6.3 相似图形-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

36 6.3　相似图形 ▶ “答案与解析”见P22 1. 在如图所示的三个矩形中,是相似图形的一 组为 ( ) (第1题) A. 甲与乙 B. 乙与丙 C. 甲与丙 D. 以上都不对 2. (易错题)将边长为4、6、6的等腰三角形、边 长为4的正方形和长、宽分别为6、4的矩形 按如图所示的方式向外扩大,各得到一个新 图形,它们的对应边间距均为1,则新图形与 原图形相似的有 ( ) (第2题) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 如图所示为两个形状相同的枫叶图案,则x 的值为 . (第3题) 4. 如图,四边形ABCD∽四边形EFGH,∠A= 80°,∠F=70°,∠G=90°,则∠D 的度数为 . (第4题) 5. 如图①,将A4纸折叠两次,发现第一次的折 痕与A4纸较长的边重合,如图②,将1张 A4纸对折,使其较长的边一分为二,沿折痕 剪开,可得2张A5纸. (1) A4纸较长边的长与较短边的长的比值 为 . (2) A4纸与A5纸是否为相似图形? 请说明 理由. (第5题) 6. 有下列说法:① 在两个边数相同的多边形 中,如果各对应边成比例,那么这两个多边形 相似;② 两个矩形有一组邻边对应成比例, 这两个矩形相似;③ 有一个角对应相等的平 行四边形都相似;④ 有一个角对应相等的菱 形都相似.其中,正确的是 ( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 7. 如图,在由小正方形组成的网格中有两个相 似三角形,分别是 △ABC 和 △EDF,则 ∠ABC+∠ACB的度数为 ( ) A. 135° B. 90° C. 60° D. 45° (第7题) (第8题) 8. 如图,△ABC 为直角三角形,∠ACB=90°, CD 为斜边 AB 上的高,垂足为 D,则 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 37 △ABC∽△ACD∽△CBD.有下列等式: ① AC2=AD·AB;② BC2=BD·AB; ③ CD2=AD·BD;④ AC·BC=AB· CD.其中,正确的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. (新定义)定义:四边形的一条对角 线把这个四边形分成两个三角形, 如果这两个三角形相似但不全等, 那么我们把这条对角线叫做这个四边形的 “相似对角线”.在四边形ABCD 中,对角线 BD 是它的“相似对角线”.如果∠ABC= 70°,BD 平分∠ABC,那么∠ADC的度数为 . 10. 如图,在矩形ABCD 中,点E、F 分别在边 AD、DC 上,△ABE∽△DEF,AB=6, AE=9,DE=2,则EF的长为 . (第10题) (第11题) 11. ★如图,△ABC∽△ADE,B、D、E 三点在 同一条直线上.若∠BAD=35°,则∠EBC 的度数为 . 12. 已知矩形花坛ABCD 的宽AB=20m,长 AD=30m.现计划在该花坛的四周修建小 路,小路的外沿围成矩形EFGH. (第12题) (1) 如图①,当小路的宽为2m 时,矩形 ABCD 与矩形EFGH 是否相似? 请说明 理由. (2) 如图②,若小路的外沿围成的矩形 EFGH∽矩形ABCD,且相对的两条小路 的宽相等,求小路的宽x与y的比值. 13. 如图,E 是菱形ABCD 的对角线 CA的延长线上任意一点,以线段 AE 为边作菱形AEFG,且菱形 AEFG∽菱形ABCD,连接EB、GD. (1) 求证:EB=GD. (2) 若∠BAD=60°,AB=2,AG= 3,求 GD的长. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 ∵ E 是 边 AB 的 黄 金 分 割 点, AE >EB,∴ AE= 5-12 AB = 5-1 2 a.∴ EB=AB-AE=a- 5-1 2 a= 3- 5 2 a.∴ S3∶S2= 5-1 2 a ·3-5 2 a a·3-52 a = 5-12 . 8. 3-5或2 [解析] 分两种情况讨 论:① 若边AB为矩形的长,则边AD 的长为 5-1 2 × (5-1)=3- 5. ② 若边AB为矩形的宽,则边AD 的 长为(5-1)÷ 5-12 =2. 