6.6 图形的位似-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

6.6　图形的位似 1. B 2. B 3. H 4. (1,1) 5. (1) 点C的坐标为(1.5,1),点A 的坐标为(0.5,0). (2) ∵ 正方形 ABCD 与正方形 BEFG是以原点O 为位似中心的位 似图形,且相似比为1∶3, ∴ BC EF= 1 3. ∵ EF=6, ∴ BC=2. ∵ 四边形BEFG是正方形, ∴ BG∥EF. ∴ △OBC∽△OEF. ∴ OB OE= BC EF= 1 3. ∴ OB OB+6= 1 3. ∴ OB=3. ∴ 点C的坐标为(3,2). 6. C [解析] 如图,连接A'C',易知 点A、C在A'C'上.在正方形ABCD 中,AB=2,则AC= 22+22=22. ∵ 正方形ABCD与正方形A'B'C'D' 是位似图形,AB∶A'B'=1∶2, ∴ AC∶A'C'=1∶2.∴ A'C'=42. ∵ ∠A'B'C'=90°,∴ A'C'是四边形 A'B'C'D'的外接圆的直径.∴ 四边形 A'B'C'D'的外接圆的半径是22. (第6题) 7. A 8. -3 [解析] 如图,过点A 作 AM⊥x轴于点M,过点A'作A'N⊥ x 轴 于 点 N,则 AM ∥A'N. ∴ △ACM ∽ △A'CN.∴ AM A'N = AC A'C.∵ 点A(-1.4,1.5)的对应点为 A'(-0.2,-3),点C的坐标为(-1, 0),∴ AC A'C= 1.5 |-3|= 1 2.∴ △ABC 和△A'B'C的相似比为1∶2.过点B 作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'F⊥ x 轴 于 点 F,则 BE ∥B'F. ∴ △BCE∽△B'CF.∴ CE CF= BC B'C. ∵ 点C的坐标为(-1,0),点B'的横 坐标为3,∴ CF=4.∵ △ABC 和 △A'B'C的相似比为1∶2,即BCB'C= 1 2 ,∴ CE 4= 1 2 ,解得CE=2.∴ 点B 的横坐标为-3. (第8题) 9. (1,0)或(-5,-2) [解析] 在正 方形 ABCD 和正方形OEFG 中, ∵ A(3,2)、F(-1,-1),∴ E(-1, 0)、G(0,-1)、D(5,2)、B(3,0)、C(5, 0).① 当E和C是对应顶点,G和A 是对应顶点时,位似中心就是直线 EC与AG的交点.设直线AG对应的 函数表达式为y=kx+b(k≠0). ∴ 3k+b=2, b=-1, 解得 k=1 , b=-1. ∴ 直线 AG对应的函数表达式为y=x-1. 令y=0,则x=1.∴ 与直线EC的交 点坐标是(1,0),即位似中心的坐标是 (1,0).② 当A 和E 是对应顶点,C 和G是对应顶点时,位似中心就是直 线AE与CG 的交点.设直线AE 对 应的函数表达式为y=mx+n(m≠ 0).∴ 3m+n=2, -m+n=0, 解得 m=12 , n=12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直 线AE 对应的函数表达式为y= 1 2x+ 1 2. 同理,可得直线CG对应的 函数表达式为y= 1 5x-1. 联立 y= 1 2x+ 1 2 , y= 1 5x-1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=-5, y=-2. ∴ 直 线AE 与CG 的交点坐标是(-5, -2),即位似中心的坐标是(-5, -2).综上所述,两个正方形的位似中 心的坐标是(1,0)或(-5,-2). 10. (16,8) [解析] ∵ 点A1的坐标 为(1,1),∴ OB=1,A1B=1.∵ 四边 形A1BB1C1 是正方形,∴ BB1=1, B1C1=1.∴ OB1=2.∴ 点C1 的坐 标为(2,1).∵ 正方形A1BB1C1、正 方形A2B1B2C2 关于原点O 位似, ∴ A1B A2B1 =OBOB1 = 1 2.∴ 正 方 形 A1BB1C1与正方形A2B1B2C2 的相 似比为1∶2.同理,可得正方形 A1BB1C1与正方形A3B2B3C3 的相 似比为1∶4.∴ 正方形A1BB1C1与 正方形A4B3B4C4的相似比为1∶8. ∴ 点C4 的坐标为(2×8,1×8),即 (16,8). 