专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知的三边、、满足，则的面积为 ． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为上一点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 2．（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 3．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，. (1)点C的坐标为 (2)求原点O到直线的距离； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标. 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． (1)在图1中，画一个以为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； (2)在图2中，画一个以为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 1．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． (1)在图中画一个锐角三角形，且面积为； (2)在图中画一个等腰直角三角形； (3)在图中画一个面积为的钝角三角形． 2．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上（网格中每个小正方形的顶点叫做格点）．请只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． 图①                     图② (1)在图①中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； (2)在图②中以为边画一个直角三角形，使它的两直角边之比为． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的形状是______； (2)画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； (3)在轴上找点，使得点到点和的距离之和最小，的值最小．若存在，在轴上画出来，并直接写出点的坐标． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 3．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，，，，． (1)求证：； (2)连接，求点到的距离． 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，已知，，，．则 度．    3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，，，，，求的度数． 【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图中，点为的中点，，，，则的面积是 ． 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是 平方厘米．    2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点D在中，，，，，． (1)求长； (2)求图中阴影部分的面积． 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，．某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你与他们一起完成任务： (1)任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低； (2)任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米． 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了． (1)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ (2)这块绿化用地的面积是多少？ 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．    (1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由； (2)求出洞穴到点D的距离． 1．（2024·广东佛山·三模）综合与实践 【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的． 【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 【动手操作】  如图，三条线段a、b、c的长度比满足，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证： ① 作线段； ② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点； ③ 连接，得到． (1)根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）． 【问题解决】 (2)由三线段的长度比可知，（1）中的三边满足．请你证明：边长满足的是直角三角形． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． (1)如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股＝　　，弦＝　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． (2)若，其中且是整数．求证：以为边的是直角三角形． 3．（23-24·重庆·一模）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数． (1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数． (2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝(m2﹣n2)，b＝mn，c＝(m2+n2)(m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长． 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，长方形，，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段延长线上一动点，连接交于点G．设，，已知y与x之间的函数解析式如图2所示．    (1)求y与x之间的函数关系式． (2)有学生认为：“的度数不会随着点E的运动而发生变化”．你同意吗？请说明理由． (3)是否存在x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 1．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 1．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·天津西青·期中）的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 4．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：；；；，能判定为直角三角形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为，其中正确的是 ．（填序号） 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ． 10．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为 ．    11．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 12．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，，，，，， (1)设，求；（用表示） (2)求四边形的面积． 13．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，为一街区的店铺分布图，为一条笔直的公路，，分别为便利店和面馆，为公路边的公交站牌，站牌在便利店的正东方向，面馆在便利店的正南方向，已知，之间距离为250米，且在面馆的正北方向，公交站牌到便利店的距离长为120米，到面馆的距离长为150米． (1)若小华和小丽分别从公交站牌走到处和面馆处，那么两人的总路程为多少米？ (2)求面馆到公路的距离． 14．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图所示，在中，，，，在顶点处有一点，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若两点运动4秒时，求此时的长； (3)设两点运动时间为秒，当是一个等腰直角三角形时，求的值． 15．（24-25八年级上·河南南阳·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)的度数为__________． (2)在飞机飞行过程中，飞机距离着火点的最短距离为__________． (3)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要秒，那么着火点能否被该飞机扑灭？请你通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（   ）个 ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③． 