第8章 整式乘法与因式分解 复习-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

66 第8章复习 ▶ “答案与解析”见P28 数学(沪科版)七年级下 67 考点一 幂的运算 典例1 (2023·安徽)下列计算正确的是( ) A. a4+a4=a8 B. a4·a4=a16 C. (a4)4=a16 D. a8÷a4=a2 跟踪训练 1. (2024·淮安)下列计算正确的是 ( ) A. a·a3=a4 B. a2+a3=a5 C. a6÷a=a6 D. (a3)4=a7 考点二 逆用幂的运算求值 典例2 (2024·安庆大观期末)已知5a=2, 5b=9.求: (1) 52a的值. (2) 53a-2b的值. 跟踪训练 2. (2024·蚌埠期末)若2a+3b-1=0,则4a× 23b的值为 ( ) A. 1 2 B. 1 C. 2 D. 4 考点三 用科学记数法表示绝对值小于1的数 典例3 (2024·大庆)人体内一种细胞的直径 约为1.56微米,相当于0.00000156米.数据 0.00000156用科学记数法表示为 ( ) A. 1.56×10-5 B. 0.156×10-5 C. 1.56×10-6 D. 15.6×10-7 跟踪训练 3. (2024·广元)2023年10月诺贝尔物理学奖 授予三位“追光”科学家,以表彰他们“为研究 物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实 验方法”.什么是阿秒? 1阿秒是10-18秒,也 就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界 上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒,将 43阿秒用科学记数法表示为 秒. 考点四 整式的混合运算 典例4 计算: (1) (3x2y)2·(-15xy3)÷(-9x4y2). (2) 2x2-(x+1)(2x-1)-3(x+1)(x-3). 先算乘方,再算乘除,最后算加减.如果有括号, 那么先算括号里的,同级运算按照从左到右的顺序 进行. 跟踪训练 4. 计算: (1) (x2)3-2x3[x3-x2(4x+1)]. (2) (24x2y-12x2y)+8xy÷(-6xy). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 68 考点五 因式分解 典例5 分解因式: (1) 9a2-4. (2) a3-2a2+a. (3) x2-4xy+4y2-1. 跟踪训练 5. 分解因式: (1) x2y2-x2(y-1)2. (2) (x2-2xy+y2)+(-2x+2y)+1. (3) (x2-5x)(x2-5x-2)-24. 考点六 乘法公式的灵活应用 典例6 (核心素养·几何直观)(1) 如图①,可 以求出涂色部分的面积是 (写成两数平 方差的形式). (2) 如图②,若将图①中的涂色部分裁剪下来, 重新拼成一个长方形,面积是 (写成多 项式乘法的形式). (3) 比较图①、图②中涂色部分的面积,可以得 到公式: . (4) 运用你所得到的公式,计算:(a+b-2c)· (a-b+2c). (典例6图) 跟踪训练 6. (核心素养·推理能力)若一个正整数能表示 为两个正整数的平方差,则称这个正整数为 “智慧数”.例如:3=22-12,7=42-32,8= 32-12,因此3,7,8都是“智慧数”. (1) 18 “智慧数”,2017 “智 慧数”(填“是”或“不是”). (2) 除1外的正奇数一定是“智慧数”吗? 请 说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 69 1. (2024·六安霍邱期末)埃格斯特朗(简称埃, 符号为Å)是一个长度单位,它不是国际制单 位,但是可与国际制单位进行换算,即1Å= 0.0000000001米,即纳米的十分之一.