专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 勾股定理中的最值问题 题型九 勾股数问题 题型十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 题型十三 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十四 用勾股定理构造图形解决问题 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 1．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图中能用来证明勾股定理的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，那么的值是 ． 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则： （1）由可列等式： + ； （2）若，那么与之间的数量关系是 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山东东营·期末）已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则腰上的高为 ． 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ． 3．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）已知是以为腰的等腰三角形，D为边上一点，且，若的长恰好为一边长的，则的值为 ． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 1．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使C点落在的位置，若，则的长为　(　　)    A． B．2 C．4 D．3 2．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在中，，以为边向外作等边三角形和，连接、，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）四根长度均为的木棒，，，要按图示做个创意造型．如图，已知A，C，E三点在同一条直线上，．过B，D两点分别作的垂线，垂足分别为M，N．且． (1)求证：． (2)求线段的长度． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，是的角平分线，E，F分别在，边上．，，连结，．若，则的面积是（　　） A． B．24 C．30 D． 2．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）在中，，，，过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 1．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，中，，，，点在线段上，若的长度是个无理数，则的长度可以是 ．（写出一个即可） 2．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么这些线段中，有 条线段的长度为无理数．    3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小宇同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 借助图形构造无理数通过近段时间学习《勾股定理》和《实数》，我发现给定单位长度1，一些无理数可以借助图形构造出来，如图1，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．                   但是我发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． 如图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，其中线段的长为无理数．点D，E，F为格点，，以点E为圆心，长为半径画弧交网格线于点G，连接，，其中线段的长为无理数． 如图3所示的数轴中，点P，Q分别表示和1，作，且，以点P为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点M，则点M表示的数为无理数． 任务： (1)图1中，中无理数有______个； (2)图2中，线段的长分别是______，______； (3)图3中，点M表示的数为______； (4)请在图4的数轴上找出对应的点． 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，长方形中，平分，交于点，垂直平分，分别交，于点和，若，则长方形的周长为（   ） A． B． C．18 D．19 1．（24-25九年级下·甘肃天水·开学考试）如图，在四边形中，，平分，点E在边上，．若，则的面积为 ． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）【教材呈现】如下，是华师版八年级上册69页的部分内容，请你阅读并填空． 例4如图13.2.13，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点E．求证：． 证明∵（已知）， ，（两直线平行，内错角相等）． 在与中， ，（已证），（已知）， ， （全等三角形的对应边相等）． （1）在上述证明过程中能得到，依据是_____． 【尝试变编】在变编环节，聪聪编题如下： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 如下是明明的解决方法：延长到，使，连接．请根据明明的方法填空： （2）的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【尝试运用】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长． （4）如图3，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接，请直接写出线段，，三者之间的等量关系． 【经典例题八 勾股定理中的最值问题】 【例8】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论： ①； ②直线的解析式为； ③点； ④若直线上存在一点，使得的值最小，则点的坐标是． 正确的结论是（    ）    A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 【经典例题九 勾股数问题】 【例9】（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是 ． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数． （1）任意写出满足条件的一组勾股数： ． （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为 ． 【经典例题十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例10】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，． 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）综合与实践 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【经典例题十一 勾股定理与网格问题】 【例11】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先画的中线，再画点，连接，使，垂足为； (2)如图2，先画，使与全等，且点A的对应点在边上．点为上一动点，再画点，使． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点的三角形叫做格点三角形，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹．    (1)点A，B为网格中的格点，作格点，使，； (2)作出（1）中的高，则高的长度为________； (3)在（1）的条件下，点M为线段上的点，，在线段CB上作出点N，使． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】 【例12（24-25八年级上·山东威海·期末）已知长方形纸片，点P是上一点，将纸片沿折叠，使点B的对应点刚好落在上． (1)请用直尺和圆规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的长． 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求和的长； (3)求四边形的面积． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 【经典例题十三 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例13】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，． (1)图1中，若，，则边上的高的长为______； (2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期中）已知与都是等边三角形． (1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，若，，．试求的度数． 【经典例题十四 用勾股定理构造图形解决问题】 【例14】（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 2．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的周长． (2)问t满足什么条件时，为直角三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，等边三角形中，是它的角平分线，，，垂足分别为，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，中，，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 6．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么的值为 ． 7．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 8．（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ． 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 10．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，，，，平分，交于点D， （1）的面积为 ； （2）若P，Q分别是，上的动点，则的最小值是 ． 11．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先画的中线，再画点，连接，使，垂足为； (2)如图2，先画，使与全等，且点A的对应点在边上．点为上一动点，再画点，使． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，．点在边上，点在延长线，且满足．连接，．已知． (1)若，求的度数． (2)小真同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：与之间的等量关系，并给出证明． (3)探究，，三者之间的等量关系，并给出证明． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，是斜边上的高线，是斜边上的中线． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 14．（24-25八年级上·河北保定·期末）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，例如：下面图形的面积可以表示为：，也可以表示为：，因此得到等式： 【拓展探究】 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为，斜边长为． (1)图中阴影部分小正方形的边长可表示为________； (2)图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为________；________ (3)你能得出的，，之间的数量关系是_______（等号两边需化为最简形式）； (4)一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为_______． 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 勾股定理中的最值问题 题型九 勾股数问题 题型十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 题型十三 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十四 用勾股定理构造图形解决问题 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 根据勾股定理和正方形的性质即可得到，即可判定④；根据图形可知，即可判断②；根据四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，可得，即可判断③；进而得到，即可判断①． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的面积为49， ∴，    ∵是直角三角形， ∴根据勾股定理得：，故④正确； ∵正方形的面积为4， ∴， ∴，故②错误； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即，故③正确； 由可得， 又∵， 两式相加得：， 整理得：， ，故①错误； 故正确的是③④． 故选：C． 1．（24-25八年级下·河北邯郸·阶段练习）如图中能用来证明勾股定理的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】运用等面积法证明即可； 【详解】①根据等面积法得：，得出，可以证明勾股定理； ②，得出，可以证明勾股定理； ③不能证明勾股定理； ④，得出，可以证明勾股定理； ⑤得出，可以证明勾股定理； ⑥，得出，可以证明勾股定理； ⑦，不可以证明勾股定理； 故①②④⑤⑥可以证明勾股定理； 故选：C． 【点睛】该题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是运用等面积法的列等量关系． 2．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】分析已知条件，图形由八个全等的直角三角形拼接而成，可设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，用含a、b的式子把正方形，正方形，正方形的面积，，表示出来，得出根据，，，最后根据，代入求解即可． 【详解】解：该图形由用八个全等的直角三角形拼接而成，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形面积关系，弄清图形的意义，熟练掌握勾股定理以及完全平方公式是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，整体思想的巧妙运用是解题的关键．可证明与全等，进而得出的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形和梯形的面积之和，用和的长将其表示出来即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵四边形和的面积和为5， ∴， 即， ∴， 则． 