5.5 用二次函数解决问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

20 5.5　用二次函数解决问题 第1课时 用二次函数解生活中的利润、面积问题 ▶ “答案与解析”见P11 1. 用一段长为24m的篱笆围成一个矩形菜地, 能围成菜地的面积不可能是 ( ) A. 25m2 B. 31m2 C. 36m2 D. 38m2 2. 某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每 月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,该 商店计划将头盔降价销售,经调查发现,每降 价1元,每月可多售出20顶.已知每顶头盔 的进价为50元,则当该商店每月获得最大利 润时,每顶头盔的售价为 ( ) A. 50元 B. 90元 C. 80元 D. 70元 (第3题) 3. 如图,用长为32m的篱 笆和一面墙(墙足够长) 围成矩形花圃ABCD, 则矩形花圃的最大面积为 m2. 4. 某花店采购了一批康乃馨,每枝的进价为 8元.当每枝的售价为12元时,可销售 30枝;当每枝的售价为10元时,可销售 40枝.在销售过程中,发现这批康乃馨的销 售量y(枝)与每枝的售价x(元)(8<x<18) 之间满足一次函数关系. (1) 求y与x之间的函数表达式. (2) 设该花店销售这批康乃馨获得的利润是 w元,当每枝的售价为多少元时,该花店获 得的利润最大? 5. (易错题)某商品现在的售价为每件60元,每 星期可卖出300件.经调查发现,每件每涨价 1元,每星期要少卖出10件;每件每降价1元, 每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每 件40元,有下列结论:① 设每件涨价x元 (x>0),则每星期实际卖出(300-10x)件; ② 在降价的情况下,当每件降价5元,即售价 为每件55元时,利润最大,最大利润是6250元; ③ 综合涨价与降价两种情况及现在的销售 状况,可知当售价为每件57.5元时,利润最 大.其中,正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 某中学在科技试验活动中,设计完成了“水火 箭”升空试验,已知“水火箭”的升空高度 h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h= at2+bt+1.若“水火箭”飞行3s和飞行9s 时的升空高度相同,飞行8s时的升空高度为 33m,则“水火箭”升空的最大高度为 ( ) A. 33m B. 36m C. 37m D. 40m 7. 一电商平台销售某款儿童组装玩具,进价为 每件100元,在销售过程中发现,每周的销售 量y(件)与每件玩具的售价x(元)之间满足 一次函数关系y=-2x+320(其中100≤ x≤120,且x为整数),则该电商平台每周销 售这款玩具获得的最大利润是 元. (第8题) 8. 如图,OP、OQ 为两条定长 的线段,OP=32,OQ= 10,∠O=45°,A、C分别为 线段OQ、OP 上的点(点C 可与点P 重合),AB⊥OQ,BC∥OQ.若 AB+BC=8,则四边形OABC 的最大面积 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 21 9. 某种蔬菜3~6月每千克的售价 y1(元)与销售月份x(月)之间的关 系如图 ① 所示,每千克的成本 y2(元)与销售月份x(月)之间的关系如图② 所示.已知图①中的图像是线段,图②中的图 像是抛物线的一部分,顶点坐标为(6,1). (1) 分别求出y1、y2的函数表达式(不用写 自变量的取值范围). (2) 请通过计算说明哪个月销售这种蔬菜, 每千克的收益最大. (第9题) 10. 如图,P是线段AB上一动点(点P 不与点A、B 重合),分别以PA、 PB为边长在AB 的同侧作等边三 角形PAD和等边三角形PBC,连接CD.若 AB=6,则四边形ABCD 面积的最小值是 . (第10题) 11. 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如 图所示的直角墙(墙足够长),用30米长的 篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围 AB、BC两边),设AB=x米,矩形花园的 面积为S平方米. (1) 求S与x之间的函数表达式. (2) 在点P处有一棵树,到墙CD、AD的距 离分别是16米和6米,要将这棵树围在花 园内(含边界,不考虑树的粗细). ① 若矩形花园的面积为216平方米,求x 的值. ② 求矩形花园的最大面积. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 22 第2课时 用二次函数解生活中的抛物线形问题 ▶ “答案与解析”见P13 1. 运动员某次训练时,推出铅球后,铅球在空中 的飞行路线如图所示.铅球在空中飞行的竖 直高度y(m)与水平距离x(m)近似地满足 函数关系y=ax2+bx+c(a、b、c为常数, a≠0),该函数图像与y轴交于点A(0,1.8), 顶点为B(4,3.4),则下列说法中,错误的是 ( ) (第1题) A. a=-0.1 B. 当该铅球飞行到最高点时,铅球离y轴的 水平距离是4m C. 铅球在运动过程中距离地面的最大高度 是3.4m D. 在此次训练中,该铅球落地点到y轴的距 离小于9m 2. 如图所示为一款抛物线形落地灯的示意图, 防滑螺母C为抛物线形支架的最高点,灯罩 D距离地面1.5m,最高点C到灯柱的水平 距离为1.6m,灯柱AB=1.5m.若茶几摆放 在灯罩D的正下方,则茶几到灯柱AB的距 离AE为 ( ) (第2题) A. 3.2m B. 0.32mC. 2.5m D. 1.6m 3. (2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出 手(点P 处)的高度OP 是74m ,出手后实心 球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距 离是5m,高度是4m.若实心球的落地点为 M,则OM= m. (第3题) 4. 对于向上抛的物体,如果空气阻力忽略不计, 物体离起点的高度h(m)与抛出后经过的时 间t(s)之间满足h=v0t- 1 2gt 2,其中v0(m/s) 是初速度,g(m/s2)是重力加速度.杂技演员 表演抛球时,以10m/s的初速度把球向上抛 出(重力加速度取10m/s2). (1) 球被抛出后经过几秒回到起点? (2) 几秒后球离起点的高度为1.8m? (3) 球离起点的高度能达到6m吗? 请说明 理由. 5. 如图,在平面直角坐标系中,小明站 在原点处,从离地面高度为1m的 点A 处抛出弹力球,弹力球在点B 处着地后弹起,落至点C 处,弹力球着地前 后的运动轨迹可近似地看成形状相同的两条 抛物线,弹力球第一次着地前的抛物线的对 应的函数表达式为y=a(x-2)2+2,弹力球 在点B处着地后弹起的最大高度为着地前 手抛出的最大高度的一半.已知地上摆放了 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 23 一个底面半径为0.5m、高为0.5m的圆柱 形筐,筐的最左端距离原点nm.若要弹力球 从点B处弹起后落入筐内,则n的值可以是 ( ) (第5题) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图,一座高为10m的拱桥的轮廓是抛物线 形.拱高为6m,跨度为20m,相邻两支柱间的 距离均为5m,则支柱MN的长为 m. (第6题) 7. 一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形 喷水装置OA,点A处的喷头向外喷水,水柱 在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落 下,建立平面直角坐标系如图所示,OA 的高 度为1.75m,水柱在距喷头A的水平距离为 1m处达到最高点,最高点距地面2.75m. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 身高为1.94m的小明在水柱下方运动, 当他的头顶恰好接触到水柱时,求他到喷头 A的水平距离. (第7题) 8. 把一个足球垂直于水平地面向上 踢,该足球距离地面的高度h(米) 与所经过的时间t(秒)之间的函数 表达式为h=10t-t2(0≤t≤8).若存在两个 不同的t的值,使足球距离地面的高度均为 a米,则a的值可能是 ( ) A. 30 B. 21 C. 15 D. 12 9. ★(新情境)一种手持烟花每隔2s发射一枚 花弹,每枚花弹的运动路径、爆炸时的高度均 相同.第一枚花弹的飞行高度h(m)与飞行时 间t(s)之间的函数图像如图所示. (1) 求第一枚花弹的飞行高度h(m)与飞行 时间t(s)之间的函数表达式. (2) 当第一枚花弹发射3s时,第二枚花弹达 到的高度为多少米? (3) 为了安全起见,要求花弹爆炸时的高度 不低于16m.当第一枚花弹爆炸的同时,第 二枚花弹与它处于同一高度,请通过计算说 明花弹爆炸的高度是否符合安全要求. