5.3 专题特训(二) 一元一次方程应用中的设元技巧与热点题型-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

22 专题特训（二）　一元一次方程应用中的设元技巧 　　　　　　　　　　　　与热点题型 ▶ “答案与解析”见P10 类型一 直接法设未知数 1. 某校七年级(1)班的学生开展分小组学习竞 赛活动.原来每个小组8人,后来重新分组, 每个小组6人,这样比原来增加2个小组,则 七年级(1)班的学生共有 ( ) A. 24人 B. 30人 C. 48人 D. 50人 2. 工厂生产零件,原计划每天生产50个,实际 每天生产了60个,提前3天完成任务,则该 工厂共生产零件 个. 3. 某环保队有甲、乙、丙三人,现计划在A地植 树1000棵,在B地植树1250棵,甲、乙、丙每 天分别能植树28、32、30棵.甲在A地,乙在 B地,丙在A与B两地之间来回帮忙,同时开 始,同时结束,丙在A地植树 棵. 4. 在一次体育测试中,小红进行女子800m测 试时,先以3m/s的平均速度跑了大部分路 程,之后以5.5m/s的平均速度逐渐冲刺到 达终点,成绩为3min30s.求小红在冲刺阶 段的时间. 类型二 间接法设未知数 5. 文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购 买这种笔袋,结账时店员说:“如果你再多买 一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元.” 小华说:“那就多买一个吧,谢谢!”根据两人 的对话可知,小华结账时实际付了 ( ) A. 540元 B. 522元 C. 486元 D. 469元 6. 某校组织师生春游,若单独租用45座客车若 干辆,则刚好坐满;若单独租用60座客车,则 可以少租1辆,且余30个空座位.该校参加 春游的人数为 ( ) A. 180 B. 270 C. 360 D. 450 7. 某学校学生排成一个方阵,最外层 的人数是60,则这个方阵共有学生 人. 8. (新情境)如图所示的展示牌上整齐地贴着许 多相同的长方形卡片,它们之间露出了三块 正方形空白(阴影部分).小明想要配三张正 方形图片来填补空白.若长方形卡片的宽为 12cm,则要配的正方形图片的边长为多少? (第8题) 类型三 整体法设未知数 9. ★一个六位数,其最左边一位的数字是1.若 把这个数字移到最右边,则所得的六位数就 是原数的3倍.原数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级下 23 类型四 情景信息问题 10. 如图,根据图中信息,解决问题. (1) 购买6根跳绳需 元,购买 12根跳绳需 元. (2) 小红比小明多购买2根,付款时小红反 而比小明少付5元,你认为有这种可能吗? 若有,求出小红购买的跳绳的根数;若没有, 请说明理由. (第10题) 类型五 方案决策问题 11. (核心素养·应用意识)某种海产 品,若直接销售,则每吨可获利润 1200元;若粗加工后销售,则每吨可获利润 5000元;若精加工后销售,则每吨可获利润 7500元.某公司现有这种海产品100t,该 公司的生产能力如下:如果进行粗加工,那 么每天可加工15t;如果进行精加工,那么 每天可加工5t,但两种加工方式不能同时 进行.受各种条件限制,公司必须在10天内 (含10天)将这批海产品全部销售或加工完 毕,为此该公司设计了三种方案: 方案一:全部进行粗加工; 方案二:尽可能多地进行精加工,没有来得 及进行精加工的直接销售; 方案三:将一部分进行精加工,其余的进行 粗加工,并恰好10天完成. 三种方案中,获利最多的是哪种方案? 请说 明理由. 12. (核心素养·应用意识)甲和乙两 家超市相同商品的标价相同,在新 年即将到来之际,两家超市分别推 出如下促销活动: 甲超市:全场均按八五折优惠. 乙超市:购物不超过200元时,不给予优惠; 超过200元而不超过500元时,一律打八八 折;超过500元时,其中的500元优惠12%, 超过500元的部分打八折. (1) 当购物总额是多少时,甲、乙两家超市 实际付款相同? (2) 某顾客在乙超市购物实际付款490元, 该顾客的选择划算吗? 请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　一元一次方程 7. 