1.1 幂的乘除&专题特训（一）幂的运算性质的变形应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

2 1　幂的乘除 第1课时 同底数幂的乘法 ▶ “答案与解析”见P1 1. 若m2·m? =m8,则“?”处应为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 若x2·x4·( )=x16,则括号内填的式 子应为 ( ) A. x10 B. x8 C. x4 D. x2 3. a12可以写成 ( ) A. a6+a6 B. a6·a2 C. a6·a6 D. a4·a3 4. (2024·苏州)计算:x3·x2= . 5. 一个长方形农场的长为3×107m,宽为5× 104m,则该农场的面积为 m2(结果 用科学记数法表示). 6. 计算: (1) 22×26×23. (2) (-5)×(-5)2×(-5)3. (3) an+2·an+1·an. (4) m·m2·m+m2·m-m2·m2-2m3. 7. 已知x+y-3=0,则2y·2x 的值是 ( ) A. 6 B. -6 C. 1 8 D. 8 8. 若a2m-1·am+2=a7,则m的值是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. (新情境)(2024·清远英德期中)某种细菌每 分钟分裂成3个,一个细菌经过3min分裂, 再继续分裂tmin后共分裂成 ( ) A. 9t个 B. 9t个 C. 33t个 D. 33+t个 10. 电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作 为单位,其中1GB=210 MB,1MB= 210KB,1KB=210B.某视频文件的大小约 为2GB,相当于 ( ) A. 232BB. 231B C. 230B D. 430B 11. 已知ax=3,ax+y=12,则ax+ay 的值为 . 12. 已知10α=3,10β=5,10γ=7,把105改写成 底数是10的幂的形式为 . 13. (核心素养·运算能力)22-21= 2×21-1×21=21; 23-22= = ; 24-23= = ; … (1) 请仔细观察,将上面的等式补充完整, 并写出第4个等式. (2) 请你找规律,写出第n个等式. (3) 计算:21+22+23+…+22029-22030. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 第一章　整式的乘除 3 第2课时 幂的乘方 ▶ “答案与解析”见P1 1. 下列计算正确的是 ( ) A. a2+a2=2a4 B. a6-a5=a C. a2·a2=2a4 D. (a3)4=a12 2. 计算(a2)3-5a3·a3的结果是 ( ) A. a5-5a6 B. a6-5a9 C. -4a6 D. 4a6 3. 下列计算结果等于a2m 的是 ( ) A. am+am B. am·a2 C. (am)m D. (am)2 4. 已知(a3)n=(an)x(n,x是正整数),则x= . 5. 已知am=4,则a3m 的值为 . 6. 计算: (1) -p3·(p2)3. (2) a·a2·a3+(a2)3. (3) (a2n-1)2·(an+2)3. (4) [(a+b)2]3·[(a+b)3]4. 7. (2024·咸阳礼泉期中)已知3m+2n-4=0, 求(2m)3·(22)n的值. 8. (2023·平顶山模拟)如果(4n)3=224,那么n 的值是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 若m,n均为正整数,且2m·2n=32,(2m)n= 64,则mn+m+n的值为 ( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. (2024·保定高碑店段考)已知9x=a,3y= b,27z=ab,则x,y,z满足的等量关系是 ( ) A. 2x+y=z B. xy=3z C. 2x+y=3z D. 2xy=z 11. 已知a5·(am)3=a11,则m= . 12. 若xm=3,xn=2,则x2m+3n= . 13. 已知2x-3y+6=0,则代数式4x+1×82-y 的值为 . 14. (核心素养·抽象能力)阅读下面 的解题过程: 因为 2100=(24)25=1625,375= (33)25=2725,16<27,所以1625<2725,即 2100<375. 请根据上述解题过程,解答下列问题: (1) ★已知a=355,b=444,c=533,试比较a, b,c的大小. (2) 试比较1714与3111的大小. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　整式的乘除 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”. 4 第3课时 积的乘方 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2024·眉山)下列运算中,正确的是 ( ) A. a2-a=a B. a·a2=a3 C. (a2)3=a5 D. (2ab2)3=6a3b6 2. 计算(-xy3)2的结果是 ( ) A. x2y6 B. xy6 C. x2y5 D. -xy5 3. (2024·咸阳礼泉期中)若an=2,bn=4,则 (ab)n的值为 . 4. 计算: (1) 5 2x 2y2n 2. (2) (-x4y2)3- - 2 3x 6y3 2. (3) (-2x2)3+(-3x3)2+(x2)2·x2. 5. 