6.5 相似三角形的性质-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

∴ EF=12AD. ∴ CF BD= EF AD= CE BA= 1 2. ∴ △CEF∽△BAD. 8. D 9. (1) 2. [解析] ∵ BD是正方形 ABCD的对角线,∴ ∠ABD=45°,易 得 BD = 2AB.∵ EF ⊥AB, ∴ ∠BEF = 90°.∴ ∠BFE = ∠ABD=45°.∴ BE=EF.∴ 易得 BF= 2BE.∴ DF=BD-BF= 2AB- 2BE= 2(AB-BE)= 2AE.∴ DF AE=2. (2) DF=2AE. 由(1),知BF=2BE,BD=2AB. ∴ BF BE= BD BA=2. 由旋转的性质,知∠DBF=∠ABE. ∴ △DBF∽△ABE. ∴ DF AE= BD BA=2. ∴ DF=2AE. (3) 30或150. [解析] 如图①,连接 CE.∵ EA=ED,∴ 点E 在AD 的 垂直平分线上.∵ 四边形ABCD 是 正方形,∴ AD∥BC,AD=BC.∴ 点 E在BC 的垂直平分线上.∴ BE= CE.∵ BA=BE,∴ CE=BA.∵ 四 边形ABCD 是正方形,∴ ∠BAD= ∠ABC=90°,BA=BC.∴ BE= CE=BC.∴ △BCE 是等边三角形. ∴ ∠CBE = 60°.∴ ∠ABE = ∠ABC-∠CBE=90°-60°=30°,即 α=30.如图②,连接CE,同理,得 ∠CBE=60°.∴ ∠ABE=∠ABC+ ∠CBE=90°+60°=150°,即α=150. 综上所述,α=30或150. (第9题) 10. (1) ① ∵ ∠BAC=∠DAE=90°, ∴ ∠BAC - ∠EAC = ∠DAE - ∠EAC,即∠BAE=∠CAD. 由题意,知AB=AC,AE=AD. 在△ABE和△ACD中, AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD. ② ∵ △ABE≌△ACD, ∴ ∠ABE=∠ACD. ∵ ∠AFB=∠PFC, ∴ 易得∠BPC=∠BAC=90°,即 BP⊥CD. (2) ① 在 △ABE 和 △ACD 中, AE=AD, ∠BAE=∠CAD=90°, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD. ∴ ∠ABE=∠ACD. ∵ ∠BDP=∠CDA, ∴ △BDP∽△CDA. ② 由题意,得∠CAB+∠DAE= 90°+90°=180°, ∴ E、A、C三点共线. ∵ 在△ABC中,∠BAC=90°,AB= AC,BC=63, ∴ 易得AB=AC=36. ∵ AD=AE,AD=3, ∴ AE=3. 在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得 CD= AC2+AD2=37. ∵ △BDP∽△CDA, ∴ ∠BPD=∠CAD=90°. ∴ ∠CAD=∠CPE=90°. 又∵ ∠ACD=∠PCE, ∴ △CAD∽△CPE. ∴ CD CE = AD PE = CA CP ,即 37 36+3 = 3 PE= 36 CP. ∴ PE=3 42+377 ,CP=187+3 427 . ∴ PD=CP-CD=187+3 427 - 37=3 42-377 . ∴ S△PDE = 1 2PD ·PE = 12 × 3 42-37 7 × 3 42+37 7 = 45 14. 解决图形变换问题的一般方法 解决这类图形变换问题时,往 往要从特殊情形入手,研究图形的 相关性质,再根据已有的分析问题 的方法、思路对特殊情形变换后的 图形进行分析,得出问题的结论. 通常情况下,得到的结论与原有结 论也具有特殊与一般的关系,它们 之间具有内在的联系. 6.5　相似三角形的性质 第1课时 探索相似图形周长比、 面积比与相似比的关系 1. B 2. A 3. (1) 27 (2) 16 4. 