5.1 从实际问题到方程-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（华东师大版2024）

2 5.1　从实际问题到方程 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2024·宿迁)我国古代问题:以绳测井,若将 绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳 多一尺.绳长、井深各几何? 这段话的意思如 下:用绳量井深,把绳折成三等份来量,井外 余绳四尺,把绳折成四等份来量,井外余绳一 尺.绳长、井深各几尺? 若设绳长为x尺,则 可列方程为 ( ) A. 1 3x-4= 1 4x-1 B. 1 3x+4= 1 4x-1 C. 1 3x-4= 1 4x+1 D. 1 3x+4= 1 4x+1 2. 下列方程的解是x=-4的为 ( ) A. 2(2x+6)+2=-(8-10) B. 3(2x-1)=3x+1 C. 5x-20=0 D. 2(2x-1)-2(4x+3)=8 3. 在一次美化校园活动中,先安排32人去拔 草,18人去植树,后又增派22人去支援他 们,结果拔草的人数是植树人数的2倍.若设 支援拔草的有x人,则可列方程为 ,采用尝试检验法可确定x的值为 . 4. 将周长为26cm的长方形的长减少1cm,宽 增加2cm,就可成为一个正方形. (1) 设长方形的长为xcm,则可列关于x的 方程为 . (2) 说明x=8是(1)中所列方程的解,而 x=10不是它的解. (3) 设长方形的宽是ycm,则可列关于y的 方程为 . 5. 方程-3(★-9)=5x-1,★ 处被盖住了一 个数.已知方程的解是x=5,则★处的数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知父亲和女儿现在的年龄之和是57岁, 10年后,女儿的年龄是父亲年龄的25. 设父亲 现在的年龄为x岁,则可列方程为 ( ) A. x=25 (57-x+10) B. x+10=25 (57-x+10) C. 57-x+10=25 (x+10) D. 57-x+10=25x 7. 有m辆客车及n个人.若每辆客车 乘40人,则还有10人不能上车;若 每辆客车乘43人,则只有1人不能 上车.有下列四个等式:① 40m-10=43m- 1;② n+10 40 = n+1 43 ;③ n-10 40 = n-1 43 ; ④ 40m+10=43m +1.其中,正确的是 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级下 第5章　一元一次方程 3 8. 检验下列方程后面小括号内的数是否为相应 方程的解,并写出检验过程. (1) 2x+5=10x-3(x=1). (2) 2(x-1)-12 (x+1)=3(x+1)- 1 3 (x-1)(x=0). 9. 根据下列问题,设未知数,列出方程: (1) 有甲、乙两桶油,总质量为20kg(不计桶 的质量),甲桶内存放的油的质量是乙桶内油 的质量的3倍,甲、乙两桶油的质量分别为 多少? (2) 有甲、乙两桶油,总质量为20kg(不计桶 的质量),甲桶油用了8kg,乙桶油用了一半, 这时两桶油共剩9kg,原来甲、乙两桶内的油 的质量分别为多少? (3) 有甲、乙两桶油,甲桶内存放的油的质量 是乙桶内油的质量的2倍,现从甲桶中倒 8kg油至乙桶,倒完后甲桶内油的质量还比 乙桶内的油多13kg,原来甲、乙两桶内的油 的质量分别为多少? 10. (数学文化)有这样一个问题:今有 共买金,人出四百,盈三千四百;人 出三百,盈一百.问人数、金价各几 何? 其大意如下:假设合伙买金,每人出 400钱,还剩余3400钱;每人出300钱,还 剩余100钱.问人数、金价各是多少? (1) 设有x人,请根据题意列出方程. (2) 在x=30,x=33,x=35中,哪一个是 (1)中所列方程的解? 11. (核心素养·应用意识)甲仓库有水泥 100吨,乙仓库有水泥80吨,要全部运到 A、B两工地.已知A工地需要水泥70吨, B工地需要水泥110吨,甲仓库运到A、B 两工地的运费分别是140元/吨、150元/ 吨,乙仓库运到A、B 两工地的运费分别是 200元/吨、80元/吨.若本次运送水泥的总 运费需要25900元,求甲仓库运到A工地 的水泥的质量(不要求算出结果). (1) 设甲仓库运到A 工地的水泥的质量为 x吨,请在下表中用x表示出其他未知量. 仓 库 甲 乙 运到A工地的 水泥的质量/吨 x 运到B工地的 水泥的质量/吨 x+10 (2) 用含x 的代数式表示运送甲仓库 100吨水泥的运费为 元(写出 化简后的结果). (3) 请根据题目中的等量关系和以上的分 析列出方程. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　一元一次方程 第5章　一元一次方程 5.1　从实际问题到方程 1. A 2. D 3. 32+x=2(18+22- x) 16 4. (1) x-1=13-x+2. (2) 当x=8时,左边=8-1=7,右 边=13-8+2=7,左边=右边, ∴ x=8是(1)中所列方程的解. 当x=10时,左边=10-1=9,右 边=13-10+2=5,左边≠右边, ∴ x=10不是(1)中所列方程的解. (3) 13-y-1=y+2. 5. A 6. C [解析] 根据题意,得女儿现在 的年龄为(57-x)岁,10年后,父亲的 年龄为(x+10)岁,女儿的年龄为 (57-x+10)岁.∵ 10年后女儿的年 龄是父亲年龄的2 5 ,∴ 可列方程为 57-x+10=25 (x+10). 7. ③④ [解析] 根据总人数不变列 方程,应是40m+10=43m+1,故 ①错误,④正确;根据客车数不变列方 程,应为n-10 40 = n-1 43 ,故③正确, ②错误.∴ 正确的是③④. 8. (1) 当x=1时,左边=2×1+5= 7,右边=10×1-3=10-3=7, ∴ 左边=右边. ∴ x=1是此方程的解. (2) 当x=0时,左边=2×(0-1)- 1 2× (0+1)=-2-12=- 5 2 ,右 边=3×(0+1)-13× (0-1)=3+ 1 3= 10 3 , ∴ 左边≠右边. ∴ x=0不是此方程的解. 9. (1) 设乙桶内油的质量为xkg,则 甲桶内油的质量为(20-x)kg. 根据题意,得20-x=3x. (2) 设乙桶内油的质量为xkg,则甲 桶内油的质量为(20-x)kg. 根据题意,得20-x-8+12x=9. (3) 设乙桶内油的质量为xkg,则甲 桶内油的质量为2xkg. 根据题意,得2x-8=x+8+13. 10. (1) 400x-3400=300x-100. (2) x=33是(1)中所列方程的解. 11. (1) 70-x;100-x. (2) (-10x+15 000). (3) 140x+150(100-x)+200(70- x)+80(x+10)=25900. 5.2　解一元一次方程 第1课时 等式的基本性质 与方程的简单变形 1. D 2. B 3. D 4. 2 5. 由等式(2m+5)x=3m-n不一定 能得到x=3m-n2m+5. 对于等式(2m+5)x=3m-n,由等式 的基本性质2,等式两边同时除以 2m+5,当2m+5=0时,不能得到 x=3m-n2m+5 ;当2m+5≠0时,能得到 x=3m-n2m+5. ∴ 由等式(2m+5)x=3m-n不一定 能得到x=3m-n2m+5. 由等式x=3m-n2m+5 能得到(2m+5)· x=3m-n. 对于等式x=3m-n2m+5 ,由等式的基本 性质2,等式两边同时乘以2m+5,可 得(2m+5)x=3m-n. ∴ 由等式x=3m-n2m+5 能得到(2m+ 5)x=3m-n. 等式两边同时除以某数时, 忽略该数不能为0 在利用等式的基本性质2时, 不能忽略除数不能为0这一条件, 尤其在除以含字母的式子时,一定 要注意除数不为0. 6. D 7. B 8. B [解析] ∵ 由等式(m-1)(n+ 2)=(2m+3)(n+2),得等式m-1= 2m+3,∴ n+2≠0.∴ n≠-2. 9. A [解析] 3=4nm+ 2 m ,只有m≠ 0时,才能得到等式3m=4n+2,A选 项符合题意;3m+2=4n+4,移项、合 并同类项,得3m=4n+2,故B选项 排除;3m-2=4n,移项,得3m=4n+ 2,故C选项排除;m=43n+ 2 3 ,等式 两边同时乘以3,得3m=4n+2,故D 选项排除. 10. 10 [解析] 设球体、圆柱体、正方 体的质量分别为x、y、z.由题意,得 2x=5y,2z=3y.∴ x=52y ,y= 2 3z.∴ x=52× 2 3z= 5 3z.∴ 6x= 6×53z=10z ,即6个球体的质量等 于10个正方体的质量. 11. 2a-5 [解析] ∵ 3a-5-a= 2a-5,∴ 等式两边都减2a-5,得 a=11. 12. ①②④⑥ [解析] ① 若x=y, 则x-4=y-4,正确;② 若a c= b c , 则a=b,∴ -2a=-2b,正确; ③ 若-x=-y,则当a=b≠0时, x a= y b ,错误;④ 若|a|=|b|,则 |a|c=|b|c,正确;⑤ 若ax=ay,则 当a≠0时,x=y,错误;⑥ 若x 2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1