6.7 用相似三角形解决问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

56 6.7　用相似三角形解决问题 第1课时 用平行投影解决问题 ▶ “答案与解析”见P35 1. 在相同的时刻,阳光下物高与影长成正比.如 果身高为1.5米的人的影长为2.5米,那么 影长为30米的旗杆的高是 ( ) A. 18米 B. 16米 C. 20米 D. 15米 2. (2024·南通二模)《周髀算经》中记载了“偃 矩以望高”的方法,“矩”在古代指两条边呈直 角的曲尺(即图中的A-B-C),“偃矩以望高” 的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度. 如图,点A、B、E在同一水平线上,∠ABC= ∠AEF=90°,AF 与BC 相交于点D.已知 AB=60cm,BD=20cm,AE=9m,则树高 EF是 ( ) (第2题) A. 2.5m B. 3m C. 4.5m D. 5m 3. 如图,阳光通过窗户AB照射到室内,在地面 上留下4米宽的亮区DE.已知亮区DE到窗 户下的墙角距离CE=5米,窗户高AB=2米, 则窗户底边离地面的高BC为 米. (第3题) 4. 如图,小明在A 时测得某树的影长DE 为 2m,在B时又测得该树的影长EF 为8m. 若两次太阳光互相垂直,求树的高度CE. (第4题) 5. 如图,某次课外实践活动中,小红在地面上的 点B处利用标杆FC来测量一旗杆ED 的高 度.小红的眼睛点A与标杆顶端F、旗杆顶端 E在同一条直线上,点B、C、D 也在同一条 直线上.已知小红的眼睛到地面的距离 AB=1.6米,标杆高FC=3.8米,且BC= 1米,CD=7米,则旗杆ED的高度为( ) A. 15.4米 B. 17米 C. 17.6米 D. 19.2米 (第5题) (第6题) 6. (易错题)如图,在某一时刻测得1m长的竹 竿竖直放置时影长1.2m,在同一时刻旗杆 AB 的影子不全落在水平地面上,有一部分 落在楼房的墙上,测得落在地面上的影子的 长BD=9.6m,留在墙上的影子的长CD= 2m,则旗杆AB的高度为 ( ) A. 9m B. 9.6m C. 10m D. 10.2m 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 57 7. 如图①所示为液体沙漏的平面示意图,经过 一段时间后的液体如图②所示,此时液面 AB= cm. (第7题) 8. 如图,测量凹透镜的焦距时,将凹透镜嵌入直 径为AB 的圆形挡板中,用一束平行于凹透 镜主光轴的光射向凹透镜,在光屏上形成一 个直径为CD 的圆形光斑.测得凹透镜的光 心O 到光屏的距离OE=36cm,AB= 20cm,CD=50cm,则凹透镜的焦距f 为 cm(f为焦点F到光心O的距离). (第8题) (第9题) 9. 如图,在斜坡的顶部有一铁塔AB, B是CD 的中点,CD 是水平的,在 阳光的照射下,塔影DE 留在坡面 上.已知铁塔底座的宽CD=12m,塔影 DE=18m,小明和小华的身高都是1.6m, 同一时刻,小明站在点E 处,影子在坡面上, 小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影 长分别为2m 和1m,则铁塔AB 的高为 m. 10. 学校数学兴趣小组在周末开展研究性学习, 测算小桥所在圆的半径.他们发现8m高的 旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧形小 桥在内的路上(如图),此时,身高为1.6m的 小涛,测得自己影子的长为2.4m,同时测得 EG的长为3m,HF的长为1m,测得拱高 (GH ︵ 的中点到弦GH 的距离,即MN 的 长)为2m.求小桥所在圆的半径. (第10题) 11. (新情境)(2024·西安模拟)为测 量一深坑的深度,小明采取如下方 案:如图,在深坑左侧用观测仪AB 从观测出发点A观测深坑底部P,且观测视 线刚好经过深坑边缘点E,在深坑右侧用观 测仪CD从观测出发点C观测深坑底部P, 且观测视线恰好经过深坑边缘点F,点B、 E、F、D 在同一水平线上.已知AB⊥EF, CD⊥EF,观测仪AB 的高为2m,观测仪 CD的高为1m,BE=1.6m,DF=0.8m, 深坑的宽度EF=8.8m,求深坑的深度. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 58 第2课时 用中心投影解决问题 ▶ “答案与解析”见P36 1. (新情境)如图①所示为《墨经》中记载的“小 孔成像”实验图,如图②所示为其示意图,其 中物距BF=2m,像距CE=1m.若像的高 度CD是0.9m,则物体的高度AB为 ( ) (第1题) A. 1.2m B. 1.5m C. 1.8m D. 2.4m 2. 如图,某同学拿着一把12cm长的尺子,站在 距电线杆30m的位置,把手臂向前伸直,将 尺子竖直放置,看到尺子恰好遮住电线杆.若 臂长为60cm,则电线杆的高度为 ( ) (第2题) A. 2.4m B. 24m C. 0.6m D. 6m 3. 如图,放映幻灯片时,通过光源把幻灯片上的 图形放大到幕布上.若光源到幻灯片的距离 为20cm,光源到幕布的距离为100cm,且幻 灯片中图形的高度为8cm,则幕布上图形的 高度为 cm. (第3题) (第4题) 4. 如图,相邻的两根电线杆都用钢索固定在地 面上,分别固定在另一根电线杆的底端,一根 电线杆的钢索系在离地面4m处,另一根电 线杆的钢索系在离地面6m处,则中间两根 钢索相交处点P离地面的高度为 m. 5. 如图,强强为了测量学校一座高楼OE 的高 度,在操场上的点A 处放一面平面镜,从点 A处后退1m到达点B处,恰好在平面镜中 看到高楼的顶部点E的像.再从点A处向后 退4m(即AC=4m)将平面镜放在点C处, 从点C处后退1.5m到达点D处,恰好再次 在平面镜中看到高楼的顶部点E 的像,测得 强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m. 已知点O、A、B、C、D 在同一水平线上,且 GD、FB、EO均与OD垂直.求高楼OE的高 度(平面镜的厚度忽略不计). (第5题) 6. 如图,小华晚上由路灯A下的点B处走到点 C处时,测得影子CD 的长为1m,继续往前 走3m到达点E处时,测得影子EF的长为 2m.已知小华的身高是1.5m(GC=HE= 1.5m),则路灯A的高度AB是 ( ) A. 4.5m B. 6m C. 7.2m D. 8m (第6题) (第7题) 7. 如图,小树AB 在路灯O 的照射下 形成树影BC.若树高AB=2m,树 影BC=3m,树与路灯的水平距离 BP=5m,则路灯的高度OP为 m. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 59 8. 西周数学家商高用“矩(如图①)”测量物高的 方法为把矩的两边放置在如图②所示的位 置,从矩的一端A(人眼)望点E,使视线通过 点C,记人站立的位置为点B,量出BG 的 长,即可算得物高EG.已知CD=60cm, AD=120cm,AB=1.5m,测得BG=9m, 则EG= m. (第8题) 9. 如图,小军、小珠之间的距离为2.7m,他们在 同一盏路灯下的影长分别为1.8m、1.5m. 已知小军、小珠的身高分别为1.8m、1.5m, 求路灯的高度. (第9题) 10. ★如图,小华在晚上由路灯AC 走向路灯 BD.当他走到点P 处时,发现他身后影子 的顶部刚好接触到路灯AC的底部;当他向 前再走12m到达点Q 处时,发现他身前影 子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部.已知 小华的身高是1.6m,两盏路灯的高度都是 9.6m,且AP=QB. (1) 求两盏路灯之间的距离. (2) 当小华走到路灯BD 的底部时,求他在 路灯AC下的影长. (第10题) 11. (跨学科融合)(2024·淮安模拟) 在初中的物理课中,我们学过凸透 镜的成像规律.MN 为一凸透镜,F 是凸透镜的焦点.在焦点以外的主光轴上竖 直放置一支蜡烛AB,透过凸透镜所呈的像 为CD,光路图如图所示,经过焦点的光线 AE,通过凸透镜折射后平行于主光轴,并与 经过凸透镜光心的光线AO汇聚于点C.若 焦距OF=4,物距OB=6,蜡烛的高度 AB=1,求蜡烛的像CD 的高度及像CD 与 凸透镜MN 之间的距离. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 12. (1) 四边形GHIJ是正方形. 理由:∵ GJ ⊥OA,GH ⊥GJ, HI⊥OA, ∴ ∠GJO=∠JGH=∠JIH=90°. ∴ 四边形GHIJ是矩形. ∵ 四边形CDEF是正方形, ∴ FC⊥OA,FC=EF. ∴ FC∥HI. ∴ △OFC∽△OHI. ∴ OF OH= FC HI. 