63 5. (1) ∵ 四边形BFED 是平行四 边形, ∴ DE∥BF,即DE∥BC. ∴ △ADE∽△ABC. ∴ AD AB= DE BC= 1 4. ∵ AB=8, ∴ AD=2. (2) ∵ △ADE∽△ABC, ∴ S△ADE S△ABC = DEBC 2 = 14 2 =116. ∵ △ADE的面积为1, ∴ △ABC的面积为16. ∵ 四边形BFED是平行四边形, ∴ EF=BD,EF∥AB. ∴ △EFC∽△ABC. ∵ AD AB= 1 4 , ∴ BD AB= 3 4. ∴ S△EFC S△ABC = EFAB 2 = BDAB 2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 3 4 2 =916. ∴ △EFC的面积为9. ∴ ▱BFED的面积为16-9-1=6. 6. A [解析] ∵ 点A的坐标为(-2, 0),点C的坐标为(1,0),∴ OA=2, OC=1.∴ AC=OA +OC=3. ∵ △ABC ∽ △ODC,∴ S△ABC S△ODC = AC OC 2 = 31 2 =9.∴ △ABC 与 △ODC的面积比是9∶1. 7. B [解析] 如图,连接AM,交DE 于点H,交BC于点P.∵ DE∥BC, ∴ AD DB = AH HP = 3 2 ,△ADE ∽ △ABC.∴ S△ADE S△ABC = ADAB 2 = 925. ∴ 设AH=3a(a>0),则HP=2a. 由折叠,知AH=MH=3a,S△ADE= S△MDE=15× 9 25= 27 5.∴ PM=a. ∵ DE∥BC,∴ △MFG∽△MDE. ∴ S△MFG S△MDE = PMHM 2 =19.∴ S△MFG= 1 9S△MDE= 1 9× 27 5=0.6. (第7题) 8. 22 [解析] ∵ 四边形ABCD 是 平行四边形,∴ BC=AD,BC∥AD. ∵ CE=2BE,AF=2DF,∴ BE= DF,AF = CE.∵ AD ∥BC, ∴ △BEH ∽ △FAH.∴ BE FA = BH FH = EH AH = 1 2.∴ S△FAH = 4S△BEH =8,S△ABH =2S△BEH =4. ∴ S△ABF=8+4=12.连接BD,易得 S△BFD S△ABF = 12.∴ S△ABF S△ABD = 23. ∴ S▱ABCD=12× 3 2×2=36.∴ 五边 形CEHFD 的面积为 36-12- 2=22. 9. 10 [解析] ∵ BD=BA,BE 是 ∠ABC 的平分线,∴ AE =DE. ∴ S△ABE=S△BDE=3.又∵ F 是AC 的中点,∴ EF 是△ACD 的中位线. ∴ 2EF=CD,EF∥DC.∴ △AEF∽ △ADC. ∴ S△ACD = 4S△AEF. ∵ S四边形CDEF=3,∴ 易得S△ACD=4. ∴ △ABC的面积为3+3+4=10. 10. 1 [解析] 延长BA、CD 交于点 E.∵ CM 平分∠BCD,∴ ∠MCE= ∠MCB.∵ CM⊥AB,∴ ∠CME= ∠CMB=90°.在△CME 和△CMB 中, ∠MCE=∠MCB, CM=CM, ∠CME=∠CMB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CME≌ △CMB.∴ ME =MB.∵ AM = 1 3AB ,∴ ME = MB = 2AM. ∴ AM=AE=14BE.∵ AD∥BC, ∴ △EAD∽△EBC.∴ S△EAD S△EBC =116. ∴ S四边形ABCD = 15 16S△EBC = 15 7. ∴ S△EBC= 16 7.∴ S△EAD= 16 7× 1 16= 1 7.∴ S四边形AMCD = 1 2 S△EBC - S△EAD= 1 2× 16 7- 1 7=1. 11. ∵ 点G是△ABC的重心, ∴ BD=CD,AG=2GD. ∴ S△ADC= 1 2S△ABC= 1 2×18=9 , AG AD= 2 3. ∵ GE∥DC, ∴ △AGE∽△ADC. ∴ S△AGE S△ADC = AGAD 2 =49. ∴ S△AGE= 4 9×9=4. 12. ∵ △ABC和△DEC的面积相等, ∴ △CDF 和四边形AFEB 的面积 相等. ∵ AB∥DE, ∴ △FEC∽△ABC. ∵ EF BA= 9 12= 3 4 , ∴ S△FEC S△ABC =916. 设△FEC 的面积为9k(k>0),则四 边形AFEB的面积为7k. ∵ △CDF 和四边形AFEB 的面积 相等, ∴ △CDF的面积为7k. ∵ △CDF与△FEC是同高不同底的 三角形, ∴ DF EF= 7k 9k= 7 9. ∴ DF=7. 13. (1) ∵ AB=AD, ∴ ∠ABD=∠ADB. ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADB = ∠DBC,∠ADC + ∠C=180°. ∴ ∠ABD = ∠DBC = ∠ADB = 1 2∠ABC=35°. ∵ ∠ADC+∠C=180°,∠ADC= 145°, ∴ ∠C=35°. ∴ ∠ADB = ∠ABD = ∠DBC = ∠C=35°. ∴ △ABD∽△DBC. 显然,AB<DB, ∴ △ABD与△DBC不全等. ∴ 对角线BD是四边形ABCD的“理 想对角线”. (2) ∵ CA平分∠BCD, ∴ ∠BCA=∠ACD. ∵ 对角线AC是四边形ABCD的“理 想对角线”, ∴ △ACB与△DCA相似. 分两种情况讨论: ① 若△ACB∽△DCA,则ACDC= BC AC. ∴ AC2=DC·BC=2×3=6. ∴ AC=6(负值已舍去). ② 若 △ACB ∽ △ACD,则BCDC = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 AC AC=1. ∴ BC=CD,这与BC=3,CD=2矛 盾,舍去. 综上所述,AC的长为6. 第2课时 探索相似图形对应 线段之间的关系 1. C 2. C 3. 22 4. (1) 6 (2) 48 5. ∵ △ADE∽△ACB,相似比为2∶3, ∴ ∠ADE = ∠ACB,∠AED = ∠ABC,AD∶AC=2∶3. ∵ AF是∠BAC的平分线, ∴ ∠BAF=∠CAF. ∵ ∠AGD = ∠CAF + ∠AED, ∠AFC=∠BAF+∠ABC, ∴ ∠AGD=∠AFC. ∴ △AGD∽△AFC. ∴ AG AF= AD AC= 2 3. ∴ AG AG+GF= 2 3. ∴ AG∶GF=2∶1. 6. A [解析] ∵ 两个相似三角形一 组对应边上的高分别为15和5,∴ 两 个三角形的相似比为3∶1.∴ 其面积 比为9∶1.设这两个相似三角形的面 积分别为9x和x,则9x-x=80,解 得x=10.∴ 较大三角形的面积为90. 7. C [解析] ∵ ∠DAE=∠CAB, ∠ADE=∠C,∴ △ADE∽△ACB. ∴ ∠AED = ∠B,AEAB = DE CB. ∵ NB·DE=ME·CB,∴ DE CB = ME NB.∴ AE AB= ME NB. 又∵ ∠AEM= ∠B,∴ △AEM∽△ABN.∴ AM AN= AE AB= 2 3.∴ AB= 32AE= 3 2 × 6=9. 8. 9 [解析] ∵ 两个相似三角形的 面积比为1∶4,∴ 这两个三角形的相 似比为1∶2.∴ 这两个三角形最短边 上的中线的比为1∶2.设其中较小的 三角形最短边上的中线长为xcm,则 较大的三角形最短边上的中线长为 2xcm.∴ x+2x=27,解得x=9. ∴ 这两个三角形最短边上的中线长 分别为9cm、18cm.∴ 这两条中线之 差为9cm. 9. 24 [解析] 如图,连接 AE. ∵ DE是△ABC的中位线,∴ DE∥ AC,DE = 12 AC.∴ △EFG ∽ △CAG.∵ F 是 DE 的 中 点, ∴ EF CA= 1 4.∴ S△EFG S△CAG = EFCA 2 = 1 16.∵ S△EFG =1,∴ S△CAG =16. ∵ △EFG∽△CAG,∴ GE GC= EF CA= 1 4.∴ S△AEG S△CAG =GEGC= 1 4.∴ S△AEG= 1 4S△CAG =4.∴ S△ACE =S△CAG - S△AEG=12.∵ 易知E为BC的中点, ∴ S△ABC=2S△ACE=24. (第9题) 10. 9 [解析] 如图,记EF、FG分别 与AC 交于点M、N.∵ 等边三角形 ABC 沿边AC 上的高BD 平移到 △EFG 的位置,∴ S△ABC =S△EFG, AC∥EG.∴ △MFN∽△EFG.∴ 易 得△MFN ∽ △ABC.∴ S△FMN S△ABC = FD BD 2 .∵ BF FD= 1 3 ,∴ FD BD= 3 4. ∵ S△ABC=16,∴ S 16= 3 4 2 ,解得 S=9. (第10题) 11. (1) 过点C 作CN⊥AB,交GF 于点M,交AB于点N. ∵ 在Rt△ABC 中,∠ACB =90°, AC=4,BC=3, ∴ 由 勾 股 定 理,得 AB = AC2+BC2=5. ∵ S△ABC= 1 2AC ·BC=12AB · CN, ∴ CN=125. 由题意,易得GF∥AB. ∴ △CGF∽△CAB. ∴ CM CN= GF AB. 