专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 用勾股定理解三角形压轴 题型二 勾股定理中的折叠问题 题型三 勾股定理的逆定理压轴 题型四 勾股定理中的最短路径压轴 题型五 勾股定理中的最值问题 题型六 勾股定理的应用压轴 题型七 勾股定理与一次函数综合 题型八 勾股定理中旋转问题 题型九 勾股定理与动点问题 题型十 勾股定理的综合 【经典例题一 用勾股定理解三角形压轴】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：已知在中，． 【基础】（1）如图1，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形的面积为9，正方形的面积为16，求的长； 【变式】（2）如图2，分别以为边向外作等腰和等腰，连结．若，求的度数； 【拓展】（3）如图3，以为边向形外作等边三角形，以为边向上作等边三角形，连结．若，求等边三角形的面积． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）（1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点． (1)若为的角平分线． ①如图，已知，求证：； ②如图，已知，求证：； (2)如图，若为的中线，且，，，求的长． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是等腰直角斜边上的高，点E在的延长线上，交于点F，交于点G，在的延长线上取一点H，使． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)若，求的度数． 【经典例题二 勾股定理中的折叠问题】6．（24-25八年级上·江西南昌·期末）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 7．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 9．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 10．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在长方形中，，是对角线上不与点、重合的一点，过点作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接. (1)如图，若点的对称点落在线段上，的延长线交于点. 求证：； 若，，求证：； (2)如图，当点的对称点落在的延长线上，此时. 当，时，试通过计算三角形的边长，判断与是否全等，并说明理由； 若将绕点逆时针旋转角度得，射线与相交于点，射线与直线相交于点，试直接写出线段、、、之间的数量关系. 【经典例题三 勾股定理的逆定理压轴】 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 12．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A的直线交y轴于点N．过点K且垂直于x轴的直线与过点A的直线交于点M．    (1)试判断的形状，并说明理由． (2)将所在的直线l向上平移，平移后的直线l与x轴、y轴分别交于点D，E．当直线l平移时（包括l与直线重合），在直线上是否存在点P，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 15．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上，，经过点的直线交轴于点，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)已知点在直线上，连接，，当的面积为5时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点、连接、在直线上找一点，使，请直接写出点的坐标． 【经典例题四 勾股定理中的最短路径压轴】 16．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 19．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)如图2，点坐标为，则的面积是________． (3)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期中）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【经典例题五 勾股定理中的最值问题】 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得最小？ 小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点P．由对称可得，所以，当，P、B三点共线的时候，，此时最小． 如图②，在直线l上找一点P，如何使得最大？ 小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点，连接并延长交直线l交于点P．由对称可得，所以，当、P、B三点共线的时候，，此时最大． 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决． 【理解运用】（1）如图③，直线上有点、，点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动． ①求a，b的值； ②当最小时，求点P的坐标； ③令，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值． 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足，当t的值最大时，若点M、N分别是线段上的动点，且，连接，当最小时，求点M的坐标． 22．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时． ①求的长； ②在x轴上找一点P，使的值最小，求出P点坐标． (3)如图2，若，过B点，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，在等边中，是下方一动点，且，、是关于的方程的两实根，求的长度． （2）如图2，在中，，，，且，是关于的方程的两实根，若，试在内找一点，使到，，三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由． 24．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 25．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线过点． (1)求直线的函数解析式以及t的值； (2)若y轴存在一点P使的值最小，求此时点P的坐标及的最小值； (3)已知直线过点C． ①写出m和n之间的关系 ②若直线将的面积分为两部分，求m的值． 【经典例题六 勾股定理的应用压轴】 26．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？ 27．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 28．（24-25九年级下·山东青岛·期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．    如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=CB′，C′B=C′B′， ∴AC+CB=AC+　 　=　 　． 在△AC′B′中， ∵AB′＜AC′+C′B′ ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1.简单应用 （1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值    借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　； （2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°． 2.拓展应用 如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程． 29．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【经典例题七 勾股定理与一次函数综合】 31．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1所示，一次函数图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交与点C，D是线段的中点； (1)求b的值及点D的坐标； (2)如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标； (3)如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标． 32．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 33．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”． 例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． 【探究应用】 （1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． （2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点 的坐标为____________． （3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标． 【拓展提升】 （4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 34．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【综合探究】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为 ；点B坐标为 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； （2）如图②，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【迁移拓展】 （3）如图③，直线的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 35．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）【模型构建】 如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】                         （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ①则点A坐标为______；点B坐标为______； ②）C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线与y轴交于点D．点、Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【经典例题八 勾股定理中旋转问题】 36．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 37．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、． (1)在图1中求证：； (2)如图2，当时，连接，求的面积； (3)在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围． 38．（24-25八年级上·广东深圳·期末）初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究． 