6.4 探索三角形相似的条件-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

38 6.4　探索三角形相似的条件 第1课时 平行线分线段成比例及平行线截三角形相似 ▶ “答案与解析”见P23 1. 如图,在△ABC中,若DE∥BC,EF∥AB,则 下列结论中,正确的是 ( ) A. AD DB= DE BC B. BF BC= EF AD C. AE EC= BF FC D. EF AB= DE BC (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC 中,点D 在边AB 上,且 AD=2BD,过点D 作DE∥BC,交AC于点 E.若AE=2,则AC的长是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC、DF 被直线 l1、l2、l3 所截,AB=2,BC=5,EF=6,则 DE的长为 . (第3题) (第4题) 4. 如图,DE∥BC,DF∥AC,AD=4,AB=12, DE=5,则线段BF的长为 . 5. 如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥CD.求 证:AD是AF与AB的比例中项. (第5题) (第6题) 6. (易错题)如图,AB、CD 相交 于点E,且AC∥EF∥DB,点 C、F、B 在同一条直线上.已 知AC=p,EF=r,DB=q,则 p、q、r之间满足的数量关系式为 ( ) A. 1 r+ 1 q =1 p B. 1 p +1r= 2 q C. 1 p +1 q =1r D. 1 q +1r= 2 p 7. 如图,在Rt△ABC内画有边长分别为9、6、x 的三个正方形,则x的值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 35 D. 5 (第7题) (第8题) 8. (2024·宿迁沭阳模拟)如图,在 △ABC 中,点 D 在边AC 上,且 AD∶DC=1∶2,连接BD,O 是 BD的中点,连接AO并延长,交BC于点E. 若BE=1,则CE的长为 ( ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 9. 如图,在△ABC中,点D、E 分别在AB、AC 上,连接DE、BE,BE平分∠ABC,DE∥BC. 若DE=2AD,AE=2,则AC= . (第9题) (第10题) 10. 如图,在Rt△ABC中,D 是AB 的中点,点 E、F 分别在AC、AD 上,连接EF、CD.若 EF∥CD,AE∶EC=2∶3,EF=2,则 AB= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 39 11. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥ BC,BA 和CD 的延长线交于点 P,AC 和BD 交于点O,连接PO 并延长,分别交AD、BC于点M、N.求证: AM=MD. (第11题) 12. 如图,在△ABC中,点D、E 分别在边AB、 AC上,连接DE,过点A作平行于BC的直 线,分别交CD、BE的延长线于点M、N.若 DE∥BC,DE=2,BC=6,求MN 的长. (第12题) (第13题) 13. ★如图,在△ABC 中,点F 在 AB上,且AF∶BF=1∶2,D 是BC的延长线上一点,BC∶ CD=2∶1,连接FD,与AC 交于点N,则 FN ∶DN = . 14. (2024·南通海门模拟)如图,C是线段AB 上一动点,分别以AC、BC为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD、等边三角形 BCE,连接AE、BD 分别交CD、CE 于M、 N 两点,连接MN. (1) 求证:AE=DB. (2) 判断MN 与AB的位置关系. (3) 若AB=10,当点C在AB上运动时,是 否存在一个位置使MN 的长最大? 若存 在,请求出此时AC的长以及MN 的长;若 不存在,请说明理由. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 40 第2课时 用两角的相等关系判定三角形相似 ▶ “答案与解析”见P25 1. 如图,在△ABC 中,CE⊥AB,垂足为E, BD⊥AC,垂足为D,CE与BD交于点F,则 图中与△BEF不一定相似的三角形是( ) A. △ABD B. △CDF C. △BCD D. △CEA (第1题) (第2题) 2. (易错题)如图,在Rt△ABC 中,∠ABC= 90°,E、F分别为AC、BC的中点,连接EF, H 为AE 的中点,过点H 作HD⊥AC,交 BC于点D,连接DE,则与△ABC相似的三 角形(不含△ABC)的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图,圆内接四边形ABCD 的边BA、CD 的 延长线交于点P,连接AC、BD 交于点E,则 图中的相似三角形有 对. (第3题) 4. (学科内综合)如图,AB、DE是☉O的直径, 点C在☉O上,∠ABC=20°,点D从点C出 发按顺时针方向绕圆心O 旋转α°(0<α< 180).当α= 时,直径DE 在 △ABC中截得的三角形与△ABC相似. (第4题) 5. 如图,在▱ABCD 中,E 为BC 上一点,连接 DE、AE,点 F 在 线 段 DE 上 且 满 足 ∠AFE=∠ADC.求证:△ADF∽△DEC. (第5题) 6. 如图,在▱ABCD中,E是AB的延长线上一 点,AB≠BE,连接DE,交AC于点G,交BC 于点F,则图中的相似三角形(不含全等三角 形)共有 ( ) A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 (第6题) (第7题) 7. (2024·扬州段考)如图,在△ABC 中,点D 在边AB上,点E在边AC上,连接DE、DC. 若∠1=∠2=∠3,则下列结论中,不正确 的是 ( ) A. △ADE∽△ABC B. △ADE∽△ACD C. △ADE∽△EDC D. △ABC∽△ACD 8. 如图,∠ABD=∠BDC=90°,∠A=∠CBD, AB=3,BD=2,则线段CD的长为 . (第8题) 9. 已知P 是Rt△ABC的斜边AB 上 异于点A、B的一点,过点P作直线 截 △ABC,使 截 得 的 三 角 形 与 △ABC相似,则满足上述条件的直线有 条. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 41 10. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥ AB,DE⊥BC,垂足分别为D、E,则图中与 △ABC 相似的三角形(不含△ABC)有 个. (第10题) 11. (2024· 无锡惠山期末)如图,AC 为 ▱ABCD的对角线,且CA 平分∠BCD,点 E 在AC 的延长线上,连接BE,∠E= ∠ABC.求证: (1) 四边形ABCD是菱形. (2) △ACD∽△BAE. (第11题) 12. 如图,▱ABCD 的对角线AC、BD 交于 点O,点E在边BC的延长线上,连接DE、 OE,且OE=OB. (1) 求证:△BDE是直角三角形. (2) 若OE⊥CD,试判断△BDE 与△DCE 是否相似,并说明理由. (第12题) 13. ★如图,点C 在△AOB 的内部,∠OCA= ∠BCO,∠OCA与∠AOB互补.若AC=1.5, BC=2,则OC的长为 . (第13题) 14. 如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC, AB=AD=CD,点E、F分别在边 AD、CD 上,且 DE=CF,连接 BE、AF交于点G.找出图中相似的三角形, 并证明你所得到的结论. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 42 第3课时 用两边及夹角的关系判定三角形相似 ▶ “答案与解析”见P25 1. 如 图,在 四 边 形 ABCD 中,∠ADC = ∠BAC,则补充下列条件后不能判定△ADC 和△BAC相似的是 ( ) A. CA平分∠BCD B. ∠DAC=∠ABC C. AC2=BC·CD D. AD AB= DC AC (第1题) (第2题) 2. 如图所示为由8个小正方形组成的网格,则 在△ABD、△ACD、△EBD、△EAF 中,与 △ABC相似的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图,在四边形ABCD 中,BD 平分∠ABC, AB=4,BC=9.当BD= 时, △ABD∽△DBC. (第3题) (第4题) 4. 如图,在钝角三角形ABC 中,AB=3cm, AC=6cm,动点D 从点A 出发到点B 停止 运动,动点E从点C出发到点A 停止运动. 点D 运动的速度为1cm/s,点E 运动的速 度为2cm/s.如果两点同时运动,那么当 △ADE 与△ABC 相似时,运动的时间是 . 5. 如图,点D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 上,连接DE、DC,∠ADE=∠B,点F 在 AD上,且AD2=AF·AB,连接EF.求证: (1) AD AB= AE AC. (2) △AEF∽△ACD. (第5题) 6. (2024·上海青浦期末)如图,将△ABC绕点 B按顺时针方向旋转,使得点A 落在边AC 上,点A、C的对应点分别为D、E,DE交BC 于点F,连接CE.下列两个三角形中,不一定 相似的是 ( ) A. △BAD与△BCE B. △BDF与△ECF C. △BAC与△BDE D. △DBF与△CEB (第6题) (第7题) 7. (易错题)如图,点A在线段BD上,在BD的 同侧分别作等腰直角三角形ABC和等腰直 角三角形ADE,其中∠ABC=∠AED=90°, 连接CD、BE 交于点P,CD 交AE 于点M, 连接AP.有下列结论:① △BAE∽△CAD; ② MP·MD=MA·ME;③ 2CB2=CP· CM.其中,正确的是 ( ) A. ①②③B. ① C. ①② D. ②③ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 43 8. (学科内综合)如图,将三角形纸片的一角折 叠,使点B落在AC上的点F处,折痕为DE, AB=AC=8,BC=10.当BE= 时, 以E、F、C为顶点的三角形与△ABC相似. (第8题) (第9题) 9. 如图,四边形ABCD、四边形CDEF 和四边 形EFGH 都是正方形,连接AC、AF、AG,则 ∠1+∠2= . 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,分别以AC、 BC为边向外作等边三角形ACE 和等边三角形BCF,连接DE、DF.求证: △ADE∽△CDF. (第10题) 11. 【问题呈现】 (1) 如图①,△ABC 和△ADE 是 两个有公共顶点A的等边三角形, 连接BD、CE.求BDCE 的值. 【类比探究】 (2) 如图②,△ABC和△ADE 是两个有公 共顶点A 的等腰直角三角形,∠ABC= ∠ADE=90°,连接BD、CE.求证:CE= 2BD. (3) 如图③,△ABC和△ADE 是两个有公 共顶 点 A 的 直 角 三 角 形,∠ABC = ∠ADE=90°,连接BD、CE.若ABBC= AD DE= 2 2 ,请直接写出此时BD与CE之间的数量 关系. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 44 第4课时 用三边关系判定三角形相似 ▶ “答案与解析”见P26 1. 下列条件中,不能判定△ABC 和△A'B'C'相 似的为 ( ) A. ∠A=∠A'=45°,∠B=26°,∠B'=109° B. AB=1,AC=1.5,BC=2,A'B'=4, A'C'=2,B'C'=3 C. ∠A=∠B',AB=2,AC=2.4,A'B'= 3.6,B'C'=3 D. AB=3,AC=5,BC=7,A'B'= 3, A'C'=5,B'C'=7 2. 已知△ABC 的三边长分别为6cm、8cm、 9cm,△DEF的两边长分别为12cm、18cm. 若这两个三角形相似,则△DEF的第三条边 长是 ( ) A. 14cm B. 16cm C. 21cm D. 27cm 3. 在△ABC中,AB=4,BC=5,CA=6. (1) 如果DE=10,那么当EF= , FD= 时,△DEF∽△ABC. (2) 如果DE=10,那么当EF= , FD= 时,△FDE∽△ABC. 4. 在△ABC中,AB=6,AC=8,在△DEF中, DE=4,DF=3,使△ABC 与△DEF 相似, 需添加的条件: (写出一种即可). 5. 如图,在四边形ABCE中,点D 在BE上,连 接AC、AD,且ABAD= BC DE= AC AE. (1) 若∠CAE=20°,求∠BAD的度数. (2) 判断△ABD 与△ACE 是否相似,并说 明理由. (第5题) 6. 