第8章 整式乘法与因式分解 拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

数学(沪科版)七年级下 5 第8章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 计算 -13x 2y 3的结果为 ( ) A. -127x 5y4 B. 1 27x 5y4 C. 1 27x 6y3 D. -127x 6y3 2. 下列运算正确的是 ( ) A. (3x)3=9x3 B. (x-2)2=x2-4 C. (-2ab2)2=4a2b4 D. 3a+4b=7ab2 3. 计算 -112 2023 × 23 2025 的结果为 ( ) A. 1 B. -1 C. -94 D. -49 4. 若多项式mx+6y与x-3y的乘积中不含有xy项,则m 的值为 ( ) A. -6 B. -3 C. 0 D. 2 5. 下列因式分解正确的是 ( ) A. x2+9=(x+3)2 B. a2+2a+4=(a+2)2 C. a3-4a2=a2(a-4) D. 1-4x2=(1+4x)(1-x) 6. 若(x2-mx+2)(2x+1)的积中x的二次项系数和一次项系数相 等,则m 的值为 ( ) A. 0 B. -1 C. -2 D. -3 7. 已知a=8131,b=2741,c=961,则a,b,c的大小关系是 ( ) A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. b>c>a 8. 已知m-n=2,mn=2,则m4+n4的值为 ( ) A. 8 B. 64 C. 56 D. -56 9. 已知a2(b+c)=b2(a+c)=2022,且a≠b,则-abc的值为( ) A. 2022 B. -2022 C. 4044 D. -4044 10. 如图,为了美化校园,某校要在面积为30平方米的长方形空地 ABCD 中划出长方形EBKR 和长方形QFSD,两者的重合部分 GFHR恰好是一个边长为3米的正方形.现将图中涂色区域作为 花圃,若长方形空地ABCD 的长和宽分别为m 米和n米,m>n, 花圃区域AEGQ和HKCS的总周长为10米,则m-n的值为 ( ) (第10题) A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 1.5 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 生物具有遗传多样性,遗传信息大多储存在DNA分子上,一个 DNA分子的直径约为0.0000002cm.这个长度用科学记数法可 表示为 cm. 12. 分解因式:(a+1)2-4a= . 13. 已知3x-4y=-2,则代数式x(9-y)+y(x-12)的值为 . 14. 已知am=2,an=4,ap=32(a≠0,1),则p-3m-n的值为 . 15. 定义:Φ[a,b,c]是以a,b,c为系数的二次多项式,即Φ[a,b,c]= ax2+bx+c,其中a,b,c均为实数.例如:Φ[1,2,3]=x2+2x+ 3,Φ[2,0,-2]=2x2-2. (1) 当x=2时,Φ[1,1,1]×Φ[-1,-1,-1]= . (2) 若Φ[p,q,-1]×Φ[m,n,-2]=2x4+x3-10x2-x+2,则 (4p-2q-1)(2m-n-1)= . 三、 解答题(共55分) 16. (8分)(1) 计算:-12024-3-8+(2-5)0+ 13 -3 . (2) 先化简,再求值:3a3b÷(-ab)-(-a-2b)(-a+2b)- (-2a)2,其中a=2,b=-1. 17. (8分)(1) 已知10-2α=3,10-β=15 ,求106α+2β的值. (2) 已知x满足22x+4-22x+2=96,求x的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 18. (8分)观察以下等式: 第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2; 第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2; 第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2; 第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2; … 按照以上规律,解决下列问题. (1) 写出第5个等式: . (2) 猜想第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性. 19. (9分)对于一个正整数N,若N 能写成N=a2+b2-ab(a,b为正 整数)的形式,且a=3k+1,b=3k-1(其中k为自然数),则称N 为“幸运整数”.例如:当k=1时,a=4,b=2,则N=12,所以12是 “幸运整数”. (1) 求三位数中最大的“幸运整数”. (2) 如果两个“幸运整数”的差是72,求这两个“幸运整数”. 20. (10分)【知识生成】 用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可 以得到一个等式.如图①是用长为a,宽为b(a>b)的四个相同的 长方形拼成的一个大正方形,用两种不同的方法计算涂色部分(小 正方形)的面积,可以得到(a-b)2,(a+b)2,ab三者之间的等量 关系式: . 