7.1 第1课时 两条直线相交-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（人教版2024）

2 7.1　相 交 线 第1课时 两条直线相交 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2023·衡水二模)如图,若线段PC 与线段 OA有一个公共点,则点C可以是 ( ) A. 点D B. 点E C. 点Q D. 点M (第1题) (第3题) 2. (2023·亳州段考)在同一平面内有四条直 线,每两条直线都相交,则这四条直线的交点 共有 ( ) A. 6个 B. 1个或4个 C. 6个或4个 D. 1个或4个或6个 3. ★如图,直线AB,CD,EF 相交于点O,则图 中对顶角共有 ( ) A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 4. (2024·重庆期末)如图,直线AB,CD 相交 于点O,∠AOC=70°,OE 把∠BOD 分成两 部分,且∠BOE∶∠EOD=3∶2,则∠AOE 的度数为 . (第4题) 5. (2023·上海期末)已知∠1的对顶角是∠2, ∠2的邻补角是∠3,∠3的余角是∠4.若 ∠4=55°,则∠1的度数为 . 6. (2023·宣城期末)如图,直线AB,CD 相交 于点O,OE 平分∠BOD.若∠BOD=68°, ∠DOF=90°,求∠EOF的度数. (第6题) 7. 平面内两两相交的8条直线,其交点个数最 少为m,最多为n,则m+n的值为 ( ) A. 16 B. 18 C. 29 D. 28 8. 如图,直线AB,CD 相交于点O, ∠AOE=90°,∠DOF=90°,OB 平 分 ∠DOG.有 下 列 结 论:① 当 ∠AOF=60°时,∠DOE=60°;② OD 为 ∠EOG的平分线;③ 与∠BOD 相等的角有 3个(不含∠BOD);④ ∠COG=∠AOB- 2∠EOF.其中,正确的结论有 ( ) (第8题) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 两条直线相交所成的四个角中,有两个角的 度数分别是(2x-10)°和(110-x)°,则x的 值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)七年级下 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”. 第七章　相交线与平行线 3 10. (2023·郑州期中)已知∠AOB 与∠BOC 互为邻补角,且∠BOC>∠AOB.OD 平分 ∠AOB,射线OE 使∠BOE=12∠EOC. 若∠DOE =72°,则 ∠EOC 的 度 数 为 . 11. 如图,直线 AB,CD 相交于点O.已知 ∠BOD=75°,OE 平分∠AOC,将射线OE 绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<360°) 到OF.若∠AOF=120°,则α 的度数为 . (第11题) (第12题) 12. (2023·盐城建湖期末)如图,直线 AB 和 直 线CD 相 交 于 点 O, ∠BOE=90°,有下列结论:① ∠AOC 与∠COE 互为余角;② ∠AOC=∠BOD; ③ ∠AOC=∠COE;④ ∠COE 与∠DOE 互为补角;⑤ ∠AOC与∠DOE 互为补角; ⑥ ∠BOD 与∠COE 互为余角.其中,错误 的有 (填序号). 13. (2024·定西临洮期末)如图,直线AB,CD 相交于点O,OC平分∠AOM,且∠AOM= 88°,射线ON 在∠BOM 的内部. (1) 求∠AOD的度数. (2) 若∠BOC=4∠NOB,求∠MON 的 度数. (第13题) 14. (核心素养·推理能力)为了探究同一平面 内的几条直线相交最多能产生多少个交点, 最多能把平面分成几个部分,我们从最简单 的情形入手(如图),列表如下: 直线的条数 最多交点的个数 把平面最多 分成的部分个数 1 0 2 2 1 4 3 3 7 … … … (1) 当直线的条数为5时,最多有 个 交点,可写成和的形式为 ;最多把 平面分成 个部分,可写成和的形式 为 . (2) 当直线的条数为10时,最多有 个 交点,最多把平面分成 个部分. (3) 当直线的条数为n时,最多有多少个交 点? 