综上所述, 该矩形的边AD的长为3-5或2. 9. 2 [解析] ∵ AP2=BP·AB, ∴ P 是AB 的黄金分割点(靠近点 B).∴ 易 得 AP = 5-12 AB. ∵ AB=AP+BP,BP= 5-1, ∴ AP = 5-12 (AP + 5-1). ∴ AP=2. 10. 1 3 [解析] ∵ E 是AF 的黄金 分割点,且AE<EF,∴ 设AF=2m, 则EF=(5-1)m,AE=2m- (5 - 1)m = (3 - 5)m. ∴ S正方形EFGH=EF2=(6-25)m2, S正方形ABCD=AB2=(3- 5)2m2+ 22m2 = (18 - 65 ) m2. ∴ S正方形EFGH S正方形ABCD = (6-25)m2 (18-65)m2 =13. 11. 5+1 2 [解析] 根据折叠的性 质,可 知 AB =AF,BE =EF, ∠BAE=∠FAE.在矩形ABCD 中, ∠BAF=∠B=90°,∴ ∠BAE= ∠FAE =45°.∴ ∠AEB =45°. ∴ AB=BE.∴ AB=BE=EF= AF.又 ∵ ∠B =90°,∴ 四 边 形 ABEF是正方形.∵ 矩形ABCD 是 “黄 金 矩 形”,∴ AB BC= 5-1 2 . 设 AB=(5-1)a(a>0),则BC=2a. ∴ EF CE= (5-1)a 2a-(5-1)a = 5+12 . 12. (1) 设AB=x(0<x<2),则 BC=2-x. ∵ B 是线段AC 的黄金分割点,且 AB>BC, ∴ 1<x<2,ABAC= BC AB ,即x 2= 2-x x , 解得x1=-1+5,x2=-1-5. 经检验,x1=-1+ 5,x2=-1- 5 是原分式方程的解,但x2=-1- 5 不符合题意,舍去. ∴ AB的长为-1+5. (2) 如图,点B即为所求作. (第12题) 13. (1) 对. 理由:设△ABC的边AB上的高为h. ∴ S△ADC = 1 2AD ·h,S△BDC = 1 2BD ·h,S△ABC= 1 2AB ·h. ∴ S△ADC S△ABC =ADAB ,S△BDC S△ADC =BDAD. 又∵ D 为边AB 的黄金分割点, AD>DB, ∴ AD AB= BD AD. ∴ S△ADC S△ABC = S△BDC S△ADC . ∴ 直线CD是△ABC的“黄金分割线”. (2) 不是. ∵ 三角形的中线将三角形分成面积 相等的两部分, ∴ S1=S2= 1 2S. ∵ 易知 S1 S ≠ S2 S1 , ∴ 三角形的中线所在的直线不是该 三角形的“黄金分割线”. (3) ∵ DF∥CE, ∴ △DFC和△DFE的公共边DF上 的高相等. ∴ S△DFC=S△DFE. ∴ S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+ S△DFE=S△AEF. 同理,可得S△BDC=S四边形BEFC. 由(1),得 S△ADC S△ABC = S△BDC S△ADC . ∴ S△AEF S△ABC = S四边形BEFC S△AEF . ∴ 直线EF 也是△ABC 的“黄金分 割线”. 解答阅读理解题的一般方法 解答这类阅读理解题时,一般 先阅读问题背景中的新概念、新定 义、新方法,再将所得的这类新知 识运用到所要解决的问题中,将复 杂的问题转化为简单的问题,逐步 运用新概念、新定义、新方法的基 本模型加以解答.这类问题的设计 往往呈现出由特殊到一般、由简单 到复杂的思维过程. 6.3　相似图形 1. B 2. C 3. 11 4.120° 5. (1) 2. [解析] 如图,由折叠,可 知第一次折叠,点A 与点D 重合,四 边形ABDC为正方形,折痕BC为对 角线,由勾股定理,可得BC= 2AB; 第二次折叠,第一次的折痕与A4纸 较长的边重合,即BC 与BE 重合. ∴ BE=BC=2AB.∴ A4纸较长边 的长与较短边的长的比值为2. (2) A4纸与A5纸是相似图形. 理由:∵ A4纸较长边的长与较短边 的长的比值为2, ∴ 设A4纸较短边的长为a,则较长 边的长为2a. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 由题图②,可知A5纸的较长边与A4纸 的较短边重合,较短边的长等于A4纸 的较长边的长的一半, ∴ A5纸的较长边的长为a,较短边 的长为 2 2a. ∴ A5纸的较长边的长与较短边的长 的比值为 a 2 2a =2. ∴ A4纸较长边的长与较短边的长的 比值=A5纸的较长边的长与较短边 的长的比值. 