6.2 第2课时 这用加减法解二元一次方程组-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

6.2　二元一次方程组的解法 第1课时 运用代入法解 二元一次方程组 1. B 2. C 3. y= 3x-1 4 4. x=3, y=-2 5. (1) 记 x=2y①, x-y=6②. 把①代入②,得2y-y=6,解得 y=6. 把y=6代入①,得x=2×6=12. ∴ 原方程组的解为 x=12, y=6. (2) 记 3x-y=2①, 9x+8y=17②. 由①,得y=3x-2③. 把③代入②,得9x+8(3x-2)=17, 解得x=1. 把x=1代入③,得y=3-2=1. ∴ 原方程组的解为 x=1, y=1. (3) 记 2x+y=3①, 5x-3(2x+y)=1②. 由①,得y=3-2x③. 把③代入②,得5x-3(2x+3- 2x)=1,解得x=2. 把x=2代入③,得y=3-2×2= -1. ∴ 原方程组的解为 x=2, y=-1. 6. D 7. A 8. B 9. 3 [解析] 联立 3x+4y=8, 2x-3y=11, 解 得 x=4, y=-1. 把 x=4, y=-1 代入 mx+ (2m-1)y=7,得4m-2m+1=7,解 得m=3. 10. 10 10 [解析]由题意,可知 -a+2b=10①, 2a-b=10②. 由①,得a=2b- 10③.把③代入②,得2(2b-10)- b=10,解得b=10.把b=10代入③, 得a=2×10-10=10. 11. (1) 整理,得 x-3y=-7①, 2x-5y=-6②. 由①,得x=-7+3y③. 把③代入②,得2(-7+3y)-5y= -6,解得y=8. 把y=8代入③,得x=-7+3× 8=17. ∴ 原方程组的解为 x=17, y=8. (2) 整理,得 x=6y-1①, 2x-y=9②. 把①代入②,得2(6y-1)-y=9,解 得y=1. 把y=1代入①,得x=6×1-1=5. ∴ 原方程组的解为 x=5, y=1. 12. ∵ |a+2b+3|+(3a-b- 5)2=0, ∴ a+2b=-3, 3a-b=5, 解得 a=1 , b=-2. ∴ (3a+2b)2025=-1. 13. 7 [解 析] 把 x=1, y=-1 代 入 ax+by=8, cx-3y=-2, 得 a-b=8①, c+3=-2. ∴ c=-5.∵ x=2, y=-6 是方程ax+ by=8的解,∴ 2a-6b=8,即a- 3b = 4 ②. 联 立 ① ②, 得 a-b=8①, a-3b=4②, 解得 a=10 , b=2. ∴ a+ b+c=7. 14. (1) 由②变形,得9x-6y+2y= 19,即3(3x-2y)+2y=19③. 把①代入③,得3×5+2y=19,解得 y=2. 把y=2代入①,得3x-4=5,解得 x=3. ∴ 原方程组的解为 x=3, y=2. (2) 由①变形,得3(x2+4y2)- 2xy=47③. 由②变形,得2(x2+4y2)+xy=36, 即x2+4y2=18- xy 2④. 把④代入③,得3× 18-xy2 - 2xy=47. ∴ xy=2. 第2课时 运用加减法解 二元一次方程组 1. D 2. D 3. 1 [解析] 记 x+3y=-1①, 2x+y=3②. ①+②×2,得5x+5y=5.∴ x+ y=1. 4. -5 -5 [解析] 把 x=-1, y=2 和 x=2, y=-1 代入 mx+ny= -5,得 -m+2n=-5①, 2m-n=-5②. ① + ② ×2,得 3m=-15,解得m=-5.把m= -5代入①,得5+2n=-5,解得n= -5. 5. (1) 记 2x-5y=7①, 2x+3y=-1②. ②-①,得8y=-8,解得y=-1. 把y=-1代入①,得2x-5× (-1)=7,解得x=1. ∴ 方程组的解是 x=1, y=-1. (2) 记 2x+3y=12①, 3x+4y=17②. ①×3,得6x+9y=36③. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 ②×2,得6x+8y=34④. ③-④,得y=2. 