11. (1) ∵ AB和A'B'与x轴垂直, 点A的坐标是(1,2), ∴ 点B的坐标为(1,0). ∵ △AOB和△A'OB'是位似三角形, 且相似比是1∶3, ∴ 点B'的坐标为(3,0),点A'的坐标 为(3,6). ∵ C是OA'的中点, ∴ 点C的坐标为 32 ,3 . ∵ 反比例函数y= k x (x>0)的图像 经过点C, ∴ k=32×3= 9 2. ∴ 反比例函数的表达式为y= 9 2x. 当x=3时,y= 3 2. ∴ 点D的坐标为 3,32 . (2) 由题意,得S四边形ABDC=S△A'OB'- S△AOB-S△DBB'-S△A'CD= 1 2×3× 6-12×1×2- 1 2×2× 3 2- 1 2× 3 2× 6- 3 2 =258. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 12. (1) 四边形GHIJ是正方形. 理由:∵ GJ ⊥OA,GH ⊥GJ, HI⊥OA, ∴ ∠GJO=∠JGH=∠JIH=90°. ∴ 四边形GHIJ是矩形. ∵ 四边形CDEF是正方形, ∴ FC⊥OA,FC=EF. ∴ FC∥HI. ∴ △OFC∽△OHI. ∴ OF OH= FC HI. 同理,可证△OEF∽△OGH. ∴ OF OH= EF GH. ∴ FC HI= EF GH. 又∵ FC=EF, ∴ HI=GH. ∴ 四边形GHIJ是正方形. (2) 如图,正方形 MNGH 即为所 求作. (第12题) 做好分析,寻找依据,正确画图 解答这类几何作图题时,往往 先对提供的方法加以分析,把握其 画图步骤及方法.本题题干中给出 的思路是先构造正方形,再运用位 似图形的性质构造新的正方形.因 此,(2)中可运用类比的方法作出 两个顶点分别在扇形的半径上,另 两个顶点在扇形内的正方形,进而 画出与这个正方形是位似图形的 符合要求的正方形. 6.7　用相似三角形解决问题 第1课时 用平行投影 解决问题 1. A 2. B 3. 2.5 4. ∵ CE⊥DF, ∴ ∠CED=∠FEC=90°. ∴ ∠DCE+∠D=90°. 又∵ ∠DCF=90°, ∴ ∠DCE+∠ECF=90°. ∴ ∠D=∠ECF. ∴ △EDC∽△ECF. ∴ EC EF= DE CE. ∵ EF=8m,DE=2m, ∴ CE=4m. ∴ 树的高度CE是4m. 5. D [解析] 如图,过点A作AH⊥ ED,交ED 于点H,交FC 于点G. ∵ FC⊥BD,ED⊥BD,AH⊥ED, AB⊥BD,∴ 易得四边形ABCG、四 边形GCDH、四边形ABDH 为矩形. ∴ AH=BD,AG=BC,AB=GC= HD.∵ AB=1.6米,FC=3.8米, BC=1米,CD=7米,∴ FG=FC- AB=2.2米,AH=BD=8米,AG= 1米.∵ 易知FG∥EH,∴ △AFG∽ △AEH.∴ FG EH= AG AH.∴ EH = FG·AH AG =17.6 米.∴ ED=EH+ HD=17.6+1.6=19.2(米),即旗杆 ED的高度为19.2米. (第5题) 6. C [解析] 如图,过点C作CE⊥ AB于点E,则四边形BDCE为矩形. ∴ BD=CE=9.6m,BE=CD= 2m.根据题意,得AECE= 1 1.2.∴ AE= 1 1.2×9.6=8 (m).∴ AB=AE+ BE=8+2=10(m).∴ 旗杆AB的高 度为10m. (第6题) 7. 8 3 8. 24 [解 析] ∵ AB ∥CD, ∴ △ABF∽△CDF.∴ FO FE= AB CD , 即 FO FO+OE= AB CD. 设FO=xcm,则 x x+36= 20 50 ,解得x=24.经检验,x= 24是原分式方程的解,且符合题意. ∴ 凹透镜的焦距f为24cm. 9. 24 [解析] 过点D 作DF∥AE, 交AB于点F.设塔影留在坡面DE 部分对应的塔高AF=h1m,塔影留 在平地BD 部分对应的塔高BF= h2m,则AB=(h1+h2)m.由题意, 得 h1 18= 1.6 2 ,解得h1=14.4.∵ B 是 CD 的中点,∴ BD=12CD=6m. ∴ h2 6= 1.6 1 ,解得h2=9.6.∴ AB= 14.4+9.6=24(m).∴ 铁塔AB的高 为24m. 10. 由题意,得EF DE= 2.4 1.6= 3 2. 又∵ DE=8m, ∴ EF=12m. ∵ EG=3m,HF=1m, ∴ GH=12-3-1=8(m). ∴ GM=MH=4m. 如图,设小桥所在圆的圆心为点O,连 接OM、OG,易得点O、M、N 共线. 