如图,八个完全相同的小矩形拼成一个正方 形,甲、乙、丙、丁四名同学用无刻度的直尺在 正方形中各画了一个三角形,其中,相似的三 角形是 ( ) (第6题) A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ①和④ 7. (新情境)在如图所示的象棋盘(各个小正方 形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则, 要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三 角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的 三角形相似,则“马”应落在 ( ) (第7题) A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 8. (学科内综合)如图,在平面直角坐 标系中,我们把横、纵坐标都是整数 的点叫做整点.△OAB 三个顶点的 坐标分别为O(0,0)、A(4,4)、B(6,2),由 △OAB的三边(包括顶点)中的整点构成的 三角形与△OAB相似的共有 ( ) (第8题) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 45 9. 如图,由边长为1的小正方形组成 的正方形网格中有一个三角形 ABC,请在网格中画一个顶点在小 正方形的格点上,且与△ABC相似的面积最 大的三角形A'B'C',并求出它的面积. (第9题) 10. (2023·南京玄武期末)如图,点O、O'分别 是△ABC、△A'B'C'的外心,连接OC、 O'C',ABA'B'= OC O'C' ,∠A = ∠A',求证: △ABC∽△A'B'C'. (第10题) 11. ★一个铝制三角形框架的三条边长分别为 24cm、30cm、36cm,要做一个与它相似的 铝制三角形框架.现有长分别为27cm、 45cm的两根铝材,要求以其中一根为一 边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为 另外两边,则满足上述条件的截法有 ( ) A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 12. 如图①,在△ABC和△A'B'C'中,D、D'分 别是AB、A'B'上的点,且ADAB= A'D' A'B'. (1) 当 CD C'D' = AC A'C' = AB A'B' 时,求 证: △ABC∽△A'B'C'.证明的途径可以用如 图②所示的框图表示,请填写其中的空格. (2) 当 CD C'D'= AC A'C'= BC B'C' 时,试 判 断 △ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 46 第5课时 与判定相似三角形有关的应用和三角形的重心 ▶ “答案与解析”见P27 1. 如图,在Rt△BAC 中,∠BAC=90°,AD⊥ CB于点D.下列结论中,不成立的是 ( ) A. AD2=CD·DB B. AC2=BC·CD C. CD2=AC·BC D. AB2=BC·BD (第1题) (第2题) 2. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC,DE∥BC,连接CE,交BD 于 点O,则图中与△ABC(除它本身)相似的三 角形有 ( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 如图,在△ABC中,D是BC的中点,点G是 △ABC的重心.若AD=6,则AG 的长为 . (第3题) 4. 如图,在△ABC 中,边AB、AC 上的中线 CN、BM 相交于点O.已知四边形AMON 的 面积是20,则△ABC的面积是 . (第4题) 5. 如图,四边形ABCD 是正方形,△BEC是等 边三角形,连接DE并延长,交CB的延长线 于点F,连接BD. (1) 求∠BED的度数. (2) 求证:△BDE∽△FDB. (第5题) 6. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,点G 是 △ABC 的重心,GE⊥AC,垂足为E.若 BC=12,则线段EG的长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 6 D. 9 2 (第6题) (第7题) 7. 如图,点G 是△ABC 的重心,则S△BCG∶ S△ABC 等于 ( ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 2∶5 8. 如图,D、E两点分别在线段AB和AC上,有 下列条件:① ∠AED=∠B;② ∠ADE= ∠C;③ AD·AB=AE·AC;④ AD∶ AC=DE∶BC.其中,能使△ADE与△ACB 一定相似的是 (填序号). (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 47 9. 如图,在Rt△ABC 中(∠C=90°)放置边长 分别为1、2、x 的三个正方形,则x 的值为 . (第9题) 10. (新定义)定义:如果三角形的两个内角∠α 与∠β满足∠α=2∠β,那么我们将这样的 三角形称为“倍角三角形”.如果一个等腰三 角形是“倍角三角形”,那么这个等腰三角形 的腰长与底边长的比值为 . 11. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AD⊥BC于点D,O 是边AC 上一点,连接BO 交AD 于点F, OE⊥OB 交边BC于点E.求证:△ABF∽ △COE. (第11题) 12. (学科内综合)(2023·无锡)如图,AB 是 ☉O的直径,FD 为☉O的切线,CD 与AB 相交于点E,DF∥AB,连接CA 并延长,与 DF交于点F,CF=CD,连接DA. (第12题) (1) 求∠F 的度数. (2) 若 DE·DC=8,求☉O的半径. 13. 如图,正方形ABCD的边长为4,E 是边BC的中点,点P 在射线AD 上,过点P作PF⊥AE于点F. (1) 求证:△PFA∽△ABE. (2) 当点P在射线AD上运动时,连接PE, 设PA=x.是否存在实数x,使以P、F、E 为顶点的三角形与△ABE 相似? 