5.4 专题特训(一) 与二次函数有关的图像信息问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

8. A [解析] 由题意,得a≠0.∵ 二 次函数y=ax2+bx+c的图像经过 (3,0)与(-1,0)两点,∴ 关于x的方 程ax2+bx+c=0的两个根分别为3 和-1,函数y=ax2+bx+c的图像 的对称轴是直线x=1.又∵ 关于x 的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有 两个根,其中一个根是5,∴ 方程 ax2+bx+c+m=0(m>0)的另一个 根为-3.如图,作出函数y=ax2+ bx+c的大致图像和直线y=-m、直 线y=-n.∵ 0<n<m,∴ -m< -n<0.∵ 关于x的方程ax2+bx+ c+n=0 (0<n<m)有两个整数根, ∴ 直线y=-n与抛物线y=ax2+ bx+c的交点的横坐标分别为-2、4. ∴ 关于x的方程ax2+bx+c+n=0 (0<n<m)的两个整数根分别是-2 和4. (第8题) 9. -x+3 x2-3 10. (1) 利用函数y=x2-2x-2的 图像,可知当x=2时,y<0;当x=3 时,y>0. ∴ 方程x2-2x-2=0的另一个根在 2和3之间. (2) ∵ 函数y=x2-2x+c的图像开 口向上,对称轴为直线x=1, ∴ 由题意,得c>0,1-2+c<0,解得 0<c<1. 11. D [解析] 如图,抛物线y= (x-a)(x-b)与x轴交于点(a,0)、 (b,0),与直线y=1的交点坐标为 (n,1)、(m,1).由图像,可知n<b< a<m. (第11题) 12. (1) 由题意,得1+b+c=0,4- 2b+c=0. 两式相加,得5-b+2c=0. ∴ b-2c=5. (2) ① ∵ 该函数图像的顶点的纵坐 标为3, ∴ 4c-b2 4 =3. ∴ c=b 2 4+3. ② 由①,得y=x2-bx+c= x- b 2 2 -b 2 4+c= x- b 2 2 +3. ∴ 该函数的图像开口向上,对称轴是 直线x=b2. 由题意,易得1<b2<m. 当1< b2 ≤ m+1 2 时,4= m - b 2 2 +3. ∴ m=b2+1 或m=b2-1 (不合题 意,舍去). ∴ 1<b2≤ b 2+1+1 2 . ∴ 2<b≤4. 当m+1 2 < b 2 <m 时,4= 1- b 2 2 +3. ∴ b=4或b=0(不合题意,舍去). 综上所述,2<b≤4. ∴ 4<b 2 4+3≤7 ,即4<c≤7. 专题特训（一）　与二次函数 有关的图像信息问题 1. A [解析] 由题图,得二次函数的 图像开口向下,∴ a<0.∵ 二次函数 的图像与y轴的正半轴相交,∴ c> 0.∵ 图像的对称轴为直线x=1= -b2a ,∴ b=-2a>0.∴ 2a-b= 4a<0,abc<0.故①③错误.由题图, 可知当x=1时,y=a+b+c>0.故 ②正确.∵ 二次函数的图像与x轴有 2个交点,∴ b2-4ac>0,即b2> 4ac.故④错误.综上所述,正确的是 ②,共1个. 2. A [解析] ∵ 二次函数的图像经 过第 一、二、四 象 限,∴ m >0, -b2a=- 2m-3 2m >0 ,m-1≥0,b2- 4ac=(2m-3)2-4m(m-1)>0. ∴ 1≤m<98 ,即m 的取值范围是 1≤m<98. 3. ②③④ [解析] 由题图,可知抛 物线开口向下,∴ a<0.∵ 抛物线的 对称轴为直线x=1,∴ -b2a=1. ∴ b=-2a>0.∵ 抛物线与y轴的 交点在x轴的上方,∴ c>0.∴ abc< 0.故①错误.由题图,可知当x=-1 时,y=a-b+c<0.故②正确.把 x=m 和x=1分别代入y=ax2+ bx+c,得y=am2+bm+c,y=a+ b+c.∵ m≠1,∴ am2+bm+c<a+ b+c.∴ a+b>m(am+b).故④正 确.∵ 当x=3与x=-1时的函数值 相等,∴ 9a+3b+c<0.∵ b=-2a, ∴ 9a+2b+b+c=9a+2× (-2a)+b+c=5a+b+c<0.故③ 正确.综上所述,正确的有②③④. 4. ∵ 二次函数y=ax2+bx+c的图 像开口向下, ∴ a<0. ∵ -b2a>0 , ∴ b>0. ∴ 2a-b<0. ∵ -b2a=1 , ∴ 2a+b=0. 