又∵ A4纸与 A5纸的四个角均为 直角, ∴ A4纸与A5纸是相似图形. (第5题) 6. D 7. D [解析] 由题图,易知△ABC∽ △EDF.∴ ∠BAC = ∠DEF = 180°-45°=135°.∴ ∠ABC + ∠ACB=180°-∠BAC=45°. 8. D [解析] ∵ △ABC∽△ACD, ∴ AC AD= AB AC.∴ AC2=AD·AB.故 ① 正 确.∵ △ABC ∽ △CBD, ∴ BC BD= AB CB.∴ BC2=BD·AB.故 ② 正 确.∵ △ACD ∽ △CBD, ∴ CD BD= AD CD.∴ CD2=AD·BD.故 ③正确.∵ 在△ABC 中,∠ACB= 90°,CD ⊥AB,∴ 1 2AC ·BC= 1 2AB ·CD,即AC·BC=AB· CD.故④正确.综上所述,正确的个数 为4. 9. 145° [解析] 如图,∵ ∠ABC= 70°,BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD= ∠DBC.又∵ 对角线BD 是它的“相 似对角线”,∴ △ABD ∽ △DBC. ∴ ∠A = ∠BDC,∠ADB = ∠C. ∴ ∠A+∠C=∠ADC.又∵ ∠A+ ∠C+∠ADC=360°-70°=290°, ∴ ∠ADC=145°. (第9题) 10. 13 11. 35° [解 析] ∵ △ABC ∽ △ADE,∴ ∠C = ∠E,∠BAC = ∠DAE.∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD,即 ∠BAD = ∠CAE.∵ ∠CAE+∠E=∠EBC+ ∠C,∴ ∠EBC=∠CAE=∠BAD. ∵ ∠BAD=35°,∴ ∠EBC=35°. 不能正确理解图形相似的概念 解决这类问题时,往往会出现 难以下手或不能正确解题的现象, 究其原因是未从多边形相似的概 念入手.解答本题时,应利用图形 中隐含的对应角相等的关系,找出 相等的角,使待求的问题逐步转 化,进而求得∠EBC=∠CAE= ∠BAD,从而解决问题. 12. (1) 不相似. 理由:∵ AB=20m,AD=30m,小路 的宽为2m, ∴ EF=24m,EH=34m. ∴ AB EF= 20 24= 5 6 ,AD EH= 30 34= 15 17. ∴ AB EF ≠AD EH. ∴ 矩形 ABCD 与矩形EFGH 不 相似. (2) ∵ 相对的两条小路的宽相等, ∴ EF=(20+2y)m,EH=(30+ 2x)m. ∵ 矩形EFGH∽矩形ABCD, ∴ EF AB= EH AD. ∴ 20+2y 20 = 30+2x 30 . ∴ x y =32. ∴ 小路的宽x与y的比值为 3 2. 13. (1) ∵ 菱形AEFG∽菱形ABCD, ∴ ∠EAG=∠BAD. ∴ ∠EAG + ∠GAB = ∠BAD + ∠GAB,即∠EAB=∠GAD. ∵ 四边形AEFG、四边形ABCD 均 为菱形, ∴ AE=AG,AB=AD. 在△AEB和△AGD中, AE=AG, ∠EAB=∠GAD, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB≌△AGD. ∴ EB=GD. (2) 连接BD,交AC于点P. ∵ 四边形ABCD为菱形, ∴ AB=AD,AC⊥BD,BP=12BD. ∵ ∠BAD=60°, ∴ △ABD是等边三角形. ∴ BD=AB=2. ∴ BP=12BD=1. ∴ 在Rt△PAB 中,由勾股定理,得 AP= AB2-BP2=3. 由(1),得EB=GD,AE=AG. ∵ AG=3, ∴ AE=3. ∴ EP=AE+AP=23. ∴ 在Rt△EPB 中,由勾股定理,得 EB= EP2+BP2= 13. ∴ GD= 13. 6.4　探索三角形相似的条件 第1课时 平行线分线段成比例 及平行线截三角形相似 1. C 2. B 3. 12 5 4. 10 5. ∵ DE∥BC,EF∥CD, ∴ AD AB= AE AC ,AF AD= AE AC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32