同理,可证△OEF∽△OGH. ∴ OF OH= EF GH. ∴ FC HI= EF GH. 又∵ FC=EF, ∴ HI=GH. ∴ 四边形GHIJ是正方形. (2) 如图,正方形 MNGH 即为所 求作. (第12题) 做好分析,寻找依据,正确画图 解答这类几何作图题时,往往 先对提供的方法加以分析,把握其 画图步骤及方法.本题题干中给出 的思路是先构造正方形,再运用位 似图形的性质构造新的正方形.因 此,(2)中可运用类比的方法作出 两个顶点分别在扇形的半径上,另 两个顶点在扇形内的正方形,进而 画出与这个正方形是位似图形的 符合要求的正方形. 6.7　用相似三角形解决问题 第1课时 用平行投影 解决问题 1. A 2. B 3. 2.5 4. ∵ CE⊥DF, ∴ ∠CED=∠FEC=90°. ∴ ∠DCE+∠D=90°. 又∵ ∠DCF=90°, ∴ ∠DCE+∠ECF=90°. ∴ ∠D=∠ECF. ∴ △EDC∽△ECF. ∴ EC EF= DE CE. ∵ EF=8m,DE=2m, ∴ CE=4m. ∴ 树的高度CE是4m. 5. D [解析] 如图,过点A作AH⊥ ED,交ED 于点H,交FC 于点G. ∵ FC⊥BD,ED⊥BD,AH⊥ED, AB⊥BD,∴ 易得四边形ABCG、四 边形GCDH、四边形ABDH 为矩形. ∴ AH=BD,AG=BC,AB=GC= HD.∵ AB=1.6米,FC=3.8米, BC=1米,CD=7米,∴ FG=FC- AB=2.2米,AH=BD=8米,AG= 1米.∵ 易知FG∥EH,∴ △AFG∽ △AEH.∴ FG EH= AG AH.∴ EH = FG·AH AG =17.6 米.∴ ED=EH+ HD=17.6+1.6=19.2(米),即旗杆 ED的高度为19.2米. (第5题) 6. C [解析] 如图,过点C作CE⊥ AB于点E,则四边形BDCE为矩形. ∴ BD=CE=9.6m,BE=CD= 2m.根据题意,得AECE= 1 1.2.∴ AE= 1 1.2×9.6=8 (m).∴ AB=AE+ BE=8+2=10(m).∴ 旗杆AB的高 度为10m. (第6题) 7. 8 3 8. 24 [解 析] ∵ AB ∥CD, ∴ △ABF∽△CDF.∴ FO FE= AB CD , 即 FO FO+OE= AB CD. 设FO=xcm,则 x x+36= 20 50 ,解得x=24.经检验,x= 24是原分式方程的解,且符合题意. ∴ 凹透镜的焦距f为24cm. 9. 24 [解析] 过点D 作DF∥AE, 交AB于点F.设塔影留在坡面DE 部分对应的塔高AF=h1m,塔影留 在平地BD 部分对应的塔高BF= h2m,则AB=(h1+h2)m.由题意, 得 h1 18= 1.6 2 ,解得h1=14.4.∵ B 是 CD 的中点,∴ BD=12CD=6m. ∴ h2 6= 1.6 1 ,解得h2=9.6.∴ AB= 14.4+9.6=24(m).∴ 铁塔AB的高 为24m. 10. 由题意,得EF DE= 2.4 1.6= 3 2. 又∵ DE=8m, ∴ EF=12m. ∵ EG=3m,HF=1m, ∴ GH=12-3-1=8(m). ∴ GM=MH=4m. 如图,设小桥所在圆的圆心为点O,连 接OM、OG,易得点O、M、N 共线. 设小桥所在圆的半径为rm. ∵ MN=2m, ∴ OM=(r-2)m. 在 Rt△OGM 中,由勾股定理,得 OG2=OM2+GM2, ∴ r2=(r-2)2+42,解得r=5. ∴ 小桥所在圆的半径为5m. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 11. 如图,过点P 作PH⊥EF,垂足 为H. ∵ AB⊥EF,PH⊥EF,CD⊥EF, ∴ AB∥HP,CD∥HP. ∴ △ABE ∽ △PHE,△CDF ∽ △PHF. ∴ AB PH= EB EH ,CD PH= DF HF. ∴ PH=AB ·EH EB ,PH=CD ·HF DF . ∴ AB·EH EB = CD·HF DF . 由题意,知AB=2m,BE=1.6m, CD=1m,DF=0.8m,EF=8.8m. 