7.1 第2课时 两条直线垂直-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

互为余角.故⑥正确,不符合题意.综 上所述,错误的有③⑤. 13. (1) 因为OC 平分∠AOM,且 ∠AOM=88°, 所以∠AOC=∠COM=12∠AOM=44°. 所以∠AOD=180°-44°=136°. (2) 因为∠AOD=136°, 所以∠BOC=136°. 因为∠BOC=4∠NOB, 所以∠NOB=34°. 因为∠COM=44°, 所以∠MON=∠BOC-∠NOB- ∠COM=136°-34°-44°=58°. 14. (1) 10;1+2+3+4;16;1+1+ 2+3+4+5. (2) 45;56. (3) 当直线的条数为n时,最多有1+ 2+3+…+(n-1)=n (n-1) 2 个交 点,最多把平面分成1+1+2+ 3+…+n= n (n+1) 2 +1 个部分. 第2课时 两条直线垂直 1. C 2. A 3. 丙 4. 因 为 ∠AOC = ∠BOD =28°, OM⊥CD, 所以∠AOM=90°-∠AOC=90°- 28°=62°. 因为OA平分∠MOE, 所以∠AOE=∠AOM=62°. 所以∠COE=∠AOE-∠AOC=34°. 5. B 6. D 7. A 8. D 9. 112.5° [解析] 因为OG⊥AB, OE⊥CD,所以∠BOG=∠DOE=90°. 所以∠EOF+∠FOD=90°.所以 2∠EOF +2∠FOD =180°.因 为 ∠BOD = ∠FOD,所 以 ∠FOB = 2∠FOD.所以 2∠EOF =180°- ∠FOB = ∠AOF.所 以 ∠AOE = ∠EOF.所以OE 平分∠AOF.因为 ∠FOG∶∠AOE=2∶3,所以设 ∠FOG=2α,则∠AOE=∠EOF= 3α.所以∠EOG=3α-2α=α.因为 ∠EOG+ ∠GOD =90°,∠GOD + ∠BOD = 90°,所 以 ∠EOG = ∠BOD=α.所以∠FOD=∠BOD= α.因为A,O,B 三点在同一条直线 上,所以3α+3α+α+α=180°,解得 α=22.5°.所以 ∠COG =180°- ∠GOD=180°-3α=112.5°. 10. 2m或180°-2m [解析] 分两种 情况讨论:① 当OD 在∠AOB 内部 时,如图①.因为OE 平分∠AOD,所 以∠EOD=∠AOE=m.所以∠BOD= ∠AOC=90°-2m.所以∠COB= 90°-∠AOC=90°-(90°-2m)= 2m.② 当OD在∠AOB外部时,如图 ②.因 为 OE 平 分 ∠AOD,所 以 ∠EOD=∠AOE=m.所以∠AOD= 2m.所以∠AOC=∠BOD=2m- 90°.所 以 ∠COB = ∠AOB - ∠AOC=90°-(2m-90°)=180°- 2m.综 上 所 述,∠COB =2m 或 180°-2m. (第10题) 11. (1) 因为∠AOC=68°, 所以∠AOC=∠BOD=68°. 因为OE平分∠BOD, 所以∠DOE=12∠BOD=34°. 因为OF⊥CD, 所以∠COF=∠DOF=90°. 所以∠EOF=∠DOF-∠DOE=56°. 所以∠EOF的度数为56°. (2) 因为OE平分∠BOD,∠AOC=n°, 所以∠DOE=12∠BOD= 1 2∠AOC= 1 2n°. 因为OF⊥CD, 所以∠DOF=90°. 所以∠EOF=∠DOF-∠DOE= 90-12n °. (3) 设∠BOF=x°,则∠BOE=(x+ 24)°. 因为OE平分∠BOD, 所以∠BOE=∠DOE=(x+24)°. 因为∠DOF=90°, 所以∠DOE+∠BOE+∠BOF=90°. 所以(x+24)+(x+24)+x=90,解 得x=14. 所以∠DOE=(x+24)°=38°. 所以∠COE=180°-∠DOE=142°. 