【详解】解：∵ ∴最大的，故①不符合题意； ∵， ∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴，则该是直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴，则该是直角三角形，故④符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知的三边、、满足，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，完全平方公式，勾股定理的逆定理，先根据，得出，求出，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求得面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， ∴的面积为 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为上一点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）勾股定理逆定理直接证明即可； （2）设，则，在中，由勾股定理得，解得，则，即可求解周长． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， 即 ∴是直角三角形，； （2）解：设，则， 由（1），得， ∴， 在中，由勾股定理，得，即， 解得． ∴． ∴的周长为． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 2．（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键． 3．（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，. (1)点C的坐标为 (2)求原点O到直线的距离； (3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】(1)令，即可求解； (2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解； (3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， 所以点的坐标为； （2）解：代入A、两点可得：，， 解得：，， 故，， ， ， 设原点到直线的距离为， 则， 解得：， 故原点到直线的距离为； （3）解：存在， 设点的坐标为，根据题意可知不为直角， 所以当是直角三角形分两种情况： ①当时，此时点的坐标为； ②当，， 故， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点画图． (1)在图1中，画一个以为斜边的等腰直角三角形，使腰长为无理数； (2)在图2中，画一个以为斜边的直角三角形，使它的面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）画出腰长为的等腰三角形即满足题意； （2）画出直角边长为和的直角三角形即可，直角三角形面积为． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：如图所示： ． 1．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． (1)在图中画一个锐角三角形，且面积为； (2)在图中画一个等腰直角三角形； (3)在图中画一个面积为的钝角三角形． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】本题考查了网格与勾股定理，三角形的分类，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形面积和网格特征即可画出图形； （）根据网格与勾股定理及逆定理即可求解； （）根据网格特征及钝角三角形的定义即可画出图形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴即为所求； （2）解：如图， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴即为所求； （3）解：如图， ∴， ∴即为所求． 2．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上（网格中每个小正方形的顶点叫做格点）．请只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． 图①                     图② (1)在图①中以为边画一个等腰直角三角形，使它的三边长均是无理数； (2)在图②中以为边画一个直角三角形，使它的两直角边之比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识． （1）根据要求作出图形即可，然后利用网格及勾股定理求出边长为无理数； （2）根据要求作出图形即可，然后利用网格及勾股定理求出边长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ，，三边均为无理数， ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图，即为所求， ，，， ∵， ∴是直角三角形，两直角边之比为． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)的形状是______； (2)画出关于轴对称的，并写出点，，的坐标； (3)在轴上找点，使得点到点和的距离之和最小，的值最小．若存在，在轴上画出来，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)图见解析，，， (3)存在，图见解析， 【分析】本题考查了坐标与图形轴对称变化、勾股定理和勾股定理的逆定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先利用勾股定理分别求出的长，再根据等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理即可得； （2）先分别画出点的对称点，，，再顺次连接即可得；根据点坐标的轴对称变换即可得点，，的坐标； （3）根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得连接，与轴的交点即为点，再结合网格特点即可得点的坐标． 【详解】（1）解：由网格可知，， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． （2）解：如图，即为所求． 由轴对称的性质得：，，． （3）解：如图，点即为所求． 由网格特点可知，点的坐标为． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， 解得：， ． 3．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图，点，，在同一条直线上，，，，，． (1)求证：； (2)连接，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点到的距离为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再由“”可证； （2）由全等三角形的性质可求，由等积法即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设点到的距离为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，求解，证明，延长至，使，连接， 证明为等边三角形，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 延长至，使，连接，而 ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的应用，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，已知，，，．则 度．    【答案】45 【分析】根据勾股定理得出，再利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：45． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出BC的长． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图中，点为的中点，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理逆定理等知识；延长至，使，连接CE，得到，证明，得到，进而证明，即可求出△ABC面积． 【详解】解：如图，延长至，使，连接CE， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 故答案为： 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是 平方厘米．    【答案】 【分析】根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可以计算，，，进而判定为直角三角形，即可求证、、三点共线，且阴影部分的面积为，即可解题． 【详解】解：根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可得厘米，厘米，厘米，且满足， 为直角三角形， ， 、、三点共线，、、三点共线， 为直角三角形，（厘米），（厘米）， ∴（平方厘米） （平方厘米） ∴（平方厘米）． ∵（平方厘米） ∴阴影四边形的面积（平方厘米）． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各边长相等、各内角为直角的性质，三角形面积的计算，本题中求阴影部分的面积为是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形纸片，．经测得，，，． (1)求A、C两点之间的距离． (2)求这张纸片的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【详解】（1）解：连接，如图． 