设EH=xm,则FH=(8.8-x)m. ∴ 2x 1.6= 8.8-x 0.8 . ∴ x=4.4. ∴ EH=4.4m. ∴ PH=AB ·EH EB =5.5m. ∴ 深坑的深度是5.5m. (第11题) 第2课时 用中心投影解决问题 1. C 2. D 3. 40 4. 2.4 5. 由题意,得AB=1m,CD=1.5m, AC=4 m,FB =GD =1.5 m, ∠AOE= ∠ABF= ∠CDG=90°, ∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE. ∵ ∠OAE=∠BAF,∠AOE=∠ABF, ∴ △OAE∽△BAF. ∴ OE BF= OA BA ,即OE OA= BF BA= 1.5 1 . ∴ OE=1.5OA. 设OA=xm,则OE=1.5xm. ∵ ∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE, ∴ △GDC∽△EOC. ∴ GD EO= DC OC= DC OA+AC ,即 1.5 1.5x= 1.5 x+4 ,解得x=8. 经检验,x=8是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ OE=1.5×8=12(m). ∴ 高楼OE的高度为12m. 6. B [解析] 由题意,知GC⊥BC, HE⊥BC,AB⊥BC.∴ GC∥HE∥ AB.∴ △GCD∽△ABD,△HEF∽ △ABF.∴ CD BD = GC AB ,HE AB = EF BF. ∵ GC=HE,∴ CD BD= EF BF. 设BC= xm.∴ 1 x+1= 2 x+3+2 ,解得x=3. 经检验,x=3是原分式方程的解,且 符合题意.∴ BC=3m.∴ BD= BC+CD=4m.∴ AB=BD ·GC CD = 6m. 7. 16 3 [解 析] ∵ AB ∥OP, ∴ △CAB∽△COP.∴ CB CP= AB OP. ∴ OP=AB ·CP CB = 2×(5+3) 3 = 16 3 (m). 8. 6 9. 如图,由题意,得DN=2.7m, CD=1.8m,DE=1.8m,MN= 1.5m,NF=1.5m. ∵ CD∥AB∥MN, ∴ △CDE∽△ABE,△MNF∽△ABF. ∴ CD AB= DE BE ,MN AB= NF BF. 设AB=xm,BD=ym. ∴ 1.8 x = 1.8 1.8+y ,1.5 x = 1.5 1.5+2.7-y , 解得x=3,y=1.2. 经检验,x=3,y=1.2是原分式方程 的解,且符合题意. ∴ AB=3m. ∴ 路灯的高度为3m. (第9题) 10. (1) 设AP=QB=xm. ∵ PM∥BD, ∴ △APM∽△ABD. ∴ AP AB= PM BD ,即 x x+12+x= 1.6 9.6 ,解 得x=3. 经检验,x=3是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ AP=QB=3m. ∴ AB=AP+PQ+QB=18m. ∴ 两盏路灯之间的距离为18m. (2) 画出小华在路灯BD 的底部时的 示意图如图所示,此时他在路灯AC 下的影长为BE. ∵ BF∥AC, ∴ △BEF∽△AEC. ∴ BE AE= BF AC ,即 BE BE+AB= 1.6 9.6= 1 6. 设BE=ym. 又∵ AB=18m, ∴ y y+18= 1 6 ,解得y=3.6. 经检验,y=3.6是原分式方程的解, 且符合题意. ∴ BE=3.6m. ∴ 当小华走到路灯BD 的底部时,他 在路灯AC下的影长是3.6m. (第10题) 构造相似三角形解决实际问题 解决这类问题时,往往要先根 据实际问题建立恰当的数学模型, 再运用所学的数学知识加以分析. 本题实际上是建立一对或两对相 似三角形,得到相关边的比例关 系,进而列出方程或方程组求解. 11. 由题意,得OE=CD,AB⊥BO, EO⊥BO,CD⊥OD, ∴ ∠ABO=∠EOB=∠CDO=90°. ∵ ∠AFB=∠EFO, ∴ △ABF∽△EOF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 ∴ AB EO= BF OF. ∴ 1 OE= 6-4 4 . ∴ OE=2. ∴ OE=CD=2. ∵ ∠AOB=∠COD, ∴ △AOB∽△COD. ∴ AB CD= OB OD. ∴ 1 2= 6 OD. ∴ OD=12. ∴ 蜡烛的像CD 的高度为2,像CD 与凸透镜MN 之间的距离为12. 