5.4 二次函数与一元二次方程-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

∴ 点(-1,m)与点(3,p)到对称轴的 距离相等. ∵ 当-1≤x≤3时,y有最小值为 1 2 , ∴ m=p= 1 2. 设该二次函数的表达式为y=a(x- 1)2+n. ∴ (0-1)2a+n=1, (-1-1)2a+n=12 , 解 得 a=-16 , n=76. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 综上所述,a的值为12 或-16. (3) ∵ 点(-1,m)在二次函数y= ax2+bx+1的图像上, ∴ m=a×(-1)2+b×(-1)+1= a-b+1. 同理,可得n=a+b+1. ∵ 该二次函数图像的对称轴为直线 x=1, ∴ -b2a=1 ,p=m=a-b+1. ∴ b=-2a. ∴ p=m=a+2a+1=3a+1,n= a-2a+1=-a+1. ∴ n-m-p=-a+1-(3a+1)- (3a+1)=-7a-1. ∵ a<-3, ∴ -7a>21. ∴ -7a-1>20,即n-m-p>20. 5.4　二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次 方程之间的关系 1. C 2. A 3. (1) 16 (2) k≤54 且k≠1 4. k<4 5. (1) ∵ b2-4ac=(2m)2+4(4- m2)=4m2+16-4m2=16>0, ∴ 该二次函数的图像与x 轴总有 两个公共点. (2) ∵ y=-x2+2mx+4-m2= -(x-m)2+4, ∴ C(m,4)、D(0,4-m2). ∵ △ABC 的面积与△ABD 的面积 相等, ∴ |4-m2|=4,即m2-4=4或4- m2=4. ∴ m=±22或m=0. 6. B [解析] ① ∵ b2-4ac= (-2m)2-4×1×(-3)=4m2+12> 0,∴ 二次函数y=x2-2mx-3的图 像与x轴有两个公共点.故①正确. ② ∵ 当x≤2时,y 随x 增大而减 小,∴ --2m2 =m≥2. 故②错误. ③ ∵ 二次函数y=x2-2mx-3的 图像向左平移3个单位长度后经过原 点,∴ 点(3,0)在二次函数y=x2- 2mx-3的图像上.∴ 9-6m-3=0. ∴ m=1.故③错误.④ ∵ 当x=1时 的函数值与当x=2023时的函数值 相等,∴ 二次函数y=x2-2mx-3 的图像的对称轴为直线x=1012. ∵ 当x=0时,y=x2-2mx-3= -3,∴ 当x=2024时,y=x2- 2mx-3的函数值为-3.故④正确. 综上所述,正确的有①④,共2个. 7. D [解析] ∵ 抛物线y=x2+ bx+c过点A(2,n)、B(4,n),∴ 抛物 线的对称轴是直线x=3.∴ -b2= 3,解得b=-6.又∵ 抛物线y=x2+ bx+c与x轴只有一个交点,∴ b2- 4c=0,即36-4c=0,解得c=9. 8. D [解析] ∵ 关于x的函数y= ax2-ax+3x+1的图像与x轴只有 一个公共点,∴ 当a≠0时,(-a+ 3)2-4a=a2-10a+9=0,解得a=1 或a=9;当a=0时,y=3x+1,其图 像与x 轴只有一个公共点,符合题 意.综上所述,a的值为0或1或9. 9. m>92 没有实数根 10. 四 [解析] ∵ 关于x 的方程 x2+4x+a=0有两个不相等的实数 根,∴ 42-4a>0,解得a<4.∴ a- 4<0.∵ y=x2+(a-4)x-5,∴ 抛 物线开口向上,抛物线与y轴的交点 坐标为(0,-5).∵ -a-42 >0 ,∴ 抛 物线的顶点在第四象限. 11. m≤-59 [解析] 当m+6=0, 即m=-6时,此函数的表达式为 y=-14x-5,∴ 该函数为一次函 数,其图像与x轴必有交点.当m+ 6≠0,即m≠-6时,b2-4ac=4(m- 1)2-4(m+6)(m+1)=-20- 36m≥0.∴ m≤-59 且m≠-6.综 上所述,m的取值范围是m≤-59. 