5.2 专题特训(一) 构造一元一次方程解题-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

11. 120km [解析] 设轮船从乙地 逆流开往甲地需xh,则轮船从甲地 顺流开往乙地需(x-1.5)h.根据题 意,得(18+2)×(x-1.5)=(18- 2)x,解得x=7.5.经检验,符合题意. ∵ (18-2)×7.5=120(km),∴ 甲、 乙两地之间的路程为120km. 12. 设这次小峰打扫了xh,则爸爸打 扫了(3-x)h. 根据题意,得x 4 + 3-x 2 =1 ,解得 x=2. 经检验,符合题意. ∴ 这次小峰打扫了2h. 13. (1) 设甲旅行团有x人,则乙旅 行团有(x+4)人. 根据题意,得x+x+4=4×16,解得 x=30. 经检验,符合题意. ∴ x+4=30+4=34. ∴ 甲旅行团有30人,乙旅行团有 34人. (2) 设甲旅行团中有儿童y人,则乙 旅行团中有儿童(2y-2)人. ∴ 甲旅行团中有成人(30-y)人,乙 旅行团中有成人[34-(2y-2)]人. 根据题意,得40y+80(30-y)= 40(2y-2)+80[34-(2y-2)],解得 y=10. 经检验,符合题意. ∴ 2y-2=2×10-2=18. ∴ 甲旅行团中有儿童10人,乙旅行 团中有儿童18人. 14. (1) 设x年后父亲的年龄是儿子 年龄的2倍. 由题意,得37+x=2(12+x),解得 x=13. 经检验,符合题意. ∴ 13年后父亲的年龄是儿子年龄的 2倍. (2) 不能. 理由:设y年后父亲的年龄是儿子年 龄的6倍. 由题意,得37+y=6(12+y),解得 y=-7. ∵ y=-7不合题意, ∴ 几年后父亲的年龄不能是儿子年 龄的6倍. 15. (1) 设经过xs摩托车追上自 行车. 由题意,得20x=1600+4x,解得 x=100. 经检验,符合题意. ∴ 经过100s摩托车追上自行车. (2) 设经过ys两人在行进路线上相 距160m. (1600+1800)÷20=170(s). 当摩托车还差160m追上自行车时, 20y=1600+4y-160,解得y=90< 170,符合题意; 当摩托车超过自行车160m 时, 20y=160+4y+1600,解得y= 110<170,符合题意. 综上所述,经过90s或110s两人在 行进路线上相距160m. 专题特训（一）　构造一元 一次方程解题 1. A [解析] ∵ (m-2)x|m-1|+ 3=0是关于x 的一元一次方程, ∴ |m-1|=1且m-2≠0.∴ m=0. 2. (1) ∵ (m-3)x|m|-2+6=0是 关于x的一元一次方程, ∴ |m|-2=1且m-3≠0,解得 m=-3. (2) 把m=-3代入|y-m|=3,得 |y+3|=3, ∴ y+3=3或y+3=-3,解得y= 0或y=-6. 3. (1) ∵ 方程(3m-4)x2-(5- 3m)x-4m=-2m 是关于x的一元 一次方程, ∴ 3m-4=0且-(5-3m)≠0,解得 m=43. 把m= 43 代入原方程,得-x- 16 3=- 8 3 ,解得x=-83. (2) 把m=43 代入n 2+ m 3=n-4 ,得 n 2+ 4 9=n-4 ,解得n=809. 4. C [解析] 将x=-3代入原方 程,得-3+3=-2×(-3-★)-12, 解得★=3. 5. (1) -3. (2) 将 m = -3 代 入,可 得 3|x+3|-4(x+1) 3 = -3-2 2 , ∴ 6|x+3|-8(x+1)=-15. ① 当x≥-3时,6x+18-8x- 8=-15,解得x=252. ∴ 方程的解为x=252. ② 当x<-3时,-6x-18-8x- 8=-15,解得x=-1114. 此时x>-3,故不符合题意. 综上所述,方程的解为x=252. 