又∵四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12， 将四部分的面积相加得， ， ∴， 则． ∴， 则（舍负）， 即的值为． 故答案为：． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，那么的值是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，根据图形找出等量关系是解题关键．由大正方形的面积，利用勾股定理得到的值，由小正方形的面积得出的值，最后结合完全平方公式，即可得出答案． 【详解】解：大正方形的面积是13， ， 小正方形的面积是1， ， ， ， ， 故答案为：25． 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．求得四个全等的直角三角形的斜边长为，设两条直角边分别为，利用图3的外轮廓周长为，求得，再利用图1中，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∴（负值已舍）， 如图，，设，，则， 由题意得， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得， 如图，，设点C到的距离为， ∴，即， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则： （1）由可列等式： + ； （2）若，那么与之间的数量关系是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式与几何图形面积的计算，掌握乘法公式的变形运算是解题的关键． （1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解； （2）根据图示，可得，由此可得，根据直角三角形的性质，乘法公式的变形可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， （1）， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：①；②；③ ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， (3)9 【分析】（1）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示； （2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为，然后沿垂直于该对角线的一端点再剪一刀，形成虚线部分的三块，分别将这三块放在实线部分，这样就形成了四个边长为，且有一个角的四边形即符合题意要求的正方形； （3）依据题意，过B作交的延长线于点，先证明，从而，再由是的中点，可得，故，又，可得，取的中点为，的中点为，连，构造中位线，证出，，进而可证出得到，最后结合，求出后即可判断得解． 【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则 ， 又， ， ． （2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形． ， （3）由题意，过B作交的延长线于点G，取的中点为，的中点为，连， ， ， ， ． ． 又，， ． ． 又是的中点， ． ． ， ， 的中点为，的中点为， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方式、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能读懂题意，找出关键图形是关键． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 1．（24-25七年级上·山东东营·期末）已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则腰上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出△ABC底边上的高是解题的关键．过点A作于D，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点A作于D， ，即， 解得：， 故答案为： 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）等腰中，为一腰，、、都是锐角，为边上的高，．则边的长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查等腰三角形的定义，勾股定理．分为腰，为底两种情况，当为腰时，；当为底时，，利用勾股定理先求出，再求出，最后再利用勾股定理即可求出边的长． 【详解】解：分两种情况： 当为腰时，； 当为底时，则， ， ， ， ， 综上可知，边的长为5或． 故答案为：5或． 3．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）已知是以为腰的等腰三角形，D为边上一点，且，若的长恰好为一边长的，则的值为 ． 【答案】1或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，关键分三种情况讨论求解：①当，时；②当，时；③当时，时． 【详解】解：①当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴； ③当时，时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，值是1或或． 故答案为：1或或． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，解一元二次方程，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 1．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在中，是边的中线，，将沿折叠，使C点落在的位置，若，则的长为　(　　)    A． B．2 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理解三角形等知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 根据已知条件和图形折叠的性质可得：，过点D作于E，再由含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：解：∵是边的中线， ∴， ， ∴， ∴， 过点D作于E， ∴， ∴， ， 故选：A． 2．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在中，，以为边向外作等边三角形和，连接、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用等边三角形的性质得到，，，，证明，得到，再求出，利用勾股定理即可求出，进而得到． 【详解】解：∵和都是等边三角形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）四根长度均为的木棒，，，要按图示做个创意造型．如图，已知A，C，E三点在同一条直线上，．过B，D两点分别作的垂线，垂足分别为M，N．且． (1)求证：． (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理． （1）结合垂直的定义、直角三角形的性质、平角的定义求出，，利用证明； （2）根据等腰三角形的性质求出，，根据全等三角形的性质求出，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，当长度最小时，的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，是的角平分线，E，F分别在，边上．，，连结，．若，则的面积是（　　） A． B．24 C．30 D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过D作于H，由角平分线的性质推出，判定，得到，判定，推出，得到，求出，得到，由勾股定理求出，即可求出的面积． 