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 ∴ -12b-b+c<0. ∴ 3b-2c>0. ∵ 抛物线与y轴的正半轴相交, ∴ c>0. ∴ 3b+2c>0. ∴ P=3b-2c,Q=b-2a-3b- 2c=-2a-2b-2c. ∴ P-Q=3b-2c-(-2a-2b- 2c)=3b-2c+2a+2b+2c=5b+ 2a=4b>0. ∴ P>Q. 5. D 6. (1) 由题意,设该二次函数的表达 式为y=a(x+1)2+4. 把C(0,3)代入,得a+4=3,解得 a=-1. ∴ 该二次函数的表达式为y= -(x+1)2+4=-x2-2x+3. (2) ∵ 点M(m,n1)、N(m+2,n2)都 在该二次函数图像上, ∴ n1-n2=(-m2-2m+3)- [-(m+2)2-2(m +2)+3]= 4m+8. 当4m+8>0,即m>-2时,n1>n2; 当4m+8=0,即m=-2时,n1=n2; 当4m+8<0,即m<-2时,n1<n2. (3) -3≤t≤0. 7. 由题意,得抛物线y=ax2-2ax+ 8(a<0)的对称轴为直线 x= --2a2a =1 ,开口向下. (1) ∵ -1<x1<2, ∴ y1>a×(-1)2-2a×(-1)+8, 即y1>3a+8. 当m=-2时,3<x2<5. ∴ y2<a×32-2a×3+8,即y2< 3a+8. ∴ y1>y2. (2) ∵ 1-m<x2<m+7, ∴ 1-m<m+7. ∴ m>-3. ∴ m+7>4. ∵ 存在x1、x2,使得y1=y2,-1< x1<2, ∴ 1-m<3. ∴ m>-2. 综上所述,m的取值范围是m>-2. 8. D 9. x<1或x>3 [解析] ∵ ax2+ (b-2)x+c>0,∴ ax2+bx+c> 2x,即求二次函数值大于一次函数值 时的x的取值范围.如图,作直线y= 2x.由图,可知所求解集为x<1或 x>3. (第9题) 10. (1) y=|x2-4x|-3. (2) 如图所示. 答案不唯一,如函数图像关于直线 x=2对称. (3) ① 1. ② 令x-3=|x2-4x|-3,解得 x1=0,x2=3,x3=5. ∴ 函数y=x-3与y=|x2-4x|- 3的图像的交点的横坐标分别为0、 3、5. 结合图像,可知当3<x<5时,函数 y=x-3的图像在函数y=|x2- 4x|-3的图像的上方. ∴ 不等式|x2-4x|-3<x-3的解 集为3<x<5. (第10题) 不能将“数”与“形”灵活地 结合起来 解答这类问题时,往往未综合 运用条件而导致解题错误,其主要 原因是不能挖掘隐含在“形”背后 的与“数”有关的信息问题,从而误 认为需要根据不等式的性质探求该 不等式的解集,导致“事倍功半”. 11. C [解析] 由题图,可知二次函 数的图像开口向下,∴ a<0.∵ 该二 次函数的图像的对称轴在y轴的右 侧,∴ -b2a>0.∵ a<0,∴ b>0. ∵ 该二次函数的图像与y轴的正半 轴相交,∴ c>0.∴ bc>0.∴ 一次函 数y=ax+bc的图像经过第一、二、 四象限,不经过第三象限. 12. 第二象限 [解析] ∵ 抛物线 y=ax2+bx 开口向上,对称轴在 y轴的右侧,∴ a>0,-b2a>0. ∴ b<0.∴ 直线y=ax+b经过第 一、三、四象限,即不经过第二象限. 5.5　用二次函数解决问题 第1课时 用二次函数解 生活中的利润、面积问题 1. D 2. D 3. 64 4. (1) 设y=kx+b(k≠0). 由题意,得 12k+b=30, 10k+b=40, 解得k=-5 , b=90. ∴ y与x之间的函数表达式为y= -5x+90(8<x<18). (2) 由题意,得w=(x-8)(-5x+ 90)=-5x2+130x-720=-5(x- 13)2+125(8<x<18). ∵ -5<0, ∴ 当x=13时,w取得最大值. ∴ 当每枝的售价为13元时,该花店 获得的利润最大. 5. B [解析] ① ∵ 每件每涨价1元, 每星期要在卖出300件的基础上少卖 出10件,∴ 每件涨价x元(x>0),每 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 星期实际卖出(300-10x)件.故①正 确.② 设每件降价m元(m>0),每星 期售出商品的利润为w 元,则w= (60-40-m)(300+20m)= -20m2+100m+6000=-20 m- 5 2 2 +6125.∵ -20<0,∴ 当m= 5 2 时,利润最大,最大利润是6125元. 故②错误.③ 设涨价后,每星期售出 商品的利润为y元,则y=(60-40+ x)(300-10x)=-10x2+100x+ 6000=-10(x-5)2+6250.