12. (1)∵ 二次函数的表达式为 y=-x2-4x+m=-(x+2)2+ m+4, ∴ 当x=-2时,二次函数取得最大 值m+4. ∵ 该二次函数的最大值为2m, ∴ m+4=2m. ∴ m=4. (2) 把二次函数y=-(x+2)2+m+ 4的图像向右平移2个单位长度,向 下平移4个单位长度后得到的新图像 对应的函数表达式为y=-(x+2- 2)2+m+4-4=-x2+m. ∵ 平移后得到的新图像与x 轴有 2个交点, ∴ 在一元二次方程-x2+m=0中, b2-4ac=0+4m>0. ∴ m>0. 13. (1) 由题意,知方程-x2+bx- c=0的解为x1=m-2,x2=2m+1. ∴ b=x1+x2=3m-1,c=x1x2= (m-2)(2m+1)=2m2-3m-2. (2) 由(1),知y=-x2+(3m- 1)x-(2m2-3m-2). ∴ 二次函数的图像开口向下,顶点坐 标为 3m-12 ,m 2+6m+9 4 . 分三种情况讨论: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 ① 若3m-1 2 <-2 ,即m<-1,则 当-2≤x≤1时,y随x增大而减小. ∴ 当x=-2时,y取得最大值1,则 -4-2(3m-1)-(2m2-3m-2)= -2m2-3m=1,解得m1=-1,m2= -12 (均不合题意,舍去). ② 若-2≤3m-12 ≤1 ,即-1≤m≤1, 则y的最大值为 m2+6m+9 4 . ∴ m2+6m+9 4 =1 ,解得m3=-1, m4=-5(不合题意,舍去). ③ 若3m-1 2 >1 ,即m>1,则当-2≤ x≤1时,y随x增大而增大. ∴ 当x=1时,y 取得最大值1,则 -1+(3m-1)-(2m2-3m-2)= -2m2+6m=1,解得m5= 3+7 2 , m6= 3-7 2 (不合题意,舍去). 综上所述,m的值为-1或3+72 . 14. D [解析] ∵ y=mx2-2x-m, ∴ 若m=1,则y=x2-2x-1= (x-1)2-2.∴ 当x=1时,函数y的 最小值为-2.故选项A错误.若m= -1,则该函数的图像开口向下,对称 轴是直线x=--22m=- -2 -2=-1. ∴ 当x≤-1时,y随x增大而增大. 故选项B错误.当m=0时,函数表达 式为y=mx2-2x-m=-2x,其图 像与x轴只有一个交点.故选项C错 误.∵ y=mx2-2x-m=m(x2- 1)-2x,∴ 令x2-1=0,则x=1或 x=-1.当x=1时,y=-2;当 x=-1时,y=2.∴ 无论m 为何值, 函数图像一定经过点(1,-2)、(-1, 2).故选项D正确. 15. (1) -32. (2) ∵ 抛物线恒在x轴的下方, ∴ m<0, 9m2-4mn<0. ∴ 4n 9<m<0. ∵ 符合条件的整数m只有三个, ∴ -4≤4n9<-3 ,解得-9≤n< -274. ∴ n的最小值为-9. (3) ∵ 点A的坐标是(0,1), ∴ n=1. ∴ y=mx2+3mx+1. ∴ 当-2<x<1时,抛物线与x轴只 有一个公共点. 当x=-2时,y=4m-6m+1= -2m+1. ∴ 直线x=-2与抛物线的交点坐标 为(-2,-2m+1). 当x=1时,y=m+3m+1=4m+1. ∴ 直线x=1与抛物线的交点坐标为 (1,4m+1). ① 当b2-4ac=9m2-4m=0时,抛 物线的顶点在x轴上,符合题意,此 时m=0(不合题意,舍去)或m=49. ② 当m>0时,点(-2,-2m+1)在 x轴上或x轴的下方,点(1,4m+1) 在x轴的上方. ∴ m>0, -2m+1≤0, 4m+1>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得m≥12. ③ 当m<0时,点(-2,-2m+1)在 x轴的上方,点(1,4m+1)在x轴的 下方. ∴ m<0, -2m+1>0, 4m+1<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得m<-14. 