专题特训（五）　图形变换 中的相似问题 1. B [解析] 连接BB'.∵ △ABC∽ △AB'C',∴ AB AB'= AC AC' ,∠ACB= ∠AC'B'=90°,∠BAC=∠B'AC'= 30°. ∴ ∠BAC + ∠CAB' = ∠B'AC'+ ∠CAB',即 ∠BAB'= ∠CAC',ABAC = AB' AC'.∴ △BAB'∽ △CAC'. ∴ ∠BB'A = ∠CC'A, BB' CC'= AB' AC'= AB AC.∵ 在 Rt△ABC 中,∠BAC=30°,∴ 易得AB=2BC. ∴ 由 勾 股 定 理,得 AC = AB2-BC2 = (2BC)2-BC2 = 3BC.∴ CC' BB'= AC AB= 3 2. 由平移,得 CC'=EB'=6,CC'∥B'E.∴ B'E BB'= AC AB = 3 2 ,∠CC'B'+ ∠AB'C'+ ∠BB'A+∠BB'E=180°.∴ ∠CC'B'+ ∠AB'C'+∠CC'A+∠BB'E=180°. ∴ ∠AC'B'+∠AB'C'+∠BB'E= 180°.∵ ∠AC'B'=90°,∠B'AC'= 30°,∴ ∠AB'C'=90°-∠B'AC'= 60°.∴ ∠BB'E=30°.∴ ∠BB'E= ∠BAC =30°.又 ∵ B'E BB' = AC AB , ∴ B'E AC= BB' BA.∴ △BEB'∽△BCA. ∴ ∠BEB'=∠BCA=90°.∴ 易得 BB'=2BE.在Rt△BB'E 中,B'E= BB'2-BE2 = 3BE.∴ BE = 3 3B'E= 3 3×6=2. 2. (1) 过点B作BD⊥AO于点D. ∵ BD⊥AO,AO⊥PM,BM⊥PM, ∴ 易得四边形DBMO是矩形. ∴ BD=OM,∠DBM=90°. ∵ ∠ABD+∠DBP=90°,∠DBP+ ∠PBM=90°, ∴ ∠ABD=∠PBM. 又∵ ∠ADB=∠PMB=90°, ∴ △ABD∽△PBM. ∴ AB PB= BD BM. ∴ AB PB= OM BM. (2) ∵ C是AO的中点, ∴ AO=2CO. 又∵ AO=2BM, ∴ CO=BM. ∵ AO⊥OM,BM⊥OM, ∴ AO∥BM. ∴ 四边形OCBM 是平行四边形. ∵ ∠BMO=90°, ∴ 四边形OCBM 是矩形. ∵ 在Rt△ABO中,C是AO的中点, ∴ OC=BC=12AO. ∴ 四边形OCBM 是正方形. (3) 分两种情况讨论: ① 如图①,当点P在点O的左侧时, 过点B作BF⊥AO于点F,记BP与 AO交于点E. 在△PEO 和△BEF 中,由题意,得 ∠POE = ∠BFE =90°,∠PEO = ∠BEF. ∴ △PEO∽△BEF. ∴ PO BF= OE FE. 由(1),可得四边形FBMO是矩形. ∴ BF=MO,OF=BM. ∵ MO=2PO, ∴ BF=2PO. ∴ OE FE= PO BF= 1 2. ∵ AO=2BM=26, ∴ OF=BM=6. ∴ 易得OE= 63 ,FE=263 . ∵ ∠A=∠A,∠AFB=∠ABE=90°, ∴ △ABF∽△AEB. ∴ AB AE= AF AB. ∴ AB2=AF·AE. ∵ OF=6, ∴ AF=AO-OF=6. ∴ AE=AF+FE=563 . ∴ AB= AF·AE= 10. 在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 EB= AE2-AB2=2 153 . ∵ EO⊥PM,BM⊥PM, ∴ EO∥BM. ∴ 易得EB PB= OM PM= 2 3. ∴ PB=32EB= 15. ② 如图②,当点P在点O的右侧时, 过点B作BG⊥OA于点G. ∵ MO=2PO, ∴ P是OM 的中点. 设PM=x(x>0),则OM=2x. 易得四边形BMOG是矩形, ∴ BG=OM=2x. ∵ ∠AOM=∠ABP=90°, ∴ ∠A+∠BPO=180°. 又∵ ∠BPO+∠BPM=180°, ∴ ∠A=∠BPM. 在△ABG和△PBM 中, ∵ ∠A = ∠BPM, ∠AGB = ∠PMB=90°, ∴ △ABG∽△PBM. ∴ AG PM= BG BM. ∵ 四边形 BMOG 是矩形,AO= 2BM=26, ∴ AG=GO=BM=6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73