∴ 在涨 价的情况下,每星期售出商品的最大 利润是6250元.∵ 6125<6250, ∴ 综合涨价与降价两种情况及现在 的销售状况,可知当售价为每件60+ 5=65(元)时,利润最大.故③错误.综 上所述,正确的是①,共1个. 6. C [解析] ∵ “水火箭”飞行3s和 飞行9s时的升空高度相同,∴ -b2a= 3+9 2 =6.∴ b=-12a.把t=8,h= 33代入h=at2+bt+1,得64a+8b+ 1=33,∴ b=4-8a.∴ -12a=4- 8a,解得a=-1.∴ b=12.∴ h= -t2+12t+1=-(t-6)2+37. ∵ -1<0,∴ 当t=6时,h取得最大 值,最大值为37.∴ “水火箭”升空的 最大高度为37m. 7. 1600 [解析] 设每周销售这款玩 具的利润为w元,则w=(x-100)· (-2x+320)=-2(x-130)2+ 1800.∵ -2<0,∴ 当x<130时,y 随x增大而增大.又∵ 100≤x≤120, 且x为整数,∴ 当x=120时,w 取 得最大值,此时w=1600.∴ 该电商 平台每周销售这款玩具获得的最大利 润是1600元. 8. 39 2 [解析] 如图,过点C作CE⊥ OA,垂足为E.∴ ∠CEO=∠CEA= 90°.∵ AB ⊥OQ,∴ AB ∥CE. ∵ BC∥OQ,∴ 四边形ABCE是平行 四边形.∵ ∠CEA=90°,∴ 四边形 ABCE 是矩形.∴ AB=CE,BC= AE.∵ ∠O=45°,∴ 易得 OC= 2CE=2OE.∵ OC≤OP,OP=32, ∴ OC≤32.∴ 2CE≤32.∴ CE≤ 3.设AB=CE=OE=x(0<x≤3), 四边形OABC 的面积为S.∵ AB+ BC=8,∴ BC=8-AB=8-x.∵ 四 边形OABC 的面积=△CEO 的面 积+矩形ABCE 的面积=12OE · CE+AB·BC,∴ S=12x 2+x(8- x)=-12x 2+8x=-12 (x-8)2+ 32.∵ -12<0 ,∴ 当x<8时,S随x 增大而增大.∵ 0<x≤3,∴ 当x=3 时,S取得最大值,此时S=-12× (3-8)2+32=392 ,即四边形OABC 的最大面积为39 2. (第8题) 9. (1) 设y1=kx+b(k≠0). 将(3,5)、(6,3)代入,得 3k+b=5, 6k+b=3, 解 得 k=-23 , b=7. ∴ y1=- 2 3x+7. 设y2=a(x-6)2+1(a≠0). 把(3,4)代入,得4=(3-6)2a+1,解 得a=13. ∴ y2= 1 3 (x-6)2+1= 13x 2- 4x+13. (2) 设每千克的收益为W 元,则W= y1-y2=- 2 3x+7- 13x2-4x+ 13 =-13(x-5)2+73. ∵ -13<0 , ∴ 当x=5时,W 的值最大. ∴ 5月销售这种蔬菜,每千克的收益 最大. 10. 273 4 [解析] 如图,过点D 作 DK⊥AB于点K,过点C作CT⊥AB 于点T.∵ △PAD 和△PBC是等边 三角 形,∴ KP = 12AP ,TP = 1 2BP ,DP=AP,CP=BP.∴ KT= KP+TP=12AB=3. 设AP=2m (0<m <3),则 BP =6-2m. ∴ AK=KP=m,BT=PT=3-m. ∴ 易得DK= 3AK= 3m,CT= 3BT=3 3- 3m.∴ S△ADK = 1 2m ·3m= 32m 2,S△BCT= 1 2 (3- m)(33- 3m)= 32m 2-33m+ 93 2 ,S梯形DKTC= 1 2 (3m+3 3- 3m)×3=932 .∴ S四边形ABCD = S△ADK+S△BCT+S梯形DKTC= 3 2m 2+ 3 2m 2 -3 3m +932 + 93 2 = 3m2-3 3m+9 3= 3 m- 3 2 2 + 273 4 .∴ 当m=32 时,四边 形ABCD的面积最小,为2734 . (第10题) 11. (1) ∵ AB=x米, ∴ BC=(30-x)米. ∴ S=x(30-x)=-x2+30x(0< x<30). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 ∴ S 与x 之间的函数表达式为 S=-x2+30x(0<x<30). (2) ① ∵ 要将这棵树围在花园内(含 边界,不考虑树的粗细), ∴ AB不小于6米,BC不小于16米. ∴ x≥6, 30-x≥16, 解得6≤x≤14. ∵ 矩形花园的面积为 216平方米, ∴ 令S=216,得-x2+30x=216,解 得 x1=12,x2=18(不合题意,舍去). ∴ x的值为12. ② ∵ S=-x2+30x=-(x-15)2+ 225,-1<0,6≤x≤14, ∴ 当x=14时,S取得最大值,此时 S=-(14-15)2+225=224. ∴ 矩形花园的最大面积为224平 方米. 