6. (1) ∵ 单项式 -7a2x+1b5 与 ax+3b5的和仍为单项式, ∴ 2x+1=x+3,解得x=2. (2) ∵ x的值是关于x的方程5a+ 14=2+x的解, ∴ 5a+14=2+2,解得a=-2. ∴ a3-3|a|+23=-8-3×2+ 8=-6. 7. (1) 由题意,得x 4= 2-x 3 . 去分母,得3x=4(2-x). 去括号,得3x=8-4x. 移项,得3x+4x=8. 合并同类项,得7x=8. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 系数化为1,得x=87. (2) 由题意,得x 4- 2-x 3 =2. 去分母,得3x-4(2-x)=24. 去括号,得3x-8+4x=24. 移项,得3x+4x=24+8. 合并同类项,得7x=32. 系数化为1,得x=327. (3) 存在. 由题意,得x 4+ 2-x 3 =0. 去分母,得3x+4(2-x)=0. 去括号,得3x+8-4x=0. 移项,得3x-4x=-8. 合并同类项,得-x=-8. 系数化为1,得x=8. ∴ 存在x,使得这两个代数式的值互 为相反数,此时x=8. 8. 2 [解析] 由题意,得2(5x-3)- 3(1-3x)=29,解得x=2. 9. 设最初输入的数是x. 由题意,知4[4(4x-6)-6]-6=10. 去括号、移项、合并同类项,得64x=136. 系数化为1,得x=178. 经检验,符合题意. ∴ 最初输入的数是17 8. 10. 解方程2-3(x+1)=0,得x= -13. ∵ 方程2-3(x+1)=0的解与关于 x的方程 k+x 2 -2=2x 的解互为 倒数, ∴ 关于x的方程 k+x 2 -2=2x 的解 是x=-3. 把x=-3代入方程k+x2 -2=2x , 得k-3 2 -2=-6 ,解得k=-5. 11. 由x-4 3 -8= - x+2 2 ,解得 x=10. 把x=10代入方程4x-(3a+1)= 6x-2a+1,得40-3a-1=60- 2a+1,解得a=-22. 含字母系数的同解方程 问题的解法 解含字母系数的两个方程的 解相同的问题时,可以先求出两个 方程的解,再根据两个方程的解相 同的关系,列出关于所含字母系数 的方程,也可以先求出不含字母系 数的方程的解,然后把该方程的解 代入含字母系数的方程,进而求出 所含字母的值. 12. 由2x-a=1,得x=a+12 . 由2x-1 2 = x+a 3 -a ,得x=3-4a4 . ∴ a+1 2 + 3-4a 4 = 11 4 ,解得a=-3. 5.3　实践与探索 第1课时 实践与探索(1) 1. D 2. C [解析] 设这种无缝钢管的长 度是xcm.1m=100cm.由题意,得 π×(6÷2)2×100=π 32 2 - 1 2 2 ·x,解得x=450.经检验,符 合题意.450cm=4.5m.∴ 这种无缝 钢管的长度是4.5m. 3. 25.12 50.24 [解析] 由题意,把 一个圆剪拼成一个近似长方形,这个 长方形的长等于圆周长的一半,长方 形的宽等于圆的半径,∴ 可设圆的半 径为xcm,则长方形的宽为xcm,长 方形的长为(x+8.56)cm.∴ 2× 3.14x×12=x+8.56 ,解得x=4.经 检验,符合题意.∴ 圆的周长约是2× 3.14×4=25.12(cm),圆的面积约是 3.14×4×4=50.24(cm2). 4. 设圆柱形容器中水的高度为xcm. 根据题意,得25x=20×10×8,解得 x=64. 经检验,符合题意. ∴ 圆柱形容器中水的高度为64cm. 5. C [解析] 设小正方形的边长为 xcm,则大正方形的边长为(x+ 3)cm.由题意,得2×4x=4(x+3), 解得x=3.经检验,符合题意.∴ x+ 3=3+3=6.∴ 小正方形的边长为 3cm,大正方形的边长为6cm.∴ 小正 方形的面积为9cm2,大正方形的面 积为36cm2. 6. B [解析] 设长方体容器内水面 的高度为xcm.