【操作探究】 （1）和都是等腰直角三角形，，，． 如图，当点是上一点时， ； 如图，当点在延长线上时，求的长； 【迁移探究】 （2）如图，是等腰直角三角形，，，过点作直线，点为直线上一动点，点为直线上一动点，，点都不与点重合．当为等腰三角形时，直接写出的长． 39．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）等腰直角和直角顶点重合，，，． (1)如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长至点，满足，然后连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长． 40．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，在和中，，，． (1)如图，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系 ； (2)如图，将绕点旋转，当点落在边上时，求证：； (3)当点共线时，请直接写出线段的长． 【经典例题九 勾股定理与动点问题】 41．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线：与直线相交于点，交轴负半轴于点．已知点的横坐标为的面积为10． (1)点的坐标为________； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点是否存在某个位置，使得点的对应点恰好落在轴正半轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，两点，． (1)若，满足． ①直接写出的周长； ②在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点的坐标． (2)如图2，是轴上点右侧的动点，在第一象限内，满足，．探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明． 43．（24-25八年级上·重庆·期末）在等腰中，，点D在的延长线上， (1)如图1，线段上有一点G，连接并延长至点E，使得，连接和，若，，，求的长； (2)如图2，线段上有一点G，连接并延长至点E，连接和，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：； (3)如图3，点P是线段上一动点，已知，，连接，当取最小值时，直接写出与的面积之比． 44．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．    (1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）． (2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系． 45．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值． (3)如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标． 【经典例题十 勾股定理的综合】 46．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，点D是线段上的一动点（不含点C），连接，将沿翻折．点C的对应点为E． (1)如图1．当点E在边上时，求线段的长； (2)在右侧取点F，使，且，连接，交于点H． ①如图2，当时，求证：； ②当为等腰三角形时，求线段的长． 47．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，经过点，，点、为垂足． (1)如图1，求证：． (2)如图2，的平分线交于点，求证：为中点． (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接、，若，，求长． 48．（24-25八年级上·上海长宁·期末）在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结． (1)如图1，是等腰直角三角形，，求证：； (2)如图2，是等边三角形，，求证：； (3)如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）． 49．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图1，在等腰直角中，，，点为的角平分线上任一点，连接，，完成下列问题： (1)求证：； (2)如图2，过点B作交于点E，交延长线于点F．试说明线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在点D运动的过程中，当点C落在点D的位置时，①求的度数；②求的值． 50．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，，是边上一动点． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接．请猜想、、的关系，并证明你的结论； (3)如图③，若，点是内部一点且，点是边上的动点，当取最小值为4时，请直接写出的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 勾股定理50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 用勾股定理解三角形压轴 题型二 勾股定理中的折叠问题 题型三 勾股定理的逆定理压轴 题型四 勾股定理中的最短路径压轴 题型五 勾股定理中的最值问题 题型六 勾股定理的应用压轴 题型七 勾股定理与一次函数综合 题型八 勾股定理中旋转问题 题型九 勾股定理与动点问题 题型十 勾股定理的综合 【经典例题一 用勾股定理解三角形压轴】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：已知在中，． 【基础】（1）如图1，分别以为边向外作正方形和正方形，若正方形的面积为9，正方形的面积为16，求的长； 【变式】（2）如图2，分别以为边向外作等腰和等腰，连结．若，求的度数； 【拓展】（3）如图3，以为边向形外作等边三角形，以为边向上作等边三角形，连结．若，求等边三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由勾股定理即可求解； （2）先确定出是中垂线（三线合一），则，那么由等边对等角以及三角形内角和定可求； （3）先证明 ，则，继而可得，则，设，由勾股定理得：，解得：（舍负），则，那么在中， ，过点E作于点，求出高，即可求解面积． 【详解】解：（1）在中， 正方形的面积为，正方形的面积为．    ； （2）等腰和等腰，    是中垂线（三线合一） ； ； ； （3）解：和是等边三角形   ，         ， ∴， 设， 由勾股定理得：， 解得：（舍负） ∴在中，， ， 在中， ， 过点E作于点， ∵等边， ∴， ∴， 等边三角形的面积：． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）（1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）的长为；（3）的长为． 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． （1）根据等边三角形的性质，进而通过证明； （2）先证明，再通过勾股定理即可得解； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，则，进而证明，再通过勾股定理即可得解． 【详解】解：（1）和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ； （2）， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中， ， 的长为； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示， ， 则， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即D、P、E在同一条直线上， ， 在中， ， 的长为：． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点． (1)若为的角平分线． ①如图，已知，求证：； ②如图，已知，求证：； (2)如图，若为的中线，且，，，求的长． 【答案】(1)①见详解；②见详解； (2) 【分析】（1）①由角平分线的定义可得∶ 由等边对等角和对顶角相等即可解答； ②先根据三角形的内角和定理可得，则，由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得结论； （2）如图3中，作交的延长线于H，证明和，即可解答∶ 【详解】（1）证明∶①∵为的角平分线 ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：如下图3：作交的延长线于H， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∴， ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）当A、C、E'三点共线时，取得最小值17；（3） 【分析】（1）根据，，得出； （2）作点E关于的对称点，得，根据题意，得，故当A、C、三点共线时，的值最小，以为一边构造矩形，得到利用勾股定理计算即可； （3）由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．在坐标系中画出图形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在直角三角形和直角三角形中，由勾股定理得： ，， ∴， 作点E关于的对称点，得，根据题意，得， 故当A、C、三点共线时，的值最小，如图， 以为一边构造矩形，得到 ∴在中，由勾股定理得： ， ∴当A、C、三点共线时，的值最小，且最值为17； （3）解：由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 作点B关于的对称点，得，且， 根据题意，得， 故当A、P、三点共线时，的值最小，且最小值为， 根据两点间距离公式，得 ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称求最短路线，两点之间线段最短，两点间距离公式，以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是等腰直角斜边上的高，点E在的延长线上，交于点F，交于点G，在的延长线上取一点H，使． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，推导出及是解题的关键． （1）由是等腰直角斜边上的高， 得，则，，所以； （2）由等腰直角三角形的性质得，则，因为于点F，交于点G，所以，则，所以，则； （3）由求得，由得． 【详解】（1）解：∵是等腰直角斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵于点F，交于点G， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 【经典例题二 勾股定理中的折叠问题】 6．（24-25八年级上·江西南昌·期末）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 【答案】(1)不是，不是 (2)或或 (3)，证明见解析 (4)是，理由见解析 【分析】（1）直接判断三边比是否为即可； （2）分类讨论，根据比的性质进行求解； （3）根据长方形的性质结合折叠的性质证明即可证明； （4）由折叠知，，设，则，，则在中，由勾股定理得，，解得：，则，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴三边长为的三角形不是型三角形，三边长为的三角形不是型三角形， 故答案为：不是，不是； （2）解：①是最短边，则设最长边为， 由题意得：， 解得：； ②是中等长度边，则设最长边为， 由题意得， 解得：； ③最长边为， ∴综上所述：最长边为或或． （3）解：数量关系：． 