由题图,得当x=-1时,y=a-b+ c<0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 ∴ -12b-b+c<0. ∴ 3b-2c>0. ∵ 抛物线与y轴的正半轴相交, ∴ c>0. ∴ 3b+2c>0. ∴ P=3b-2c,Q=b-2a-3b- 2c=-2a-2b-2c. ∴ P-Q=3b-2c-(-2a-2b- 2c)=3b-2c+2a+2b+2c=5b+ 2a=4b>0. ∴ P>Q. 5. D 6. (1) 由题意,设该二次函数的表达 式为y=a(x+1)2+4. 把C(0,3)代入,得a+4=3,解得 a=-1. ∴ 该二次函数的表达式为y= -(x+1)2+4=-x2-2x+3. (2) ∵ 点M(m,n1)、N(m+2,n2)都 在该二次函数图像上, ∴ n1-n2=(-m2-2m+3)- [-(m+2)2-2(m +2)+3]= 4m+8. 当4m+8>0,即m>-2时,n1>n2; 当4m+8=0,即m=-2时,n1=n2; 当4m+8<0,即m<-2时,n1<n2. (3) -3≤t≤0. 7. 由题意,得抛物线y=ax2-2ax+ 8(a<0)的对称轴为直线 x= --2a2a =1 ,开口向下. (1) ∵ -1<x1<2, ∴ y1>a×(-1)2-2a×(-1)+8, 即y1>3a+8. 当m=-2时,3<x2<5. ∴ y2<a×32-2a×3+8,即y2< 3a+8. ∴ y1>y2. (2) ∵ 1-m<x2<m+7, ∴ 1-m<m+7. ∴ m>-3. ∴ m+7>4. ∵ 存在x1、x2,使得y1=y2,-1< x1<2, ∴ 1-m<3. ∴ m>-2. 综上所述,m的取值范围是m>-2. 8. D 9. x<1或x>3 [解析] ∵ ax2+ (b-2)x+c>0,∴ ax2+bx+c> 2x,即求二次函数值大于一次函数值 时的x的取值范围.如图,作直线y= 2x.由图,可知所求解集为x<1或 x>3. (第9题) 10. (1) y=|x2-4x|-3. (2) 如图所示. 答案不唯一,如函数图像关于直线 x=2对称. (3) ① 1. ② 令x-3=|x2-4x|-3,解得 x1=0,x2=3,x3=5. ∴ 函数y=x-3与y=|x2-4x|- 3的图像的交点的横坐标分别为0、 3、5. 结合图像,可知当3<x<5时,函数 y=x-3的图像在函数y=|x2- 4x|-3的图像的上方. ∴ 不等式|x2-4x|-3<x-3的解 集为3<x<5. (第10题) 不能将“数”与“形”灵活地 结合起来 解答这类问题时,往往未综合 运用条件而导致解题错误,其主要 原因是不能挖掘隐含在“形”背后 的与“数”有关的信息问题,从而误 认为需要根据不等式的性质探求该 不等式的解集,导致“事倍功半”. 11. C [解析] 由题图,可知二次函 数的图像开口向下,∴ a<0.∵ 该二 次函数的图像的对称轴在y轴的右 侧,∴ -b2a>0.∵ a<0,∴ b>0. ∵ 该二次函数的图像与y轴的正半 轴相交,∴ c>0.∴ bc>0.∴ 一次函 数y=ax+bc的图像经过第一、二、 四象限,不经过第三象限. 12. 第二象限 [解析] ∵ 抛物线 y=ax2+bx 开口向上,对称轴在 y轴的右侧,∴ a>0,-b2a>0. ∴ b<0.∴ 直线y=ax+b经过第 一、三、四象限,即不经过第二象限. 5.5　用二次函数解决问题 第1课时 用二次函数解 生活中的利润、面积问题 1. D 2. D 3. 64 4. (1) 设y=kx+b(k≠0). 由题意,得 12k+b=30, 10k+b=40, 解得k=-5 , b=90. ∴ y与x之间的函数表达式为y= -5x+90(8<x<18). (2) 由题意,得w=(x-8)(-5x+ 90)=-5x2+130x-720=-5(x- 13)2+125(8<x<18). ∵ -5<0, ∴ 当x=13时,w取得最大值. ∴ 当每枝的售价为13元时,该花店 获得的利润最大. 5. B [解析] ① ∵ 每件每涨价1元, 每星期要在卖出300件的基础上少卖 出10件,∴ 每件涨价x元(x>0),每 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 18 　专题特训（一）　与二次函数有关的图像信息问题 ▶ “答案与解析”见P10 类型一 根据抛物线的特征确定a、b、c及与其 有关的代数式的符号 1. (2024·连云港赣榆段考)如图所示为二次函 数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,有下列结 论:① abc>0;② a+b+c>0;③ 2a-b=0; ④ b2<4ac.