根据题意,得20× 20×10-10×10×10+20×20(x- 10)=3× 202 2 ×20,解得x=17.5. 经检验,符合题意.∴ 长方体容器内 水面的高度约为17.5cm. 7. 20000 50000 [解析] 设这些消 毒液应该分装大瓶x瓶,则分装小瓶 5 2x 瓶.根据题意,得500x+250× 5 2x=22.5×1000×1000 ,解得x= 20000.经检验,符合题意.∴ 5 2x= 5 2×20000=50000.∴ 这些消毒液 应该分装大瓶 20000 瓶和小瓶 50000瓶. 8. 44.5 [解析] 设长方体箱子的宽 为xcm,抽出隔板后的水面高度为 hcm.根据题意,得长方体箱子的长 为110+90=200(cm).∴ 110x× 40+90x×50=200xh,解得h= 44.5.经检验,符合题意.∴ 箱内的水 面高度为44.5cm. 9. 小赵的设计符合实际. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 14 专题特训（一）　构造一元一次方程解题▶ “答案与解析”见P6 类型一 利用一元一次方程的定义构造 1. 已知(m-2)x|m-1|+3=0是关于x的一元 一次方程,则m的值为 ( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 0或2 2. 已知(m-3)x|m|-2+6=0是关于x的一元 一次方程. (1) 求m的值. (2) 若|y-m|=3,求y的值. 3. 已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m= -2m是关于x的一元一次方程. (1) 求m的值及方程的解. (2) 若n 满足关系式 n 2+ m 3=n-4 ,求n 的值. 类型二 利用方程解的定义构造 4. 小明同学在做作业时,发现自己不小心用墨 水将方程x+3=-2(x-★)-12中的一个 常数弄污了(用 ★ 表示),询问老师后,老师 告诉他,这个方程的解是x=-3,则这个被 弄污的常数★是 ( ) A. -12 B. 12 C. 3 D. -3 5. 已知方程2(x-1)=3(x+2)的解 是x=m-5. (1) m的值为 . (2) 求关于x的方程 3|x-m|-4(x+1) 3 = m-2 2 的解. 类型三 利用代数式间的数量关系构造 6. 已知单项式-7a2x+1b5 与ax+3b5 的和仍为 单项式. (1) 求x的值. (2) 若x的值是关于x的方程5a+14=2+ x的解,求整式a3-3|a|+23的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级下 15 7. 已知代数式x 4 与2-x 3 . (1) 当x为何值时,这两个代数式的值相等? (2) 当x为何值时,代数式x4 的值比2-x 3 的 值大2? (3) 是否存在x,使得这两个代数式的值互为 相反数? 若存在,求出x的值;若不存在,请 说明理由. 类型四 利用新定义或程序构造 8. 已知a、b为有理数,定义一种运算“※”:a※ b=2a-3b,等式的右侧为通常的混合运算. 若(5x-3)※(1-3x)=29,则x 的值为 . 9. 按如图所示的程序进行计算,经过 3次输入,最后输出的数是10,求最 初输入的数. (第9题) 类型五 利用两方程解的关系构造 10. 已知方程2-3(x+1)=0的解与关于x的 方程k+x 2 -2=2x 的解互为倒数,求k 的值. 11. ★如果方程x-4 3 -8=- x+2 2 的解与关于x 的方程4x-(3a+1)=6x-2a+1的解相 同,求a的值. 12. 已知关于x的方程2x-a=1与关于x的 方程2x-1 2 = x+a 3 -a 的解的和为11 4 ,求a 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　一元一次方程