证明：∵四边形是长方形， ∴，， 连接，由折叠性质得到：，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （4）解：是型三角形，理由如下： 如图：由折叠知，， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴是型三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 7．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图1，是两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）    (1)用这样的两个三角形构造图2的图形，你能利用这个图形证明出结论吗？如果能，请写出证明过程； (2)当，时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边，分别与轴、轴重合（如图3中的位置）．点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处， 请写出、两点的坐标； 若为等腰三角形，点在轴上，请求出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)能；证明见解析 (2)，   、、、 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的的综合题，解题的关键是分情况讨论思想的运用． （1）根据四边形的面积的两种表示方法即可证明； （2）根据翻折的性质和勾股定理即可求解； 根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】（1）解：能，证明见下： 连接， 如图：  ， ， ， ； （2）解：设，则，又， 根据翻折可知： ，， ， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ，， 所以、两点的坐标为，； 如图：    当点在轴正半轴上且时， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得， ， ； 当点在轴正半轴上且时， ， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 当点在轴负半轴上且时， ， ； 综上，符合条件的所有点的坐标为：、、、． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题考查勾股定理与折叠，完全平方式的应用． （1）由折叠的性质得，又，有，故，，知为等腰三角形； （2）设，在中，可得，即可解得即； （3）①过作于，设，则，设，在中，，有，故，根据线段与边相交，即可得，从而最大为4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为；当落在上时，与重合，求出，故由最大运动到落在时，的运动路径为，即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：设， ，，， ， 由（1）知， 在中，， ， ， 即； （3）解：①过作于，如图： 设，则， 设， ， 四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 化简整理得， 线段与边相交， ， ， ，， ， ， ， 最大为4； 故答案为：4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为； 当落在上时，与重合，如图： 此时，，， ， ， 由最大运动到落在时，的运动路径为， 点从点向点运动的过程中，点运动的路径长为． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵长方形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 10．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在长方形中，，是对角线上不与点、重合的一点，过点作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接. (1)如图，若点的对称点落在线段上，的延长线交于点. 求证：； 若，，求证：； (2)如图，当点的对称点落在的延长线上，此时. 当，时，试通过计算三角形的边长，判断与是否全等，并说明理由； 若将绕点逆时针旋转角度得，射线与相交于点，射线与直线相交于点，试直接写出线段、、、之间的数量关系. 【答案】(1)证明见解析；证明见解析； (2)不全等，理由见解析；，理由见解析． 【分析】（）根据长方形的性质和等角的余角相等，在根据等角对等边即可求证；利用等角的余角相等得出，由折叠性质可知，然后证明全等即可； （）由折叠性质可知：，，由勾股定理求出三边即可；连接，过作于点，过作于点，由勾股定理即可求解； 此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理得应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形是长方形， ∴，即， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）与不全等，理由： 由折叠性质可知：，， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 三边为：，，， 三边为：，，， 显然与不全等， ，理由： 如图，连接，过作于点，过作于点， ∴，， 又∵， ∴由勾股定理得：， ，，，， ∴． 【经典例题三 勾股定理的逆定理压轴】 11．（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 【答案】【初步探索】，； 【拓展延伸】见解析； 【知识应用】或． 【分析】【初步探索】根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而可证，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可证； 【拓展延伸】由【初步探索】可知，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可得中结论仍然成立； 【知识应用】连接由【拓展延伸】可知，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，利用勾股定理的逆定理可知，然后再根据点和的位置分两种情况讨论即可． 【详解】【初步探索】解：如下图所示，延长交于点， 和都是等腰直角三角形，， ，，， 在和中， ， ，， 在中， ， ， ， ， 故答案为：，； 【拓展延伸】解：中的结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长交于点，交于点 ， 由【初步探索】可知， ，， 在中， ， ， ， ； 【知识应用】解:如下图所示，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当点在内，点在外时，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， ， 又， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 12．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A的直线交y轴于点N．过点K且垂直于x轴的直线与过点A的直线交于点M．    (1)试判断的形状，并说明理由． (2)将所在的直线l向上平移，平移后的直线l与x轴、y轴分别交于点D，E．当直线l平移时（包括l与直线重合），在直线上是否存在点P，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的形状是等腰直角三角形，见解析 (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）由题意求得，把代入求出直线解析式为，从而求出，根据勾股定理求出，得到和，即可得出结论； （2）存在，把代入．求出k，设直线l的解析式为．以点E为直角顶点：①当D在x轴正半轴，E在y轴负半轴上时，根据题意，点符合要求；②当D在x轴负半轴，E在y轴正半轴上时，过P作轴．证．得到，求出即可；以点D为直角顶点：①当点在第一象限，②当点在第四象限，同理证明全等，得到；综合以上结论即可得出答案． 【详解】（1）解：的形状是等腰直角三角形． 理由：过点， ， ， 当时，， ． 把代入，得， ∴直线解析式为， 当时，， ． 又， ，，， ，， 是等腰直角三角形． （2）解：存在，点P的坐标为或或或． 理由：把代入，得， 解得：， ∴直线解析式为． 由平移得新直线l的解析式为， 则它与x轴的交点，与y轴的交点， ． 当以点E为直角顶点时， ①当D在x轴正半轴，E在y轴负半轴上时，如图，    根据题意，得点符合要求； ②当D在x轴负半轴，E在y轴正半轴上时，过P作轴于点Q，   为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ， ∴点P的坐标为． 当以点D为直角顶点时， ①当点在第一象限，    同理可证， ，， ， ， ， ， ∴点P的坐标为； ②当点在第四象限，    同理可证，则，， ∴点P的坐标为． 综上，满足条件的，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，图形的平移的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．分类讨论思想的运用． 13．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，是直角三角形，理由见解析； (3)当或时，是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）由题意得，，根据中线的定义即可求解； （2）由勾股定理求出的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论； （3）分类讨论：①当，②，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是的中线 ∴ 解得 即时，是的中线； （2）解：当时，是直角三角形， 理由如下： 当时，， ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （3）解：存在， ①当时 ∵， ∴， 由知； ②时， 在中，， ∵ ∴ 解得：， 综上所述：或． 当或时，是以为腰的等腰三角形 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，中线定义，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 【答案】（1）①为直角三角形；理由见解析；②；（2）①；②或；（3） 【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据勾股定理求出，再求出即可； （2）①过点P作于点Q，根据角平分线性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可得出，求出，即可求出结果。 【详解】解：（1）①为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形； ②∵为直角三角形，， ∴时，， ∴， ∴； （2）①过点P作于点Q，如图所示： ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； ②当时，过点P作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长为或． （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 15．