第2课时 用二次函数解生活 中的抛物线形问题 1. D 2. A 3. 35 3 4. 由题意,得h=10t-12×10t 2= 10t-5t2. (1) 当h=0时,10t-5t2=0,解得 t=0(不合题意,舍去)或t=2. ∴ 球被抛出后经过2s回到起点. (2) 当h=1.8时,10t-5t2=1.8,解 得t=0.2或t=1.8. ∴ 0.2s或1.8s后球离起点的高度 为1.8m. (3) 球离起点的高度不能达到6m. 理由:若h=6,则10t-5t2=6. 整理,得5t2-10t+6=0. ∵ b2-4ac=(-10)2-4×5×6= -20<0, ∴ 原方程没有实数根. ∴ 球离起点的高度不能达到6m. 5. B [解析] ∵ 点A(0,1)在抛物线 y=a(x-2)2+2上,∴ 1=(0- 2)2a+2,解得a=-14.∴ 第一次着 地前的抛物线对应的函数表达式为 y=- 1 4 (x-2)2+2.当y=0时, -14 (x-2)2+2=0,解得x1=2+ 22,x2=2-22(不合题意,舍去). ∴ 点B的坐标为(2+22,0).∵ 这 两条抛物线的形状相同,且弹力球在 点B 处着地后弹起的最大高度是着 地前弹起的最大高度的一半,∴ 设弹 力球第一次着地后的抛物线对应的函 数表达式为y=- 1 4 (x-h)2+1.将 B(2+2 2,0)代入,得- 14 (2+ 22-h)2+1=0,解得h1=22(不 合题意,舍去),h2=22+4.∴ 弹力 球第一次着地后的抛物线对应的函数 表达式为y=- 1 4 (x-22-4)2+ 1.∵ 圆柱形筐的高为0.5m,∴ 当 y=0.5时,- 1 4 (x-22-4)2+1= 0.5,解得x3=4+32,x4=4+ 2 (不合题意,舍去).∵ 筐的底面半径 为0.5m,则直径为1m,∴ 若要弹力 球从点B处弹起后落入框内,则3+ 32≤n≤4+32.∴ n 的值可以 是8. 6. 5.5 [解析] 建立如图所示的平面 直角坐标系.由题意,得点A、B、C的 坐标分别是(-10,0)、(10,0)、(0,6). ∴ 设抛物线对应的函数表达式为 y=ax2+c.将B(10,0)、C(0,6)代入 y=ax2+c,得 c=6, 100a+c=0, 解得 a=-350 , c=6. ∴ 抛物线对应的函数表达 式为y=- 3 50x 2+6.设N(5,yN).将 x=5代入y=- 3 50x 2+6,得yN= -350×5 2+6=4.5.∴ 支柱MN 的 长为10-4.5=5.5(m). (第6题) 7. (1) 根据题意,设抛物线对应的函 数表达式为y=a(x-1)2+2.75. 把A(0,1.75)代入,得1.75=a+ 2.75,解得a=-1. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= -(x-1)2+2.75=-x2+2x+1.75. (2) 在y=-(x-1)2+2.75中,令 y=1.94,得1.94=-(x-1)2+ 2.75,解得x=1.9或x=0.1. ∴ 他到喷头A 的水平距离是1.9m 或0.1m. 8. B 9. (1) 由题图,可设函数表达式为 h=a(t-3)2+19.8(a≠0). 把(0,1.8)代入,得9a+19.8=1.8, 解得a=-2. ∴ 第一枚花弹的飞行高度h(m)与飞 行时间t(s)之间的函数表达式为h= -2(t-3)2+19.8. (2) 当第一枚花弹的发射时间为3s 时,第二枚花弹的发射时间为1s. 把t=1代入h=-2(t-3)2+19.8, 得h=-2×(1-3)2+19.8=11.8. ∴ 第二枚花弹达到的高度为11.8m. (3) ∵ 这种烟花每隔2s发射一枚花 弹,每枚花弹的运动路径、爆炸时的高 度均相同,第一枚花弹的运动路径所 对应的函数表达式为h=-2(t- 3)2+19.8, ∴ 易得第二枚花弹的运动路径所对 应的函数表达式为h2=-2(t- 5)2+19.8. 令h=h2,得-2(t-3)2+19.8= -2(t-5)2+19.8,解得t=4,此时 h=h2=17.8. ∵ 17.8>16, ∴ 花弹爆炸的高度符合安全要求. 正确获取信息建立恰当模型解题 解决这类生活实际问题时,需 要从问题中获取相关信息,建立适 当的二次函数模型,求得函数表达 式,再把文字条件信息转化为数学 符号信息,从而解决实际问题. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31