综上所述,m=49 或m≥12 或m< -14. 第2课时 用二次函数的图像 解一元二次方程 1. C 2. D 3. -1<x2<0 4. -94<a<-2 5. (1) 答案不唯一,如在平面直角坐 标系中画出抛物线y=x2-1和直线 y=2x,它们的交点的横坐标就是方 程的解. (2) 如图,在平面直角坐标系中画出 直线y=x+2,与函数y=x3的图像 交于点B. 由图,可知点B的横坐标约为1.5. ∴ 方程x3-x-2=0的近似解为 x≈1.5. (第5题) 6. D [解析] ∵ 二次函数y=x2+ bx的图像的对称轴为直线x=1, ∴ -b2=1.∴ b=-2.∴ y=x2- 2x.当x=1时,y=1-2=-1;当 x=-3时,y=9+6=15;当x=3 时,y=9-6=3.∵ 一元二次方程 x2+bx-t=0(t为实数)在-3<x< 3的范围内有解,∴ -1≤t<15. 7. A [解析] 令y=a(x+1)(x- 5),则二次函数y=a(x+1)(x-5) 的图像与函数y=ax2+bx+c(a、b、 c为常数且a≠0)的图像形状相同、开 口方向相同,且与x 轴的交点为 (-1,0)、(5,0).如图,作出二次函数 y=a(x+1)(x-5)的图像与直线 y=-3.由图像,可知方程a(x+ 1)(x-5)=-3的两根即为抛物线 y=a(x+1)(x-5)与直线y=-3 交点的横坐标.∴ x1<-1<5<x2. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 8. A [解析] 由题意,得a≠0.∵ 二 次函数y=ax2+bx+c的图像经过 (3,0)与(-1,0)两点,∴ 关于x的方 程ax2+bx+c=0的两个根分别为3 和-1,函数y=ax2+bx+c的图像 的对称轴是直线x=1.又∵ 关于x 的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有 两个根,其中一个根是5,∴ 方程 ax2+bx+c+m=0(m>0)的另一个 根为-3.如图,作出函数y=ax2+ bx+c的大致图像和直线y=-m、直 线y=-n.∵ 0<n<m,∴ -m< -n<0.∵ 关于x的方程ax2+bx+ c+n=0 (0<n<m)有两个整数根, ∴ 直线y=-n与抛物线y=ax2+ bx+c的交点的横坐标分别为-2、4. ∴ 关于x的方程ax2+bx+c+n=0 (0<n<m)的两个整数根分别是-2 和4. (第8题) 9. -x+3 x2-3 10. (1) 利用函数y=x2-2x-2的 图像,可知当x=2时,y<0;当x=3 时,y>0. ∴ 方程x2-2x-2=0的另一个根在 2和3之间. (2) ∵ 函数y=x2-2x+c的图像开 口向上,对称轴为直线x=1, ∴ 由题意,得c>0,1-2+c<0,解得 0<c<1. 11. D [解析] 如图,抛物线y= (x-a)(x-b)与x轴交于点(a,0)、 (b,0),与直线y=1的交点坐标为 (n,1)、(m,1).由图像,可知n<b< a<m. (第11题) 12. (1) 由题意,得1+b+c=0,4- 2b+c=0. 两式相加,得5-b+2c=0. ∴ b-2c=5. (2) ① ∵ 该函数图像的顶点的纵坐 标为3, ∴ 4c-b2 4 =3. ∴ c=b 2 4+3. ② 由①,得y=x2-bx+c= x- b 2 2 -b 2 4+c= x- b 2 2 +3. ∴ 该函数的图像开口向上,对称轴是 直线x=b2. 由题意,易得1<b2<m. 当1< b2 ≤ m+1 2 时,4= m - b 2 2 +3. ∴ m=b2+1 或m=b2-1 (不合题 意,舍去). ∴ 1<b2≤ b 2+1+1 2 . ∴ 2<b≤4. 当m+1 2 < b 2 <m 时,4= 1- b 2 2 +3. ∴ b=4或b=0(不合题意,舍去). 综上所述,2<b≤4. ∴ 4<b 2 4+3≤7 ,即4<c≤7. 专题特训（一）　与二次函数 有关的图像信息问题 1. A [解析] 由题图,得二次函数的 图像开口向下,∴ a<0.