第7章 专题特训(十) 与三角函数有关的综合-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

94 　　　　专题特训（十）　与三角函数有关的综合 ▶ “答案与解析”见P59 类型一 三角函数与方程的综合题 1. (易错题)已知a、b、c分别是△ABC中∠A、 ∠B、∠C 的对边.若关于x 的方程a(1- x2)+2bx+c(1+x2)=0有两个相等的实数 根,且3c=a+3b,则tanA的值为 . 2. 已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C 的对边.若关于x的方程(b+c)x2-2ax+ c-b=0有两个相等的实数根,且sinB· cosA-cosBsinA=0,试判断△ABC 的 形状. 类型二 三角函数与函数的综合题 3. 如图,直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于 B、C两点,且tan∠OCB=12. (第3题) (1) 求点B的坐标和k的值. (2) 设A(x,y)是直线y=kx-1上的一个 动点且在第一象限内,连接OA,在点A的运 动过程中,试写出△AOB的面积S与x之间 的函数表达式. 4. 如图,反比例函数y= k x (x>0)的图 像经过线段OA 的端点A,O 为原 点,过点A作AB⊥x轴于点B,点B的坐标 为(2,0),tan∠AOB=32. (1) 求k的值. (2) 将线段AB沿x轴的正方向平移到线段 DC的位置,连接AD.若反比例函数y= k x (x>0)的图像恰好经过DC的中点E,求直 线AE对应的函数表达式. (3) 若直线AE与x轴交于点M,与y轴交 于点N,试探索线段AN 与线段ME 的大小 关系,并说明理由. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 95 类型三 三角函数与图形全等的综合题 5. 如图,在矩形ABCD 中,E 是CD 的中点,F 是边AD上一点,连接FE并延长,交BC的 延长线于点G,连接BF、BE,且BE⊥FG. (1) 求证:BF=BG. (2) 若tan∠BFG=3,S△CGE=63,求AD 的长. (第5题) 类型四 三角函数与圆的综合题 6. 如图,☉O 的两条弦AC、BD 相交于点E, ∠A=70°,∠C=50°,则cos∠AEB的值为 ( ) (第6题) A. 3 B. 3 3 C. 1 2 D. 3 2 7. 在△ABC 中,AB=AC=5,sinB=45 ,☉O 过B、C两点,且☉O的半径为 10,则OA的 长为 ( ) A. 3或5 B. 5 C. 4或5 D. 4 8. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC是直角梯形,BC∥OA,☉P 分别与OA、OC、BC 相切于点E、 D、B,与AB交于点F.若A(2,0)、B(1,2), 则tan∠FDE= . (第8题) 9. (学科 内 综 合)如 图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,CD 平分∠ACB,交AB 于点 D,以DB为直径作☉O 交BC于点F,延长 CD,交☉O于点E,连接BE、EF. (1) 求证:∠A=∠BEF. (2) 若AC=4,tan∠BEF=4,求EF的长. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第7章　锐角三角函数 0.71(m). ∴ DE=DM+EM=1.2+0.71≈ 1.9(m),即支柱DE的高约为1.9m. (2) ∵ 在 Rt△FBN 中,∠FBN= 26.5°,BN=2m, ∴ FN=BN·tan26.5°≈2×0.50= 1(m). ∴ FH =FN +HN =1+1.2= 2.2(m),即棚顶F离地面的高度FH 约为2.2m. (第7题) 8. (1) 如图,由题意,得∠ACM= 54°,∠BCN=36°. ∴ ∠ACB=180°-54°-36°=90°. ∵ AC=80海里,BC=60海里, ∴ AB= AC2+BC2=100海里. ∴ 小岛A 与小岛B 之间的距离是 100海里. (2) 如图,过点C作CH⊥AB于点H. ∵ S△ABC= 1 2AB ·CH=12AC · BC, ∴ CH=AC ·BC AB =48 海里. ∵ 信号塔的信号有效覆盖半径为 50海里,48<50, ∴ 轮船在航行过程中,能收到信号塔 C的信号. (第8题) 专题特训（十）　与三角 函数有关的综合 1. 3 4 [解析] 原方程可化为(c- a)x2+2bx+c+a=0.由题意,可知 c-a≠0,4b2-4(c-a)(c+a)=0, ∴ c2=a2+b2.∴ △ABC 是直角三 角形,且∠C=90°.∵ 3c=a+3b, ∴ c2=(3c-3b)2+b2.∴ 4c2- 9bc+5b2=0.∴ c=b(不合题意,舍 去)或c=54b.∴ 3×5b4=a+3b. ∴ 3b=4a.∴ tanA=ab= 3 4. 2. 由题意,得4a2-4(b+c)(c- b)=0, ∴ a2+b2=c2. ∴ △ABC为直角三角形,且∠C=90°. ∵ sinBcosA-cosBsinA=0, ∴ b c ·b c- a c ·a c=0. ∴ b2=a2. ∴ b=a. ∴ △ABC是等腰直角三角形. 3. (1) 把x=0代入y=kx-1,得 y=-1, ∴ 点C的坐标是(0,-1). ∴ OC=1. ∵ 在 Rt△OBC 中,tan∠OCB = OB OC= 1 2 , ∴ OB=12. ∴ 点B的坐标是 12 ,0 . 