6.2 专题特训(四) “含字母系数”的二元一次方程（组）的综合应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

38 　　　 专题特训（四）　“含字母系数”的二元一次　　　　 　　　　　　 　 　方程（组）的综合应用 ▶ “答案与解析”见P18 类型一 与二元一次方程的定义结合 1. 已知x2m-n-2+4ym+n+1=6为关于x、y的二 元一次方程,则m、n的值分别为 ( ) A. 1、-1 B. -1、1 C. 1 3 、-43 D. -13 、4 3 2. 如果4xa+2b-5-2y3a-b-3=8为关于x、y的二 元一次方程,那么a+b的值为 . 类型二 与二元一次方程(组)的解结合 3. 已知 x=1, y=3 是方程3mx-2y=9的解,则 m= . 4. 若 a=2, b=1 是 二 元 一 次 方 程 组 3 2ax+by=5 , ax-by=2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的解,则x+2y= . 5. 已知方程2x+(1+m)y=-1与nx-y= 1有一组相同的解 x=-2, y=1, 求(-m - n)2027的值. 类型三 与方程组的错解结合 6. (核 心 素 养 · 推 理 能 力 ) 已 知 ▲x+●y=1, ■x-7y=1 是一个被墨水污染的方程 组.圆圆说:“这个方程组的解是 x=3, y=-1, 而 我由于看错了第二个方程中的x的系数,求 出的解是 x=-2, y=1. ”请根据以上信息,把方程 组复原出来. 类型四 与方程组的有相同解结合 7. (1) 解二元一次方程组: x+2y=4, x-3y=9. (2) 若关 于x、y 的 方 程 组 ax+by=5, ax-3by=9 与(1)中的方程组有相同的解,求a+b的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级下 39 8. ★若 关 于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组 4x-y=5, ax+by=-1 与 3x+y=9 , 3ax-4by=18 有公共的 解,求: (1) x、y的值. (2) a2+b2-2ab的值. 类型五 方程组的解与特定关系结合 9. 已知方程组 7x+3y=4, 5x-2y=m-1 的解能使等式 4x-3y=7成立,则m2-2x+1= . 10. 若 关 于 x、y 的 方 程 组 1 4b (x+y)-2a(x-y)=- 2 15 , 3 2a (x+y)- 5 6b (x-y)=- 4 3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 的 解满足 x+y= 4 3 , x-y= 6 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 试求这个方程组的解及 a、b的值. 11. 已 知 关 于 x、y 的 方 程 组 x+3y=7, x-3y+mx+3=0. (1) 若方程组的解满足2x-3y=1,求m的值. (2) 无论m取何值,方程x-3y+mx+3= 0总有一个公共解,求出这个方程的公 共解. (3) 若方程组有整数解,求整数m的值. 类型六 与新定义结合 12. 当m、n都是有理数,且满足2m- n=6时,称 m-1,n2+1 是“和谐 数对”. (1) 判断(2,-4)是否为“和谐数对”. (2) 已知关于x、y的方程组 x+y=6, x-y=2a. 当a为何值时,(x,y)是“和谐数对”? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　一次方程组 ∴ x=7+7×3=28,y=5-5× 3=-10. ∴ 原方程组的解为 x=28, y=-10. 5. 记 7x-8y=22①, 3x-5y=11②. ②×2-①,得-x-2y=0,即x= -2y③. 把③代入①,得-14y-8y=22,解得 y=-1. 把y=-1代入③,得x=2. ∴ 方程组的解为 x=2, y=-1. 　专题特训（四） “含字母系数”的二元一次 　方程（组）的综合应用 1. A [解 析] ∵ x2m-n-2 + 4ym+n+1=6为关于x、y的二元一次 方 程, ∴ 2m-n-2=1, m+n+1=1, 解 得 m=1, n=-1. 2. 4 [解 析]∵ 4xa+2b-5 - 2y3a-b-3=8为关于x、y的二元一次 方 程, ∴ a+2b-5=1, 3a-b-3=1, 解 得 a=2, b=2. ∴ a+b=2+2=4. 3. 5 [解析] 将 x=1, y=3 代入3mx- 2y=9,得3m-6=9,解得m=5. 4. 3 [解析] 把 a=2, b=1 代入,得 3x+y=5①, 2x-y=2②. ①-②,得x+2y=3. 5. 把 x=-2, y=1 代入方程2x+(1+ m)y=-1,得-4+1+m=-1,解得 m=2. 把 x=-2, y=1 代入方程nx-y=1, 得-2n-1=1,解得n=-1. ∴ (-m-n)2027=[-2-(-1)]2027= (-1)2027=-1. 6. 设▲=a,●=b,■=c. ∵ 这个方程组的解是 x=3, y=-1, ∴ 3a-b=1, 3c+7=1. ∴ c=-2. ∵ 看错了第二个方程中的x的系数, 求出的解是 x=-2, y=1, ∴ -2a+b=1. ∴ -2a+b=1, 3a-b=1, 解得 a=2 , b=5. ∴ 原方程组为 2x+5y=1, -2x-7y=1. 7. (1) 记 x+2y=4①, x-3y=9②. ①-②,得5y=-5,解得y=-1. 把y=-1代入①,得x-2=4,解得 x=6. ∴ 原方程组的解为 x=6, y=-1. (2) 把 x=6, y=-1 代入 ax+by=5, ax-3by=9, 得 6a-b=5, 6a+3b=9, 解得 a=1 , b=1. ∴ a+b=2. 8. (1) ∵ 关于x、y的二元一次方程 组 4x-y=5, ax+by=-1 与 3x+y=9, 3ax-4by=18 有 公共的解, ∴ 4x-y=5, 3x+y=9 的解即为两个方程组 的公共解,解得 x=2, y=3. (2) 把 x=2, y=3 代入 3ax-4by=18, ax+by=-1, 得 6a-12b=18, 2a+3b=-1, 解得 a=1 , b=-1. ∴ a2+b2-2ab=4. 