【详解】解：过D作于H， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）在中，，，，过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ． 【答案】或或 【分析】在中，通过解直角三角形可得出，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可． 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 则：， 沿过点B的直线把分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形， 设该直线与边交于点P．以下有三种情况： ①当时， ∴ ②当时， ③当且点P在边上时，过点B作，垂足为D． ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述：等腰三角形的面积可能为或或， 故答案为：或或 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】操作：见解析；应用：；拓展：飞镖状图案的面积为24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活利用面积法和勾股定理是解答本题的关键． [操作]利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； [应用]运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； [拓展]可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】[操作] 大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积又可以表示为， ， ． [应用] 是边上的高， ， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得； [拓展] 飞镖状图案的面积为24． 飞镖模型的周长为24，观察可知， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 飞镖状图案的面积． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据数轴可得在线段上的点，所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于． A、是有理数，则此项不符题意； B、是无理数，且，则此项符合题意； C、，则此项不符合题意； D、是无理数，但，则此项不符题意； 故选：B． 1．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，中，，，，点在线段上，若的长度是个无理数，则的长度可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理，无理数的定义，解题的关键是掌握垂线段最短，以及无理数的定义．先利用勾股定理求出，根据垂线段最短得出，则，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴， ∴的长度可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么这些线段中，有 条线段的长度为无理数．    【答案】20 【分析】由题意可得出（且n为正整数），再根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； …； ∴（且n为正整数）， ∴到的长度分别为1，，，…，． ∵当，4，9，16，25时，为有理数， ∴n为其余数时为无理数，有个， ∴有20条线段的长度为无理数． 故答案为：20． 【点睛】本题考查勾股定理，无理数的定义．利用勾股定理求得直角三角形的斜边长，进而发现规律是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下面是小宇同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 借助图形构造无理数通过近段时间学习《勾股定理》和《实数》，我发现给定单位长度1，一些无理数可以借助图形构造出来，如图1，“蜗螺线”与几何中的勾股定理相结合，给出了我们构造无理数的方法．                   但是我发现，借助网格和数轴构造无理数更简便． 如图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，其中线段的长为无理数．点D，E，F为格点，，以点E为圆心，长为半径画弧交网格线于点G，连接，，其中线段的长为无理数． 如图3所示的数轴中，点P，Q分别表示和1，作，且，以点P为圆心，长为半径画弧与数轴正半轴交于点M，则点M表示的数为无理数． 任务： (1)图1中，中无理数有______个； (2)图2中，线段的长分别是______，______； (3)图3中，点M表示的数为______； (4)请在图4的数轴上找出对应的点． 【答案】(1)2； (2)，； (3)； (4)见解析 【分析】本题主要考查无理数，实数与数轴，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用勾股定理以及数形结合的思想解决问题． （1）根据无理数定义进行判断即可； （2）根据勾股定理进行计算即可； （3）根据勾股定理求出，再用的长减去1即可得出点表示的数； （4）根据3和1构造直角三角形，得斜边为，即在数轴上找出对应的点即可． 【详解】（1）解：是无理数； 无理数； 是整数，属于有理数， 所以，无理数有2个， 故答案为：2； （2）解：在中， ∵, ∴； 在中， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵ ∴, ∵点对应的数是， ∴点表示的数为； （4）解：如图，点表示的数是 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，长方形中，平分，交于点，垂直平分，分别交，于点和，若，则长方形的周长为（   ） A． B． C．18 D．19 【答案】A 【分析】先由垂直平分线的性质得，，，结合长方形的性质得，，，因为平分，故，再运用度所对的直角边是斜边的一半，得，最后由勾股定理，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∵平分，，， ∴，， 即， 在中，， 在中，， ∴， ∴长方形的周长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，度所对的直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1．（24-25九年级下·甘肃天水·开学考试）如图，在四边形中，，平分，点E在边上，．若，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识．过点B作于点H，证明，则．设，得到在中，，求出，即可得到． 【详解】解：如图，过点B作于点H，则． ∵， ∴， ∴． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，， ∴或， 由折叠可知：， ∴， 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 综上所述：的长为3或； 故答案为：3或． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）【教材呈现】如下，是华师版八年级上册69页的部分内容，请你阅读并填空． 例4如图13.2.13，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点E．求证：． 证明∵（已知）， ，（两直线平行，内错角相等）． 在与中， ，（已证），（已知）， ， （全等三角形的对应边相等）． （1）在上述证明过程中能得到，依据是_____． 【尝试变编】在变编环节，聪聪编题如下： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 如下是明明的解决方法：延长到，使，连接．