6.2 专题特训(三) 解二元一次方程组的技巧-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

36 　　　　专题特训（三）　解二元一次方程组的技巧 ▶ “答案与解析”见P17 类型一 整体代入法 1. 解下列方程组: (1) x-y=3, 2y+3(x-y)=11. (2) 2x-3y-2=0, 2x-3y+5 7 +2y=9. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 类型二 整体加减法 2. 解下列方程组: (1) 57x+65y=179, 65x+57y=187. (2) 8359x+1641y=28359, 1641x+8359y=21641. 类型三 换元法 3. 解下列方程组: (1) 2x-3y=26, x∶y=7∶9. (2) x+y 6 + x-y 10 =3 , x+y 6 - x-y 10 =-1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (3) 2x+3y 2 = 3x+2y 5 +3 , 3(2x+3y) 2 = 2(3x+2y) 5 +6. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级下 37 4. (核心素养·创新意识)小丽在解方 程组 2x+3y=12①, 7x-17y=97② 时,采用了一 种“平均值换元法”,解法如下: 由①,可设2x=6+6t,3y=6-6t,即x= 3+3t,y=2-2t. 代入②,得7(3+3t)-17(2-2t)=97,解得 t=2. ∴ x=3+3×2=9,y=2-2×2=-2. ∴ 原方程组的解为 x=9, y=-2. 请模仿小丽的“平均值换元法”解方程组: 5x+7y=70, 7x+3y=166. 类型四 消常数项法 5. (核心素养·创新意识)阅读材料,解决问题: 解方程组: x 3- y 15= 4 3① , x 4- y 10= 2 3②. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解:原方程组可化为 x 3- y 15= 4 3 , x 2- y 5= 4 3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 将两个方程相减,得x 6- 2y 15=0 ,即x 4= y 5. 把x 4= y 5 代入②,得y5- y 10= 2 3 ,解得y= 20 3. ∴ x=163. ∴ 方程组的解是 x=163 , y= 20 3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 以上解方程组的方法称为消常数项法,请用 上面的方法解方程组: 7x-8y=22, 3x-5y=11. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　一次方程组 ①×3+②,得5x=25,解得x=5. 将x=5代入①,得5-y=5,解得 y=0. ∴ 方程组的解为 x=5, y=0. (2) ∵ x=y, ∴ 2a+1=0,解得a=-12. 把x=y,a=- 1 2 代入2x+3y= 9a-8,得 5x= - 92 -8 ,解得 x=-52. ∴ y=- 5 2. ∴ 方程组的解为 x=-52 , y=- 5 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (3) 记 x-y=2a+1①, 2x+3y=9a-8②. ①×3-②,得x-6y=-3a+11. 又∵ x-6y=2, ∴ -3a+11=2,解得a=3. 14. A [解 析 ] 解 方 程 组 mx+2y=10, 3x-2y=0, 得 x= 10m+3 , y= 15 m+3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∵ 方 程 组 mx+2y=10, 3x-2y=0 有 整 数 解, ∴ m+3为10和15的公约数.∵ m 为正整数,∴ m+3=5,解得m=2. ∴ m2=4. 15. (1) ②-①,得2x+2y=2,即 x+y=1③. ③×2 027,得2 027x+2 027y= 2 027④. ②-④,得x=-1. 把x=-1代入③,得-1+y=1,解 得y=2. ∴ 原方程组的解为 x=-1, y=2. (2) 方程组的解为 x=-1, y=2. 把 x=-1, y=2 代入(a+2)x+(a+ 1)y=a,得左边=a,左边=右边. 把 x=-1, y=2 代入(b+2)x+(b+ 1)y=b,得左边=b,左边=右边. ∴ x=-1, y=2 是方程组的解. 专题特训（三）　解二元一次 方程组的技巧 1. (1) 记 x-y=3①, 2y+3(x-y)=11②. 把①代入②,得2y+3×3=11,解得 y=1. 把y=1代入①,得x-1=3,解得 x=4. ∴ 原方程组的解是 x=4, y=1. (2) 记 2x-3y-2=0①, 2x-3y+5 7 +2y=9②. 由①,得2x-3y=2③. 把③代入②,得2+57 +2y=9 ,解得 y=4. 把y=4代入①,得2x-12=2,解得 x=7. ∴ 原方程组的解是 x=7, y=4. 2. (1) 记 57x+65y=179①, 65x+57y=187②. ①+②,得122x+122y=366,即x+ y=3. ②-①,得8x-8y=8,即x-y=1. 由 x+y=3, x-y=1, 解得 x=2 , y=1. ∴ 方程组的解为 x=2, y=1. (2) 记 8359x+1641y=28359①, 1641x+8359y=21641②. ①+ ②,得 10000x+10000y= 50000,即x+y=5. ①-②,得6718x-6718y=6718,即 x-y=1. 由 x+y=5, x-y=1, 解得 x=3, y=2. ∴ 方程组的解为 x=3, y=2. 