把y=2代入①,得2x+6=12,解得 x=3. ∴ 方程组的解是 x=3, y=2. (3) 方程组可化为 4x-y=5①, 3x+2y=12②. ①×2,得8x-2y=10③. ③+②,得11x=22,解得x=2. 把x=2代入①,得4×2-y=5,解得 y=3. ∴ 方程组的解是 x=2, y=3. 6. B [解析] ∵ 关于x、y的二元一 次 方 程 组 ax+by=8, bx-ay=-1 的 解 为 x=3, y=2, ∴ 3a+2b=8, 3b-2a=-1, 解 得 b=1, a=2. 7. C [解析] ①-②,得(6-2)x+ (m+n)y=3+6.∵ ①-②可直接消 去未知数y,∴ m+n=0. 8. C [解 析 ] 由 题 意,得 3a+5b=15①, 4a+7b=28②. ① ×4,得 12a + 20b=60③.②×3,得12a+21b= 84④.④-③,得b=24.把b=24代 入①,得3a+120=15,解得a=-35. ∴ 原方程组的解为 a=-35, b=24. ∴ 1* 2=a+2b=-35+2×24=-35+ 48=13. 9. -2 [解析] 记 3x+y=3①, x+3y=5②. ①+②,得4x+4y=8.∴ x+y=2. ①-②,得2x-2y=-2.∴ x- y=-1.∴ (x+y)(x-y)=2× (-1)=-2. 10. - 1 [解 析 ] 记 3x-2y=5-4m①, 2x-4y=2m+3②. ①-②,得x+ 2y=2-6m.∵ x+2y=9+m, ∴ 9+m=2-6m,解得m=-1. 11. (1) 方 程 组 可 化 为 3x-2y=-20①, 2x+15y=3②. ①×2,得6x-4y=-40③. ②×3,得6x+45y=9④. ④-③,得49y=49,解得y=1. 把y=1代入④,得6x+45=9,解得 x=-6. ∴ 原方程组的解是 x=-6, y=1. (2) 方程组可化为 5x-y=36①, x+5y=28②. ①×5,得25x-5y=180③. ②+③,得26x=208,解得x=8. 把x=8代入②,得8+5y=28,解得 y=4. ∴ 原方程组的解是 x=8, y=4. 加减消元时漏乘了常数项, 导致错解 在用加减法解二元一次方程 组时,为了使两个方程中某一未知 数的系数相等或互为相反数,常在 方程两边同乘以一个不为0的数, 此时容易忽略常数项,造成漏乘的 情况,导致错解. 12. 由 题 意,得 2x+5y=-6, 3x-5y=16, 解 得 x=2, y=-2. 将 x=2, y=-2 分别代入ax-by=-4, bx+ay=-8,得 2a+2b=-4, 2b-2a=-8, 解 得 a=1, b=-3. ∴ (2a+b)2026=(2×1-3)2026= (-1)2026=1. 13. A [解 析 ] 方 程 组 a(m+n)+b(m-n)=12, b(m+n)+a(m-n)=16, 可 化 为 1 2a (m+n)+12b (m-n)=6, 1 2b (m+n)+12a (m-n)=8. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∵ 关 于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组 ax+by=6, bx+ay=8 的 解 为 x=1, y=3, ∴ 1 2 (m+n)=1, 1 2 (m-n)=3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 m=4, n=-2. ∴ m+2n=4+2×(-2)=0. 14. (1) 具有“邻好关系”. 理由:解 x+2y=7, 3x-2y=5, 得 x=3, y=2. ∴ |x-y|=1. ∴ 方程组的解x与y具有“邻好关 系”. (2) 记 2x-y=6①, 4x+y=6m②. ①+②,得6x=6m+6,解得x= m+1. 把x=m+1代入①,得2m+2-y= 6,解得y=2m-4. ∴ 原方程组的解为 x=m+1, y=2m-4. ∵ x与y具有“邻好关系”, ∴ |x-y|=|m+1-2m+4|= |-m+5|=1. ∴ 5-m=±1. ∴ m=6或m=4. (3) 具有“邻好关系”. ∵ 2y-x=5, ∴ x=2y-5. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 记 x+ay=7①, 2y-x=5②. ①+②,得(2+a)y=12. ∵ a、y均为正整数, ∴ a=1, y=4 或 a=2, y=3 或 a=4, y=2 或 a=10, y=1. 当 a=1, y=4 时,x=2y-5=3. 当 a=2, y=3 时,x=2y-5=1. 当 a=4, y=2 时,x=2y-5=-1,不符合 题意,舍去. 当 a=10, y=1 时,x=2y-5=-3,不符 合题意,舍去. ∵ 只有当a=1时,|x-y|=1, ∴ a的值为1,方程组的解为 x=3, y=4. 第3课时 选择适当的方法 解二元一次方程组 1. C 2. C 3. 7 4. (1) 记 x+y=9①, 3(x+y)+2x=33②. 把①代入②,得3×9+2x=33,解得 x=3. 把x=3代入①,得3+y=9,解得 y=6. ∴ 方程组的解为 x=3, y=6. (2) 整理,得 5y-x=3①, 5x-11y=-1②. 由①,得x=5y-3③. 把③代入②,得5(5y-3)-11y= -1,解得y=1. 把y=1代入x=5y-3,得x=5- 3=2. ∴ 方程组的解是 x=2, y=1. 5. C [解析]记 3x-y=5-2k①, x+3y=k②. ①+②×2,得5x+5y=5.整理,得 x+y=1. 6. A [解析] 把 x=2, y=1 代入方程组, 得 2m+n=8, 2n-m=1, 解得 m=3 , n=2. ∴ 2m- n=2×3-2=4. 7. C [解析] ∵ x比y的相反数大 2,∴ x-(-y)=x+y=2.根据题 意,联立方程组 x+y=2, 4x+3y=10, 解得 x=4, y=-2. 把 x=4, y=-2 代入kx-(k- 1)y=-8,得4k+2(k-1)=-8,解 得k=-1. 8. B [解 析]把 x=2, y=-1 代 入 ax+by=5, 3x+cy=2, 得 2a-b=5, 6-c=2, 解得c= 4.把 x=3, y=1 代入ax+by=5,得3a+ b=5.联立方程组 2a-b=5, 3a+b=5, 解得 a=2, b=-1. ∴ (a+b+c)2=(2-1+ 4)2=25. 9. C [解 析 ] 由 题 意,得 3(a+2)-(5b-1)=0, 3b+2-4(4a-b)=0, 解得 a=1 , b=2. 10. -3 [解析] 记 3x-2y=5-4m①, 2x-4y=2m+3②. ①-②,得x+2y=2-6m.∵ x+ 2y=11-3m,∴ 11-3m=2-6m,解 得m=-3. 11. ∵ (2x-3y-1)2+|x-2y+ 2|=0, ∴ 2x-3y=1①, x-2y=-2②. 由②,得x=2y-2③. 把③代入①,得2(2y-2)-3y=1,解 得y=5. 把y=5代入③,得x=2×5-2=8. ∴ 方程组的解是 x=8, y=5. ∴ 2x-125y=16-12=4. 12. (1) 整理,得 3x-y=8①, 3x-5y=-20②. ①-②,得4y=28,解得y=7. 把y=7代入①,得3x-7=8,解得 x=5. ∴ 方程组的解为 x=5, y=7. (2) 整理,得 3x-2y=8①, 3x+2y=10②. ①+②,得6x=18,解得x=3. ②-①,得4y=2,解得y= 1 2. ∴ 方程组的解为 x=3, y= 1 2. 选用二元一次方程组的 解法的策略 当方程组中某一个未知数的 系数是1(或-1)时,优先考虑代入 法;当两个方程中同一个未知数的 系数相等或互为相反数时,用加减 法较简单;当两个方程通过变形用 含有一个未知数的式子来表示另 一个未知数比较复杂时,往往选用 加减法.对于较复杂的方程组,往 往需要先整理,然后选择合适的方 法进行消元求解. 13. (1) ∵ a=2, ∴ 原方程组为 x-y=5①, 2x+3y=10②. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 32 第2课时 运用加减法解二元一次方程组 ▶ “答案与解析”见P14 1. 