请根据明明的方法填空： （2）的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【尝试运用】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长． （4）如图3，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接，请直接写出线段，，三者之间的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理结合证明过程即可得解； （2）延长到，使，连接，证明，得出，再由三角形三边关系即可得解； （3）由题意可得，，得出，延长至，使得，连接，证明，得出，，再证明，即可得解； （4）延长，使得，连接、，由题意可得垂直平分，推出，证明，得出，，求出，再由勾股定理即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：在上述证明过程中能得到，依据是； （2）延长到，使，连接． ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵，，， ∴，， ∴， 如图，延长至，使得，连接， ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （4）如图，延长，使得，连接、， ， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【经典例题八 勾股定理中的最值问题】 【例8】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，   ∵，，点D是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， 故选：C． 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论： ①； ②直线的解析式为； ③点； ④若直线上存在一点，使得的值最小，则点的坐标是． 正确的结论是（    ）    A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断①； 由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②； 由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③； 分别讨论点在、点的情况，比较值的情况，得出当点在点时，使得的值最小可判断④，即可求解． 【详解】解：直线分别与、轴交于点A、B， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点， 设直线解析式为：， ， ， 直线解析式为：，故②正确； 如图，过点作于，    ， ， ， ， 当时，， ， 点，故③正确； 直线上存在一点， 当点在点时，， ， 当点在点时，， 在中， 当点在点时，使得的值最小，则点的坐标是，故④正确； 综上分析可知，正确的结论为①②③④，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小? 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当、、三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，则四边形周长的最小值为_____． （2）如图，长方形中，，，点、、、分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值? 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为_____． 【答案】应用模型：（1）；（2）；拓展延伸： 【分析】应用模型：（1）根据已知条件得到，求得，得到，，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时四边形周长最小，，求得直线的解析式为，解方程组即可得到结论； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值； 拓展延伸：如图所示直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N，此时最小（垂线段最短），在中利用勾股定理即可解决． 【详解】解：【应用模型】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， 作D关于直线的对称点E，连接交于P， 则此时，四边形周长最小，，且四边形周长的最小值为， ∵， ∴四边形周长的最小值为， 故答案为：； （2）作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，， 过点G作于点，则如图所示． ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可证, ∴． 答：四边形周长的最小值为； 【拓展延伸】如图所示，直线、y轴关于直线对称，直线、直线关于y轴对称，点是点A关于直线的对称点，作垂足为E，交y轴于点P，交直线于M，作直线垂足为N， ∵， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，， ∴，． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，垂线段最短、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称性质正确找到点P的位置． 【经典例题九 勾股数问题】 【例9】（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则；若一组勾股数为，，，则．若一组勾股数为，，（），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究．根据题意可得，求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意，， 则， 解得，则， 所以． 故选：A． 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键． 由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为正整数， ∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）《九章算术》提供了许多勾股数如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由12生成的勾股数的“弦数”是 ． 【答案】37 【分析】此题主要考查了勾股数以及数字变化规律，正确得出的值是解题关键．直接根据题意分别得出由12生成的勾股数的“弦数”，进而得出答案． 【详解】解：把由12生成的勾股数的“弦数”记为， ，，， 故． 故答案为：37． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）世界上第一次给出的勾股数公式，是记录在我国古代的数学著作《九章算术》中，书中提到：当，，时，其中，m，n是互质的奇数． （1）任意写出满足条件的一组勾股数： ． （2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为，且，该直角三角形的面积为 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】此题考查勾股数， （1）根题意写出一组勾股数即可； （2）分三种情况：①时，②时，③，分别进行解答即可． 【详解】解：（1）当时，，，； ∵ ∴勾股数满足题意； 故答案为：（答案不唯一） （2）∵， ∴， ∵直角三角形的一边长为， 分三种情况讨论： ①当时，， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，（不合题意，舍去）； ③当， 解得， ∵，m，n是互质的奇数． ∴， 把代入得到， 综上所述，一边长为，且，该直角三角形的三条边长分别为， ∴面积为， 故答案为： 【经典例题十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例10】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得、，如果是等腰直角三角形，则有，根据等腰直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可求． 