设小桥所在圆的半径为rm. ∵ MN=2m, ∴ OM=(r-2)m. 在 Rt△OGM 中,由勾股定理,得 OG2=OM2+GM2, ∴ r2=(r-2)2+42,解得r=5. ∴ 小桥所在圆的半径为5m. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 54 6.6　图形的位似 ▶ “答案与解析”见P34 1. 如图,△ABC 与△DEF 位似,位似中心为 点O,且△ABC 与△DEF 的周长之比是 4∶3,则AO∶DO等于 ( ) A. 4∶7 B. 4∶3 C. 3∶4 D. 16∶9 (第1题) (第2题) 2. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(12,8)、 D(6,4)、E(2,3),△ABC与△DEF位似,原 点O是位似中心,则点B的坐标是 ( ) A. (4,5) B. (4,6) C. (5,6) D. (5,5) 3. 在如图所示的正方形网格中,以点O为位似 中心,作△ABC的位似图形.若D 是点C的 对应点,则点A的对应点是 . (第3题) (第4题) 4. 如图,△OAB 与△ODC 是以点O 为位似中 心的位似图形,相似比为1∶2,∠OCD= 90°,CO=CD.若点A 的坐标为(1,0),则 点C的坐标为 . 5. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的 位似图形,且相似比为1∶3,点A、B、E 在 x轴上. (1) 若点F 的坐标为(4.5,3),请直接写出 点C和点A的坐标. (2) 若正方形BEFG 的边长为6,求点C的 坐标. (第5题) 6. 如图,正方形ABCD的边长为2,以其对角线 的交点为位似中心,作它的位似形A'B'C'D'. 若AB∶A'B'=1∶2,则四边形A'B'C'D'的 外接圆的半径是 ( ) A. 2 B. 2 C. 22 D. 4 (第6题) (第7题) 7. 如图,在平面直角坐标系中,以点P(0,-1) 为位似中心,在y轴的右侧作△ABP 放大 2倍后的位似图形△DCP.若点B 的坐标为 (-2,-4),则点B的对应点C的坐标为 ( ) A. (4,5)B. (4,6)C. (2,4)D. (2,6) (第8题) 8. 如图,△ABC 和△A'B'C 是以点C 为位似中心的位 似图形,点A(-1.4,1.5) 的对应点为 A'(-0.2, -3),点C的坐标为(-1, 0).若点B 的对应点B'的横坐标为3,则点 B的横坐标为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 55 9. 如图,在正方形ABCD 和正方形 OEFG 中,BC、OE、OG 在坐标轴 上,点A 和点F 的坐标分别为(3, 2)、(-1,-1),则两个正方形的位似中心的 坐标是 . (第9题) (第10题) 10. 如图,在平面直角坐标系中,正方形A1BB1C1、 正方形A2B1B2C2、正方形A3B2B3C3关于 原点O 位似,其中点B、B1、B2、B3 都在 x轴上,点C1 在A2B1 上,点C2 在A3B2 上.依此方式,继续作正方形A4B3B4C4,若 点A1 的坐标为(1,1),则点C4 的坐标为 . 11. (学科内综合)如图,AB 和A'B'与x轴垂 直,点 A 的坐标是 (1,2),△AOB 和 △A'OB'是位似三角形,且相似比是1∶3, C是OA'的中点,反比例函数y= k x (x>0) 的图像经过点C,与A'B'交于点D. (1) 求点D的坐标. (2) 连接 BD、CD,求四边形 ABDC 的 面积. (第11题) 12. ★数学课上,老师要求同学们在扇 形纸片AOB 上画出一个正方形, 使得正方形的四个顶点分别落在 扇形的半径OA、OB和AB ︵ 上.其中一部分 同学的画法如下:如图①,先在扇形AOB内 画出正方形CDEF,使得点C、D 在OA上, 点F在OB上,连接OE并延长,交AB ︵ 于点 G,过点G作GJ⊥OA于点J,GH⊥GJ,交 OB于点H,过点H 作HI⊥OA于点I. (1) 图①中的四边形GHIJ 是正方形吗? 请说明理由. (2) 还有一部分同学采用了不同于图①的 画法,请你参照图①,在如图②所示的扇形 中画出这个正方形(保留作图痕迹,不写作 法,不要求证明). (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似