在中，，，，， ∴， 解得（负值舍去） 即A、C两点之间的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴四边形纸片的面积 ． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点D在中，，，，，． (1)求长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)24 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形的面积，解答本题的关键是求出的长． （1）根据勾股定理和，，，可以先求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而根据求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 答：长是5； （2）解：，，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为24． 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在一条河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B．其中．因建设新农村需要，由C到B的道路另作他用，不再通行．该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点P（A，P，B在一条直线上），并新修建一条道路，建成后经测量得到相关数据，，．某校数学项目式小组尝试解决以下问题，请你与他们一起完成任务： (1)任务一：在每千米道路造价相同的前提下，试说明道路设计方案的成本最低； (2)任务二：求修建后的路线比原来的路线缩短了多少千米． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 根据垂线段最短知：道路设计方案的成本最低； （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得， ， ∴修建后的路线比原来的路线缩短了． 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， ， ， ， 方案一所修的管道较短． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了． (1)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ (2)这块绿化用地的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算即可求解． 【详解】（1）解：连接， ，，， ， 答：这条小路的最短长度是； （2）解：∵，， ， ， ， 答：这块绿化用地的面积是． 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石（点A）向一棵杉树（点B）笔直走去，在其连线上的点D处向右转前进，到达唐伽山山脚下的一个洞穴（点C），宝物就在洞穴中．”若米，米，米．    (1)判断赤石、杉树、唐伽山形成的的形状，并说明理由； (2)求出洞穴到点D的距离． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)120米 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理计算判断即可； （2）利用直角三角形的性质和面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质和面积公式，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 米，米，米， ， ， ， 即是直角三角形． （2）， ， （米）， 故洞穴到点D的距离是120米． 1．（2024·广东佛山·三模）综合与实践 【提出问题】学习完勾股定理后，思考它的逆命题：两边平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，这个命题正确吗？教材是没有证明的． 【先贤智慧】相传我国古代大禹在治水测量工程时，曾用下列的方法确定直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3、4、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 【动手操作】  如图，三条线段a、b、c的长度比满足，某数学小组利用这三条线段，设计了如下作图步骤对上述问题开展了验证： ① 作线段； ② 以点A为圆心，b为半径画弧．以点B为圆心，a为半径画弧．两弧相交于 C点； ③ 连接，得到． (1)根据作图步骤，完成作图（要求：保留作图痕迹）． 【问题解决】 (2)由三线段的长度比可知，（1）中的三边满足．请你证明：边长满足的是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，勾股定理的逆定理的证明： （1）按照所给步骤作图即可； （2）构造，使得，，，利用证明，推出，即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：如图，作，使得，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 边长满足 的是直角三角形． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． (1)如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股＝　　，弦＝　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． (2)若，其中且是整数．求证：以为边的是直角三角形． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）如果勾用（，且为奇数）表示时，则股，弦；当时，即可求出第四组勾股数； （2）根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形进行解答即可． 【详解】（1）解：如果勾用（，且为奇数）表示时，则股，弦； 当时，，； ∴第四组勾股数是． 故答案为：，，； （2）证明：∵，其中且是整数， ∴， ∴， ∴以为边的是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、完全平方式的应用等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键． 3．（23-24·重庆·一模）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数． (1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数． (2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝(m2﹣n2)，b＝mn，c＝(m2+n2)(m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35． 【分析】（1）根据题意只需要证明a2+b2＝c2，即可解答 （2）根据题意将n＝5代入得到a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，再将直角三角形的一边长为37，分别分三种情况代入a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，即可解答 【详解】(1)∵a2+b2＝(2n+1)2+(2n2+2n)2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1， c2＝(2n2+2n+1)2＝4n4+8n3+8n2+4n+1， ∴a2+b2＝c2， ∵n为正整数， ∴a、b、c是一组勾股数； (2)解：∵n＝5 ∴a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)， ∵直角三角形的一边长为37， ∴分三种情况讨论， ①当a＝37时， (m2﹣52)＝37， 解得m＝±3 (不合题意，舍去) ②当y＝37时，5m＝37， 解得m＝ (不合题意舍去)； ③当z＝37时，37＝ (m2+n2)， 解得m＝±7， ∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数， ∴m＝7， 把m＝7代入①②得，x＝12，y＝35． 综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35． 【点睛】此题考查了勾股数和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，长方形，，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段延长线上一动点，连接交于点G．设，，已知y与x之间的函数解析式如图2所示．    (1)求y与x之间的函数关系式． (2)有学生认为：“的度数不会随着点E的运动而发生变化”．你同意吗？请说明理由． (3)是否存在x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)同意，理由见详解 (3)存在， 【分析】（1）设与的函数表达式为，根据图像经过，得到关于、二元一次方程组，求解即可，再求出当时的的值即可得出自变量的取值范围； （2）根据勾股定理定理表示出、、再根据勾股定理的逆定理即可得出的度数； （3）设存在的值，使得，根据等边对等角及平行线的性质可得，证明，继而得到，在中利用勾股定理得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为 ，图象经过 解得∶， 与的函数表达式为， 当时，得∶， 解得∶， 与之间的函数关系式 ； （2）同意，理由如下∶ 四边形是长方形，， 在中， 在中． 在中， 的度数不会随着点的运动而发生变化， （3）设存在的值，使得， 由（1）知∶， 在和中， 在中，， 解得∶， 存在，使得． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质等知识，正确分析几何图形的特点、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． 1．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 1．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，，用尺规作图的方法在上确定一点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，尺规作图作角平分线，全等三角形的判定与性质，先根据勾股定理逆定理可知为直角三角形，，通过证明可求出的长，设，即，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：，，， 为直角三角形，， 如图，过点作，垂足为D， 由尺规作图可知平分， ， ， ， 设，即 在中， ， 解得：， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·天津西青·期中）的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，点D为上一点，将沿所在直线折叠后，点B的对应点E恰好落在的延长线上，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．由勾股定理的逆定理可知，由折叠的性质可知，，，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故选：D 4．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：；；；，能判定为直角三角形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，故符合题意； ∵， ∴， ∴为直角三角形，故符合题意； ∵， ∴， ∴为直角三角形，故符合题意； 综上可知：能判定为直角三角形，共个， 故选：． 5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 6．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，则下列结论：①；②是直角三角形；③的面积为，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，由勾股定理求出，即可判定①；由勾股定理的逆定理可判定②；根据三角形的面积公式求出的面积可判定③，据此即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，，，，故①正确； ∵， ∴是直角三角形，故②正确； ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故答案为：①②． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是 ． 【答案】114 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 故答案为：114． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边，且，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理、等腰三角形的定义等知识点，利用非负数的性质得出a、b、c之间的关系是解题的关键． 由非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ． 【答案】4或16 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及逆定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 分两种情况：点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案； 【详解】解：∵是的中点， ， 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， ∵为的中点，， ， ， ， ； 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， ∵为的中点， ， ， 综上所述，的长为4或16． 故答案为：4或16． 10．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知：如图，四边形， ， ，，且．则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积． 【详解】解：连接，    ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）利用勾股定理求出，得到，勾股定理求出，再根据勾股定理即可得到答案； （2）用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，则即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在中，， ∴， ， 在，， ∴， ， 即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）解：在中，， ， ∴是直角三角形，， ， ∴喷泉B到小路的最短距离为． 12．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，，，，，， (1)设，求；（用表示） (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键， （1）由，，，根据勾股定理可得，再根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形，利用，即可得到的度数； （2）由（1）中可知，都为直角三角形，四边形的面积等于，面积的和，利用三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， 由勾股定理可得：， ∵，， ∴，满足勾股定理， ∴是直角三角形， ∵， ∴； （2）解：由图可得：四边形的面积， 由（1）可知，，都为直角三角形， ∴四边形的面积． 13．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，为一街区的店铺分布图，为一条笔直的公路，，分别为便利店和面馆，为公路边的公交站牌，站牌在便利店的正东方向，面馆在便利店的正南方向，已知，之间距离为250米，且在面馆的正北方向，公交站牌到便利店的距离长为120米，到面馆的距离长为150米． (1)若小华和小丽分别从公交站牌走到处和面馆处，那么两人的总路程为多少米？ (2)求面馆到公路的距离． 【答案】(1)两人的总路程为米． (2)面馆到公路的距离米． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练利用勾股定理进行分析是解题的关键． （1）由勾股定理得出，进一步得出即可； （2）由得出是直角三角形，可知面馆到公路的距离即为的长度． 【详解】（1）解：在中，(米)， ∴(米)， 在中，(米)， ∴小华和小丽两人的总路程为(米)； 答：两人的总路程为米． （2）∵(米)，(米)，(米)， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴面馆到公路的距离即为(米)， 答：面馆到公路的距离米． 14．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图所示，在中，，，，在顶点处有一点，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若两点运动4秒时，求此时的长； (3)设两点运动时间为秒，当是一个等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质． （1）根据勾股定理的逆定理，解答即可得； （2）当两点运动秒时，求得和的长度，再根据勾股定理解答即可得； （3）当是一个等腰直角三角形时，，设两点运动时间为秒时，求得的长度，当点从点向点运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得；当点从点向点运动时，，根据等腰直角三角形的性质进行解答即可得． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， （2）当两点运动4秒时，，， ∴， 在中，根据勾股定理， ， （3）当是一个等腰直角三角形时，， 设两点运动时间为t秒时，，则， 当点Q从点C向点B运动时，， ∴， 解得， 当点Q从点B向点C运动时，， ∴ 解得， 即当是一个等腰直角三角形时，t的值是或． 15．（24-25八年级上·河南南阳·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)的度数为__________． (2)在飞机飞行过程中，飞机距离着火点的最短距离为__________． (3)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要秒，那么着火点能否被该飞机扑灭？请你通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)能，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形， （2）利用直角三角形的面积计算出的长，即可得出结论； （3）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， 故答案为：． （2）， ， 即飞机距离着火点的最短距离为， 故答案为：． （3）解：着火点C能被该飞机扑灭． 如图所示，当时，飞机正好喷到着火点C， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为，所以， 因为20秒秒， 所以着火点C能被飞机扑灭． 学科网（北京）股份有限公司 $$