最多把平面分成多少个部分? (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第七章　相交线与平行线 第七章　相交线与平行线 7.1　相 交 线 第1课时 两条直线相交 1. A 2. D 3. D 判断两个角是否互为 对顶角的方法 一看它们有没有公共顶点;二 看这两个角的两边是否互为反向 延长线.实质就是看这两个角是否 是两条直线相交所成的没有公共 边的两个角. 4. 138° 5. 145° 6. 因为∠DOF=90°,∠BOD=68°, 所以∠BOF=∠DOF-∠BOD= 90°-68°=22°. 因为OE平分∠BOD, 所以∠BOE=12∠BOD=34°. 所以∠EOF=∠BOF+∠BOE= 22°+34°=56°. 7. C 8. B [解析] 因为∠AOE=90°, ∠DOF=90°,所以∠BOE=90°= ∠AOE= ∠DOF.所 以 ∠AOF + ∠EOF=90°,∠EOF + ∠DOE = 90°,∠DOE + ∠BOD =90°.所以 ∠EOF=∠BOD,∠AOF=∠DOE. 所以当∠AOF=60°时,∠DOE=60°. 故①正确.因为OB 平分∠DOG,所 以∠BOD=∠BOG=12∠DOG. 又 因为∠AOC=∠BOD,所以∠BOD= ∠BOG=∠EOF=∠AOC.所以与 ∠BOD相等的角有3个.故③正确. 因为∠DOG=2∠BOD=2∠BOG,但 ∠DOE和∠DOG 的大小关系不确 定,所以OD为∠EOG的平分线这一 结论不确定.故②错误.因为∠COG= ∠AOB-∠AOC-∠BOG,∠AOC= ∠BOG = ∠EOF,所 以 ∠COG = ∠AOB-2∠EOF.故④正确.综上所 述,正确的结论有①③④,共3个. 9. 40或80 [解析] 两条直线相交所 成的四个角中,对顶角相等,邻补角互 补.根据题意,得(2x-10)°=(110- x)°或(2x-10)°+(110-x)°=180°, 解得x=40或x=80. 10. 72° [解析] 分两种情况讨论: ① 如图①,当OE在直线AC上方时, 因为 OD 平 分 ∠AOB,∠BOE = 1 2∠EOC ,所以设∠AOD=∠DOB= x,∠BOE=y,则∠EOC=2y.根据 题意,得x+y=72°,因为2x+3y= 2x+2y+y=2(x+y)+y=180°,所 以2×72°+y=180°.所以y=180°- 144°=36°.所以∠EOC=2y=2× 36°=72°.② 如图②,当OE 在直线 AC下方时,设∠AOD=∠DOB=a, 则 ∠BOC =180°-2a,∠BOE = ∠DOE+ ∠DOB =72°+a.所以 ∠EOC=2∠BOE=2(72°+a)= 144°+2a.因为∠BOE+∠BOC+ ∠EOC=360°,所以72°+a+180°- 2a+144°+2a=360°,解得a=-36° (不合题意,舍去).综上所述,∠EOC 的度数为72°. (第10题) 11. 82.5°或202.5° [解析] 分两种 情况讨论:① 如图 ①,当 OF 在 ∠BOC内时,因为直线AB,CD 相交 于点O,∠BOD=75°,所以∠AOC= ∠BOD=75°.因为OE 平分∠AOC, 所以∠AOE=∠EOC=12∠AOC= 37.5°.因 为 ∠AOF =120°,所 以 ∠COF=∠AOF-∠AOC=45°.所 以 ∠EOF = ∠EOC + ∠COF = 82.5°,即α=82.5°.② 如图②,当OF 在∠BOD 内时,由①知,∠AOE= 37.5°.因 为 ∠AOF =120°,所 以 ∠EOF=∠AOF+∠AOE=157.5°. 所以α=360°-∠EOF=202.5°.综上 所述,α的度数为82.5°或202.5°. (第11题) 12. ③⑤ [解析] 因为 ∠BOE= 90°,所以∠AOE=180°-∠BOE= 180°-90°=90°=∠AOC+∠COE. 所以∠AOC 与∠COE 互为余角.故 ①正确,不符合题意.由对顶角相等, 可得∠AOC=∠BOD.故②正确,不 符合题意.因为∠AOE=90°=∠AOC+ ∠COE,但∠AOC 与∠COE 不一定 相等,故③错误,符合题意.由题意,得 ∠COE+∠DOE=180°,所以∠COE 与∠DOE 互为补角.故④正确,不符 合题意.由题意,得∠COE+∠DOE= 180°,但∠AOC 与∠COE 不一定相 等,所以∠AOC 与∠DOE 互为补角 不一定正确.故⑤错误,符合题意.因 为 ∠BOE =90°,所 以 ∠COE + ∠BOD=90°.所以∠BOD 与∠COE 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 互为余角.