5.2 第4课时 解含分母的一元一次方程-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

号时,符号出现错误,括号前是“-”, 去括号时括号内各项都要变号. ② 移项时,20前面的符号出现错误. 正确的解法:去括号,得15-10x- 20-12x=40-36x-17. 移项,得-10x-12x+36x=40- 17-15+20. 合并同类项,得14x=28. 系数化为1,得x=2. 12. (1) 去括号,得x-4-4=2x+1. 移项、合并同类项,得-x=9. 系数化为1,得x=-9. (2) 去括号,得2x-12x+ 1 4x- 1 4= 2 3x- 2 3. 移项、合并同类项,得13 12x=- 5 12. 系数化为1,得x=-513. 13. 解方程2(x-4)-48=-3(x+ 2),得x=10. ∵ 方程2(x-4)-48=-3(x+2)的 解与关于x的方程4x-(3a+1)= 6x+2a-1的解互为相反数, ∴ 方程4x-(3a+1)=6x+2a- 1的解为x=-10. 把x=-10代入,得-40-(3a+ 1)=-60+2a-1,解得a=4. ∴ 2a2-a=2×42-4=2×16-4= 32-4=28. 14. (1) 设第一个数为a,则第二个数 为-a. 由题意,得2×(1-a)-3×(-a)= 15,解得a=13. ∴ -a=-13. ∴ 第一个数为13,第二个数为-13. (2) 设第一个数为b,则第二个数为 6-b. 由题意,得2×(1-b)-3×(6-b)= 15,解得b=31. ∴ 6-b=6-31=-25. ∴ 第一个数为31,第二个数为-25. 15. (1) 方程4x-(x+5)=1与方 程-2(y+1)=1+y是“美好方程”. 理由:由4x-(x+5)=1,解得x=2; 由-2(y+1)=1+y,解得y=-1. ∵ -1+2=1, ∴ 方程4x-(x+5)=1与方程 -2(y+1)=1+y是“美好方程”. (2) ∵ “美好方程”的两个解的和为 1,其中一个解为n, ∴ 另一个方程的解为1-n. ∵ 两个解的差为8, ∴ 1-n-n=8或n-(1-n)=8. ∴ n=-72 或n=92. 第4课时 解含分母的 一元一次方程 1. A 2. B 3. 0 [解析] 解方程3(x+1)=2+ x,得x=-12.∵ 两方程的解互为倒 数,∴ 将x=-2代入6-2k3 =2 (x+ 3),得6-2k3 =2 ,解得k=0. 4. (1) 去分母,得3(y-3)-5(y- 4)=15. 去括号,得3y-9-5y+20=15. 移项,得3y-5y=15+9-20. 合并同类项,得-2y=4. 系数化为1,得y=-2. (2) 去分母,得2(m-1)-3(4- 3m)=12-(1-2m). 去括号,得2m-2-12+9m=12- 1+2m. 移项,得2m+9m-2m=2+12+ 12-1. 合并同类项,得9m=25. 系数化为1,得m=259. 解含分母的一元一次方程时, 要做到“二不一转化” (1) 不忽视:去分母时不要忽 视分数线的括号作用. (2) 不漏乘:去分母时,不含分 母的项勿漏乘以各分母的最小公 倍数. (3) 巧转化:若方程中有分母 是小数,则可先利用分数的基本性 质将分子、分母同时扩大若干倍, 把分母化成整数,再按照去分母、 去括号等步骤解方程. 5. A 6. C [解析] 把x=1代入ax3+ bx+1=2,得a+b+1=2,即a+b= 1.ax+12 + 2bx-3 4 = x 4 去分母,得 2ax+2+2bx-3=x.整理,得(2a+ 2b-1)x=1,即[2(a+b)-1]x=1. 把a+b=1代入,得x=1. 7. D [解析] 由5x-1 6 = 7 3 ,解得 x=3.把x=3代入x-12 =2|m|-x , 得1=2|m|-3,∴ 2|m|=4.∴ |m|= 2.∴ m=±2. 8. -1 [解 析] 根 据 题 意,得 2x-1 3 +3-2x=4. 去分母,得2x- 1+9-6x=12.