【知识迁移】 类似地,用两种不同的方法计算同一个几何体的体积, 也可以得到一个等式.如图②,观察大正方体的分割方式,可以得 到等式:(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b). 利用上面所得的结论解答下列问题: (1) 已知x+y=6,xy= 11 4 ,求(x-y)2的值. (2) 已知a+b=6,ab=7,求a3+b3的值. (第20题) 21. (12分)将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的 方法是分组分解法. 例如:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+ b(m+n)=(a+b)(m+n). (1) 分解因式:ab-a-b+1. (2) 若a,b(a>b)都是正整数,且满足ab-a-b-4=0,求a+b 的值. (3) 若a,b为实数,且满足ab-a-b-4=0,s=a2+3ab+b2+ 3a-52b ,求s的最小值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 系数化为1,得x>-2. 所以不等式4-5x 2 -1<6 的负整数解 是x=-1. 把x=-1代入2x-3=ax,得-2- 3=-a,解得a=5. 把 a = 5 代 入 不 等 式 组,得 7(x-5)-3x>3①, 1 5x+2<5②. 解不等式①,得x>192. 解不等式②,得x<15. 所以不等式组的解集为19 2<x<15. 18. (1) 解方程组 x+y=-7-m, x-y=1+3m, 得 x=m-3, y=-2m-4. 根据 题 意,得 m-3≤0, -2m-4<0, 解 得 -2<m≤3. (2) 由不等式(2m+1)x<2m+1的 解集为x>1,知2m+1<0, 所以m<-12. 所以-2<m<-12. 因为m为整数, 所以当m=-1时,不等式(2m+ 1)x<2m+1的解集为x>1. 19. (1) 记 x-2>1①, x-5>0②. 解不等式①,得x>3. 解不等式②,得x>5. 所以原不等式组的解集是x>5. (2) 记 x-2>1①, x+a>0②. 解不等式①,得x>3. 解不等式②,得x>-a. 因为不等式组的解集为x>3, 所以-a≤3. 所以a≥-3. 20. (1) ① 3. ② 3.5≤x<4.5. (2) 解 关 于 x 的 不 等 式 组 2x-4 3 ≤x-1 , <a>-x>0, 得 x≥-1,x<<a>. 由不等式组的整数解恰有3个,得 1<<a>≤2, 所以1.5≤a<2.5. (3) 因为<x>=43x , 所以4 3x- 1 2≤x< 4 3x+ 1 2. 所以-12≤- 1 3x< 1 2. 所以-32<x≤ 3 2. 所以-2<43x≤2. 又因为4 3x 为非负整数,且x为非负 实数, 所以4 3x=0 或1或2. 所以x=0或34 或3 2. 21. (1) 设A,B两种型号的电风扇的 销售单价分别为x元、y元. 根据题意,得 3x+4y=1200, 5x+6y=1900, 解得 x=200, y=150. 所以A,B两种型号的电风扇的销售 单价分别为200元、150元. (2) 设采购A种型号的电风扇a台, 则采购 B种型号的电风扇(50- a)台. 根据题意,得160a+120(50-a)≤ 7500,解得a≤3712. 因为a是整数, 所以a的最大值为37,即A种型号的 电风扇最多能采购37台. (3) 能.由(2)及题意,得(200- 160)a+(150-120)(50-a)>1850, 解得a>35. 因为a≤3712 , 所以35<a≤3712. 又因为a为整数, 所以a=36或37. 所以在(2)的条件下,电器超市能实现 利润超过1850元的目标.相应的采 购方案有两种:采购A种型号的电风 扇36台,B种型号的电风扇14台;采 购A种型号的电风扇37台,B种型号 的电风扇13台. 第8章拔尖测评 一、 1. D 2. C 3. D 4. D 5. C 6. D [解析] (x2-mx+2)(2x+ 1)=2x3-2mx2+4x+x2-mx+ 2=2x3+(-2m+1)x2+(4-m)x+ 2.因为积中x的二次项系数和一次 项系数相等,所以-2m+1=4-m, 解得m=-3. 7. A [解析] 因 为 a=8131 = (34)31=3124,b=2741=(33)41=3123, c=961=(32)61=3122,124>123> 122,所以a>b>c. 8. C [解析] 因为m-n=2,mn= 2,所以m2+n2=(m-n)2+2mn= 4+4=8.所以 m4+n4=(m2+ n2)2-2m2n2=64-2×22=56. 9. A [解析] 因为a2(b+c)= b2(a+c)=2022,所以a2(b+c)- b2(a+c)=0,即a2b+a2c-ab2- b2c=0.整理,得ab(a-b)+c(a+ b)(a-b)=0.所以(a-b)(ab+ ac+bc)=0.因为a≠b,所以a-b≠ 0.所以ab+ac+bc=0.所以ab+ bc=-ac,即b(a+c)=-ac.所以 b(a+c)·b=-ac·b,即b2(a+ c)=-abc.因为b2(a+c)=2022,所 以-abc=2022. 10. B [解 析] 根 据 题 意,得 2(m-3)+2(n-3)=10①, mn=30②. 