故⑥正确,不符合题意.综 上所述,错误的有③⑤. 13. (1) 因为OC 平分∠AOM,且 ∠AOM=88°, 所以∠AOC=∠COM=12∠AOM=44°. 所以∠AOD=180°-44°=136°. (2) 因为∠AOD=136°, 所以∠BOC=136°. 因为∠BOC=4∠NOB, 所以∠NOB=34°. 因为∠COM=44°, 所以∠MON=∠BOC-∠NOB- ∠COM=136°-34°-44°=58°. 14. (1) 10;1+2+3+4;16;1+1+ 2+3+4+5. (2) 45;56. (3) 当直线的条数为n时,最多有1+ 2+3+…+(n-1)=n (n-1) 2 个交 点,最多把平面分成1+1+2+ 3+…+n= n (n+1) 2 +1 个部分. 第2课时 两条直线垂直 1. C 2. A 3. 丙 4. 因 为 ∠AOC = ∠BOD =28°, OM⊥CD, 所以∠AOM=90°-∠AOC=90°- 28°=62°. 因为OA平分∠MOE, 所以∠AOE=∠AOM=62°. 所以∠COE=∠AOE-∠AOC=34°. 5. B 6. D 7. A 8. D 9. 112.5° [解析] 因为OG⊥AB, OE⊥CD,所以∠BOG=∠DOE=90°. 所以∠EOF+∠FOD=90°.所以 2∠EOF +2∠FOD =180°.因 为 ∠BOD = ∠FOD,所 以 ∠FOB = 2∠FOD.所以 2∠EOF =180°- ∠FOB = ∠AOF.所 以 ∠AOE = ∠EOF.所以OE 平分∠AOF.因为 ∠FOG∶∠AOE=2∶3,所以设 ∠FOG=2α,则∠AOE=∠EOF= 3α.所以∠EOG=3α-2α=α.因为 ∠EOG+ ∠GOD =90°,∠GOD + ∠BOD = 90°,所 以 ∠EOG = ∠BOD=α.所以∠FOD=∠BOD= α.因为A,O,B 三点在同一条直线 上,所以3α+3α+α+α=180°,解得 α=22.5°.所以 ∠COG =180°- ∠GOD=180°-3α=112.5°. 10. 2m或180°-2m [解析] 分两种 情况讨论:① 当OD 在∠AOB 内部 时,如图①.因为OE 平分∠AOD,所 以∠EOD=∠AOE=m.所以∠BOD= ∠AOC=90°-2m.所以∠COB= 90°-∠AOC=90°-(90°-2m)= 2m.② 当OD在∠AOB外部时,如图 ②.因 为 OE 平 分 ∠AOD,所 以 ∠EOD=∠AOE=m.所以∠AOD= 2m.所以∠AOC=∠BOD=2m- 90°.所 以 ∠COB = ∠AOB - ∠AOC=90°-(2m-90°)=180°- 2m.综 上 所 述,∠COB =2m 或 180°-2m. (第10题) 11. (1) 因为∠AOC=68°, 所以∠AOC=∠BOD=68°. 因为OE平分∠BOD, 所以∠DOE=12∠BOD=34°. 因为OF⊥CD, 所以∠COF=∠DOF=90°. 所以∠EOF=∠DOF-∠DOE=56°. 所以∠EOF的度数为56°. (2) 因为OE平分∠BOD,∠AOC=n°, 所以∠DOE=12∠BOD= 1 2∠AOC= 1 2n°. 因为OF⊥CD, 所以∠DOF=90°. 所以∠EOF=∠DOF-∠DOE= 90-12n °. (3) 设∠BOF=x°,则∠BOE=(x+ 24)°. 因为OE平分∠BOD, 所以∠BOE=∠DOE=(x+24)°. 因为∠DOF=90°, 所以∠DOE+∠BOE+∠BOF=90°. 所以(x+24)+(x+24)+x=90,解 得x=14. 所以∠DOE=(x+24)°=38°. 所以∠COE=180°-∠DOE=142°. 所以∠COE的度数为142°. 12. (1) ① 如图①所示. ② 因 为 ∠BOC =30°,OD 平 分 ∠BOC, 所以∠BOD=12∠BOC=15°. 因为OE⊥OD, 所以∠DOE=90°. 所以∠BOE=∠BOD+∠DOE= 105°. 又因为点O在直线AB上, 所以∠AOE=180°-∠BOE=75°. (2) 分两种情况讨论: ① 当点C 在直线AB 上方时,如 图①. 因为∠BOC=α,OD平分∠BOC, 所以∠BOD=12∠BOC= 1 2α. 因为∠DOE=90°, 所以∠BOE=∠DOE+∠BOD= 90°+12α. 又因为点O在直线AB上, 所以∠AOE=180°-∠BOE=90°-12α. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2