某工厂要做一种棱长为2.5×103mm的正方 体箱子,求这种箱子的体积(单位:mm3,结果用 科学记数法表示). 6. 若(-a3bm)3=-a2n-1b12,则2m-n的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 7. 若a2n=3,则(2a3n)2= . 8. 若a3=-27x9y3z6,则a= . 9. 81x2y10=( )2. 10. 如果(2ambm+n)3=8a9b15 成立,那么m= ,n= . 11. (1) 已知10x=a,5x=b,求50x 的值. (2) 已知am=5,bm=2,求(a2b3)m 的值. 12. ★(核心素养·运算能力)阅读下面 的解题过程: 计算:(-0.125)12×813. 解:原式= -18 12 ×813= 18 12 ×812×8= 1 8×8 12 ×8=112×8=8. 请根据上述解题过程,计算下列各题: (1) (-3)2037× -13 2035 . (2) -0.52034× -43 2035 × 32 2035 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 5 第4课时 同底数幂的除法 ▶ “答案与解析”见P2 1. (2024·滨州)下列运算正确的是 ( ) A. (n3)3=n6 B. (-2a)2=-4a2 C. x8÷x2=x4 D. m2·m=m3 2. 下列运算中,正确的是 ( ) A. (-3)0=-1 B. 3-2=-6 C. -30=-1 D. -3-2=-9 3. ★(2024·大庆)人体内一种细胞的直径约为 1.56微米,相当于0.000 001 56米,数据 0.000 001 56用科学记数法表示为 ( ) A. 1.56×10-5 B. 0.156×10-5 C. 1.56×10-6 D. 15.6×10-7 4. (2024·重庆A卷)计算:(π-3)0+ 12 -1 = . 5. (2023·乐山)若整数m,n满足3m-n-4= 0,则8m÷2n= . 6. 计算: (1) m3÷m-7. (2) x2m÷xm-1. (3) (-a)9÷(-a)3. (4) (x2y)5÷(x2y)3. 7. 用分数或小数表示下列各数: (1) 5-3. (2) 2.1×10-4. (3) -23 -2 . (4) (-4)-3. 8. 若(x-1)0=1成立,则x的取值范围是 ( ) A. x=-1B. x=1 C. x≠0 D. x≠1 9. (易错题)“寄蜉蝣于天地,渺沧海之一粟”比 喻非常渺小.据测量,200粒粟的质量大约为 1克,用科学记数法表示一粒粟的质量约为 ( ) A. 2×102克 B. 2×10-2克 C. 5×10-2克 D. 5×10-3克 10. 若a=3.2×10-5,b=7.5×10-5,c=6.3× 10-6,则a,b,c的大小关系为 ( ) A. a<b<c B. a<c<b C. c<a<b D. c<b<a 11. 已知3a=4,3b=5,则32a-b的值为 . 12. 将一根蚕丝不重叠地均匀密集地缠绕在一 支圆柱形笔杆上,共缠绕了40圈.如果测得 其宽度为5mm,那么一根蚕丝的直径约为 m(结果用科学记数法表示). 13. (2024·景德镇浮梁期末)对于整数a,b,我 们定义:a▲b=10a×10b,a△b=10a÷10b. 例如:5▲3=105×103=108,5△3=105÷ 103=102,则(2▲1)-(6△3)的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　整式的乘除 6 14. 计算: (1) 35n÷92n-27n÷(-3)2n. (2) -22+ 13 -2 +(3.14-π)0+(-5). (3) 2 3 -2 ×3-1+(π-2026)0÷ 14 -1 . 15. (1) 已知am=4,an=8,求a3m-2n的值. (2) 已知4m+3×8m+1÷24m+7=16,求m 的值. 16. 计算下列各式,并把结果化成只含有正整数 指数幂的形式. (1) (-4a-2b4)-2·(-5ab8). (2) x-2y-3(-5x-1y2)÷15x-3y-2. 17. ★若等式(x+6)x+1=1成立,求x 的值. 18. (核心素养·抽象能力)(1) 已知 3 2 2 =32× 3 2 ,2 3 -2 = 12 3 2= 1 2 3× 2 3 =32× 3 2 ,则 3 2 2 23 -2 (填 “>”“<”或“=”). (2) 请仿照(1)中的方法判断 54 3 与 4 5 -3 之间的关系. (3) 我们发现:b a -m ab m (ab≠ 0)(填“>”“<”或“=”). (4) 计算:3 8 -4 × 34 4 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 7 　　　专题特训（一）　幂的运算性质的变形应用 ▶ “答案与解析”见P2 类型一 逆向应用 1. 已知7x=3,7y=2,则73y-2x 的值为 ( ) A. 4 3 B. 1 C. 3 2 D. 8 9 2. 若x3m=2,则x9m= . 3. 已知3m =4,3n=6,则92m+n÷27m+n= . 4. 已知2m=a,32n=b,m,n均为正整数,则 25m+10n= . 5. 已知33x+1·53x+1=152x+4,则x 的值为 . 6. 已知a2n=12 ,bn=3,求(ab)4n的值. 7. 已知10x=2,10y=3,求103x+2y+103x-2y 的值. 8. 已知x,y 均为有理数,25x=2025,81y= 2025. (1) 25xy·81xy=( )x+y. (2) 判断xy与x+y的大小关系. 9. (核心素养·运算能力)我们知道, 一般的数学公式、法则、定义可以正 用,也可以逆用.