设正方形的边长为x,则 12 5-x 12 5 =x5 , 解得x=6037. ∴ 正方形的边长为60 37. (2) 过点C 作CN⊥AB,交GF 于 点M,交AB于点N. 同(1),可得 AB =5,CN =125 , △CGF∽△CAB. ∴ CM CN= GF AB. 设正方形的边长为y,则 12 5-y 12 5 =2y5 , 解得y= 60 49. ∴ 正方形的边长为60 49. (3) 过点C 作CN⊥AB,交GF 于 点M,交AB于点N. 同(1),可得 AB =5,CN =125 , △CGF∽△CAB. ∴ CM CN= GF AB. 设正方形的边长为z,则 12 5-z 12 5 =3z5 , 解得z=6061. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 ∴ 正方形的边长为60 61. (4) 过点C 作CN⊥AB,交GF 于 点M,交AB于点N. 同(1),可得 AB =5,CN =125 , △CGF∽△CAB. ∴ CM CN= GF AB. 设正方形的边长为a,则 12 5-a 12 5 =na5 , 解得a= 6012n+25. ∴ 正方形的边长为 60 12n+25. 根据基本模型解决问题 解决这类问题时,往往需要观 察所给图形的整体特征,根据这些 图形中隐含的基本模型,运用相似 三角形的性质得到对应边的比例 关系,进而建立关于以待求边为未 知数的方程,从而解决问题.这类 问题中往往也隐含着从特殊到一 般的数学思想. 12. 15 4 [解 析] ∵ △ABC ∽ △CAD,∴ AB CA = AC CD.∵ AB=3, ∴ 3 CA = AC CD.∴ CD = 13AC 2. ∵ ∠ACB=90°,∴ AC2=AB2- BC2=9-BC2.∴ CD= 13 (9- BC2)=3- 13BC 2.设 BC=x. ∴ BC+CD =x +3- 13x 2 = -13 x- 3 2 2 +154.∵ -13<0 , ∴ 当x=32 时,BC+CD 的值最大, 最大值为15 4. 13. (1) ∵ 从△ABC 中剪出一个面 积最大的正方形BDEF, ∴ 当点E在AC上时,正方形BDEF 的面积最大. ∴ EF=BF,EF∥BC. ∴ △AFE∽△ABC. ∴ AF AB= FE BC. ∴ 12-BF 12 = BF 5. ∴ BF=6017. ∴ 正方形 BDEF 的面积为 60 17× 60 17= 3600 289. (2) 设PN=b. ∵ 四边形PQMN 为矩形, ∴ PN∥BC. ∴ △APN∽△ABC. ∵ AD⊥BC, ∴ 易得PQ=DE,AE⊥PN. ∴ AE AD= PN BC. ∵ BC=120,AD=80,AE=AD- DE=80-PQ, ∴ 80-PQ 80 = b 120. ∴ PQ=80-2b3. ∴ S矩形PQMN =PN·PQ=b 80- 2 3b =-23(b-60)2+2400. ∵ -23<0 , ∴ 当b=60时,S矩形PQMN 取得最 大值. ∴ PN=60,PQ=80-23×60=40. ∴ 矩形PQMN 的周长为2×(60+ 40)=200. (3) 720. [解析] 如图①,延长BA、 DE 交于点F,延长BC、ED 交于 点G,延长AE、CD交于点H,分别取 BF、FG 的中点I、K,连接IK,过 点K 作KL⊥BC于点L.由题意,知 四边形ABCH 是矩形,∴ AH=BC, AB=HC.∵ AB=32,BC=40, AE=20,CD=16,∴ EH=AH- AE=20,HD =CH -CD =16. ∴ AE=EH,CD=DH.∵ 在矩形 ABCH 中,∠BAH=∠DHE=90°, ∴ ∠FAE=∠DHE=90°.在△AEF 和 △HED 中, ∠FAE=∠DHE, AE=HE, ∠AEF=∠HED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△HED.∴ AF=HD= 16.同理,可得 △CDG ≌ △HDE. ∴ CG=HE=20.∴ BI=12 (AB+ AF)=24,BL=IK = 12 (BC+ CG)=30.∵ 24<32,30<40,∴ 中位 线IK 的两端点分别在线段AB 和 DE上.由(2),可知剪出的面积最大 的矩形为矩形BLKI,最大面积为 24×30=720. (4) 14583. [解析] 如图②,延长 BA、CD交于点E,过点E 作EH⊥ BC 于点 H.