所以∠COE的度数为142°. 12. (1) ① 如图①所示. ② 因 为 ∠BOC =30°,OD 平 分 ∠BOC, 所以∠BOD=12∠BOC=15°. 因为OE⊥OD, 所以∠DOE=90°. 所以∠BOE=∠BOD+∠DOE= 105°. 又因为点O在直线AB上, 所以∠AOE=180°-∠BOE=75°. (2) 分两种情况讨论: ① 当点C 在直线AB 上方时,如 图①. 因为∠BOC=α,OD平分∠BOC, 所以∠BOD=12∠BOC= 1 2α. 因为∠DOE=90°, 所以∠BOE=∠DOE+∠BOD= 90°+12α. 又因为点O在直线AB上, 所以∠AOE=180°-∠BOE=90°-12α. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 ② 当点C 在直线AB 下方时,如 图②. 因为OD平分∠BOC,∠BOC=α, 所以∠BOD=12∠BOC= 1 2α. 因为OE⊥OD, 所以∠DOE=90°. 所以∠BOE=∠DOE-∠BOD= 90°-12α. 又因为点O在直线AB上, 所以∠AOE=180°-∠BOE=90°+ 1 2α. 综上所述,∠AOE 的度数为90°- 1 2α 或90°+12α. (第12题) 第3课时 两条直线被第三条 直线所截 1. B 2. B 3. ① 确定复杂图形中的“三线八角” 要在一个复杂的图形中确定 “三线八角”,需先在复杂的图形中 分离出“三线”,一般从相邻的两个 顶点处的角入手,其中两个角的公 共边或在同一条直线上的边所在 的直线是截线,另一边所在的直线 是被截线,然后根据角的位置关系 来进一步判断. 4. ∠2的内错角是∠ACD,∠DGB. ∠AEF的同位角是∠ACB,∠ACD. ∠1的同旁内角是∠EFD,∠ECD, ∠ECB. 5. D 6. C 7. A 8. 9 [解析] 同位角有∠2与∠5, ∠3与∠7,∠4与∠8,∠1与∠6,则 a=4;内错角有∠6与∠8,∠3与 ∠5,∠1与∠4,∠2与∠7,则b=4; 同旁内角有∠3与∠8,∠1与∠8,∠7 与∠8,∠1与∠7,∠2与∠3,∠2与 ∠4,∠3与∠4,则c=7.所以ab- c=4×4-7=9. 9. (1) 2. (2) 6. (3) 24. (4) n(n-1)(n-2). 10. (1) 画法不唯一,如图所示. (2) 因为∠1=2∠2,∠2=2∠3, 所以设∠3=x,则∠2=2x,∠1=4x. 因为∠1+∠3=180°, 所以4x+x=180°,解得x=36°. 所以∠3=36°,∠2=2x=72°,∠1= 4x=144°. (第10题) 11. 如图①,与∠C 成同旁内角的角 有3个,分别为∠CED,∠B,∠A;如 图②,与∠C成同旁内角的角有4个, 分别为∠CFG,∠B,∠CGF,∠A. (第11题) 12. (1) 答案不唯一,如 ∠1 同旁内角 →∠9 内错角 →∠8. (2) 能.∠1 同位角 →∠10 内错角 → ∠5 同旁内角 →∠8. (3) 答案不唯一,如∠1 同旁内角 → ∠9 同旁内角 →∠2 内错角 → ∠10 同旁内角 →∠3 同旁内角 → ∠4 内错角 →∠11 同旁内角 → ∠5 同旁内角 →∠6 内错角 → ∠12 同旁内角 →∠7 同旁内角 →∠8. 7.2　平 行 线 第1课时 平行线的概念 1. D 2. C 3. 如果两条直线都与 第三条直线平行,那么这两条直线也 互相平行 4. 在 经过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行 5. C 6. A 7. B 8. 3 9. (1) 6;画出线段如图所示. (2) FD. (第9题) 10. (1) 如图所示. (2) 如图所示. (3) 如图,l1与l2相交形成∠1,∠2, ∠3,∠4.