将数 据0.0000000001用科学记数法表示为 ( ) A. 1×1010 B. 1×109 C. 1×10-9 D. 1×10-10 2. (2024·合肥庐阳三模)下列计算正确的是 ( ) A. 3a7-2a3=a4 B. (-a)7÷a3=a4 C. (2a3)2=4a5 D. (-a)·a3=-a4 3. (2024·黄山二模)计算(-3x)2·(-2x3)的 正确结果为 ( ) A. 18x5 B. 36x5 C. -18x5 D. -36x5 4. (2024·宿州期末)已知(x+m)(x+n)= x2-3x-4,则m2+n2的值为 ( ) A. 17 B. 1 C. -3 D. 15 5. (2023·合肥蜀山模拟)分解因式:2m2- 8mn+8n2= . 6. 已知a+b-2=0,则代数式(a2-b2)2- 8(a2+b2)的值为 . 7. (2024·合肥蜀山期中)我们规定 a b c d =ad-bc,例如: 1 2 3 4 =1× 4-2×3=-2.已知 m+2n n m-2n+3 m-n =5, 则代数式2m2-6n-1的值是 . 8. (2024·六安霍邱期末)(1) 已知10m=50, 10n=12 ,求10m-n的值. (2) 已知3·2t·4t-23t=16,求t的值. 9. (核心素养·几何直观)(2023·安 庆潜山期中)将边长为a的正方形 的左上角剪掉一个边长为b的正方 形(如图①),将剩下部分按照虚线分割成两 部分,将这两部分拼成一个长方形(如图②). (第9题) (1) 设图①中涂色部分的面积为S1,图② 中涂色部分的面积为S2,请用含a,b的式 子 表 示:S1 = ,S2 = (不必化简). (2) 由(1)中的结果可以验证的乘法公式为 . (3) 利用(2)中得到的公式,计算:10232- 1022×1024. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　整式乘法与因式分解 2m×2n=4mn, 又因为m,n为正整数, 所以(m+n)2-(m-n)2 能被4 整除. 所以两个正整数之和与这两个正整数 之差的平方差一定是4的倍数的结论 正确. (3) 由(2),得4mn=(m+n)2-(m- n)2, 所以mn= m+n2 2 - m-n2 2 . 因为正整数m,n 同为偶数或同为 奇数, 所以m+n,m-n同为偶数. 所以m+n 2 ,m-n 2 都是整数. 所以mn可以表示为两个整数的平 方差. 第3课时 提公因式法 与公式法的综合应用 1. A 2. A 3. D 4. (1) 2m(x+ 2y)(x-2y) (2) 3(x-3)2 5. (m-n)(2m-n)(2m+n) 6. -9 [解析] a3b+2a2b2+ab3= ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.因为 a+b=3,ab=-1,所以原式=-1× 32=-9. 7. (1) 原式=2x(16x2-9y2)= 2x(4x-3y)(4x+3y). (2) 原式=3y(x2-2x+1)=3y(x- 1)2. (3) 原式=(5x2-15x)-(2xy- 6y)=5x(x-3)-2y(x-3)=(x- 3)(5x-2y). (4) 原式=9x2-(y2+4y+4)= (3x)2-(y+2)2=(3x+y+2)· [3x-(y+2)]=(3x+y+2)(3x- y-2). 8. A 9. C 10. C [解析] 3a(x2-1)-3b(x2- 1)=3(a-b)(x2-1)=3(a-b)(x+ 1)(x-1).因为x-1,a-b,3,x2+ 1,a,x+1分别对应徽、爱、我、美、游、 安,所以结果呈现的密码信息可能是 我爱安徽. 11. B [解析] x2-10xy+25y2+ 2(x-5y)-8=(x-5y)2+2(x- 5y)-8=(x-5y+4)(x-5y-2). 12. 1 4a (x+2)2 13. (x-y-1)2 14. 3 [解析] x2-1+y2-2xy= (x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1= (x-y+1)(x-y-1).因为y=x- 2,所以x-y=2.所以原式=(2+ 1)×(2-1)=3. 15. -2024 [解析] 因为m2=n+ 2024,n2=m+2024(m≠n),所以 m2-n2=n-m,即(m+n)(m- n)=n-m.