用加减法将方程组 2x-3y=11, 2x+5y=-5 中的未知 数x消去后,得到的方程是 ( ) A. 2y=6 B. 8y=16 C. -2y=6 D. -8y=16 2. 解方程组 3x-2y=-4, -3x-2y=8, 给出下列解法: ① 消去y,得6x=4;② 消去x,得-4y= -12;③ 消去y,得6x=-12;④ 消去x, 得-4y=4.其中,正确的是 ( ) A. ②④ B. ①② C. ②③ D. ③④ 3. 已知x、y满足方程组 x+3y=-1, 2x+y=3, 则x+y 的值为 . 4. 如果 x=-1, y=2 和 x=2 , y=-1 都是方程mx+ ny=-5的解,那么m= ,n= . 5. 用加减法解方程组: (1) 2x-5y=7, 2x+3y=-1. (2) 2x+3y=12, 3x+4y=17. (3) 4(x-y-1)=3(1-y)-2, x 2+ y 3=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 6. 已 知 关 于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组 ax+by=8, bx-ay=-1 的解为x=3 , y=2, 则a、b的值分 别为 ( ) A. 1、2 B. 2、1 C. 2、3 D. 3、2 7. 在解二元一次方程组 6x+my=3①, 2x-ny=-6② 时,若 ①-②可直接消去未知数y,则m和n满足 ( ) A. m=n B. mn=1 C. m+n=0 D. m+n=1 8. (新定义)对于x、y定义一种新运算 “*”:x*y=ax+by,其中a、b为 常数,等式右边是通常的加法和乘 法运算.已知3*5=15,4*7=28,则计算 1*2的结果为 ( ) A. 2 B. -2 C. 13 D. 1 9. 已知方程组 3x+y=3, x+3y=5, 则(x+y)(x-y)的 值为 . 10. 如 果 关 于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组 3x-2y=5-4m, 2x-4y=2m+3 的解满足x+2y=9+ m,那么m的值是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级下 33 11. ★(核心素养·运算能力)用加减消元法解下 列方程组: (1) 3x-2y+20=0, 2x+15y-3=0. (2) x+y 3 + x-y 2 =6 , 3(x+y)-2(x-y)=28. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 12. 已知关于x、y 的方程组 2x+5y=-6, ax-by=-4 与 方程 组 3x-5y=16, bx+ay=-8 的 解 相 同,求 (2a+b)2026的值. 13. (核心素养·创新意识)已知关于 x、y 的 二 元 一 次 方 程 组 ax+by=6, bx+ay=8 的 解 为 x=1 , y=3, m、n 满 足 二 元 一 次 方 程 组 a(m+n)+b(m-n)=12, b(m+n)+a(m-n)=16, 则 m +2n 的 值为 ( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 14. (新定义)关于x、y的二元一次方 程组,若方程组的解x、y 满足 |x-y|=1,则方程组的解x与y 具有“邻好关系”. (1) 方程组 x+2y=7, 3x-2y=5 的解x与y是否具 有“邻好关系”? 请说明理由. (2) 若方程组 2x-y=6, 4x+y=6m 的解x与y具有 “邻好关系”,求m的值. (3) 已知关于x、y的方程组 x+ay=7, 2y-x=5 中 的a、x、y都是正整数,则该方程组的解x 与y是否具有“邻好关系”? 若具有,请求出 a的值及方程组的解;若不具有,请说明 理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　一次方程组