若存在, 请求出x的值;若不存在,请说明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 由题图②,可知A5纸的较长边与A4纸 的较短边重合,较短边的长等于A4纸 的较长边的长的一半, ∴ A5纸的较长边的长为a,较短边 的长为 2 2a. ∴ A5纸的较长边的长与较短边的长 的比值为 a 2 2a =2. ∴ A4纸较长边的长与较短边的长的 比值=A5纸的较长边的长与较短边 的长的比值. 又∵ A4纸与 A5纸的四个角均为 直角, ∴ A4纸与A5纸是相似图形. (第5题) 6. D 7. D [解析] 由题图,易知△ABC∽ △EDF.∴ ∠BAC = ∠DEF = 180°-45°=135°.∴ ∠ABC + ∠ACB=180°-∠BAC=45°. 8. D [解析] ∵ △ABC∽△ACD, ∴ AC AD= AB AC.∴ AC2=AD·AB.故 ① 正 确.∵ △ABC ∽ △CBD, ∴ BC BD= AB CB.∴ BC2=BD·AB.故 ② 正 确.∵ △ACD ∽ △CBD, ∴ CD BD= AD CD.∴ CD2=AD·BD.故 ③正确.∵ 在△ABC 中,∠ACB= 90°,CD ⊥AB,∴ 1 2AC ·BC= 1 2AB ·CD,即AC·BC=AB· CD.故④正确.综上所述,正确的个数 为4. 9. 145° [解析] 如图,∵ ∠ABC= 70°,BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD= ∠DBC.又∵ 对角线BD 是它的“相 似对角线”,∴ △ABD ∽ △DBC. ∴ ∠A = ∠BDC,∠ADB = ∠C. ∴ ∠A+∠C=∠ADC.又∵ ∠A+ ∠C+∠ADC=360°-70°=290°, ∴ ∠ADC=145°. (第9题) 10. 13 11. 35° [解 析] ∵ △ABC ∽ △ADE,∴ ∠C = ∠E,∠BAC = ∠DAE.∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD,即 ∠BAD = ∠CAE.∵ ∠CAE+∠E=∠EBC+ ∠C,∴ ∠EBC=∠CAE=∠BAD. ∵ ∠BAD=35°,∴ ∠EBC=35°. 不能正确理解图形相似的概念 解决这类问题时,往往会出现 难以下手或不能正确解题的现象, 究其原因是未从多边形相似的概 念入手.解答本题时,应利用图形 中隐含的对应角相等的关系,找出 相等的角,使待求的问题逐步转 化,进而求得∠EBC=∠CAE= ∠BAD,从而解决问题. 12. (1) 不相似. 理由:∵ AB=20m,AD=30m,小路 的宽为2m, ∴ EF=24m,EH=34m. ∴ AB EF= 20 24= 5 6 ,AD EH= 30 34= 15 17. ∴ AB EF ≠AD EH. ∴ 矩形 ABCD 与矩形EFGH 不 相似. (2) ∵ 相对的两条小路的宽相等, ∴ EF=(20+2y)m,EH=(30+ 2x)m. ∵ 矩形EFGH∽矩形ABCD, ∴ EF AB= EH AD. ∴ 20+2y 20 = 30+2x 30 . ∴ x y =32. ∴ 小路的宽x与y的比值为 3 2. 13. (1) ∵ 菱形AEFG∽菱形ABCD, ∴ ∠EAG=∠BAD. ∴ ∠EAG + ∠GAB = ∠BAD + ∠GAB,即∠EAB=∠GAD. ∵ 四边形AEFG、四边形ABCD 均 为菱形, ∴ AE=AG,AB=AD. 在△AEB和△AGD中, AE=AG, ∠EAB=∠GAD, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB≌△AGD. ∴ EB=GD. (2) 连接BD,交AC于点P. ∵ 四边形ABCD为菱形, ∴ AB=AD,AC⊥BD,BP=12BD. ∵ ∠BAD=60°, ∴ △ABD是等边三角形. ∴ BD=AB=2. ∴ BP=12BD=1. ∴ 在Rt△PAB 中,由勾股定理,得 AP= AB2-BP2=3. 由(1),得EB=GD,AE=AG. ∵ AG=3, ∴ AE=3. ∴ EP=AE+AP=23. ∴ 在Rt△EPB 中,由勾股定理,得 EB= EP2+BP2= 13. ∴ GD= 13. 6.4　探索三角形相似的条件 第1课时 平行线分线段成比例 及平行线截三角形相似 1. C 2. B 3. 12 5 4. 10 5. ∵ DE∥BC,EF∥CD, ∴ AD AB= AE AC ,AF AD= AE AC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 ∴ AD AB= AF AD. ∴ AD2=AF·AB,即AD 是AF与 AB的比例中项. 6. C [解析] ∵ AC∥EF,EF∥DB, ∴ △BEF∽△BAC,△CEF∽△CDB. ∴ EF AC= BF BC ,EF DB= CF CB.∴ EF AC+ EF DB= BF BC+ CF CB= BF+CF BC = BC BC=1 , 即r p +r q =1.∴ 1 p +1 q =1r. 7. B [解析] 如图,标出各点.∵ 这 三个 正 方 形 的 边 都 互 相 平 行, ∴ △FGH∽△DEF.∴ GH EF= FG DE. ∴ x 6= 6-x 9-6 ,解得x=4. (第7题) 8. C [解析] 如图,过点D 作DF∥ CE,交 AE 于点F.∵ DF∥BE, ∴ DF BE= OD OB.∵ O 是BD 的中点, ∴ OB =OD.∴ DF =BE =1. ∵ DF∥CE,∴ DF CE= AD AC.∵ AD∶ DC=1∶2,∴ AD∶AC=1∶3. ∴ DF CE= 1 3.∴ CE=3DF=3. (第8题) 9. 6 10. 10 [解析] ∵ AE∶EC=2∶3, ∴ AE∶AC=2∶5.∵ EF∥CD, ∴ AE∶AC=EF∶CD.又∵ EF= 2,∴ CD=5.在Rt△ABC 中,∵ D 是AB的中点,∴ AB=2CD=10. 11. ∵ AD∥BC, ∴ △AOM∽△CON. ∴ AM CN= AO CO. ∵ AD∥BC, ∴ △AOD∽△COB. ∴ AO CO= AD CB. ∴ AM CN= AD BC. ∵ AD∥BC, ∴ △PMD∽△PNC. ∴ PD PC= MD NC. ∵ AD∥BC, ∴ △PAD∽△PBC. ∴ PD PC= AD BC. ∴ MD NC= AD BC. ∴ AM CN= MD NC. ∴ AM=MD. 12. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC. ∴ AD AB= AE AC= DE BC= 2 6= 1 3. ∴ BD BA= 2 3 ,CE CA= 2 3. ∵ MN∥BC,DE∥BC, ∴ DE∥MN. ∴ △CDE∽△CMA. ∴ DE MA= CE CA= 2 3. 又∵ DE=2, ∴ MA=3. 同理,可得AN=3. ∴ MN=MA+AN=6. 13. 2∶3 [解析] 如图,过点F 作 FE∥BD,交AC于点E.∴ △AFE∽ △ABC.∴ FE BC= AF AB.∵ AF∶BF= 1∶2,∴ AF AB= 1 3.∴ FE BC= 1 3 ,即 FE=13BC.∵ BC∶CD=2∶1, ∴ CD = 12 BC.∵ FE ∥BD, ∴ △EFN∽△CDN.∴ FN DN= FE DC= 1 3BC 1 2BC =23 ,即FN∶DN=2∶3. (第13题) 过分点作平行线将线段比 进行转化 探求图形中同一条直线上的 两条线段比的问题时,往往利用图 形中已有线段的分点,作出适当的 平行线构造相似三角形,从而将待 求的问题进行转化.这类问题的解 答方法往往是不唯一的. 14. (1) ∵ △ACD 和△BCE 均为等 边三角形, ∴ DC=AC,EC=BC,∠ACD= ∠BCE=60°. ∴ ∠DCB=∠ACE=120°. 在△ACE和△DCB中, AC=DC, ∠ACE=∠DCB, EC=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△DCB. ∴ AE=DB. (2) MN∥AB. 由(1),可知△ACE≌△DCB. ∴ ∠MEC=∠NBC. 又∵ ∠MCE=180°-60°-60°=60°, ∴ ∠MCE=∠NCB=60°. 在△MCE和△NCB中, ∠MEC=∠NBC, EC=BC, ∠MCE=∠NCB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MCE≌△NCB. ∴ CM=CN. 又∵ ∠MCE=60°, ∴ △CMN 是等边三角形. ∴ ∠NMC=∠ACD=60°. ∴ MN∥AB. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 (3) 存在. 设AC=x(0<x<10),MN=y. ∵ MN∥AB, ∴ MN AC= EN EC. ∵ △CMN 是等边三角形, ∴ CN=MN=y. 又∵ EC=CB=AB-AC=10-x, ∴ EN=EC-CN=10-x-y. ∴ y x= 10-x-y 10-x . 整理,得y=- 1 10x 2+x=-110 (x- 5)2+2.5. ∵ -110<0 ,0<x<10, ∴ 当x=5,即AC=5时,线段MN 的长取得最大值,最大值为2.5. ∴ 存在一个位置使MN 的长最大,此 时AC=5,MN=2.5. 第2课时 用两角的相等关系 判定三角形相似 1. C 2. B 3. 4 4. 50或70 或160 5. ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠ADC+∠C=180°,∠ADF= ∠DEC. ∵ ∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE= ∠ADC, ∴ ∠AFD=∠C. ∴ △ADF∽△DEC. 6. B 7. C 8. 4 3 [解析] ∵ ∠ABD=∠BDC= 90°,∠A = ∠CBD,∴ △ABD ∽ △BDC.∴ AB BD= DB CD.∵ AB=3, BD=2,∴ 3 2= 2 CD.∴ CD=43. 9. 3 10. 4 11. (1)∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ CD∥AB. ∴ ∠DCA=∠BAC. 又∵ CA平分∠BCD, ∴ ∠BCA=∠DCA=∠BAC. ∴ BC=AB. ∴ 四边形ABCD是菱形. (2) 由(1),知∠DCA=∠BAC. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ ∠ABC=∠D. 又∵ ∠E=∠ABC, ∴ ∠D=∠E. ∴ △ACD∽△BAE. 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ OB=OD. ∵ OE=OB, ∴ OB=OE=OD. ∴ ∠OBE=∠OEB,∠ODE=∠OED. ∵ 在△BDE 中,∠OBE+∠OEB+ ∠ODE + ∠OED =2(∠OEB + ∠OED)=180°, ∴ ∠BED=∠OEB+∠OED=90°. ∴ △BDE是直角三角形. (2) △BDE∽△DCE. 理由:∵ OE⊥CD, ∴ ∠EDC+∠OED=90°. 由(1),得∠OED+∠OEB=90°. ∴ ∠EDC=∠OEB. 又∵ ∠OBE=∠OEB, ∴ ∠OBE=∠EDC. 在△BDE和△DCE中, ∵ ∠EBD=∠EDC,∠BED=∠DEC, ∴ △BDE∽△DCE. 13. 3 [解析] ∵ ∠OCA与∠AOB 互补,∴ ∠OCA+∠AOB=180°,即 ∠OCA+∠COA+∠BOC=180°.又 ∵ ∠OCA+∠COA+∠OAC=180°, ∴ ∠OAC = ∠BOC.∵ ∠OCA= ∠BCO,∴ △ACO∽△OCB.∴ OC BC= AC OC.∴ OC2=BC·AC=2×1.5=3. ∴ OC=3(负值已舍去). 构造相似三角形求线段长 解决这类问题时,往往可以根 据图形的性质寻找隐藏在图形中 的相等的角,得到相似三角形,并 运用相似三角形的性质得到对应边 成比例,从而求得待求线段的长. 14. △ABE∽△DAF,△DAF∽△GAE, △ABE∽△GAE. ∵ 在梯形ABCD中,AD∥BC,AB= AD=CD, ∴ 易得∠BAD=∠ADC. ∵ DE=CF, ∴ AE=DF. ∴ △ABE≌△DAF,即△ABE∽ △DAF. ∴ ∠ABE=∠DAF. ∵ ∠AEB=∠GEA, ∴ △ABE∽△GAE. ∴ △DAF∽△GAE. 第3课时 用两边及夹角的 关系判定三角形相似 1. C 2. B 3. 6 4. 3 2s 或12 5s 5. (1) ∵ ∠ADE=∠B, ∴ DE∥BC. ∴ AD AB= AE AC. (2) ∵ AD2=AF·AB, ∴ AD AB= AF AD. 由(1),得ADAB= AE AC. ∴ AE AC= AF AD. ∵ ∠A=∠A, ∴ △AEF∽△ACD. 6. D [解析] 根据旋转的性质,得 △ABC ≌ △DBE.∴ AB =DB, ∠ABC=∠DBE,BC=BE,∠A= ∠BDE,∠ACB=∠DEB.