因为m≠n,所以m+ n=-1.因为m2=n+2024,n2= m+2024,所以m2-n=2024,n2- m=2024.所以原式=(m3-mn)+ (n3-mn)=m(m2-n)+n(n2- m)=2024m+2024n=2024(m+ n)=-2024. 16. (1) 原式=x3+6x2+9x+2x+ 6=x(x+3)2+2(x+3)=[x(x+ 3)+2](x+3)=(x2+3x+2)(x+ 3)=(x2+x+2x+2)(x+3)= [x(x+1)+2(x+1)](x+3)=(x+ 1)(x+2)(x+3). (2) 原式=a2b-a2c+b2c-b2a+ c2a-c2b=(b-c)a2+(c2-b2)a+ bc(b-c)=(b-c)[a2-(b+c)a+ bc]=(b-c)(a2-ab-ac+bc)= (b-c)[a(a-b)-c(a-b)]=(b- c)(a-b)(a-c). 17. 由①+②,得2x2+4x-4+ 2x2+12x+4=4x2+16x=4x(x+ 4);由①+③,得2x2+4x-4+2x2- 4x=4x2-4=4(x+1)(x-1);由 ②+③,得2x2+12x+4+2x2- 4x=4x2+8x+4=4(x2+2x+1)= 4(x+1)2. 18. (1) (1+2x-y)2. (2) 原式=(a+b)2-6(a+b)+9= (a+b-3)2. (3) 原式=(n2+5n+4)(n2+5n)+ 4=(n2+5n)2+4(n2+5n)+4. 将“n2+5n”看成整体,令n2+5n= A,则原式=A2+4A+4=(A+2)2. 再将“A”还原,得原式=(n2+5n+ 2)2. 因为n为正整数, 所以n2+5n+2也为正整数. 所以代数式(n+1)(n+4)(n2+ 5n)+4的值一定是某一个整数的 平方. 19. (1) 16x2 -8x+2y-y2 = (16x2-y2)-(8x-2y)=(4x+y)· (4x-y)-2(4x-y)=(4x-y)· (4x+y-2). (2) a=b+c. 理由:因为a2-2ac+c2=ab-bc, 所以a2-2ac+c2-ab+bc=0. 所以(a-c)2-b(a-c)=0. 所以(a-c)(a-c-b)=0. 所以a-c=0或a-c-b=0. 因为a≠c, 所以a=b+c. 第8章复习 ［知识体系构建］ am+n 相加 amn 相乘 anbn 积 am-n 相减 1 1 1 ap 倒数 10-n 相加 na+nb+nc 相加 am+bm+an+bn a2±2ab+b2 a2-b2 m(a+b+c) (a±b)2 (a+b)(a-b) ［高频考点突破］ 典例1 C [跟踪训练] 1. A 典例2 (1) 因为5a=2, 所以52a=(5a)2=22=4. (2) 因为5a=2,5b=9, 所以53a-2b =53a ÷52b =(5a)3÷ (5b)2=23÷92=881. [跟踪训练] 2. C [解析] 因为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 2a+3b-1=0,所以2a+3b=1.所以 4a×23b=22a×23b=22a+3b=21=2. 典例3 C [跟踪训练] 3. 4.3×10-17 典例4 (1) 原 式 =9x4y2 · (-15xy3)÷ (-9x4y2)= [9× (-15)÷(-9)](x4·x÷x4)· (y2·y3÷y2)=15xy3. (2) 原式=2x2-(2x2-x+2x- 1)-3(x2-3x+x-3)=2x2- (2x2+x-1)-3(x2-2x-3)= 2x2-2x2-x+1-3x2+6x+9= -3x2+5x+10. [跟踪训练] 4. (1) 原式=x6-2x3· (x3-4x3-x2)=x6-2x3(-3x3- x2)=x6+6x6+2x5=7x6+2x5. (2) 原式=12x2y- 4 3. 