已知两个方程组同解,求参 数的值的步骤 (1) 将不含参数的两个方程联 立组成方程组,求出方程组的解. (2) 将方程组的解代入含参数 的方程,得到关于参数的方程 (组),即可求出参数的值. 9. 63 [解析]根据题意,联立 7x+3y=4, 4x-3y=7, 解 得 x=1, y=-1. 把 x=1, y=-1 代入5x-2y=m-1,得5+ 2=m-1,解得m=8.∴ m2-2x+ 1=82-2×1+1=64-2+1=63. 10. 将 x+y= 4 3 , x-y= 6 5 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代 入 1 4b (x+y)-2a(x-y)=- 2 15 , 3 2a (x+y)- 5 6b (x-y)=- 4 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 1 3b- 12 5a=- 2 15 , 2a-b=-43 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=13 , b=2. 解 x+y= 4 3 , x-y= 6 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 x=1915 , y= 1 15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 原方程组的解为 x=1915 , y= 1 15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 11. (1) 记 x+3y=7①, x-3y+mx+3=0②. ∵ 2x-3y=1, ∴ 3y=2x-1③. 将③代入①,得x+2x-1=7,解得 x=83. 将③代入②,得x-2x+1+mx+3= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 0,即(m-1)x+4=0. 将x=83 代入,得8 3 (m-1)+4=0, 解得m=-12. (2) ∵ 无论 m 取何值,x-3y+ mx+3=0总有一个公共解, ∴ x=0. ∴ -3y+3=0,解得y=1. ∴ 方程的公共解为 x=0, y=1. (3) 记 x+3y=7①, x-3y+mx+3=0②. ①+②,得(2+m)x+3=7,解得 x= 42+m. 将x= 42+m 代入①,得 42+m+3y= 7,解得y= 10+7m 3(2+m). ∵ 方程组有整数解, ∴ 2+m=±1,2+m=±2,2+m= ±4. ∴ m=-1或-3或0或-4或2 或-6. 当m=-1时,y=1,符合题意; 当m=-3时,y= 11 3 ,不符合题意; 当m=0时,y= 5 3 ,不符合题意; 当m=-4时,y=3,符合题意; 当m=2时,y=2,符合题意; 当m=-6时,y= 8 3 ,不符合题意. 综上所述,m的值为-1或-4或2. 12. (1) 根据题意,得 m-1=2, n 2+1=-4 , 解得 m=3, n=-10. ∴ 2m-n=16≠6. ∴ (2,-4)不是“和谐数对”. (2) 记 x+y=6①, x-y=2a②. ①+②,得2x=2a+6,解得x= a+3. 把x=a+3代入①,得a+3+y=6, 解得y=3-a. 由 题 意,得 m-1=a+3, n 2+1=3-a , 解 得 m=a+4, n=4-2a. ∴ 2m-n=2a+8-4+2a=6,解得 a=12. ∴ 当a=12 时,(x,y)是“和谐数对”. 第4课时 二元一次方程组的 简单应用 1. B [解析] 设每辆大货车一次可 运货x 吨,每辆小货车一次可运货 y吨. 根 据 题 意, 得 2x+3y=15.5, 5x+6y=35, 解得 x=4, y=2.5. ∴ 每 辆小货车一次可运货2.5吨. 2. A [解析] 设甲票、乙票的价格分 别是x 元/张、y 元/张.由题意,得 x-y=2, 8x+4y=112, 解得 x=10, y=8. ∴ 甲 票、乙票的价格分别是10元/张、 8元/张. 3. 133 67 [解析] 设到A 地旅游 的有x人,到B 地旅游的有y人.根 据 题 意, 得 x+y=200, x=2y-1, 解 得 x=133, y=67. ∴ 到A地旅游的有133人, 到B地旅游的有67人. 4. 设白色琴键的个数为x,黑色琴键 的个数为y. 由题意,得 x+y=88, x-y=16, 解得 x=52, y=36. ∴ 白色琴键的个数为52,黑色琴键的 个数为36. 5. C [解析] 设该校七年级参加者 的人数为x,未参加者的人数为y.根 据题意,得 x=3y, x-12=2(y+6), 解得 x=72, y=24. ∴ x+y=72+24=96. ∴ 该校七年级学生的人数为96. 6. D [解析] 设甲商品的进价为 x元,乙商品的进价为y元.由题意,得 (1+40%)x+(1+40%)y=490, (1+40%)x·0.7+(1+40%)y·0.9=399, 解得 x=150, y=200. ∴ 甲商品的进价为 150元,乙商品的进价为200元. 7. D [解析] 设每节火车车厢能运 输化肥xt,每辆汽车能运输化肥yt. 根据题意,得 6x+15y=360, 8x+10y=440, 解得 x=50, y=4. ∴ 10x+20y=580.∴ 10节 火车车厢和20辆汽车能运输化肥 580t. 8. 36 24 [解析] 设甲带了x钱, 乙 带 了 y 钱.根 据 题 意,得 x+12y=48 , 2 3x+y=48 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=36, y=24. ∴ 甲带 了36钱,乙带了24钱. 9. 设甲原来每天做零件x个,乙原来 每天做零件y 个,则原计划做零件 11(x+y)个. ∴ 甲工作效率提高后共做零件(11- 7)×(1+80%)x=7.2x(个). 根 据 题 意, 得 7(x+y)+7x=11(x+y), 7(x+y)+7.2x=11(x+y)+4, 解 得 x=20, y=15. ∴ 11(x+y)=11×(20+15)=385. ∴ 原计划做零件385个. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91