由①,得 m+n=11③.由③2-4×②,得(m- n)2=1.所以m-n=1或m-n=-1 (不合题意,舍去).所以m-n的值 为1. 二、 11. 2×10-7 12. (a-1)2 13. -6 14. 0 [解析] 因为am=2,an=4, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 ap=32(a≠0,1),所以ap-3m-n= ap÷a3m÷an=ap÷(am)3÷an= 32÷23÷4=32÷8÷4=1.所以p- 3m-n=0. 15. (1) -49 [解析] Φ[1,1,1]× Φ[-1,-1,-1]=(x2+x+1)× (-x2-x-1)=-(x2+x+1)2.当 x=2时,原式=-(x2+x+1)2= -(22+2+1)2=-49. (2) -6 [解析] 因为 Φ[p,q, -1]×Φ[m,n,-2]=(px2+qx- 1)×(mx2+nx-2)=pmx4+(pn+ qm)x3+ (-2p+qn-m)x2+ (-n-2q)x+2=2x4+x3-10x2- x+2,所以 pm=2, pn+qm=1, -2p+qn-m=-10, -n-2q=-1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 所 以(4p-2q-1)(2m-n-1)= 8pm-4pn-4p-4qm+2qn+2q- 2m+n+1=8pm-4(pn+qm)+ 2(-2p+qn-m)-(-n-2q)+1= 8×2-4×1+2×(-10)-(-1)+ 1=16-4-20+1+1=-6. 三、 16. (1) 原式=-1-(-2)+1+ 27=-1+2+1+27=29. (2) 原式=-3a2-(a2-4b2)- 4a2 = -3a2 -a2 +4b2 -4a2 = -8a2+4b2. 当a=2,b=-1时,原式=-8×22+ 4×(-1)2=-8×4+4×1=-32+ 4=-28. 17. (1) 因为10-2α=3, 所以102α=13. 因为10-β=15 , 所以10β=5. 所以106α+2β=(102α)3×(10β)2= 1 3 3 ×52=2527. (2) 因为22x+4-22x+2=96, 所以22x+2×(22-1)=96. 所以22x+2=32. 所以22x+2=25. 所以2x+2=5. 所以x=1.5. 18. (1) (2×5+1)2=(6×10+1)2- (6×10)2. (2) 第n个等式:(2n+1)2=[(n+ 1)×2n+1]2-[(n+1)×2n]2. 因为左边=4n2+4n+1, 右边=[(n+1)×2n]2+2×(n+ 1)×2n+12-[(n+1)×2n]2=2× (n+1)×2n+1=4n2+4n+1, 所以左边=右边. 所以猜想正确. 19. (1) 因为N=a2+b2-ab(a,b为 正整数),且a=3k+1,b=3k-1(其 中k为自然数), 所以N=(3k+1)2+(3k-1)2- (3k+1)(3k-1)=9k2+3. 因为当k=10时,N=9×102+3= 903,当k=11时,N=9×112+3= 1092, 所以三位数中最大的“幸运整数” 为903. (2) 由(1)知,“幸运整数”N 可表示为 9k2+3(k为自然数),则当k=m,n 时得到两个“幸运整数”为9m2+3, 9n2+3. 由题意可知,(9m2+3)-(9n2+ 3)=72. 所以9m2-9n2=72. 所以(m+n)(m-n)=8. 因为m,n为自然数, 所以m=3,n=1. 所以9m2+3=84,9n2+3=12. 所以这两个“幸运整数”分别为84 和12. 20. (a+b)2=(a-b)2+4ab. (1) 因为(a+b)2=(a-b)2+4ab, 所以(x+y)2=(x-y)2+4xy. 又因为x+y=6,xy= 11 4 , 所以62=(x-y)2+4× 11 4. 所以(x-y)2=25. (2) 因为(a+b)3=a3+b3+3ab(a+ b),a+b=6,ab=7, 所以63=a3+b3+3×7×6. 所以a3+b3=90. 21. (1) ab-a-b+1=(ab-a)- (b-1)=a(b-1)-(b-1)=(a- 1)(b-1). (2) 因为ab-a-b-4=0, 所以ab-a-b+1=5. 所以(a-1)(b-1)=5. 因为a,b都是正整数,且a>b, 所以 a-1=5, b-1=1. 所以 a=6, b=2. 所以a+b=8. (3) 因为ab-a-b-4=0, 所以ab=a+b+4. 所以s=a2+3ab+b2+3a-52b= a2+3(a+b+4)+b2+3a-52b= a2+6a+b2+12b+12= (a+3)2+ b+14 2 +4716. 因为(a+3)2≥0,b+14 2 ≥0, 所以s≥4716 当且仅当a=-3,b= -14 时,等号成立 . 经检验,当a=-3,b=-14 时,满足 ab-a-b-4=0. 所以s的最小值为 47 16. 期中拔尖测评 一、 1. D 2. C 3. B 4. D 5. B 6. D [解析] 因为a=-0.22= -0.04,b=-2-2=-14=-0.25 , c= -12 -2 =4,d= -15 0 =1, 所以b<a<d<c. 7. A [解析] 因为m*2<0,所以 4m-3×2<0.所以4m<6.所以 m<32. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 75