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上，，经过点的直线交轴于点，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)已知点在直线上，连接，，当的面积为5时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点、连接、在直线上找一点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先求出点的坐标，从而可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出，再分两种情况：①点在直线上，且在第一象限内和②点在直线上，且在第二象限内，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （3）①当点的坐标为时，先求出直线的函数解析式，从而可得点的坐标，再利用勾股定理的逆定理可得，然后根据建立方程，利用平方根解方程即可得；②当点的坐标为时，先求出直线的函数解析式，可得直线经过点，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，交直线于点，则点即为所求，证出，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，与直线的解析式联立求解即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∵， ∴， ∵点在线段上， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 所以直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， ∵，，， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①如图，当点在直线上，且在第一象限内时，则的边上的高为， ∴， ∵的面积为5， ∴， 解得，符合题设， ∴， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在直线上，且在第二象限内时，则的边上的高为， ∴， ∵的面积为5， ∴， 解得，符合题设， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． （3）解：①当点的坐标为时，画出图形如下：设与直线的交点为， 由对称性可知，，， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数解析式为， ∴直线经过点， 联立，解得， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设点的坐标为， ∵，， ∴， 整理得：， 解得或， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为； ②当点的坐标为时，画出图形如下： 由对称性可知，，， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数解析式为， ∴直线经过点， 如图，过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，交直线于点，则点即为所求（理由：是等腰直角三角形，）， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数解析式为， 联立，解得， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、勾股定理与勾股定理的逆定理、利用平方根解方程、三角形全等的判定与性质、点坐标与轴对称等知识，较难的是题（3），正确分两种情况，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 【经典例题四 勾股定理中的最短路径压轴】 16．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，，则，分别用含，，的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图2所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）如图3所示，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称最短路线的求法即可求出． 【详解】（1）证明：根据题意，，，，， 则， 四边形的面积， ， ， ； （2）解：如图2所示，连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；    连接，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，， 设，则， 先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，    则， 当点三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， 的最小值为， 即：就是代数式的最小值． 代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长； (3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，25千米 (3)5 【分析】本题考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，也考查二次根式运算． （1）根据梯形和三角形的面积公式即可得到结论； （2）过作于，根据矩形的性质得到，求得千米，根据勾股定理得到（千米），作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则此时的值最小，即总造价最低，过作于，则千米，千米，根据勾股定理得到（千米）； （3）如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵ ∴，，， ∴， ∴梯形的面积，四边形的面积，的面积， ∵梯形的面积四边形的面积的面积， ， 化简得； （2）解：过作于， ，， ， 四边形是长方形， ，， 千米，千米， 千米， 千米， （千米）， 作点关于直线的对称点，则，， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为长，即连接交直线于点， 过作于，则四边形为长方形， 则千米，千米， （千米）， （千米）， 答：两条公路的总长为25千米； （3）解：如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，过作于，则四边形为长方形， 设，则 ∴，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值，最大值为． 18．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析 (2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可； （2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可． 【详解】（1）解：剪开前，，， ∴， 剪开后，，， ∴； ∵ ∴即所以选择路线1较短； （2）解：①， ． ②， ∴即所以选择路线2较短． 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题． 19．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)如图2，点坐标为，则的面积是________． (3)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，点坐标为 (2)18 (3)存在，的最小值为 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法运算求出解析式即可，再把代入函数解析式求出点的坐标即可； （2）作点关于轴对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）利用三角形的面积公式计算即可； （4）分类讨论点的位置，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质与判定即可求解． 【详解】（1）解：代入，到得，， 解得：， 直线的解析式为， 代入，则， 点坐标为， 直线的解析式为，点坐标为． （2）解：由（1）得，点坐标为， 又点坐标为， ， ． 故答案为：18． （3）解：存在．如图1中，作点关于轴对称点，连接交轴于点， 由对称性得，，点坐标为， ， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 的最小值为． （4）解：以为腰在第一象限作等腰直角三角形， 或， 下面分2种情况讨论： ①当时，记等腰直角三角形为，作轴于点，则， ，， ，， ，即， 又，， ， ，， ， ； ②当时，记等腰直角三角形为， 同理①中的方法可得； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、轴对称的最短路径问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期中）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理， (1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米． (3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法， （1）根据全等三角形的性质可得，则，分别用含的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解； （3）连接作的垂直平分线交于点，设，则，运用勾股定理可得，，再根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴，则， ∴，，， ∵， ∴，整理得，； （2）解：如图所示，连接，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （3）解：如图所示，设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 两边同时平方得，， 解得，， ∴． 【经典例题五 勾股定理中的最值问题】 21．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）【问题导入】如图①，在直线l上找一点P，如何使得最小？ 小华同学的思路：作点A关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点P．由对称可得，所以，当，P、B三点共线的时候，，此时最小． 如图②，在直线l上找一点P，如何使得最大？ 小明同学的思路：作点A关于直线l的对称点，连接并延长交直线l交于点P．由对称可得，所以，当、P、B三点共线的时候，，此时最大． 可见，解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决． 【理解运用】（1）如图③，直线上有点、，点P在x轴上运动，点Q在直线AB下方的y轴上运动． ①求a，b的值； ②当最小时，求点P的坐标； ③令，当t的值最大时，求点Q的坐标及t的最大值． 【深度探究】（2）在（1）的条件下，且满足，当t的值最大时，若点M、N分别是线段上的动点，且，连接，当最小时，求点M的坐标． 【答案】（1）①，；②；③，；（2）． 【分析】（1）①把代入，求出，再把代入解析式，求出的值；②作点B关于x轴对称点，连接，则：与轴的交点即为点，求出的解析式，令，求出点的坐标即可；③，得到当最大，最小时，t有最大值，由（2）可得的最小值，作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长，求出点坐标，进行求解即可； （2）过点P，作，，连，证明，得到，进而得到，得到当在线段上时，的值最小，求出的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）①将点代入，得， ∴ 将点代入，得； 故，； ②作点B关于x轴对称点，连接，则：与轴的交点即为点， 此时的值最小为的长， ∵， ∴设直线的解析式为， 则：，解得： ∴， 令，则：，解得， ∴； ③， 当最大，最小时，t有最大值， 作点B关于y轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，此时最大为的长， ∵， 同法可得： 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）过点P，作，，连，则：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 同法可得：， 令，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握将军饮马模型，是解题的关键． 