典例5 (1) 原式=(3a+2)(3a-2). (2) 原式=a(a2-2a+1)=a(a-1)2. (3) 原式=(x-2y)2-1=(x-2y+ 1)(x-2y-1). [跟踪训练] 5. (1) 原式=x2[y2- (y-1)2]=x2[y+(y-1)][y- (y-1)]=x2(y+y-1)(y-y+ 1)=x2(2y-1). (2) 原式=(x-y)2-2(x-y)+1= (x-y-1)2. (3) 原式=(x2-5x)2-2(x2- 5x)-24=(x2-5x+4)(x2-5x- 6)=(x-1)(x-4)(x-6)(x+1). 典例6 (1) a2-b2. (2) (a+b)(a-b). (3) (a+b)(a-b)=a2-b2. (4) (a+b-2c)(a-b+2c)=[a+ (b-2c)][a-(b-2c)]=a2-(b- 2c)2=a2-b2+4bc-4c2. [跟踪训练] 6. (1) 不是;是. (2) 除1外的正奇数一定是“智慧数”. 理由:设这个奇数为2n+1(n为正 整数). 因为2n+1=(n+1)2-n2, 所以除1外的正奇数一定是“智 慧数”. ［综合素能提升］ 1. D 2. D 3. C [解析] (-3x)2·(-2x3)= 9x2·(-2x3)=-18x5. 4. A [解析] 因为(x+m)(x+ n)=x2-3x-4,所以x2+(m+ n)x+mn=x2-3x-4.所以m+n= -3,mn=-4.所以m2+n2=(m+ n)2-2mn=(-3)2-2×(-4)=9+ 8=17. 5. 2(m-2n)2 6. -16 [解析] 因为a+b-2=0, 所以a+b=2.所以(a2-b2)2- 8(a2+b2)=[(a+b)(a-b)]2- 8(a2+b2)=[2(a-b)]2-8(a2+ b2)=4(a2+b2-2ab)-8(a2+b2)= 4a2+4b2-8ab-8a2-8b2=-4a2- 4b2-8ab=-4(a2+b2+2ab)= -4(a+b)2=-4×22=-16. 7. 9 [解析] 因为 m+2n n m-2n+3 m-n =5,所以(m+ 2n)(m-n)-n(m-2n+3)=5.所以 m2-3n=5.所以2m2-6n-1= 2(m2-3n)-1=2×5-1=9. 8. (1) 因为10m=50,10n=12 , 所以10m-n=10m÷10n=50÷12= 100. (2) 因为3·2t·4t-23t=3·2t· 22t-23t=3·23t-23t=23t×(3- 1)=23t×2=23t+1=16=24, 所以3t+1=4,解得t=1. 9. (1) a2-b2;(a+b)(a-b). (2) (a+b)(a-b)=a2-b2. (3) 10232-1022×1024=10232- (1023-1)×(1023+1)=10232- (10232-1)=10232-10232+1=1. 第9章　分　式 9.1　分式及其基本性质 第1课时 分式的有关概念 1. D 2. C 3. C 4. 2 5. (1) x≠4 (2) 1 6. s a+b+ s a-b 7. (1) x≠0. (2) x≠3. (3) x≠±7. (4) a≠1. (5) 2m≠3n. 8. A 9. C 10. 0 [解析] 因为分式x 2+3x x2-9 的值 为0,所以x2+3x=0且x2-9≠0. 所以x=0. 忽视分式的分母不为0 而造成错解 在求使分式的值为0的字母 的取值时,要切记使分式值为0的 条件是分子为0且分母不为0.解 答此类题的一般思路如下:先令分 子为0,求得字母的值,再把所得的 值代入该分式的分母中检验,舍去 使分母为0的值即为要求的值. 11. 3 [解 析] 根 据 题 意,得 x-3y=0, x2-9=0, x+3≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=3, y=1. 所以2x- 3y=2×3-3×1=3. 12. 5 [解析] 因为当x=-4时,分 式x-b 2x+a 无意义,所以2×(-4)+ a=0,解得a=8.因为当x=2时,分 式x-b 2x+a 的值为0,所以2-b=0,解 得b=2.所以a+ba-3b= 8+2 8-3×2=5. 13. 8-a+b b [解析] 一分钟后的电 话费为(8-a)元,一分钟后的通话时 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92