∴ 易得 ∠ABD = ∠CBE,ABCB = DB EB. ∴ △BAD∽△BCE.故选项A不符 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 合题意.由旋转的性质,得∠BAD= ∠BDF.∵ △BAD ∽ △BCE, ∴ ∠BAD= ∠BCE.∴ ∠BDF= ∠BCE.又 ∵ ∠BFD = ∠EFC, ∴ △BDF∽△ECF.故选项B不符 合题意.由选项 A 的分析,可知 △BAC≌△BDE.故选项C不符合题 意.根据题意,无法判定△DBF 与 △CEB相似.故选项D符合题意. 7. A [解析] 由题意,易得AC= 2AB,AD=2AE.∴ AB AC= AE AD. 易 得 ∠BAC = ∠EAD = 45°, ∴ ∠BAC + ∠CAE = ∠EAD + ∠CAE, 即 ∠BAE = ∠CAD. ∴ △BAE ∽ △CAD.故 ① 正 确. ∵ △BAE∽△CAD,∴ ∠BEA= ∠CDA.又 ∵ ∠PME = ∠AMD, ∴ △MPE∽△MAD.∴ MP MA= ME MD. ∴ MP·MD=MA·ME. 故②正 确.∵ MP · MD = MA · ME, ∴ MP ME= MA MD. 又 ∵ ∠PMA = ∠EMD,∴ △PMA ∽ △EMD. ∴ ∠APM = ∠DEM = 90°. ∴ ∠CPA=90°.∵ ∠CAM=180°- ∠BAC-∠EAD=90°,∴ ∠CPA= ∠CAM.又 ∵ ∠ACP = ∠MCA, ∴ △CAP∽△CMA.∴ CA CM= CP CA. ∴ CA2=CP·CM.∵ CA= 2AB, AB=CB,∴ 2CB2=CP·CM.故③ 正确.综上所述,正确的是①②③. 8. 40 9 或5 [解析] 设BE=x,则 EC=10-x.由折叠的性质,知EF= BE=x.分两种情况讨论:① 当 △FEC ∽ △ABC 时,EFBA = EC BC , ∴ x 8= 10-x 10 ,解得x=409.② 当 △EFC ∽ △ABC 时,EFAB = EC AC , ∴ x 8= 10-x 8 ,解得x=5.综上所 述,当BE=409 或5时,以E、F、C为 顶点的三角形与△ABC相似. 9. 45° [解析] 易知点B、C、F、G在 同一条直线上.设正方形的边长为a, 则AC= a2+a2 = 2a,CF=a, CG=2a.∵ AC CF= 2a a = 2 ,CG AC= 2a 2a =2,∴ AC CF= CG AC ,即AC GC= CF CA. 又∵ ∠ACF=∠GCA,∴ △ACF∽ △GCA.∴ ∠CAF=∠1.∵ ∠CAF+ ∠2=∠ACB=45°,∴ ∠1+∠2=45°. 10. ∵ CD⊥AB, ∴ ∠ADC=∠CDB=90°. ∴ ∠CAD+∠ACD=90°. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠ACD+∠BCD=90°. ∴ ∠CAD=∠BCD. ∴ △ACD∽△CBD. ∴ AC CB= AD CD. ∵ △ACE和△BCF都是等边三角形, ∴ AE=AC,CF=CB,∠EAC=60°, ∠FCB=60°. ∴ AE CF= AC CB= AD CD. ∵ ∠EAD = ∠EAC + ∠CAD = 60°+ ∠CAD,∠FCD = ∠FCB + ∠BCD=60°+∠BCD, ∴ ∠EAD=∠FCD. 又∵ AE CF= AD CD , ∴ △ADE∽△CDF. 11. (1) ∵ △ABC和△ADE都是等 边三角形, ∴ AB=AC,AD=AE,∠DAE= ∠BAC=60°. ∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE,即∠BAD=∠CAE. ∴ △BAD≌△CAE. ∴ BD=CE. ∴ BD CE=1. (2) ∵ △ABC和△ADE都是等腰直 角三角形,∠ABC=∠ADE=90°, ∴ ∠BAC=∠DAE=45°. ∴ △ABC∽△ADE. ∴ AB AD= AC AE. ∴ AB AC= AD AE. ∵ ∠DAE=∠BAC, ∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE,即∠BAD=∠CAE. ∴ △ADB∽△AEC. ∴ BD CE= AB AC. 设AB=x,则BC=x. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC=2x. ∴ BD CE= AB AC= x 2x = 22. ∴ CE=2BD. (3) CE=3BD. [解析] ∵ AB BC= AD DE= 2 2 ,∴ AB AD= BC DE.∵ ∠ABC= ∠ADE=90°,∴ △ABC∽△ADE. ∴ ∠BAC=∠DAE,ADAB= AE AC ,即 AD AE = AB AC.∴ ∠DAE-∠BAE= ∠BAC - ∠BAE,即 ∠DAB = ∠EAC. ∴ △ADB ∽ △AEC. ∴ BD CE= AB AC. 设AB= 2x,则BC= 2x.在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC=6x.∴ BD CE= AB AC= 2x 6x = 33 , 即CE=3BD. 第4课时 用三边关系判定 三角形相似 1. D 2. B 3. (1) 25 2 15 (2) 12 8 4. 答案不唯一,如BC=10,EF=5 5. (1) ∵ AB AD= BC DE= AC AE , ∴ △ABC∽△ADE. ∴ ∠BAC=∠DAE. ∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 ∠DAC,即∠BAD=∠CAE=20°. (2) △ABD与△ACE相似. 理由:∵ AB AD= AC AE , ∴ AB AC= AD AE. 由(1),得∠BAD=∠CAE. ∴ △ABD∽△ACE. 6. D [解析] 根据题意,可知小矩形 的长是宽的2倍.设小矩形的宽为a, 则长为2a,正方形的边长为4a.∴ 题 图①中三角形的三条边的长分别为 2a、22a、25a;题图②中三角形的 三条边的长分别为2a、 13a、5a;题 图③中三角形的三条边的长分别为 2a、25a、42a;题图④中三角形的 三条边的长分别为 5a、 10a、5a. ∵ 2a 5a = 22a 10a =25a5a = 25 5 , ∴ 相似的是①和④. 7. B [解析] “帅”“相”“兵”所在位 置的格点构成的三角形的三边长分别 为2、25、42,“车”“炮”之间的距离 为1,“炮”和②之间的距离为5,“车” 和②之间的距离为22.