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第1题) (第3题) 2. (2024·泸州)若二次函数y=mx2+(2m- 3)x+m-1(x是自变量)的图像经过第一、 二、四象限,则实数m的取值范围是 ( ) A. 1≤m<98 B. 0<m<32 C. 0<m<98 D. 1≤m<32 3. 抛物线y=ax2+bx+c如图所示,有下列结 论:① abc>0;② a-b+c<0;③ 5a+b+ c<0;④ 对于任意实数m(m≠1),都有a+ b>m(am+b).其中,正确的有 (填 序号). 4. 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示, 且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b|- |3b+2c|,试判断P、Q的大小关系. (第4题) 类型二 利用二次函数的图像比较大小 5. 如果二次函数y=x2+6x+1的图像经过 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点,且 x1<-3<x3<x2,|x1|=|x3|,那么y1、 y2、y3的大小关系是 ( ) A. y1>y3>y2 B. y3>y2>y1 C. y1>y2>y3 D. y2>y3>y1 6. 当x=-1时,二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)取得最大值4,且其图 像与y轴交于点C(0,3),与x轴交 于点A、B. (1) 求该二次函数的表达式. (2) 若点M(m,n1)、N(m+2,n2)都在该二 次函数图像上,试比较n1与n2的大小. (3) 对于该二次函数图像上的两点P(x1, y1)、Q(x2,y2),当t-1≤x1≤t+2,x2≥2 时,均满足y1≥y2,请直接写出t的取值 范围. 7. 在平面直角坐标系中,点(x1,y1)、 (x2,y2)都在抛物线y=ax2- 2ax+8(a<0)上,且-1<x1<2, 1-m<x2<m+7. (1) 当m=-2时,试比较y1、y2 的大小 关系. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 19 (2) 若存在x1、x2,使得y1=y2,求m 的取 值范围. 类型三 利用二次函数的图像求方程的解 或不等式的解集 8. 如图所示为二次函数y1=ax2+bx+c和一 次函数y2=kx+t的图像,则当y1<y2时, x的取值范围是 ( ) A. x<-1 B. x>2 C. -1<x<2 D. x<-1或x>2 (第8题) (第9题) 9. (学科内综合)若二次函数y=ax2+bx+ c(a≠0,a、b、c是常数)的图像如图所示,则 关于x的不等式ax2+(b-2)x+c>0的解 集是 . 10. ★小红对函数y=a|x2+bx|+c(a≠0)的 图像和性质进行了探究.已知当自变量x的 值为0或4时,函数值都为-3;当自变量x 的值为1或3时,函数值都为0. (1) 该函数的表达式为 . (2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出 该函数的图像,并写出该函数的一条性质: . (3) 进一步探究函数图像,并回答问题: ① 若直线y=k与函数y=a|x2+bx|+c 的图像有三个交点,则k= . ② 函数y=x-3的图像如图所示,则结 合你所画的函数图像,求关于x的不等式 a|x2+bx|+c<x-3的解集. (第10题) 类型四 根据不同类型图像的特征确定与其 系数有关的其他函数图像的位置 11. 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所 示,则一次函数y=ax+bc的图像不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 (第11题) (第12题) 12. (2024·南京鼓楼期末)如图所示为抛物线 y=ax2+bx,则直线y=ax+b不经过的 象限是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数