6.4 专题特训(四) 相似三角形的基本模型-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

48 　　　　专题特训（四）　相似三角形的基本模型 ▶ “答案与解析”见P29 类型一 平行线型 1. 如图,E 是▱ABCD 的边AB 的延长线上一 点,DE交BC于点F,则图中的相似三角形 共有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 (第1题) (第2题) 2. (易错题)如图,AB∥CD,AD、BC相交于点 E,F为CE上一点,连接AF并延长,交CD 于点G.若∠FAE=∠B,则图中相似三角形 的对数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图,在矩形ABCD 中,AB= 3,BC= 6, 点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE 并延长,交DC于点F,则CFCD= . (第3题) 类型二 相交线型 4. 如图,在△ABC 中,AF⊥BC,CE⊥AB,垂 足分别是F、E,连接EF.求证: (1) △BAF∽△BCE. (2) △BEF∽△BCA. (第4题) 类型三 母子型 5. (2024·盐城建湖期末)如图,D 是△ABC的 边BC 上一点,∠BAD=∠C,∠ABC 的平 分线交边AC于点E,交AD 于点F,则下列 结论中,错误的是 ( ) A. △BDF∽△BEC B. △BFA∽△BEC C. △BAC∽△BDA D. △BDF∽△BAE (第5题) (第6题) 6. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC, 垂足为D.如果BC=10,AC=6,那么AD= . 7. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D 在 边AC上,连接BD. (1) 若AC=4,BC=2,∠CBD=∠A,求BD 的长. (2) 取AB、BD 的中点E、F,连接CE、EF、 FC.求证:△CEF∽△BAD. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 49 类型四 变换型 8. 如图,如果∠EAD=∠CAB,那么添加下列 一个条件后,仍不能判定△ADE 与△ABC 相似的为 ( ) (第8题) A. ∠B=∠D B. ∠AED=∠C C. AB AD= AC AE D. AE AC= DE BC 9. (学科内综合)如图①,在正方形 ABCD 中,E 为AB 上的一点, EF⊥AB,交BD于点F. (1) DF AE 的值为 . (2) 将△EBF 绕点B 按顺时针方向旋转到 如图②所示的位置,连接AE、DF,猜想DF 与AE之间的数量关系,并证明你的结论. (3) 如图③,当BE=BA 时,其他条件不变, △EBF绕点B按顺时针方向旋转,设旋转角 为α°(0<α<360),连接AE、DE、DF.当α 为何值时,EA=ED? 在图③或备用图中画 出图形,并直接写出此时α的值: . (第9题) 10. ★已知△ABC和△ADE是有公共 顶点 的 等 腰 直 角 三 角 形,且 ∠BAC=∠DAE=90°. (1) 如图①,连接BE、CD,BE 的延长线交 AC于点F,交CD于点P.求证: ① △ABE≌△ACD. ② BP⊥CD. (2) 如图②,把△ADE 绕点A 按顺时针方 向旋转,当点D 落在AB 上时,连接BE、 CD,CD 的延长线交BE 于点P.若BC= 63,AD=3. ① 求证:△BDP∽△CDA. ② 求△ PDE的面积. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 ∵ CF=CD, ∴ ∠F=∠CDF=180°-45°2 =67.5°. (2) ∵ OA=OD,∠AOD=90°, ∴ ∠EAD=45°. ∵ ∠ACD=45°, ∴ ∠EAD=∠ACD. ∵ ∠ADE=∠CDA, ∴ △DAE∽△DCA. ∴ DE DA= DA DC. ∴ DA2=DE·DC=8. ∵ OA2+OD2=2OA2=DA2=8, OA>0, ∴ OA=2,即☉O的半径为2. 