【详解】解：如下图所示， 若，则有， 是等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， 同理可得：， ， 是等腰直角三角形， ，， ． 故答案为： ． 2．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】(1)；； (2)；； (3)25 【分析】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）综合与实践 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法求出的面积，勾股定理求出，再利用三角形的面积公式即可求出边上的高； （3）运用勾股定理在和中表示出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，，， ， ， ； （2），， ， ， 即边上的高是； （3）在中，由勾股定理得： ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【经典例题十一 勾股定理与网格问题】 【例11】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先画的中线，再画点，连接，使，垂足为； (2)如图2，先画，使与全等，且点A的对应点在边上．点为上一动点，再画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，涉及全等三角形的判定与性质、三角形的中线、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，根据相关知识正确画出图形是解答的关键． （1）取中点D，可得中线；取格点P、E，连接交于点F，可得，则，由可得，则； （2）取格点G、H，连接、，则利用勾股定理结合可得与全等；取格点T、S，连接交格线于点Q，设、相交于P，由垂直平分得，再根据等腰三角形的三线合一得到，可得，则． 【详解】（1）解：如图，线段、点E、点F即为所求； （2）解：如图，、点Q、P即为所求作： 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），如图1，构造，比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 如图2所示， 由勾股定理得：，，， 在中，， ∴． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点的三角形叫做格点三角形，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹．    (1)点A，B为网格中的格点，作格点，使，； (2)作出（1）中的高，则高的长度为________； (3)在（1）的条件下，点M为线段上的点，，在线段CB上作出点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3)见解析. 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，割补法求面积，二次根式的运算，对称图形的性质等知识，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理构造，即可； （2）利用网格构造垂直线段即可作出三角形的高；在利用三角形面积公式求高； （3）由网格的特点得出点M，再作出点关于的对称点，由对称可知，而对顶角相等可得，由此即可得出作图正确． 【详解】（1）解：如图，为所求，    由勾股定理得，， （2）如图，为所求， ∵，即：， 解得： （3）如图， ，故点如图所示， 取点关于的对称点，连接交于，即点N为所求，此时. 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法． (1)在图①中找一格点，连结AB，使线段； (2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且； (3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10或． 【分析】（1）利用网格结合勾股定理画图即可； （2）结合等腰三角形的判定，画以为顶角且底边为2，高为2的等腰三角形或者画底边为，高为的等腰三角形即可； （3）结合勾股定理画出等腰，使即可；利用三角形面积公式或者割补法算出三角形面积． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：如图所示， 即为所求． （3）解：如图所示，即为求． 三角形面积：或． 故答案为：10或 【点睛】本题主要考查了作图——应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键． 【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】 【例12（24-25八年级上·山东威海·期末）已知长方形纸片，点P是上一点，将纸片沿折叠，使点B的对应点刚好落在上． (1)请用直尺和圆规作出点P；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）以点为圆心，为半径作圆作弧，交于点，连接，作的平分线交于点P即可； （2）证明，推出，设，则，求得，得到，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所作； （2）解：由作图知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∵长方形纸片， ∴，，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∴的长为． 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理于折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综合上述，点P的坐标为或或或． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求和的长； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)， (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答； （2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答； （3）利用四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：；． （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． （3）解：由（2）得，， ， 由折叠的性质得，， 四边形的面积 ， 四边形的面积为． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识． （1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出． （2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在中，， 即 解得： ∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的长是5． 