把 B 12 ,0 代入y=kx-1,得 1 2k-1=0 ,解得k=2. (2) 由(1),知直线AB对应的函数表 达式为y=2x-1. ∴ S=12OB ·y= 1 2× 1 2 (2x- 1)=12x- 1 4. ∵ 点A在第一象限内, ∴ x>0, 2x-1>0, 解得x>12. ∴ △AOB的面积S与x之间的函数 表达式为S=12x- 1 4 x> 1 2 . 4. (1) ∵ 点B的坐标为(2,0), ∴ OB=2. ∵ AB⊥x轴, ∴ tan∠AOB=ABOB= 3 2. ∴ AB=3. ∴ 点A的坐标为(2,3). 把A(2,3)代入y= k x ,得k=2× 3=6. (2) 易知点E的纵坐标为 3 2. 将y= 3 2 代入y= 6 x ,得x=4. ∴ 点E的坐标为 4,32 . 设直线AE对应的函数表达式为y= kx+b. 将 A (2,3)、E 4,32 代 入,得 3=2k+b, 3 2=4k+b , 解得 k=-34 , b=92. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线AE 对应的函数表达式为 y=- 3 4x+ 9 2. (3) AN=ME. 理由:在y=- 3 4x+ 9 2 中,令y=0, 可得x=6;令x=0,可得y= 9 2. ∴ M(6,0)、N 0,92 . 如图,延长DA,交y轴于点F,则易 得AF⊥ON,AF=2,OF=3. ∴ NF=ON-OF=32. ∴ 在Rt△ANF 中,根据勾股定理, 得AN= AF2+NF2=52. ∵ CM=6-4=2,EC= 32 ,易得 DC⊥x轴, ∴ 在Rt△CEM 中,根据勾股定理,得 EM= CM2+EC2=52. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 95 ∴ AN=ME. (第4题) 5. (1) ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ 易得∠D=∠DCG=90°. ∵ E是CD的中点, ∴ DE=CE. ∵ ∠DEF=∠CEG, ∴ △EDF≌△ECG. ∴ EF=EG. 又∵ BE⊥FG, ∴ BE是FG的垂直平分线. ∴ BF=BG. (2) ∵ BF=BG, ∴ ∠BFG=∠G. ∴ tan∠BFG=tanG=CECG=3. 设CG=x(x>0),则CE=3x. ∴ S△CGE= 3 2x 2=6 3,解得x= 23(负值已舍去). ∴ CG=23,CE=6. ∵ 易得∠BCE=∠ECG=90°, ∴ ∠CBE+∠BEC=90°. 又∵ BE⊥FG, ∴ ∠BEC+∠CEG=90°. ∴ ∠CBE=∠CEG. ∴ △BCE∽△ECG. ∴ BC EC= CE CG. ∴ BC 6= 6 23 . ∴ BC=63. ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AD=BC=63. 6. C 7. A 8. 1 2 [解析] 连接PB、PE.∵ ☉P 分别与 OA、BC 相切于点E、B, ∴ PB⊥BC,PE⊥OA.∵ BC∥OA, ∴ 点 B、P、E 在同一条直线上. ∵ A(2,0)、B(1,2),∴ AE=2-1=1, BE=2.∴ tan∠ABE=AEBE = 1 2. ∵ ∠FDE=∠ABE,∴ tan∠FDE=12. 9. (1) 如图,连接DF. ∵ BD是☉O的直径, ∴ ∠DFB=90°. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠ACB=∠DFB. ∴ AC∥DF. ∴ ∠A=∠FDB. ∵ ∠FDB=∠BEF, ∴ ∠A=∠BEF. (2) 如图,过点E作EH⊥BC,垂足为H. ∵ CD平分∠ACB,∠ACB=90°, ∴ ∠ACD=∠DCB=12∠ACB= 1 2×90°=45°. ∴ ∠CDF=90°-∠DCB=45°. ∴ ∠CDF=∠DCB=45°. ∴ CF=DF. 设CF=DF=x. ∵ ∠A=∠BEF, ∴ tanA=tan∠BEF=4. ∴ 在 Rt△ABC 中,BC =AC · tanA=4×4=16. ∴ BF=BC-CF=16-x. ∵ ∠ACB=∠DFB,∠ABC=∠DBF, ∴ △ACB∽△DFB. ∴ AC DF= BC BF. ∴ 4 x= 16 16-x ,解得x=165. 经检验,x=165 是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ CF=165. ∵ BD是☉O的直径, ∴ ∠BED=90°. ∴ ∠EBC=90°-∠ECB=45°. ∴ ∠EBC=∠ECB=45°. ∴ EC=EB. ∵ EH⊥BC, ∴ CH=BH=12BC=8. ∴ 在Rt△BCE中,EH=12BC=8. ∵ FH=CH-CF=245 , ∴ 在Rt△EFH 中,由勾股定理,得 EF = FH2+EH2 = 24 5 2 +82=8 345 . ∴ EF的长为 8 34 5 . (第9题) 第7章复习 ［知识体系构建］ 边、角 解直角三角形 ［高频考点突破］ 典例1 22 [跟踪训练] 1. 5 5 [解析] 如图, 延长AC,交网格于点E,连接BE. ∵ AE = 22+42 =25,BE = 12+22= 5,AB= 32+42=5, ∴ AE2+BE2=AB2.∴ △ABE 是 直角三角形,且∠E=90°.∴ sinA= BE AB= 5 5. (第1题) 典例2 D [跟踪训练] 2. 原式=4× 32-6× 1 2× 3 3+ 2 2 2 =23- 3+12= 3+12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 06