13. (1) ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AD∥BC,∠B=90°. ∴ ∠PAF=∠AEB. ∵ PF⊥AE, ∴ ∠PFA=90°=∠ABE. ∴ △PFA∽△ABE. (2) 存在. 分两种情况讨论: ① 如图①,若△EFP∽△ABE,则 ∠PEF=∠EAB. ∴ PE∥AB. ∴ 易得四边形ABEP是矩形. ∴ PA=EB. ∵ E是边BC的中点, ∴ EB=12BC=2. ∴ PA=2,即x=2. ② 如图②,若△PFE∽△ABE,则 ∠PEF=∠AEB,PEAE= EF EB. ∵ ∠PAF=∠AEB, ∴ ∠PEF=∠PAF. ∴ PE=PA. ∵ PF⊥AE, ∴ F为AE的中点. ∵ AE= AB2+BE2=25, ∴ EF=12AE=5. ∵ PE AE= EF EB , ∴ PE 25 = 52. ∴ PE=5,即x=5. 综上所述,满足条件的x的值为2或5. (第13题) 专题特训（四）　相似 三角形的基本模型 1. C 2. D [解 析] ∵ AB ∥CD, ∴ △ABE∽△DCE,△ABF∽△GCF, ∠BAE = ∠D.∵ ∠FAE = ∠B, ∴ △ABE∽△DAG.∴ △DAG∽ △DCE.∴ ∠DAG=∠C.∵ ∠AFE= ∠CFG, ∴ △EAF ∽ △GCF. ∴ △EAF∽△ABF.∴ 题图中相似 三角形的对数是6. 3. 1 3 [解析] ∵ 四边形ABCD 是 矩形,∴ AD=BC,AB=CD,AB∥ CD,∠BAD=90°.又∵ AB= 3, BC=6,∴ BD= AB2+AD2=3. ∵ BE=1.8,∴ DE=3-1.8=1.2. ∵ AB∥CD,∴ △DEF∽△BEA. ∴ DF BA = DE BE ,即DF 3 =1.21.8 ,解得 DF=233 .∴ CF=CD-DF= 33. ∴ CF CD= 3 3 3 =13. 4. (1) ∵ AF⊥BC,CE⊥AB, ∴ ∠AFB=∠CEB=90°. 又∵ ∠B=∠B, ∴ △BAF∽△BCE. (2) ∵ △BAF∽△BCE, ∴ BF BE= BA BC. ∴ BF BA= BE BC. 又∵ ∠B=∠B, ∴ △BEF∽△BCA. 5. A [解析] ∵ ∠C=∠BAD, ∠ABC = ∠DBA,∴ △BAC ∽ △BDA.故选项C正确,不符合题意. ∵ BE 平分 ∠ABC,∴ ∠ABE = ∠CBE.又 ∵ ∠BAF = ∠C, ∴ △BFA∽△BEC.故选项B正确, 不符合题意.∵ △BFA∽△BEC, ∴ ∠BFA=∠BEC.∴ ∠BFD= ∠BEA.∴ △BDF∽△BAE.故选项 D正确,不符合题意.根据题意,无法 判定△BDF∽△BEC.故选项 A错 误,符合题意. 6. 24 5 [解析] ∵ ∠BAC=90°, AD⊥BC,∴ ∠ADC=∠BAC=90°. 又∵ ∠C=∠C,∴ △DAC∽△ABC. ∴ AD BA = AC BC = 6 10= 3 5. 又∵ 在 Rt△ABC 中,AB= BC2-AC2 = 8,∴ AD=35×8= 24 5. 7. (1) ∵ 在△CBD 和△CAB 中, ∠CBD=∠A,∠BCD=∠ACB, ∴ △CBD∽△CAB. ∴ CD CB= CB CA ,即CD 2 = 2 4. ∴ CD=1. ∴ 在Rt△BCD 中,由勾股定理,得 BD= CD2+BC2=5. (2) ∵ E、F 分别是 Rt△CAB、 Rt△CBD斜边的中点, ∴ CE=12AB ,CF=12BD. 又∵ 在△ABD 中,E、F 分别为边 AB、BD的中点, ∴ EF为△BAD的中位线. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 ∴ EF=12AD. ∴ CF BD= EF AD= CE BA= 1 2. ∴ △CEF∽△BAD. 8. D 9. (1) 2. [解析] ∵ BD是正方形 ABCD的对角线,∴ ∠ABD=45°,易 得 BD = 2AB.∵ EF ⊥AB, ∴ ∠BEF = 90°.∴ ∠BFE = ∠ABD=45°.∴ BE=EF.