例如:“同底数幂的 乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的 逆向应用表现为am+n=am ·an;amn= (am)n;ambm=(ab)m,其中m,n为正整数. 结合上述内容解决下列问题. (1) 已知a=255,b=344,c=433,请把a,b,c 用“<”连接起来. (2) 若xa=2,xb=5,求x3a+2b的值. (3) 化简:3100×8102× 14 103 . 类型二 统一底数或指数 10. 计算(-1.5)2030× 23 2029 的结果是( ) A. -23 B. 2 3 C. -32 D. 3 2 11. 已知a=212,b=38,c=54,则a,b,c之间的 大小关系是 (用“<”连接). 12. 若m+4n-4=0,则3m·81n= . 13. 计算-22033× 14 1016 的结果是 . 14. (2024·晋中左权期中改编)若2a-3b+ c-2=0,求16a÷82b×4c的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　整式的乘除 113 考向三　有关全等三角形的推理探究题 ▶ “答案与解析”见P44 1. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方 法.如图①,OP平分∠MON,A 为OM 上一 点,过点A 作AC⊥OP,垂足为C,延长AC 交ON 于点B,可得△AOC≌△BOC,则 AO=BO,AC=BC. (第1题①) 【问题提出】 (1) 如图②,在△ABC中,CD 平分∠ACB, AE⊥CD 于点E,若∠EAC=63°,∠B= 37°,通过上述构造全等三角形的办法,求 ∠DAE的度数. (第1题②) 【问题探究】 (2) 如 图 ③,在 △ABC 中,AB =AC, ∠BAC=90°,CD 平分∠ACB,BE⊥CD,垂 足E在CD 的延长线上,试探究BE 和CD 的数量关系. (第1题③) 【问题解决】 (3) 如图④所示的△ABC 是一块肥沃的土 地,其中边AC与灌渠相邻,李伯伯想在这块 地中划出一块直角三角形土地ACD 进行水 稻试验,他进行了如下操作: ① 作∠ACB的平分线CD; ② 再过点A作AD⊥CD交CD于点D. 已知BC=13米,AC=10米,△ABC的面积 为20平方米,求划出的△ACD的面积. (第1题④) 2. (2024·郑州高新区期末)下面是数 学兴趣小组探究问题的过程,请仔 细阅读,并解决问题. 【问题提出】 如图①,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC= BC,点D 在线段AB 上,在△ABC 的外侧, 以BC为边能否构造一个与△CAD 全等的 三角形? (第2题①) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 114 【问题探究】 乐学组:如图②,分别以点B,C为圆心,AD, CD 的长为半径画弧,两弧交于点E,连接 BE,CE,则△CBE即为所求作的三角形. 善思组:如图③,分别过点B,C 作AB,DC 的垂线,两垂线相交于点E,则△CBE 即为 所求作的三角形. (1) 乐学组得出△CBE≌△CAD 的依据是 ,善思组得出△CBE≌△CAD 的依 据是 (填“SSS”“SAS”“ASA”或 “AAS”). (第2题) 【问题再探】 (2) 善思组的同学们得到△CBE≌△CAD 后,在图③的基础上连接AE,通过几何画板 测量发现△CAE 和△CDB 的面积相等,请 你一起来探究. ① 在横线上填写内容或者依据. 如图④,延长线段AC,BE交于点F. 因为∠ACB=90°,AC=BC, 所以 = =45°. 因为∠ACF=180°,∠ACB=90°, 所以∠FCB=90°. 因为BE⊥AB, 所以∠ABE=90°. 所以∠CBE=90°-45°=45°. 所以∠CBA=∠CBE. 在△ACB和△FCB中, ∠ACB=∠FCB, BC=BC, ∠CBA=∠CBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以△ACB≌△FCB. 所以AC=FC( ). ② 把未完成的说理过程补充完整. (3) 在(2)的条件下,已知AC=6,D 是线段 AB的三等分点,请写出△CAE的面积. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 115 考向四　有关等腰三角形的推理探究题 ▶ “答案与解析”见P44 1. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=30°,点 O在边BC上运动(不与点B,C重合),点D 在线段AB 上,连接AO,OD.点O 运动时, 始终满足∠AOD=∠B. (1) 当OD∥AC时,判断△AOB 的形状,并 说明理由. (2) 在点O的运动过程中,当△AOD 的形状 是等腰三角形时,请求出此时∠BDO的度数. (第1题) 2. 已知线段AB⊥直线l于点B,点D 在直线l上,分别以AB,AD为边作 等边三角形ABC 和等边三角形 ADE,直线CE交直线l于点F. (1) 如图①,当点F 在线段BD 上时,试说 明:DF=CE-CF. (2) 当点F 在线段BD 的延长线上时,如图 ②;当点F 在线段DB 的延长线上时,如图 ③.请直接写出线段DF,CE,CF 之间的数 量关系,不需要说明理由. (3) 在(1)(2)的条件下,若BD=2BF,EF= 6,则CF= . (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训