∵ ∠B= ∠C=60°, ∴ EB=EC,∠BEC=60°.∵ EH⊥ BC,∴ BH =HC,∠HEC=30°. ∵ BC =108cm,∴ BH=CH = 54cm.∴ 易得EH=543cm,EB= EC=108cm.∵ AB=70cm,∴ BE 的中点Q 在线段AB 上.∵ CD= 76cm,∴ CE 的中点P 在线段CD 上.∴ 中位线QP的两端点分别在线 段AB、CD上.由(2),可知矩形PQMN 的最大面积为1 2BC ·1 2EH= 1 2× 108×12×543=14583 (cm2). (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 50 6.5　相似三角形的性质 第1课时 探索相似图形周长比、面积比与相似比的关系 ▶ “答案与解析”见P30 1. 如果两个相似三角形的面积比是1∶9,那么 它们的周长比是 ( ) A. 1∶9 B. 1∶3 C. 1∶4.5D. 1∶8 2. 若两个相似三角形的对应边分别是15cm和 23cm,它们的周长相差40cm,则这两个三角 形的周长分别是 ( ) A. 75cm、115cm B. 60cm、100cm C. 85cm、125cm D. 45cm、85cm 3. (1) 两个相似多边形的周长比是2∶3,其中 较小的多边形的面积为12cm2,则较大的多 边形的面积为 cm2. (2) 若△ABC∽△DEF,相似比为23 ,且它们 的周长之和为40,则△ABC的周长为 . 4. 已知△ABC 与△A'B'C'的相似比为23 ,且 S△ABC+S△A'B'C'=91,则△A'B'C'的面积是 . 5. 如图,在△ABC 中,点D、E、F 分别在边 AB、AC、BC 上,连接DE、EF.已知四边形 BFED是平行四边形,且DEBC= 1 4. (1) 若AB=8,求线段AD的长. (2) 若△ADE 的面积为1,求▱BFED 的 面积. (第5题) 6. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC∽ △ODC,其中点A 的坐标为(-2,0),点C 的坐标为(1,0),则△ABC与△ODC的面积 比是 ( ) A. 9∶1 B. 3∶1 C. 4∶1 D. 2∶1 (第6题) (第7题) 7. (易错题)如图,在△ABC 中,点D 在边AB 上,且AD=3,DB=2,过 点D作DE∥BC,交边AC于点E, 将△ADE沿着DE 折叠得到△MDE,与边 BC分别交于点F、G.如果△ABC的面积为 15,那么△MFG的面积为 ( ) A. 0.5 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.2 8. 如图,E、F分别为▱ABCD 的边BC、AD 上 的点,且CE=2BE,AF=2DF,AE 与BF 交于点H.若△BEH 的面积为2,则五边形 CEHFD的面积为 . (第8题) (第9题) 9. 如图,在△ABC中,AC>AB,点D 在边BC 上,且BD=BA,连接AD,∠ABC的平分线 BE交AD于点E,F是AC的中点,连接EF. 若四边形CDEF和△BDE的面积都为3,则 △ABC的面积为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 51 10. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥ BC,CM 是∠BCD 的平分线,且 CM⊥AB,垂足为M,AM=13AB. 若四边形ABCD 的面积为 15 7 ,则四边形 AMCD的面积是 . (第10题) 11. 如图,点G是△ABC的重心,连接AG并延 长,交BC 于点D,过点G 作GE∥BC,交 AC 于点E.如果S△ABC =18,求S△AGE 的值. (第11题) 12. 如图,△ABC 和△DEC 的面积相等,点E 在边BC上,DE∥AB,交AC于点F,AB= 12,EF=9,求DF的长. (第12题) 13. 四边形的一条对角线把这个四边形分成两 个三角形,如果这两个三角形相似但不全 等,我们就把这条对角线称为这个四边形的 “理想对角线”. (1) 如图①,在四边形ABCD 中,∠ABC= 70°,AB=AD,AD∥BC.