【经典例题十三 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例13】（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）解：， 另一方面， 即， ； （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，． (1)图1中，若，，则边上的高的长为______； (2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理． （1）由勾股定理得，，根据，可得答案； （2）作线段的垂直平分线，交于点P，连接，由线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理得，，即可得，可知点P即为所求． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 则点P即为所求，理由如下： ∵直线为线段段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 即点P符合题意． 3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期中）已知与都是等边三角形． (1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； (3)如图3，若，，．试求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）先由等边三角形的性质得出，然后利用“边角边”定理证明两三角形全等，进而得到 （2）连接，由等边三角形性质证得，于是可证两三角形全等，则得出然后证得为直角，最后由勾股定理即可证得结论． （3）作交的延长线于点F，利用全等三角形性质、勾股定理、等边对等角即可求得结果． 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， 在和中， ， （2）证明：如图2，连接， ∵与都是等边三角形， 在和中， （3）解：如图3，作交的延长线于点F，则， 解得， 的度数是 【经典例题十四 用勾股定理构造图形解决问题】 【例14】（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【答案】(1)7.5米 (2)能成功，见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，， ∴（米）， ∴（米）； （2）能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，． ①请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，，，求的面积． 【答案】(1)①见解析，② (2)新路比原路少千米； (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）①用两种不同的方法去求正方形的面积，然后整理即可解答．②利用①中发现的结论求解即可； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）如图：作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为， 四个直角三角形的面积为：， ， ． ②解：由①可知，， ， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路CH比原路CA少0.2千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 2．（24-25八年级上·四川内江·期末）（1）课堂上，老师提问：求的最小值．聪明的小明结合勾股定理的相关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图1，作一条长为16的线段； ②过点在线段上方作，使；过点在线段下方作，使； ③在线段上任取一点，设； ④根据勾股定理计算可得，__________，__________（请用含的代数式表示，不需要化简）；⑤如图2，过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．请根据小明的做法，求的最小值． （2）请结合第（1）问，直接写出的最小值． 【答案】（1），；．（2）17 【分析】本题考查了求代数式的最值，勾股定理． （1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小即可； （2）设点，则，由（1）中得方法知的最小值为：． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； ⑤由题意可得， ∴， 为最小值， 即的最小值为． （2）解： 设点，则， 如图，线段，，，设；过点作交的延长线于，则，，连接交于点，当、、三点共线时（即在处），取得最小值，即为所求代数式的最小值．由题意可得， ∴， 由（1）中得方法知的最小值为， 即的最小为17． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的周长． (2)问t满足什么条件时，为直角三角形？ (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1)厘米 (2)或 (3)2或6 【分析】此题主要考查了勾股定理，利用分类讨论的思想求出是解题关键． （1）首先利用勾股定理计算出长，根据题意可得，再利用勾股定理计算出的长，进而可得的周长； （2）当P在上运动时为直角三角形，由此可得；当P在上时，时，为直角三角形，首先计算出的长，然后再利用勾股定理计算出长，进而可得答案． （3）分类讨论：当P点在上，Q在上；当P点在上，Q在上，分类讨论即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，动点P从点C开始，按的路径运动，速度为每秒， 出发2秒后，则，， ， 的周长为：； （2），动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， 在上运动时为直角三角形， ， 当P在上时，时，为直角三角形， ， ， 解得：， ， ， 速度为每秒，， 综上所述：当或，为直角三角形； （3）当P点在上，Q在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分，， ； 当P点在上，Q在上，则，， 直线把的周长分成相等的两部分，， ， 当或6秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，在上截取，连接，证明是等腰直角三角形，则，，再证明得，则，进而得，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后根据即可得出的长，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵垂直平分， ，， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， 在中，是边上的高线，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，等边三角形中，是它的角平分线，，，垂足分别为，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，首先根据题意得到，，，求出，得到，，求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，是它的角平分线， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 4．（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，中，，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的方法是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．设，则，依据中，，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 是的中点， ， ， 中，， 即， 解得， ， 故选：C． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接、,由勾股定理求得,再由直角三角形斜边上的中线性质得出，当在同一直线上时，取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出三点在同一直线上时，取最小值是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接, 在中，, 由勾股定理得：, ,点、分别是、的中点， ,, 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：, 故选：． 6．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用；由题意结合图形得，即；由完全平方公式即可求解． 【详解】解：由于大正方形的面积9，小正方形的面积是1， 则四个直角三角形的面积和是，即， 即， 则． 故答案为：17． 7．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 8．（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 设的长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积． 【详解】解：由已知可得，，， ∴， 设的长为x， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得，， ∴ ∴ 而矩形面积为：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，E是内一点且平分，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为和， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：  ． 10．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，，，，平分，交于点D， （1）的面积为 ； （2）若P，Q分别是，上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短路线，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 过点D作于E，角平分线的性质得到，再利用面积公式进行计算即可． 过点C作于E，交于，过点作于，角平分线的性质得到，进而得到，此时的值最小，即为的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：过点D作于E， ，，， ， 平分，， 的面积， 故答案为：； 过点C作于E，交于，过点作于， 平分， ， ，此时的值最小，即为的长， ， ∴， 的最小值为 故答案为： 11．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先画的中线，再画点，连接，使，垂足为； (2)如图2，先画，使与全等，且点A的对应点在边上．点为上一动点，再画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，涉及全等三角形的判定与性质、三角形的中线、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，根据相关知识正确画出图形是解答的关键． （1）取中点D，可得中线；取格点P、E，连接交于点F，可得，则，由可得，则； （2）取格点G、H，连接、，则利用勾股定理结合可得与全等；取格点T、S，连接交格线于点Q，设、相交于P，由垂直平分得，再根据等腰三角形的三线合一得到，可得，则． 【详解】（1）解：如图，线段、点E、点F即为所求； （2）解：如图，、点Q、P即为所求作： 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，．点在边上，点在延长线，且满足．连接，．已知． (1)若，求的度数． (2)小真同学通过画图和测量得到以下近似数据： 猜想：与之间的等量关系，并给出证明． (3)探究，，三者之间的等量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先根据等边对等角可得，再由三角形外角的性质得，最后由直角三角形的性质与角的和差关系即可解答； （2）设，，如图2，延长至点F，使，连接，先证明是的垂直平分线，得，，再证明，即可解答； （3）由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：猜想：与之间的等量关系为：， 证明如下： 设，， 如图2，延长至点F，使，连接， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：，，三者之间的等量关系是：， 证明如下： 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和勾股定理是解本题的关键． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，是斜边上的高线，是斜边上的中线． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识． （1）根据直角三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，从而得是等边三角形，进而即可得证； （2）根据直角三角形的性质得，再利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：因为在中，，是斜中线， 所以， 因为，， 所以，所以是等边三角形， 所以，； （2）解：因为，， 所以，， 所以， 由勾股定理，可得． 14．（24-25八年级上·河北保定·期末）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，例如：下面图形的面积可以表示为：，也可以表示为：，因此得到等式： 【拓展探究】 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为，斜边长为． (1)图中阴影部分小正方形的边长可表示为________； (2)图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为________；________ (3)你能得出的，，之间的数量关系是_______（等号两边需化为最简形式）； (4)一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为_______． 【答案】(1) (2)， (3) (4)13 【分析】本题考查了勾股定理和完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）根据直角三角形的两边长即可得到结论； （2）根据大正方形的面积减去四个三角形的面积或者直接求阴影部分小正方形的面积即可得出答案； （3）根据（2）的结果，即可得出答案； （4）代入求出即可； 【详解】（1）解：图中阴影部分小正方形的边长可表示为：， 故答案为： （2）解：图中阴影部分的面积为或， 故答案为：，； （3）解：由（2）知：， 即， 故答案为：； （4）解：∵，，， ∴， 故答案为：13； 15．（24-25八年级上·四川成都·期末）在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由长方形的性质及折叠的性质证出，在根据等角对等边即可得出结论． （2）设，则，由（1）的结论以及翻转的性质可得出，，由勾股定理可得出答案． （3）延长交的延长线于点M，证明，得出，，设，，由折叠知，， ，由勾股定理得出，进而求出y，进而可求出． 【详解】（1）证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∴， 在中， ， 即， 解得： ∴． （3）解：延长交的延长线于点M， ∵， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴ ∴，， 设，， 由折叠知， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴ 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$