4 [解析] ∵ 两人出发2.5h后相 遇,相遇后0.5h甲到达B地,∴ 乙用 2.5h行走的路程甲用了0.5h.设乙 的速度是xkm/h,则易得甲的速度是 5xkm/h.由题意,得2(2.5x+20)= 5x×(2.5+0.5),解得x=4.经检验, 符合题意.∴ 乙的速度为4km/h. 8. 2316 [解析] 设完成这批零件的 一半,一共需要x天.∵ 18天可以完 成它的1 3 ,∴ 原计划的工作效率为 1 54.∴ 1 54×4+ 1 54× 1+ 1 5 ×(x- 4)=12 ,解得x=2316. 经检验,符合 题意.∴ 完成这批零件的一半,一共 需要2316 天. 9. 将蜡烛的长度看成1. 由题意,得每小时两支蜡烛分别燃烧 总长的1 4 、1 3. 设停电时间为xh. 根据题意,得1-14x=2× 1- 1 3x ,解得x=2.4. 经检验,符合题意. ∴ 停电的时间为2.4h. 10. (1) 设规定时间是x天. 由题意,可得50(x-1)-25=54× 30x,解得x=6. 经检验,符合题意. ∴ 规定时间是6天. (2) 这批产品共有50×(6-1)-25= 225(件). 11. 80或120 [解析] 设甲的速度为 xkm/h,则乙的速度为12xkm /h.根 据题意,得x+12x=150-30 或x+ 1 2x=150+30 ,解得x=80或x= 120.经检验,符合题意.∴ 甲的速度 为80km/h或120km/h. 12. (1) 设爸爸追上小明用了xmin. 根据题意,得60(x+5)=300x,解得 x=54. 经检验,符合题意. ∴ 爸爸追上小明用了5 4min. (2) 设小明家离图书馆的距离为 ym. 由(1),知爸爸追上小明时离家的距离 为300×54=375 (m). 根据题意,得y 60-5- 5 4- y-375 240 = 10,解得y=1175. 经检验,符合题意. ∴ 小明家离图书馆的距离为1175m. 专题特训（二）　一元一次 方程应用中的设元 技巧与热点题型 1. C [解析] 设七年级(1)班的学生 共有x人.由题意,得x8+2= x 6 ,解 得x=48.经检验,符合题意.∴ 七年 级(1)班的学生共有48人. 2. 900 [解析] 设该工厂共生产零件 x个.根据题意,得x50= x 60+3 ,解得 x=900.经检验,符合题意.∴ 该工厂 共生产零件900个. 3. 300 [解析] 设丙在A 地植树 x棵.由题意,可得32×1000-x28 + 301000-x28 - x 30 =1250,解得x= 300.经检验,符合题意.∴ 丙在A 地 植树300棵. 4. 3min30s=210s. 设小红在冲刺阶段花了xs,则小红以 3m/s的平均速度跑了(210-x)s. 由题意,得3(210-x)+5.5x=800, 解得x=68. 经检验,符合题意. ∴ 小红在冲刺阶段花了68s. 5. C [解析] 设小华结账时实际买 了x 个笔袋.根据题意,得18(x- 1)-18×0.9x=36,解得x=30.经检 验,符合题意.∴ 18×0.9x=18× 0.9×30=486.∴ 小华结账时实际付 了486元. 6. B [解析] 设租用x辆45座的客 车.根据题意,得45x=60(x-1)- 30,解得x=6.经检验,符合题意.6× 45=270(人).∴ 该校参加春游的人 数为270. 7. 256 [解析] 设方阵最外层每边有 x人.根据题意,得4(x-1)=60,解 得x=16.经检验,符合题意.∴ 方阵 最外层每边人数为16.∴ 这个方阵共 有学生16×16=256(人). 8. 设长方形卡片的长为xcm. 根据题图和题意,得5x=3(x+12), 解得 x=18. 经检验,符合题意. ∴ 要配的正方形图片的边长为18- 12=6(cm). 9. 142857 [解析] 设后五位是x, 则这个六位数为100000+x,新的六 位数可表示为10x+1.根据题意,得 3(100000+x)=10x+1,解得x= 42857.经检验,符合题意.∴ 原数为 142857. 整体设元构造方程 有些应用题的未知量太多,而已 知关系又太少,无法直接设元求 解.在这种情况下,可考虑整体设 元,可以减少所设元的个数,便于 求解. 10. (1) 150;240. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 (2) 有这种可能. 由题意可知,小红购买的跳绳超过 10根,小明购买的跳绳不足10根. 设小红购买的跳绳的根数为x,则小 明购买的跳绳的根数为x-2. 根据题意,得25×0.8x=25(x-2)- 5,解得x=11. 经检验,符合题意. ∴ x-2=9. ∵ 11>10>9, ∴ 有这种可能,小红购买的跳绳的根 数为11. 11. 获利最多的是方案三. 理由:方案一:可获利润为5000× 100=500000(元). 方案二:10天可精加工5×10= 50(t). ∴ 还有50t需要直接销售. ∴ 可获利润为7500×50+1200× 50=435000(元). 方案三:设将xt海产品进行精加工, 则将(100-x)t进行粗加工. 由题意,得x 5+ 100-x 15 =10 ,解得 x=25. 经检验,符合题意. ∴ 可获利润为7500×25+5000× (100-25)=562500(元). ∵ 562500>500000>435000, ∴ 获利最多的是方案三. 12. (1) 设当购物总额是x元时,甲、 乙两家超市实际付款相同. 根据题意,易得x>500. ∴ 85%x=500×(1-12%)+80%· (x-500),解得x=800. 经检验,符合题意. ∴ 当购物总额是800元时,甲、乙两 家超市实际付款相同. (2) 该顾客的选择不划算. 理由:设该顾客在乙超市购物的原标 价为y元. ∵ 500× (1-12%)=440(元), 440<490, ∴ y>500. 根据题意,得 440+80% · (y- 500)=490,解得y=562.5. 若在 甲 超 市 购 买,则 实 际 付 款 562.5×85%=478.125(元). ∵ 478.125<490, ∴ 该顾客的选择不划算. 第5章复习 ［知识体系构建］ 等式 相等 一 整式 1 同一个 数或同一个整式 同一个数(除数不 能为0) 不变 不变 ［高频考点突破］ 典例1 C [跟踪训练] 1. C 典例2 C [跟踪训练] 2. ①③④ [解析] ① ∵ a=b,∴ a+1=b+1. ∴ 3(a+1)=3(b+1).∴ ①正确. ② 将-2a=-3的两边都除以-2, 得a=32.∴ ②不正确.③ 将a c= b c (c≠0)的两边都乘以c,可得a=b. ∴ ③正确.④ 由于a=b,c2+1≠0, 两边都除以c2+1,得 a c2+1= b c2+1. ∴ ④正确.综上所述,正确的是①③④. 判断等式的变形是否 正确的方法 当等式两边都加上、减去或乘 以同一个数(或式子)时,变形均正 确;当等式两边都除以同一个数 (或式子)时,要先判断这个数(或 式子)是否为0.若确定该数(或式 子)不为0,则该变形正确,否则 错误. 典例3 (1) 去括号,得2x-4-6x+ 6=3-3x. 移项,得2x-6x+3x=3+4-6. 合并同类项,得-x=1. 系数化为1,得x=-1. (2) 去分母,得3x-(5x+11)=6+ 2(2x-4). 去括号,得3x-5x-11=6+4x-8. 移项,得3x-5x-4x=11+6-8. 合并同类项,得-6x=9. 系数化为1,得x=-32. [跟踪训练] 3. (1) 去分母,得8x- 4(x+10)+2(x+1)=24x+12+ (2-x). 去括号,得8x-4x-40+2x+2= 24x+12+2-x. 移项、合并同类项,得-17x=52. 系数化为1,得x=-5217. (2) 方程可化为30x-15 2 +8x= 20x-10 9 +4. 去分母,得9(30x-15)+144x= 2(20x-10)+72. 去括号,得 270x-135+144x= 40x-20+72. 移项,得270x+144x-40x=-20+ 72+135. 合并同类项,得374x=187. 系数化为1,得x=12. 典例4 x=-2 [解析] 根据题意, 得5Δ(3*x)=5- (3x+3-x) 2 =3 , 解得x=-2. [跟踪训练] 4. 5 [解析] ∵ a􀱋 b=a(b+1),∴ 2􀱋x=2(x+1).又 ∵ a*b=a+b2 ,∴ (x+1)*x= x+1+x 2 .∴ 2􀱋x+(x+1)*x= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11