当∠ADC=145° 时,求证:对角线BD 是四边形ABCD 的 “理想对角线”. (2) 如图②,在四边形ABCD 中,CA 平分 ∠BCD,BC=3,CD=2,对角线AC是四边 形ABCD的“理想对角线”,求AC的长. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 52 第2课时 探索相似图形对应线段之间的关系 ▶ “答案与解析”见P32 1. 若两个相似三角形的面积比是1∶9,则它们 对应边的中线之比为 ( ) A. 1∶9 B. 3∶1 C. 1∶3 D. 1∶81 2. 已知△ABC∽△A'B'C',AD 和A'D'是它们 的对应边上的高.若AD=5,A'D'=3,则 △ABC与△A'B'C'的周长比是 ( ) A. 3∶5 B. 9∶25 C. 5∶3 D. 25∶9 3. 如图,△ABC∽△ADB,D 是AC 的中点, CD=2,则AB的长为 . (第3题) 4. (1) 若两个相似三角形对应角的平分线的比 是2∶3,它们的周长之和为15cm,则较小的 三角形的周长为 cm. (2) 已知△ABC∽△DEF.若△ABC的三边 长分别为6、8、10,△DEF 的面积为96,则 △DEF的周长为 . 5. 如图,在△ABC 中,D、E 分别是边AB、AC 上的点,△ADE∽△ACB,相似比为2∶3, △ABC的角平分线AF 交DE 于点G,交 BC于点F,求AG与GF的比. (第5题) 6. (易错题)已知两个相似三角形一组对应边上 的高分别为15和5,面积之差为80,则较大 三角形的面积为 ( ) A. 90 B. 180 C. 270 D. 360 7. 如图,在△ABC中,D、E 分别为AB、AC上 的点,连接DE,M、N 分别为DE、BC 上的 点,连接AM、AN,且∠ADE=∠C,NB· DE=ME·CB,AM∶AN=2∶3,AE=6, 则AB的长为 ( ) (第7题) A. 4 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知两个相似三角形的面积比为1∶4,这两 个三角形最短边上的中线之和为27cm,则 这两条中线之差为 cm. 9. 如图,DE是△ABC的中位线,F为 DE的中点,连接AF并延长,交BC 于点G.若S△EFG=1,则S△ABC= . (第9题) (第10题) 10. 如图,将等边三角形ABC沿边AC上的高 BD平移到△EFG的位置,涂色部分的面积 记为S.如果 BF FD= 1 3 ,S△ABC=16,那么S= . 11. ★在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 4,BC=3. (1) 如图①,△ABC内有1个正方 形DEFG,求正方形的边长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 53 (2) 如图②,△ABC内有并排的2个完全相 同的正方形,求正方形的边长. (3) 如图③,△ABC内有并排的3个完全相 同的正方形,求正方形的边长. (4) 如图④,△ABC内有并排的n个(n为 正整数)完全相同的正方形,求正方形的 边长. (第11题) 12. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB= 3,D 为直线AC 左侧一点.若△ABC∽ △CAD,则BC+CD的最大值为 . (第12题) 13. (新情境)(1) 如图①,在△ABC中,∠B= 90°,AB=12,BC=5,从中剪出一个面积最 大的正方形BDEF,求正方形BDEF 的 面积. (2) 如图②,在△ABC中,BC=120,边BC 上的高AD=80,点P、N 分别在边AB、AC 上,点Q、M 在边BC上.当矩形PQMN 的 面积最大时,求矩形PQMN 的周长. (3) 如图③,在“缺角矩形”ABCDE 中, AB=32,BC=40,AE=20,CD=16.若要 在“缺角矩形”中剪出一个面积最大的矩形 (∠B为所剪出矩形的内角),则剪出的矩形 的面积为 . (4) 如图④,现有一块四边形的木板余料 ABCD,经测量,AB=70cm,BC=108cm, CD=76cm,且∠B=∠C=60°,木匠师傅 从这块余料中裁出了顶点M、N 在边BC上 且面积最大的矩形PQMN,则该矩形的面 积为 cm2. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似