∵ 5 25 = 22 42 =12 ,∴ “马”应落在②处. 8. C 9. 如图,△A'B'C'即为所求作. S△A'B'C'= 1 2×2×2+ 1 2×2×3=5. (第9题) 10. 如图,连接OA、OB、O'A'、O'B'. ∵ 点O、O'分别是△ABC、△A'B'C' 的外心, ∴ OA=OB=OC,O'A'=O'B'= O'C'. ∵ AB A'B'= OC O'C' , ∴ AB A'B'= OA O'A'= OB O'B'. ∴ △OAB∽△O'A'B'. ∴ ∠AOB=∠A'O'B'. ∵ 易 知 ∠ACB = 12 ∠AOB , ∠A'C'B'=12∠A'O'B' , ∴ ∠ACB=∠A'C'B'. ∵ ∠BAC=∠B'A'C', ∴ △ABC∽△A'B'C'. (第10题) 11. B [解析] ∵ 两根铝材的长分别 为27cm、45cm,若以45cm长的铝材 为一边时,另两边的和不大于27cm, 27<45,不能构成三角形,∴ 必须以 27cm长的铝材为一边,用45cm长 的铝材截出另外两边.设另外两边长 分别为xcm、ycm(x<y).分三种情 况讨论:① 当27cm与24cm相对应 时,27 24= x 30= y 36 ,解得x=33.75,y= 40.5.∵ 33.75+40.5=74.25(cm), 74.25>45,∴ 这种情况不成立.② 当 27cm与36cm相对应时,2736= x 24= y 30 ,解得x=18,y=22.5.∵ 22.5+ 18=40.5(cm),40.5<45,∴ 这种情 况成立.③ 当27cm与30cm相对应 时,27 30= x 24= y 36 ,解得x=21.6,y= 32.4.∵ 21.6+32.4=54(cm),54> 45,∴ 这种情况不成立.综上所述,满 足上述条件的截法有1种. 用分类讨论法确定对应边求值 解决这类问题时,常常需要从 问题条件中挖掘隐含的条件,确 定不同的对应边,建立不同的比 例关系,进而确定三角形的另 外两边的长. 12. (1) CD C'D'= AC A'C'= AD A'D' ;∠A= ∠A'. (2) △ABC∽△A'B'C'. 理由:如图,过点D 作DE∥BC,交 AC于点E,过点D'作D'E'∥B'C',交 A'C'于点E'. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC. ∴ AD AB= DE BC= AE AC. 同理,可得A'D' A'B'= D'E' B'C'= A'E' A'C'. 又∵ AD AB= A'D' A'B' , ∴ DE BC= D'E' B'C' ,AE AC= A'E' A'C'. ∴ DE D'E' = BC B'C' ,AC-AE AC = A'C'-A'E' A'C' ,即EC AC= E'C' A'C'. ∴ EC E'C'= AC A'C'. 又∵ CD C'D'= AC A'C'= BC B'C' , ∴ CD C'D'= EC E'C'= DE D'E'. ∴ △DCE∽△D'C'E'. ∴ ∠CED=∠C'E'D'. ∵ DE∥BC,D'E'∥B'C', ∴ ∠CED+∠ACB=180°,∠C'E'D'+ ∠A'C'B'=180°. ∴ ∠ACB=∠A'C'B'. 又∵ AC A'C'= BC B'C' , ∴ △ABC∽△A'B'C'. (第12题) 第5课时 与判定相似三角形 有关的应用和三角形的重心 1. C 2. A 3. 4 4. 60 5. (1) ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ ∠BCD=90°,BC=CD. ∵ △BCE是等边三角形, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 ∴ ∠BCE=∠BEC=60°,BC=CE. ∴ ∠DCE=90°-60°=30°,CD=CE. ∴ ∠CED=∠CDE=12× (180°- 30°)=75°. ∴ ∠BED=∠BEC+∠CED=60°+ 75°=135°. (2) ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ ∠ABC=90°,∠ABD=45°. ∴ ∠ABF=90°. ∴ ∠FBD=90°+45°=135°. ∵ ∠BED=135°, ∴ ∠BED=∠FBD. ∵ ∠BDE=∠FDB, ∴ △BDE∽△FDB. 6. A [解析] 如图,连接AG 并延 长,交BC于点D.∵ 点G是△ABC 的重心,∴ D 为BC的中点,AGGD=2. ∵ CB=12,∴ CD=BD=12BC=6. ∵ GE ⊥AC,∴ ∠AEG =90°. ∵ ∠C =90°,∴ ∠AEG = ∠C. ∴ EG∥CD.∴ △AEG∽ △ACD. ∴ EG CD= AG AD.∵ AG GD=2 ,∴ AG AD= 2 3.∴ EG 6= 2 3.∴ EG=4. (第6题) 7. B [解析] 如图,连接AG 并延 长,交BC于点D.∵ 点G是△ABC 的重心,∴ D 是BC 的中点,AG= 2GD.∴ S△ABD =S△ACD,S△BDG = S△CDG,2S△BDG=S△ABG.∴ S△ABC= 2S△ABD =6S△BDG,S△BCG =2S△BDG. ∴ S△ABC = 3S△BCG.∴ S△BCG ∶ S△ABC=1∶3. (第7题) 8. ①②③ [解析] ∵ ∠A=∠A, ∠AED=∠B,∴ △ADE∽△ACB. 故① 符 合 题 意.∵ ∠A = ∠A, ∠ADE=∠C,∴ △ADE∽△ACB. 故②符合题意.∵ AD·AB=AE· AC,∴ AD∶AC=AE∶AB.又 ∵ ∠A=∠A,∴ △ADE∽△ACB. 故③符合题意.AD∶AC=DE∶BC, 而∠ADE与∠C不一定相等.故④不 符合题意.综上所述,能使△ADE 与 △ACB一定相似的是①②③. 9. 3 [解析] 如图,标出各点.∵ 在 Rt△ABC中放置边长分别为1、2、x 的三个正方形,∴ ∠C=∠MOE= ∠FPN= ∠OEF= ∠EFP =90°. ∴ ∠OME + ∠OEM = 90°, ∠PFN+∠PNF=90°,∠CEF+ ∠CFE=90°,∠CEF + ∠OEM = 90°,∠CFE + ∠PFN = 90°. ∴ ∠CEF= ∠OME = ∠PFN, ∠CFE = ∠OEM = ∠PNF. ∴ △CEF ∽ △OME ∽ △PFN. ∴ OE PN= OM PF ,即OE·PF=OM· PN.∵ EF=x,OM=1,PN=2, ∴ OE=x-1,PF=x-2.