22．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时． ①求的长； ②在x轴上找一点P，使的值最小，求出P点坐标． (3)如图2，若，过B点，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据题意列方程即可得出结论； （2）①由（1）可得，求得，过点F作轴于点H，易证，则有，，进而根据勾股定理可求解；②作点E关于x轴的对称点N，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与x轴的交点即为P点，进而求出的解析式，最后求解即可； （3）根据题意得到点C的坐标，如图，当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质得到，当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴当时，则有， ∴， 当时，则， ∴，； （2）①由（1）可得，，， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 过点F作轴于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点H与点B重合， ∴，， ∴； ②作点E关于x轴的对称点N，连接，如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点P到点N、E的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与x轴的交点即为P点， 由①可得：点，则点， ∴设解析式为， 将，代入得 ， ， ∴解析式为： 联立， 解得：， ∴点， 设的解析式为，则有： ， 解得：， ∴解析式为， ∴令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点P的坐标为； （3）3）存在，理由如下： ∵， ∴直线：， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， 如图，当点M在点A的左侧时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点M在点A的右侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合,勾股定理解直角三角形，熟练掌握直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合是解题的关键． 23．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，在等边中，是下方一动点，且，、是关于的方程的两实根，求的长度． （2）如图2，在中，，，，且，是关于的方程的两实根，若，试在内找一点，使到，，三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】（1）延长到，使得，连接．由，可以推出，再利用根于系数关系即可解决问题； （2）根据已知结合一元二次方程根与系数的关系求得，，分别以为边作等边三角形，连接交于点，则点到的距离最小，即点是的费马点，进而勾股定理求得，证明，得出，接下来证明，即可求解． 【详解】解：（1）延长到，使得，连接． ， ． 又， 是等边三角形， ，， ， 即． 等边三角形中， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， ． 、是关于的方程，即方程的两实数根， ， ． （2），，且，是关于的方程的两实根，， ，即 ， ， 即 将代入，则 解得： 即， 如图所示，分别以为边作等边三角形，连接交于点，则点到的距离最小， ，， 在中， 与都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， （）， ， 在上取一点，使得． ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， （）， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，费马点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【答案】第一步：见解析；第二步：见解析；（1）见解析；（2）的费马距离为 【分析】作图原理：第一步：先证明，进而得出；第二步：连接，并在线段上取一点Q，使；进而得出，即可解决问题； （1）由第二步可得，所以，根据是等边三角形，即可解决问题； （2）过点D作交延长线于点G，证明，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作图原理：证明：第一步： ∵等边、等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二步：如图②，连接，在线段上取一点Q，使， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （1）证明：由第二步可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点D作交延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的费马距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解费马距离定义． 25．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线过点． (1)求直线的函数解析式以及t的值； (2)若y轴存在一点P使的值最小，求此时点P的坐标及的最小值； (3)已知直线过点C． ①写出m和n之间的关系 ②若直线将的面积分为两部分，求m的值． 【答案】(1)， (2)， (3)①②或． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，将点代入求出的值即可； （2）先找出A关于y轴的对称点，然后求出的解析式，再求出P的坐标，运用勾股定理求两点间的距离，即可作答． （3）①将点代入，求出和之间的关系即可； ②当直线过原点时，恰好满足题意，当直线与轴的交点在正半轴且在点左侧时，设交点为，时满足题意，进行求解即可． 本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理求两点距离，一次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：直线过点，， 设直线的解析式为， 把代入，得：， ， 把代入，得：； ∴ （2）解：由（1）得 如图：记点关于轴的对称点，连接，与轴交于一点 ∵ ∴ 设的直线解析式为 把，代入 得出 解得 ∴ 令，得 ∴ 则 ∵， ∴； （3）解：①由（1）知：， 直线过点， ， ； ②由①知：， ，， ， 连接，则：， ，恰好满足题意； 此时直线过原点， ， ， 当直线与轴的交点在正半轴且在点左侧时，设交点为，则：， 直线将的面积分为两部分， 此时时， 解得：， ，代入， 得：， 解得：； 综上：或． 【经典例题六 勾股定理的应用压轴】 26．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？ 【答案】7米 【分析】设BC=xm，则CD=（x+8）m，利用勾股定理分别表示出、，∵AB=ED，∴，求出x的值即可完成. 【详解】解：根据题意，AC=24m，AE=4m，BD=8m，则EC=20m 设BC=xm，则CD=（x+8）m 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵AB=ED ∴ 解得： 滑动前梯子底端与墙的距离CB是7米. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，难度较低，灵活运用勾股定理是解题关键. 27．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 28．（24-25九年级下·山东青岛·期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．    如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=CB′，C′B=C′B′， ∴AC+CB=AC+　 　=　 　． 在△AC′B′中， ∵AB′＜AC′+C′B′ ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 1.简单应用 （1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值    借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　； （2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°． 2.拓展应用 如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程． 【答案】C′B；AB′；简单应用：（1）BE；3；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最短路程为千米 【分析】1.简单应用 （1）根据等边三角形的性质、勾股定理计算，得到答案； （2）作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算； 2.拓展应用 分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，根据轴对称的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′， 故答案为：C′B；AB′； 1.简单应用 （1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM， EM+MC的最小值就是线段BE的长度， BE=， 则EM+MC的最小值是， 故答案为：BE；； （2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，    则A′A″即为△AMN的周长最小值， ∵∠DAB=130°， ∴∠A′+∠A″=50°， ∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″， 且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°， 故答案为：100； 2.拓展应用 如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程，    由轴对称的性质可知，OA′=OA=1，OB′=OB=2，∠BOA′=∠AOB=30°，∠AOB′=∠AOB=30°， ∴∠A′OB′=90°， ∴A′B′=， 答：货船行驶的水路最短路程为千米． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用轴对称变换的思想是解题的关键． 29．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响 (2)7级 (3)16小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，等腰三角形三线合一，熟练掌握勾股定理，理解题意，从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． （1）根据提示可得到的长度，再由题意求得受台风影响范围的半径，即可判断； （2）风力最大时，台风中心应该位于点，再由题目给出的条件判断出此时是几级台风即可； （3）由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米，则以为圆心，200千米为半径作交于、，然后利用勾股定理求得，从而得到，最后根据时间路程速度，即可求得答案． 