由量角器量得∠1=∠3= ∠O,∠2+∠O=180°,∠4+∠O= 180°,所以l1 与l2 相交形成的角与 ∠O相等或互补. (第10题) 11. 答案不唯一,如: (1) DE∥CB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 4 第2课时 两条直线垂直 ▶ “答案与解析”见P2 1. 已知直线AB,CB,l在同一平面内,若AB⊥ l,垂足为B,CB⊥l,垂足也为B,则符合题 意的图形可以是 ( ) A. B. C. D. 2. 如图,OC 是∠BOD 的平分线,OD⊥OA, ∠BOC=32°,则∠AOC的度数为 ( ) A. 58° B. 64° C. 26° D. 68° (第2题) (第3题) 3. 如图,OA⊥OC,OB⊥OD,4名同学观察图形 后的观点如下:甲:∠AOB=∠COD;乙: ∠BOC + ∠AOD =180°;丙:∠AOB + ∠COD=90°;丁:图中小于平角的角有6个. 其中,观点错误的是 (填“甲”“乙” “丙”或“丁”). 4. (2023·凉州期末)如图,直线AB,CD 相交 于点O,OM⊥CD 于点O,OA 平分∠MOE, ∠BOD=28°,求∠COE的度数. (第4题) 5. (2024·河南期末)如图,直线AB,CD 相交 于点O,EO⊥AB 于点O.若∠EOD=155°, 则∠AOC的度数为 ( ) A. 35° B. 65° C. 55° D. 25° (第5题) (第7题) 6. 有下列条件:① 两直线相交所成的四个角都 是直角;② 两直线相交,对顶角互补;③ 两直 线相交所成的四个角都相等.其中,可以判断 两条直线互相垂直的是 ( ) A. 只有①② B. 只有①③ C. 只有②③ D. ①②③ 7. (2024·郑州期末)如图,点O在直线AB上, OC⊥OD 于点O.若∠BOD=3∠BOC,则 ∠AOD的度数为 ( ) A. 112.5° B. 115° C. 117.5° D. 125° 8. (2023·西安碑林段考)如图,M,N 是直线a 外两点,O是直线a上一点,ON⊥a,OM⊥ a,则判断OM 与ON 重合的理由是 ( ) (第8题) A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 过一点只能作一条垂线 D. 在同一平面内,过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 5 9. (2024·岳阳期末)如图,直线AB,CD 相交 于点O,过点 O 作OE⊥CD,∠BOD= ∠FOD,过点O 作OG⊥AB.若∠FOG∶ ∠AOE=2∶3,则∠COG的度数为 . (第9题) (第10题) 10. (2023·南京期末)如图,OA⊥OB,垂足为 O,射线OC 在∠AOB 的内部,∠AOC< 30°.若∠BOD=∠AOC,OE 平分∠AOD, 设∠EOD=m,则∠COB= (用含m的式子表示). 11. (2024·信阳期末)如图,直线AB,CD 相交 于点O,OF⊥CD,OE平分∠BOD. (1) 若∠AOC=68°,求∠EOF的度数. (2) 若∠AOC=n°(n<180),求∠EOF 的 度数(用含n的式子表示). (3) 若∠BOE 比∠BOF 大24°,求∠COE 的度数. (第11题) 12. 已知点O 在直线AB 上,在直线 AB外取一点C,画射线OC,OD 平分∠BOC.射线OE 在直线AB 上方,且OE⊥OD于点O. (1) 如图,如果点C 在直线AB 上方,且 ∠BOC=30°. ① 依题意补全图形. ② 求∠AOE的度数(0°<∠AOE<180°). (2) 如果点C在直线AB外,且∠BOC=α, 请求出∠AOE的度数(用含α的式子表示, 且0°<∠AOE<180°). (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线