3. (1) 记 2x-3y=26①, x∶y=7∶9②. 由②,可设x=7k,y=9k. 代入 ①,得 14k-27k=26,解得 k=-2. ∴ x=-14,y=-18. ∴ 原方程组的解是 x=-14, y=-18. (2) 设x+y 6 =m ,x-y 10 =n ,则原方程 组可化为 m+n=3, m-n=-1, 解得 m=1 , n=2. ∴ x+y 6 =1 ,x-y 10 =2. ∴ x+y=6, x-y=20, 解得 x=13, y=-7. ∴ 原方程组的解为 x=13, y=-7. (3) 设2x+3y 2 =m ,3x+2y 5 =n ,则原 方 程 组 可 化 为 m=n+3, 3m=2n+6, 解 得 m=0, n=-3. ∴ 2x+3y 2 =0 ,3x+2y 5 =-3. ∴ 2x+3y=0, 3x+2y=-15, 解得 x=-9, y=6. ∴ 原方程组的解为 x=-9, y=6. 4. 记 5x+7y=70①, 7x+3y=166②. 由①,可设5x=35+35m,7y=35- 35m,即x=7+7m,y=5-5m. 代入②,得7(7+7m)+3(5-5m)= 166,解得m=3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 ∴ x=7+7×3=28,y=5-5× 3=-10. ∴ 原方程组的解为 x=28, y=-10. 5. 记 7x-8y=22①, 3x-5y=11②. ②×2-①,得-x-2y=0,即x= -2y③. 把③代入①,得-14y-8y=22,解得 y=-1. 把y=-1代入③,得x=2. ∴ 方程组的解为 x=2, y=-1. 　专题特训（四） “含字母系数”的二元一次 　方程（组）的综合应用 1. A [解 析] ∵ x2m-n-2 + 4ym+n+1=6为关于x、y的二元一次 方 程, ∴ 2m-n-2=1, m+n+1=1, 解 得 m=1, n=-1. 2. 4 [解 析]∵ 4xa+2b-5 - 2y3a-b-3=8为关于x、y的二元一次 方 程, ∴ a+2b-5=1, 3a-b-3=1, 解 得 a=2, b=2. ∴ a+b=2+2=4. 3. 5 [解析] 将 x=1, y=3 代入3mx- 2y=9,得3m-6=9,解得m=5. 4. 3 [解析] 把 a=2, b=1 代入,得 3x+y=5①, 2x-y=2②. ①-②,得x+2y=3. 5. 把 x=-2, y=1 代入方程2x+(1+ m)y=-1,得-4+1+m=-1,解得 m=2. 把 x=-2, y=1 代入方程nx-y=1, 得-2n-1=1,解得n=-1. ∴ (-m-n)2027=[-2-(-1)]2027= (-1)2027=-1. 6. 设▲=a,●=b,■=c. ∵ 这个方程组的解是 x=3, y=-1, ∴ 3a-b=1, 3c+7=1. ∴ c=-2. ∵ 看错了第二个方程中的x的系数, 求出的解是 x=-2, y=1, ∴ -2a+b=1. ∴ -2a+b=1, 3a-b=1, 解得 a=2 , b=5. ∴ 原方程组为 2x+5y=1, -2x-7y=1. 7. (1) 记 x+2y=4①, x-3y=9②. ①-②,得5y=-5,解得y=-1. 把y=-1代入①,得x-2=4,解得 x=6. ∴ 原方程组的解为 x=6, y=-1. (2) 把 x=6, y=-1 代入 ax+by=5, ax-3by=9, 得 6a-b=5, 6a+3b=9, 解得 a=1 , b=1. ∴ a+b=2. 8. (1) ∵ 关于x、y的二元一次方程 组 4x-y=5, ax+by=-1 与 3x+y=9, 3ax-4by=18 有 公共的解, ∴ 4x-y=5, 3x+y=9 的解即为两个方程组 的公共解,解得 x=2, y=3. (2) 把 x=2, y=3 代入 3ax-4by=18, ax+by=-1, 得 6a-12b=18, 2a+3b=-1, 解得 a=1 , b=-1. ∴ a2+b2-2ab=4. 已知两个方程组同解,求参 数的值的步骤 (1) 将不含参数的两个方程联 立组成方程组,求出方程组的解. (2) 将方程组的解代入含参数 的方程,得到关于参数的方程 (组),即可求出参数的值. 9. 63 [解析]根据题意,联立 7x+3y=4, 4x-3y=7, 解 得 x=1, y=-1. 把 x=1, y=-1 代入5x-2y=m-1,得5+ 2=m-1,解得m=8.∴ m2-2x+ 1=82-2×1+1=64-2+1=63. 10. 将 x+y= 4 3 , x-y= 6 5 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代 入 1 4b (x+y)-2a(x-y)=- 2 15 , 3 2a (x+y)- 5 6b (x-y)=- 4 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 1 3b- 12 5a=- 2 15 , 2a-b=-43 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=13 , b=2. 解 x+y= 4 3 , x-y= 6 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 x=1915 , y= 1 15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 原方程组的解为 x=1915 , y= 1 15. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 11. (1) 记 x+3y=7①, x-3y+mx+3=0②. ∵ 2x-3y=1, ∴ 3y=2x-1③. 将③代入①,得x+2x-1=7,解得 x=83. 将③代入②,得x-2x+1+mx+3= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81