【详解】（1）解：城市会受到台风的影响． 理由：在中，，（千米） （千米） 城市受到的风力超过4级，则称受台风影响 受台风影响范围的半径为（千米） 城市会受到台风的影响． （2）解：台风到达时台风中心距离城市最近，（千米） 又 则（级） 答：该城市受到台风影响的最大风力为7级． （3）解：由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米 则以为圆心，200千米为半径作交于、，如图 则（千米） ，（千米） （千米） 则（小时） 答：台风影响该城市的持续时间为16小时． 30．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 【经典例题七 勾股定理与一次函数综合】 31．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图1所示，一次函数图象与x轴相交与点A，与y轴相交于点B，过点B作一次函数的图象与x轴相交与点C，D是线段的中点； (1)求b的值及点D的坐标； (2)如图2，E是线段上一动点，F是E关于原点的对称点，连接，，，当时，求点E的坐标； (3)如图3，E是直线上一动点，连接，，将沿直线翻折，使得B点的对应点落在直线上，求此时点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由得，，由，得，得，得，即得； （2）设,则，连接，可得，，得，根据，得，得，得,得，得，求得，根据，得，得，得，即得； （3）设,则，连接，根据垂直平分，和折叠，可得是等边三角形，得，得，根据，得，得，即得或． 【详解】（1）解：中，时，；时，， ∴，， 代入， 得， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）设，则， 连接， ∵，， ∴，, ∵D是中点， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴，， ∴， ∴, ∵ F是E关于原点的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴； （3）设，则， 连接， ∵垂直平分， ∴， 由折叠知，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质，折叠性质，等边三角形判定和性质，含的直角三角形性质，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 32．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可； （2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，由得， ∴，,， ∵， ∴，则， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵函数的图象经过点C、D， ∴，解得， ∴； （2）解：设直线交轴于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点P在点E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则点P为直线和直线的交点， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图， ∵，，， ∴， 过点E作交与F，则， ∴， ∴， 设， 由得， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 由可设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、两点坐标距离公式、两直线的交点问题等知识，涉及知识点多，综合性强，熟练掌握待定系数法，添加平行线构造等腰三角形以及分类讨论是解答的关键． 33．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”． 例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． 【探究应用】 （1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． （2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点 的坐标为____________． （3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标． 【拓展提升】 （4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】（1）是． （2）或． （3）或． （4）． 【分析】（1）根据等垂点的定义，进行判断即可； （2）分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （4）特殊点法求一次函数解析式，面积桥求的高，面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）∵点， ∴， ∵， ∴， 所以， 则是2的“等垂点”， 故答案 ：是． （2）∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴如图所示过点分别作轴轴的垂线，垂足分别为点，易证， ∴， ∴， ∴． ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴如图所示易证， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案 ：或． （3）设 当时，如图过作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 即 ∵点， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图过作于点， 同理可得 ∵点， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 综上所述：或． （4）∵直线上存在无数个5的“等垂点”， 易求得与x轴交于点，与y轴交于点， ∴直线为， 如图过点分别作， ∵，，， ∴根据勾股定理逆定理得为直角三角形， ∴ ∴， ∴， 即， ， 所以． 【点睛】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． 34．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【综合探究】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为 ；点B坐标为 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； （2）如图②，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【迁移拓展】 （3）如图③，直线的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②由于D是正比例函数图象上的动点，根据垂线段最短，当时，取得最小值，利用勾股定理求得，证明，可得； （2）过点作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E,可证得，设，则，，建立方程求得，可得，再运用待定系数法即可求得答案； （3）设，，过点P作轴于点E，过点Q作于点F，证得，分两种情况：当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，分别求得点Q的坐标即可． 【详解】解：（1）①在中，令，得， 解得：， ∴， 令，得， ∴， 故答案为：，； ②∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图1， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， 在中，， ∴AD的最小值是， 故答案为：； （2）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点， ∴，， 将直线绕点A逆时针旋转得到直线，如图2， 过点B作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线l的解析式为， 把，分别代入得， 解得：， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）设，，又， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 35．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）【模型构建】 如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】                         （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ①则点A坐标为______；点B坐标为______； ②）C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线与y轴交于点D．点、Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）①当时，，当时，由得， ∴点A坐标为：点B坐标为； ②在图1中，过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的两个动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，，当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）根据题意，当时，如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 【经典例题八 勾股定理中旋转问题】 36．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系． 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．判断线段与的关系为______． 【问题深探】 （2）如图2，在中，，点为斜边中点，射线交边于点，射线交边于点，且满足 问题①：线段与满足什么数量关系？请说明理由； 问题②：请直接写出线段之间的数量关系____________． 【问题拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点为斜边中点，轴上有一点，动直线绕着点旋转，与轴相交于点，且满足，直线的表达式为____________（直接写出表达式即可）． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）①，理由见解析；②（3）或 【分析】本题主要考查的是一次函数综合运用、全等三角形的判定与性质、一次函数的图象和性质、勾股定理的运用等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）用证明即可求解； （2）①先证明得到即可解答；②先说明，再在中，即可求解； （3）先求得，再证明，则；设点，则，解得：（舍去）或4，即点；然后运用勾股定理求得直线的表达式为，当直线l和上述垂直时，也符合题意，求得点F的坐标，最后运用待定系数法求出直线直线l的表达式即可求解． 【详解】解：（1）且，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：且． （2）①，理由如下： 如图：连接， ∵，点为斜边中点， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴； 在中，，即． 