∵ 二次函数 的图像与y轴的正半轴相交,∴ c> 0.∵ 图像的对称轴为直线x=1= -b2a ,∴ b=-2a>0.∴ 2a-b= 4a<0,abc<0.故①③错误.由题图, 可知当x=1时,y=a+b+c>0.故 ②正确.∵ 二次函数的图像与x轴有 2个交点,∴ b2-4ac>0,即b2> 4ac.故④错误.综上所述,正确的是 ②,共1个. 2. A [解析] ∵ 二次函数的图像经 过第 一、二、四 象 限,∴ m >0, -b2a=- 2m-3 2m >0 ,m-1≥0,b2- 4ac=(2m-3)2-4m(m-1)>0. ∴ 1≤m<98 ,即m 的取值范围是 1≤m<98. 3. ②③④ [解析] 由题图,可知抛 物线开口向下,∴ a<0.∵ 抛物线的 对称轴为直线x=1,∴ -b2a=1. ∴ b=-2a>0.∵ 抛物线与y轴的 交点在x轴的上方,∴ c>0.∴ abc< 0.故①错误.由题图,可知当x=-1 时,y=a-b+c<0.故②正确.把 x=m 和x=1分别代入y=ax2+ bx+c,得y=am2+bm+c,y=a+ b+c.∵ m≠1,∴ am2+bm+c<a+ b+c.∴ a+b>m(am+b).故④正 确.∵ 当x=3与x=-1时的函数值 相等,∴ 9a+3b+c<0.∵ b=-2a, ∴ 9a+2b+b+c=9a+2× (-2a)+b+c=5a+b+c<0.故③ 正确.综上所述,正确的有②③④. 4. ∵ 二次函数y=ax2+bx+c的图 像开口向下, ∴ a<0. ∵ -b2a>0 , ∴ b>0. ∴ 2a-b<0. ∵ -b2a=1 , ∴ 2a+b=0. 由题图,得当x=-1时,y=a-b+ c<0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 14 5.4　二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系 ▶ “答案与解析”见P8 1. 已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m 是 常数),则该函数的图像与x轴的公共点的情 况为 ( ) A. 有两个公共点 B. 有一个公共点 C. 没有公共点 D. 无法判断 2. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+c=0 没有实数根,则抛物线y=x2-2x+c的顶 点所在的象限是 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. (1) 若抛物线y=x2-8x+k与x轴只有一 个交点,则k的值为 . (2) 若抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴 有交点,则k的取值范围是 . 4. 已知二次函数y=x2-4x+k的图像的顶点在 x轴的下方,则实数k的取值范围是 . 5. (2024·南京玄武二模)已知二次函数y= -x2+2mx+4-m2(m为常数). (1) 求证:该二次函数的图像与x 轴总有 两个公共点. (2) 设该函数图像的顶点为C,与x轴交于 A、B两点,与y轴交于点D,当△ABC的面 积与△ABD的面积相等时,求m的值. 6. (易错题)关于二次函数y=x2-2mx-3,有 下列说法:① 它的图像与x轴有两个公共 点;② 若当x≤2时,y随x增大而减小,则 m=2;③ 若将它的图像向左平移3个单位长 度后经过原点,则m=-1;④ 若当x=1时 的函数值与当x=2023时的函数值相等,则 当x=2024时的函数值为-3.其中,正确 的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知抛物线y=x2+bx+c过点A(2,n)、 B(4,n),且它与x轴只有一个交点,则c的 值是 ( ) A. 0 B. 4 C. 6 D. 9 8. 