF上有两点A, C,过点A,C 分别引两条射线AB,CD, ∠DCF=60°,∠EAB=70°,将射线AB,CD 分别绕点A,C以每秒1°和每秒4°的速度同 时按顺时针方向转动,设转动时间为ts,在 射线CD 转动一周的时间内,当CD 与AB 平行时,t的值为 . 9. (2023·西安长安期中)如图,直线EF 与直 线AB,CD 分别相交于点M,O,OP,OQ 分 别平分∠COE 和∠DOE,与AB 交于点P, Q,∠OPQ+∠DOQ=90°. (1) 若∠DOQ∶∠DOF=2∶5,求∠FOQ 的度数. (2) 试说明:AB∥CD. (第9题) 10. 将一副三角尺按如图所示的方式 叠放在一起(其中∠A=60°,∠D= 30°,∠E=∠B=45°,∠ACD= ∠ECB=90°). (1) 若∠DCE=35°,求∠ACB的度数. (2) 猜想∠ACB 与∠DCE 之间的数量关 系,并说明理由. (3) 现将三角尺ACD固定,三角尺BCE的 边CE与边CA重合,然后将三角尺BCE绕 点C按顺时针方向旋转,当0°<∠ACE< 180°且点E在直线AC的上方时,这两把三 角尺是否存在一组边互相平行? 若存在,请 直接写出∠ACE 所有可能的值(不必说明 理由);若不存在,请说明理由. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线 (2) ED⊥AC. (3) 钝 角:∠GFD =135°.直 角: ∠ADE=90°.锐角:∠GCB=30°. 12. (1) 如图所示. (2) EF∥CD. 因为EF∥AB,AB∥CD, 所以EF∥CD(如果两条直线都与第 三条直线平行,那么这两条直线也互 相平行). (第12题) 第2课时 平行线的判定 1. D 2. C 3. 38° 4. 如图,设AC,BD交于点O. ∵ ∠B=40°,∠BDC=40°(已知), ∴ ∠B=∠BDC(等量代换). ∵ ∠AOB=∠COD(对顶角相等), ∴ 180°- ∠B- ∠AOB=180°- ∠BDC-∠COD,即∠A=∠C(三角 形的内角和为180°). ∵ ∠A=∠1(已知), ∴ ∠C=∠1(等量代换). ∴ AC∥DE(内错角相等,两直线 平行). (第4题) 5. C 不能正确识别截线与被截 直线,误判两直线平行 两条直线平行的判定,主要是 通过角的关系来实现,关键在于识 别一对角是由哪两条直线被第三 条直线所截而成的.当分不清截线 和被截直线时,容易误认为③也是 正确的. 6. B 7. 答案不唯一,如∠2=50° 8. 10 3 或190 3 [解析] ∵ ∠EAB= 70°,∠DCF=60°,∴ ∠BAC=110°, ∠ACD=120°.分两种情况:如图①, 当 AB 与CD 在 EF 的 两 侧 时, ∠ACD=120°- (4t)°,∠BAC = 110°-t°.要使AB∥CD,则∠ACD= ∠BAC,即120°-(4t)°=110°-t°,解 得t=103 ;② 如图②,当CD与AB都 在EF 的右侧时,∠DCF=360°- (4t)°-60°=300°-(4t)°,∠BAC= 110°-t°.要使AB∥CD,则∠DCF= ∠BAC,即300°-(4t)°=110°-t°,解 得t=1903. 综上所述,当CD与AB平 行时,t的值为103 或190 3 . (第8题) 9. (1) ∵ OQ平分∠DOE, ∴ ∠EOQ=∠DOQ. ∵ ∠DOQ∶∠DOF=2∶5, ∴ ∠EOQ∶∠DOQ∶∠DOF=2∶ 2∶5. ∵ ∠EOQ + ∠DOQ + ∠DOF = 180°, ∴ ∠EOQ= 22+2+5×180°=40°. ∴ ∠FOQ=180°-∠EOQ=140°. (2) ∵ OP,OQ 分别平分∠COE 和 ∠DOE, ∴ ∠POM= 12∠COM ,∠QOM= 1 2∠DOM. ∴ ∠POM+∠QOM=12 (∠COM+ ∠DOM). ∴ ∠POQ = 12 ∠COD = 1 2 × 180°=90°. ∴ ∠PQO + ∠OPQ = 180° - ∠POQ=90°. ∵ ∠OPQ+∠DOQ=90°, ∴ ∠PQO=∠DOQ. ∴ AB∥CD. 10. (1) ∵ ∠ACD=90°,∠ECB= 90°,∠DCE=35°, ∴ ∠DCB=90°-35°=55°. ∴ ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB = 90°+55°=145°. (2) ∠ACB+∠DCE=180°. 理 由:∵ ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB=90°+ ∠DCB,∠ECB = ∠DCE+∠DCB=90°, ∴ ∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+ ∠DCE=90°+90°=180°. (3) 存在. 