故答案为：． （3）∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴ ∵点为斜边中点， ∴点， ∵， ∴，则， 设点，则，解得：（舍去）或4， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为：， 如图：当直线和上述垂直时， ∵在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为斜边中点， ∴点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：该直线l符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为，则有： 则，解得：， ∴直线的解析式为． 综上，直线的表达式为或． 故答案为：或． 37．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、． (1)在图1中求证：； (2)如图2，当时，连接，求的面积； (3)在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出，再在和中，分别求出和的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （3）分两种情况：①过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大；②过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小，先求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：∵、均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解： 如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵、均为等边三角形，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离，即为， ∴的面积为． （3）解：①如图，过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大， 由（2）已得：，， ∵， ∴， ∴的面积的最大值为； ②如图，过点作于点，当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小， 由（2）已得：，， ∵， ∴， ∴的面积的最小值为； ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、二次根式的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），正确找出最大与最小两个临界位置是解题关键． 38．（24-25八年级上·广东深圳·期末）初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究． 【操作探究】 （1）和都是等腰直角三角形，，，． 如图，当点是上一点时， ； 如图，当点在延长线上时，求的长； 【迁移探究】 （2）如图，是等腰直角三角形，，，过点作直线，点为直线上一动点，点为直线上一动点，，点都不与点重合．当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（）；；（）或或． 【分析】（）由和都是等腰直角三角形，则，，，通过角度和差可以得到，再证明，所以通过性质可求，最后由勾股定理即可求解； 连接，由和都是等腰直角三角形，则，，，通过角度和差可以得到，再证明，所以通过性质可求，最后由勾股定理即可求解； （）分当在左侧，且时，当在左侧，且时，当在左侧，且时三种情况分析求解即可； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键。 【详解】解：（）∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：； 如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：； （）如图，当在左侧，且时， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在左侧，且时， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在左侧，且时， 由上得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上可知：的长为或或． 39．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）等腰直角和直角顶点重合，，，． (1)如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，延长至点，满足，然后连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）用证明，即可判断； （2）过点作交的延长线于点，先证明，得到，，再证明，得到，从而得到和的数量关系； （3）过点作与，利用旋转的性质和勾股定理，可得，，利用可计算出答案；过点作于，同理可得，，，利用可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作交的延长线于点，如图所示： ， ， ， 是中点， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：绕点旋转得到，，三点共线； ①如图所示：过点作于， ，是等腰直角三角形，，， ，， 在中， ， ； ②如图所示：过点作于， 同理可得，，， ， 此时； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键． 40．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知，在和中，，，． (1)如图，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系 ； (2)如图，将绕点旋转，当点落在边上时，求证：； (3)当点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)或 【分析】（）利用证明，，，再根据三角形外角的性质可证； （）连接，证明可得，，进而可得，再由勾股定理即可求证； （）分两种情况画出图形，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， 如图，设交于点，交于点， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①如图，过作于点，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图，同理可得，， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【经典例题九 勾股定理与动点问题】 41．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线：与直线相交于点，交轴负半轴于点．已知点的横坐标为的面积为10． (1)点的坐标为________； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点是否存在某个位置，使得点的对应点恰好落在轴正半轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点B横坐标代入即可求解； （2）根据的面积为10，求出，，再用待定系数法求解即可； （3）过点B作轴于点E，则，由翻折得：，则在中，，那么，则的中点为，由翻折可得直线垂直平分，直线经过的中点，可求直线的表达式为，再与直线联立即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵的面积为10， ∴， ∴， 当， ∴， ∵C在y轴负半轴， ∴， 将，代入 得：， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； （3）解：存在，理由如下， 过点B作轴于点E， ∵ ∴， 由翻折得：， ∵， ∴在中，， ∴， 则的中点为， 由翻折可得直线垂直平分， ∴直线经过的中点， 设直线的表达式为：， 代入，的中点得：， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与图形的变换，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，翻折的性质，勾股定理． 42．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，两点，． (1)若，满足． ①直接写出的周长； ②在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点的坐标． (2)如图2，是轴上点右侧的动点，在第一象限内，满足，．探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)①；②或或 (2)，理由见解析 【分析】（1）①首先根据绝对值和平方的非负性求出，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； ②根据题意分3种情况讨论：①，；②，；③，，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）在上截取，连接，首先证明出是等边三角形，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长； ②如图所示，当，时，过点P作轴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴点P的坐标为； 如图所示，当，时，过点P作轴， 同理可证， ∴， ∴ ∴点P的坐标为； 如图所示，当，时，过点P作轴，轴， 同理可证， ∴， 根据题意可得，四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或； （2）解：，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了绝对值非负性的应用，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 43．（24-25八年级上·重庆·期末）在等腰中，，点D在的延长线上， (1)如图1，线段上有一点G，连接并延长至点E，使得，连接和，若，，，求的长； (2)如图2，线段上有一点G，连接并延长至点E，连接和，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：； (3)如图3，点P是线段上一动点，已知，，连接，当取最小值时，直接写出与的面积之比． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）由题意易得，则可证，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）在上截取，由题意易得，，然后可知，则有，进而可根据得到，则可证，最后问题可求证； （3）作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长；然后根据含30度直角三角形的性质可知，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，如图所示： ∴， ∴， 要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 44．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．    (1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）． (2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据等边对等角可得，，进而根据三角形的外角的性质得出； （2）过点作交的延长线于点，交于点，根据平行线的性质以及余角的定义得出，则，等量代换得出，证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出，即可得证； （3）当时，由（2）可得是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可得，，在中，勾股定理得出关系式；当时，先证明，同理可得，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的一个外角， ∴； （2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，    ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时， 如图所示，    设，， 由（2）可得是等腰直角三角形，， ∴，， 在中，， ∴ 当时，如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴, 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，， ∴，， 在中，， ∴， 当时，，等式仍然成立， ∴当时，， 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 45．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，直线交轴于点． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图1，过点的直线交线段于点，且满足与的面积比为，点和点分别是直线和轴上的两个动点，当的值最小时，求出的最小值． (3)如图2，已知点，在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的最小值为 (3)或 【分析】（1）通过直线的解析式可求出点的坐标，已知点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式． （2）过点分别作和的垂线，分别交和于点和点．由面积条件得与的高相等，得出点在的角平分线上，即射线是的角平分线，在射线上截取，点到轴的距离，即为的最小值． （3）分两种情况讨论：若在轴正半轴上，作在轴上，由等腰三角形的性质和三角形外角的定义，运用勾股定理即可求解；若在轴负半轴上，同理可求． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点． ∴令，得． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为． 代入点和点． 得． 解得：． ∴直线的解析式为． （2）解：过点分别作和的垂线，分别交和于点和点． ∵点和点． ∴． ∵点是直线与轴的交点， ∴令，解得：． ∴点的坐标为． ∴，，即， ∴． ∵与的面积比为． ∴， 即， ∴点在的角平分线上， 在射线上取点，使得，连接，过点作轴的垂线，交轴于点， 则， ∴， 在和中． ， ， ， 则． 解得：． ， 故的最小值为． （3）解：存在，理由： 若在轴正半轴， 如图，由图可知，作在轴上， ， 又∵， ， ， ，， ， 则， ， ； 若在轴负半轴，与（1）同理，， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，角平分线的判定，点到直线的距离垂线段最短，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是：会用待定系数法求—次函数的解析式；能够通过角平分线找到已知点的对称点，熟练应用点到直线的距离垂线段最短；熟悉两点间的距离公式，等腰三角形的性质，能够用分类讨论和数形结合思想解答． 【经典例题十 勾股定理的综合】 46．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，点D是线段上的一动点（不含点C），连接，将沿翻折．点C的对应点为E． (1)如图1．当点E在边上时，求线段的长； (2)在右侧取点F，使，且，连接，交于点H． ①如图2，当时，求证：； ②当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或 【分析】（1）利用勾股定理求出，再由翻折变换的性质即可求得答案； （2）①由翻折得，再证得，可得，即可证得结论； ②根据点D是线段上的一动点(不含点C)，可得，分两种情况：当时，当时，分别求得线段的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由翻折得： ∴当点E在边上时，； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由上知：， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当时，过点F作于点G，过点E作于点K，过点F作于点M，连接，交于点L， 同上可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折知：垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ∵， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得； 当时，过点F作于点G， ∵， ∴， ∴当时， ∴， ∴点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点重合，如图： ∴， ∴点共线， 由翻折得：， ∴此时， ∴ 此时， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 综上：当为等腰三角形时，线段的长为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难度较大，解题的关键在于把握折叠的不变性和全等三角形的运用． 47．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，经过点，，点、为垂足． (1)如图1，求证：． (2)如图2，的平分线交于点，求证：为中点． (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接、，若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）只要证明即可解决问题； （2）延长交的延长线于点，先由（1）中的得，再证明即可解决问题； （3）设交的交点为，连接、，首先证明，，再想办法证明，推出即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点； （3）解：设交的交点为，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 48．（24-25八年级上·上海长宁·期末）在中，点D是边的中点，点分别在边上，且，连结． (1)如图1，是等腰直角三角形，，求证：； (2)如图2，是等边三角形，，求证：； (3)如图3，，请直接写出的长度：_______（无需写出过程）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线可知，根据三线合一可知，易得，即可得到是等腰直角三角形，求出答案即可； （2）过点D作于G，作于H，连接AD，先根据三线合一得到，再根据角平分线的性质可得，易得，进而可得到答案； （3）如图，延长至G，使，连接，过点G作于H，先判定是的垂直平分线，再运用勾股定理解决即可； 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点D是边BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：如图2，过点D作于G，作于H，连接AD，则， ∵是等边三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 即， ∴， 即； （3）解：如图3，延长至G，使，连接，过点G作于H， ∵ ∴是的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三线合一，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解决此题关键是要合理作出辅助线． 49．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图1，在等腰直角中，，，点为的角平分线上任一点，连接，，完成下列问题： (1)求证：； (2)如图2，过点B作交于点E，交延长线于点F．试说明线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在点D运动的过程中，当点C落在点D的位置时，①求的度数；②求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)    【分析】（1）由三角形角平分线的定义可得，然后利用即可得出结论； （2）由（1）得，由全等三角形的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，可得，即，进而可得，然后由等角对等边即可得出结论； （3）由折叠的性质可得，，，①设，则，由（2）得，由三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，进而可得，由此即可得出的度数；②设，则，由（1）得，由全等三角形的性质可得，由（2）得，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，由线段之间的和差关系可得，由（2）得，则，由线段之间的和差关系可得，由此即可得出的值． 【详解】（1）证明：点为的角平分线上任一点， ， 在与中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， 即：， ， ； （3）解：由折叠的性质可得：，，， ①设， 则， 由（2）得：， ， 平分， ， ， ； ②设，则， 由（1）得：， ， 由（2）得：， ， 又， ， ， ， ， ， 由（2）得：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 50．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，，是边上一动点． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接．请猜想、、的关系，并证明你的结论； (3)如图③，若，点是内部一点且，点是边上的动点，当取最小值为4时，请直接写出的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）如图①中，过点D作于点E，在上取一点F，使得，连接．设，则，构建方程求出m即可； （2）结论：．如图②中，连接，延长到T，使得．利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可； （3）作点关于的对称点，过点作于点，则，过点作于点，则垂直平分，故点在上，此时，当点共线，且于重合时，取最小值即为，作于，则，，，同理可得：，由勾股定理得，而，，即可求解周长． 【详解】（1）解：如图①中，过点D作于点E，在上取一点F，使得，连接． ∵， ∴由勾股定理得： ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则同理m， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：结论： ． 理由：如图②中，连接，延长到T，使得． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 即； （3）解：作点关于的对称点，过点作于点，则，过点作于点 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为中点， ∴垂直平分， ∵点是内部一点且， ∴点在上， ∴， 当点共线，且于重合时，取最小值即为，如图： 作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：， ∴在中，， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴此时周长为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$