∴ (x- 1)(x-2)=2.∴ x=3或x=0(不合 题意,舍去).∴ x的值为3. (第9题) 10. 2 2 或 5+1 2 [解析] 分两种情况 讨论:① 若等腰三角形的三个内角分 别为∠α、∠β、∠β,则∠α+2∠β= 180°.∵ ∠α=2∠β,∴ 4∠β=180°, 解得∠β=45°.∴ 易得此“倍角三角 形”为等腰直角三角形.∴ 易得腰长 与底边长的比值为 2 2.② 若等腰三角 形的三个内角分别为∠α、∠α、∠β, 则2∠α+∠β=180°.∵ ∠α=2∠β, ∴ 5∠β=180°,解得∠β=36°.如图, 在△ABC 中,∠ABC=∠C=72°, ∠A=36°.过点B 作∠ABC 的平分 线,交 AC 于 点 D,则 ∠ABD = ∠CBD =36°.∴ ∠ABD = ∠A. ∴ BD=AD.∵ ∠BDC=∠A+ ∠ABD =72°,∴ ∠BDC = ∠C. ∴ BD=BC.∴ AD=BD=BC.在 △BDC 和△ABC 中,∵ ∠CBD= ∠A,∠C=∠C,∴ △BDC∽△ABC. ∴ BC AC= DC BC ,即BC AC= AC-BC BC . 整 理,得AC2-AC·BC-BC2=0.等 式两边同时除以BC2,得 ACBC 2 - AC BC-1=0 ,解得AC BC= 5+1 2 (负值已 舍去).∴ 腰长与底边长的比值为 5+1 2 . 综上所述,这个等腰三角形的 腰长与底边长的比值为 2 2 或 5+1 2 . (第10题) 11. ∵ OE⊥OB, ∴ ∠BOE=90°. ∴ ∠BOA+∠COE=90°. ∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠BOA+∠ABF=90°. ∴ ∠ABF=∠COE. ∵ AD⊥BC, ∴ ∠ADC=90°. ∴ ∠DAC+∠C=90°. ∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠BAF+∠DAC=90°. ∴ ∠BAF=∠C. ∴ △ABF∽△COE. 12. (1) 连接OD. ∵ FD为☉O的切线, ∴ ∠ODF=90°. ∵ DF∥AB, ∴ ∠AOD=180°-∠ODF=90°. ∴ ∠ACD=12∠AOD=45°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 ∵ CF=CD, ∴ ∠F=∠CDF=180°-45°2 =67.5°. (2) ∵ OA=OD,∠AOD=90°, ∴ ∠EAD=45°. ∵ ∠ACD=45°, ∴ ∠EAD=∠ACD. ∵ ∠ADE=∠CDA, ∴ △DAE∽△DCA. ∴ DE DA= DA DC. ∴ DA2=DE·DC=8. ∵ OA2+OD2=2OA2=DA2=8, OA>0, ∴ OA=2,即☉O的半径为2. 13. (1) ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AD∥BC,∠B=90°. ∴ ∠PAF=∠AEB. ∵ PF⊥AE, ∴ ∠PFA=90°=∠ABE. ∴ △PFA∽△ABE. (2) 存在. 分两种情况讨论: ① 如图①,若△EFP∽△ABE,则 ∠PEF=∠EAB. ∴ PE∥AB. ∴ 易得四边形ABEP是矩形. ∴ PA=EB. ∵ E是边BC的中点, ∴ EB=12BC=2. ∴ PA=2,即x=2. ② 如图②,若△PFE∽△ABE,则 ∠PEF=∠AEB,PEAE= EF EB. ∵ ∠PAF=∠AEB, ∴ ∠PEF=∠PAF. ∴ PE=PA. ∵ PF⊥AE, ∴ F为AE的中点. ∵ AE= AB2+BE2=25, ∴ EF=12AE=5. ∵ PE AE= EF EB , ∴ PE 25 = 52. ∴ PE=5,即x=5. 综上所述,满足条件的x的值为2或5. (第13题) 专题特训（四）　相似 三角形的基本模型 1. C 2. D [解 析] ∵ AB ∥CD, ∴ △ABE∽△DCE,△ABF∽△GCF, ∠BAE = ∠D.∵ ∠FAE = ∠B, ∴ △ABE∽△DAG.∴ △DAG∽ △DCE.∴ ∠DAG=∠C.∵ ∠AFE= ∠CFG, ∴ △EAF ∽ △GCF. ∴ △EAF∽△ABF.∴ 题图中相似 三角形的对数是6. 3. 1 3 [解析] ∵ 四边形ABCD 是 矩形,∴ AD=BC,AB=CD,AB∥ CD,∠BAD=90°.又∵ AB= 3, BC=6,∴ BD= AB2+AD2=3. ∵ BE=1.8,∴ DE=3-1.8=1.2. ∵ AB∥CD,∴ △DEF∽△BEA. ∴ DF BA = DE BE ,即DF 3 =1.21.8 ,解得 DF=233 .∴ CF=CD-DF= 33. ∴ CF CD= 3 3 3 =13. 4. (1) ∵ AF⊥BC,CE⊥AB, ∴ ∠AFB=∠CEB=90°. 又∵ ∠B=∠B, ∴ △BAF∽△BCE. (2) ∵ △BAF∽△BCE, ∴ BF BE= BA BC. ∴ BF BA= BE BC. 又∵ ∠B=∠B, ∴ △BEF∽△BCA. 5. A [解析] ∵ ∠C=∠BAD, ∠ABC = ∠DBA,∴ △BAC ∽ △BDA.故选项C正确,不符合题意. ∵ BE 平分 ∠ABC,∴ ∠ABE = ∠CBE.又 ∵ ∠BAF = ∠C, ∴ △BFA∽△BEC.故选项B正确, 不符合题意.∵ △BFA∽△BEC, ∴ ∠BFA=∠BEC.∴ ∠BFD= ∠BEA.∴ △BDF∽△BAE.故选项 D正确,不符合题意.根据题意,无法 判定△BDF∽△BEC.故选项 A错 误,符合题意. 6. 24 5 [解析] ∵ ∠BAC=90°, AD⊥BC,∴ ∠ADC=∠BAC=90°. 又∵ ∠C=∠C,∴ △DAC∽△ABC. ∴ AD BA = AC BC = 6 10= 3 5. 又∵ 在 Rt△ABC 中,AB= BC2-AC2 = 8,∴ AD=35×8= 24 5. 7. (1) ∵ 在△CBD 和△CAB 中, ∠CBD=∠A,∠BCD=∠ACB, ∴ △CBD∽△CAB. ∴ CD CB= CB CA ,即CD 2 = 2 4. ∴ CD=1. ∴ 在Rt△BCD 中,由勾股定理,得 BD= CD2+BC2=5. (2) ∵ E、F 分别是 Rt△CAB、 Rt△CBD斜边的中点, ∴ CE=12AB ,CF=12BD. 又∵ 在△ABD 中,E、F 分别为边 AB、BD的中点, ∴ EF为△BAD的中位线. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92