移项、合并同类项, 得-4x=4,解得x=-1. 9. -43 [解析] 根据题意,可得 3 3+ a 2= 3+a 3+2 ,∴ 1+a2= 3+a 5 ,解 得a=-43. 10. -9.5 [解析] ∵ a*b= -2a+b3 ,∴ 4*x=-2×4+x3 = -8+x3 .∵ 1 2- (4*x)=0,∴ 1 2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 -8+x3 =0,解得x=-9.5. 11. 2 [解析] 解关于x 的方程 ax+2 4 -1= 2x-1 5 ,得x= 65a-8. 要 使方程的解为正整数,即必须使 6 5a-8 为正整数,则5a-8应是6的 正约数,∴ 5a-8=1、2、3、6.∵ a是 整数,∴ a=2. 12. (1) 去分母,得4(2x-1)- (10x+1)=3(2x+1)-12. 去括号,得8x-4-10x-1=6x+ 3-12. 移项、合并同类项,得-8x=-4. 系数化为1,得x=12. (2) 原 方 程 化 为 30x-100 2 = 30x+100 4 + 1 2 ,即 15x -50= 15x+50 2 + 1 2. 去分母,得30x-100=15x+50+1. 移项,得30x-15x=50+1+100. 合并同类项,得15x=151. 系数化为1,得x=15115. 13. 按照小方的方法去分母,得2(2x- 1)=3(x+a)-1. 把x=2代入2(2x-1)=3(x+a)- 1,得2×(2×2-1)=3(2+a)-1,解 得a=13. 把a=13 代入原方程,得2x-1 3 = x+13 2 -1. 去分母,得 2(2x-1)=3 x+ 1 3 -6. 去括号,得4x-2=3x+1-6. 移项、合并同类项,得x=-3. 14. -53 [解析] 解关于x的方程 x+a 2 = 2x-a 3 ,得x=5a.解关于x 的方程3a-x=x2+3 ,得x=2a- 2.∵ 关于x的方程 x+a 2 = 2x-a 3 的 解比关于x的方程3a-x=x2+3 的 解小3,∴ 5a+3=2a-2,解得a= -53. 15. 方程两边同时乘以6,得 4kx+ 2a=6+x-bk. ∴ (4k-1)x+2a+bk-6=0①. (1) ∵ 方程的解与k的值都是最大 的负整数, ∴ x=-1,k=-1. 把x=-1,k=-1代入①,得5+ 2a-b-6=0, ∴ 2a-b=1. (2) ∵ 无论k为何值,方程的解总是 x=1, ∴ 把x=1代入①,得4k-1+2a+ bk-6=0. 当k=0时,-1+2a-6=0,解得 a=72. 当k=1时,4-1+2a+b-6=0,解 得b=-4. 经检验,当a=72 ,b=-4时,①的解 总是x=1. ∴ a+18b= 7 2+ 1 8× (-4)=72- 1 2=3. 第5课时 一元一次方程的 简单应用 1. D 2. B 3. 56 4. 120 [解析] 设火车的长为xm. 由题意,得600+x 30 = 600-x 20 ,解得 x=120.经检验,符合题意.∴ 火车的 长为120m. 5. 设该文具店这种大笔记本每本的 价格是x元,则小笔记本每本的价格 是(x-3)元. 根据题意,得4x+6(x-3)=62,解得 x=8. 经检验,符合题意. ∴ 该文具店这种大笔记本每本的价 格为8元. 6. C [解析] 设中型汽车有x辆,则 小型汽车有(50-x)辆.根据题意,得 6x+4×(50-x)=230,解得x=15. 经检验,符合题意.∴ 中型汽车有 15辆. 7. A [解析] 设驴所驮货物的袋数 是x.由题意,得2(x-1)-1-1= x+1,解得x=5.经检验,符合题意. ∴ 驴所驮货物的袋数是5. 8. D [解析] 设丙有x 元,则甲有 (x+11)元,乙有(x+1)元.根据题意 得,x+11=2(1+x),解得x=9.经 检验,符合题意.∴ 丙有9元,甲有 20元,乙有10元.∴ 三人共有9+ 20+10=39(元). 9. A [解析] ① 若甲、乙两车在相 遇前相距50km,则120t+80t= 450-50,解得t=2.