如图①,当∠ACE=30°时,AD∥BC; 如图②,当∠ACE=45°时,AC∥BE; 如图③,当∠ACE=120°时,AD∥CE; 如图④,当∠ACE=135°时,BE∥CD; 如图⑤,当∠ACE=165°时,BE∥AD. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 第3课时 平行线的性质 1. C 2. A 3. A 4. ∠1+ ∠2=∠3 5. (1) ∵ EF∥CD, ∴ ∠1+∠ACD=180°. ∵ ∠1=140°, ∴ ∠ACD=40°. ∵ GD∥CA, ∴ ∠2=∠ACD=40°. (2) ∵ DG平分∠CDB,∠2=40°, ∴ ∠BDG=∠2=40°. ∵ GD∥CA, ∴ ∠A=∠BDG=40°. 6. B 7. B 8. 72°+25α [解析] 如图,过点A 作AG∥MN,过点E 作EH∥MN. ∵ MN∥PQ,∴ MN∥PQ∥AG∥ EH.∵ ∠ABD∶∠DBN=3∶2, ∠ACE∶ ∠ECP =3∶2,∴ 设 ∠ABD=3x,∠DBN=2x,∠ACE= 3y,∠ECP=2y.∵ MN∥PQ∥AG∥ EH,∴ ∠DEH = ∠DBN =2x, ∠HEC= ∠ECP =2y,∠GAB = 180°-∠ABD-∠DBN=180°-5x, ∠GAC=∠ACP=5y.∴ ∠DEC= 2(x +y),∠CAB = ∠GAC - ∠GAB=5y-(180°-5x)=5(x+ y)-180°=α.∴ x+y= 180°+α 5 = 36°+15α.∴ ∠DEC=2(x+y)= 72°+25α. (第8题) 9. 36° [解析] 由题意,可知BP平分 ∠ABM,CQ平分∠HCD,∴ ∠ABP= ∠MBP = 12 ∠ABM ,∠DCQ = ∠HCQ=12∠HCD.∵ ∠HCD- 2∠BNC = 24°,∴ 2 ∠DCQ - 2∠BNC=24°,即∠DCQ-∠BNC= 12°.∵ AB ∥CD,∴ ∠BNC = ∠ABP = ∠MBP = 12 ∠ABM. ∴ ∠P=180°-∠BNC-∠PCN= 180°-∠BNC-(180°-∠DCQ)= ∠DCQ-∠BNC=12°.∴ ∠PEB= ∠HEC=180°- ∠P - ∠PBE = 180°- ∠P - (180°- ∠MBP)= ∠MBP - ∠P = ∠BNC -12°. ∴ ∠H=180°-∠HEC-∠HCE= 180°-∠HEC-(180°-∠HCQ)= ∠HCQ - ∠HEC = ∠DCQ - (∠BNC-12°)=∠DCQ-∠BNC+ 12°=24°.∴ ∠P+ ∠H =12°+ 24°=36°. 10. (1) ∵ AB∥ON, ∴ ∠O=∠MCB. ∵ ∠O=50°, ∴ ∠MCB=50°. ∵ ∠ACM+∠MCB=180°, ∴ ∠ACM=180°-50°=130°. 又∵ CD平分∠ACM, ∴ ∠DCM=12∠ACM=65°. ∴ ∠BCD = ∠DCM + ∠MCB = 65°+50°=115°. (2) ∵ CE⊥CD, ∴ ∠DCE=90°. ∴ ∠ACE+∠DCA=90°. 又∵ ∠MCO=180°, ∴ ∠ECO+∠DCM=90°. ∵ CD平分∠ACM, ∴ ∠DCA=∠DCM. ∴ ∠ACE=∠ECO. ∴ CE平分∠OCA. (3) 当∠O=36°或∠O=90°时,CA 将∠OCD分成度数之比为1∶2的两 部分. 理由:① 当∠O=36°时, ∵ AB∥ON, ∴ ∠ACO=∠O=36°. ∴ ∠ACM=180°-∠ACO=144°. 又∵ CD平分∠ACM, ∴ ∠ACD=12∠ACM=72°. ∴ ∠ACO= 12∠ACD ,即 CA 将 ∠OCD分成度数之比为1∶2的两 部分. ② 当∠O=90°时, ∵ AB∥ON, ∴ ∠ACO=∠O=90°. ∴ ∠ACM=180°-∠ACO=90°. 又∵ CD平分∠ACM, ∴ ∠ACD=12∠ACM=45°. ∴ ∠ACD= 12 ∠ACO ,即 CA 将 ∠OCD分成度数之比为1∶2的两 部分. 综上所述,当∠O=36°或∠O=90° 时,CA 将∠OCD 分成度数之比为 1∶2的两部分. 11. (1) ∵ EM 平分∠AEF, ∴ ∠AEM=∠FEM. ∵ AB∥CD, ∴ ∠AEM=∠FME. ∴ ∠FEM=∠FME. (2) ① 如图①,∵ AB∥CD,β=50°, ∴ ∠AEG=180°-β=130°. ∵ EH 平 分 ∠FEG,EM 平 分 ∠AEF, ∴ ∠HEF= 12 ∠FEG ,∠MEF= 1 2∠AEF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5