∴ 易得 BF= 2BE.∴ DF=BD-BF= 2AB- 2BE= 2(AB-BE)= 2AE.∴ DF AE=2. (2) DF=2AE. 由(1),知BF=2BE,BD=2AB. ∴ BF BE= BD BA=2. 由旋转的性质,知∠DBF=∠ABE. ∴ △DBF∽△ABE. ∴ DF AE= BD BA=2. ∴ DF=2AE. (3) 30或150. [解析] 如图①,连接 CE.∵ EA=ED,∴ 点E 在AD 的 垂直平分线上.∵ 四边形ABCD 是 正方形,∴ AD∥BC,AD=BC.∴ 点 E在BC 的垂直平分线上.∴ BE= CE.∵ BA=BE,∴ CE=BA.∵ 四 边形ABCD 是正方形,∴ ∠BAD= ∠ABC=90°,BA=BC.∴ BE= CE=BC.∴ △BCE 是等边三角形. ∴ ∠CBE = 60°.∴ ∠ABE = ∠ABC-∠CBE=90°-60°=30°,即 α=30.如图②,连接CE,同理,得 ∠CBE=60°.∴ ∠ABE=∠ABC+ ∠CBE=90°+60°=150°,即α=150. 综上所述,α=30或150. (第9题) 10. (1) ① ∵ ∠BAC=∠DAE=90°, ∴ ∠BAC - ∠EAC = ∠DAE - ∠EAC,即∠BAE=∠CAD. 由题意,知AB=AC,AE=AD. 在△ABE和△ACD中, AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD. ② ∵ △ABE≌△ACD, ∴ ∠ABE=∠ACD. ∵ ∠AFB=∠PFC, ∴ 易得∠BPC=∠BAC=90°,即 BP⊥CD. (2) ① 在 △ABE 和 △ACD 中, AE=AD, ∠BAE=∠CAD=90°, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACD. ∴ ∠ABE=∠ACD. ∵ ∠BDP=∠CDA, ∴ △BDP∽△CDA. ② 由题意,得∠CAB+∠DAE= 90°+90°=180°, ∴ E、A、C三点共线. ∵ 在△ABC中,∠BAC=90°,AB= AC,BC=63, ∴ 易得AB=AC=36. ∵ AD=AE,AD=3, ∴ AE=3. 在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得 CD= AC2+AD2=37. ∵ △BDP∽△CDA, ∴ ∠BPD=∠CAD=90°. ∴ ∠CAD=∠CPE=90°. 又∵ ∠ACD=∠PCE, ∴ △CAD∽△CPE. ∴ CD CE = AD PE = CA CP ,即 37 36+3 = 3 PE= 36 CP. ∴ PE=3 42+377 ,CP=187+3 427 . ∴ PD=CP-CD=187+3 427 - 37=3 42-377 . ∴ S△PDE = 1 2PD ·PE = 12 × 3 42-37 7 × 3 42+37 7 = 45 14. 解决图形变换问题的一般方法 解决这类图形变换问题时,往 往要从特殊情形入手,研究图形的 相关性质,再根据已有的分析问题 的方法、思路对特殊情形变换后的 图形进行分析,得出问题的结论. 通常情况下,得到的结论与原有结 论也具有特殊与一般的关系,它们 之间具有内在的联系. 6.5　相似三角形的性质 第1课时 探索相似图形周长比、 面积比与相似比的关系 1. B 2. A 3. (1) 27 (2) 16 4. 63 5. (1) ∵ 四边形BFED 是平行四 边形, ∴ DE∥BF,即DE∥BC. ∴ △ADE∽△ABC. ∴ AD AB= DE BC= 1 4. ∵ AB=8, ∴ AD=2. (2) ∵ △ADE∽△ABC, ∴ S△ADE S△ABC = DEBC 2 = 14 2 =116. ∵ △ADE的面积为1, ∴ △ABC的面积为16. ∵ 四边形BFED是平行四边形, ∴ EF=BD,EF∥AB. ∴ △EFC∽△ABC. ∵ AD AB= 1 4 , ∴ BD AB= 3 4. ∴ S△EFC S△ABC = EFAB 2 = BDAB 2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03