经检验,符合题 意.② 若甲、乙两车在相遇后相距 50km,则120t+80t=450+50,解得 t=2.5.经检验,符合题意.综上所述, t的值为2或2.5. 10. 5 31 [解析] 设第一天织布x尺, 则第二天织布2x 尺,第三天织布 4x尺,第四天织布8x尺,第五天织布 16x尺.根据题意,得x+2x+4x+ 8x+16x=5,解得x=531. 经检验,符 合题意.∴ 该女子第一天织布5 31 尺. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 10 第4课时 解含分母的一元一次方程 ▶ “答案与解析”见P4 1. 方程x-2 3 =1- 2x-1 6 去分母后正确的结 果是 ( ) A. 2(x-2)=6-(2x-1) B. 2(x-2)=1-(2x-1) C. x-2=6-(2x-1) D. x-2=1-(2x-1) 2. 某练习册中有方程如下:2+■x 3 -x=-1 , “■”处在印刷时被墨盖住了.已知方程的解 为x=-2.5,则“■”处的数为 ( ) A. 7 B. 5 C. 2.5 D. -5 3. 若方程3(x+1)=2+x的解与关于x的方 程6-2k 3 =2 (x+3)的解互为倒数,则k的值 为 . 4. ★解下列方程: (1) y-3 5 - y-4 3 =1. (2) 2(m-1) 12 - 4-3m 4 =1- 1-2m 12 . 5. 小明解方程x+1 2 -1= x-2 3 的步骤如下: ① 方程两边都乘以6,得3(x+1)-1= 2(x-2);② 去括号,得3x+3-1=2x-2; ③ 移项,得3x-2x=-2-3+1;④ 合并同 类项,得x=-4.其中,开始出错的一步是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 若当x=1时,ax3+bx+1的值是2,则关于 x的方程 ax+1 2 + 2bx-3 4 = x 4 的解是 ( ) A. x=13 B. x=-13 C. x=1 D. x=-1 7. 如果关于x 的方程 5x-1 6 = 7 3 与x-1 2 = 2|m|-x的解相同,那么m的值是 ( ) A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2 8. 代数式2x-1 3 与代数式3-2x的和为4,则 x= . 9. 我们称使m 3+ n 2= m+n 3+2 成立的一对数m、n 为“好朋友数对”,记为(m,n).如:当m=n= 0时,等式成立,记为(0,0).若(3,a)是“好朋 友数对”,则a的值为 . 10. 在有理数范围内定义新运算“*”,其规则为 a*b=-2a+b3 ,等式的右侧为通常的混合 运算,则方程1 2- (4*x)=0中x的值为 . 11. (核心素养·推理能力)已知关于x 的方程ax+2 4 -1= 2x-1 5 的解是 正整数,且a为整数,则a的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级下 11 12. 解下列方程: (1) 2x-1 3 - 10x+1 12 = 2x+1 4 -1. (2) 0.3x-1 0.02 = 0.3x+1 0.04 + 1 2. 13. 小方解方程2x-1 3 = x+a 2 -1 ,在 去分母时,方程右边的-1忘记乘 以6,因此求得的解为x=2.试求a的值,并 求出方程的正确解. 14. 已知关于x的方程 x+a 2 = 2x-a 3 的解比关 于x的方程3a-x=x2+3 的解小3,则a 的值为 . 15. (易错题)已知关于x 的方程 2kx+a 3 =1+ x-bk 6 中,a、b、k为 常数. (1) 若方程的解与k的值都是最大的负整 数,求2a-b的值. (2) 若无论k为何值,方程的解总是x=1, 求a+18b 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　一元一次方程