已知关于x的函数y=ax2-ax+3x+1的 图像与x轴只有一个公共点,则a的值为 ( ) A. 0 B. 1或9 C. 0或9 D. 0或1或9 9. 无论自变量x取何值,二次函数y=2x2- 6x+m的函数值总是正数,则m的取值范围 是 ,此时关于x的一元二次方程 2x2-6x+m=0的根的情况是 (填“有实数根”或“没有实数根”). 10. 若关于x的方程x2+4x+a=0有两个不 相等的实数根,则抛物线y=x2+(a- 4)x-5的顶点在第 象限. 11. 已知关于x的函数y=(m+6)x2+2(m- 1)x+m+1的图像与x轴有交点,则m 的 取值范围是 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 15 12. 已知二次函数y=-x2-4x+m. (1) 若该二次函数的最大值为2m,求m 的值. (2) 若该二次函数的图像向右平移2个单 位长度,向下平移4个单位长度后得到的新 图像与x轴有2个交点,求m的取值范围. 13. 已知二次函数y=-x2+bx-c的图像 与x轴的交点的坐标分别为(m-2,0)和 (2m+1,0). (1) 求b和c的值(用含m的代数式表示). (2) 若当-2≤x≤1时,y的最大值为1,求 m的值. 14. 已知y关于x的函数表达式为y= mx2-2x-m,则下列结论中,正确 的是 ( ) A. 若m=1,则函数y的最小值为-1 B. 若m=-1,则当x≤-1时,y随x增大 而减小 C. 无论m 为何值,函数图像与x 轴都有 两个交点 D. 无论m 为何值,函数图像一定经过点 (1,-2)、(-1,2) 15. 已知抛物线y=mx2+3mx+n与 y轴交于点A. (1) 抛物线的对称轴为直线x= . (2) 若抛物线恒在x轴的下方,且符合条件 的整数m只有三个,求n的最小值. (3) 若点A 的坐标是(0,1),且当-2n< x<n时,抛物线与x轴只有一个公共点,求 m的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 16 第2课时 用二次函数的图像解一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P9 1. (2023·宿迁沭阳期末)用计算器探索函数 y=x2+5x-3时所得的数值如下表所示: x 0 0.25 0.5 0.75 1 y -3 -1.6875 -0.25 1.3125 3 则可得方程x2+5x-3=0的一个解x的取 值范围是 ( ) A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 2. 二次函数y=ax2+2ax-b(a≠0)的部分图 像如图所示.由图像可知,关于x的一元二次 方程ax2+2ax-b=0的一个近似根是x≈ 1.3,则另一个近似根是 ( ) A. x≈-1.3 B. x≈-2.3 C. x≈-0.3 D. x≈-3.3 (第2题) (第3题) 3. 在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+ bx+c(a、b、c是常数,a>0)的部分图像如图 所示,直线x=1是它的对称轴.若一元二次 方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范 围是2<x1<3,则它的另一个根x2的取值 范围是 . 4. 如果关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0 的两个不相等的实数根都在-1和0之间 (不包括-1和0),那么a 的取值范围是 . 5. 利用图像解一元二次方程x2-2x-1=0时, 常常采用数形结合的方法,在平面直角坐标 系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1,它 们的交点的横坐标就是该方程的解. (1) 请再给出一种利用图像求方程x2- 2x-1=0的解的方法. (2) 如图所示为函数y=x3的图像,求方程 x3-x-2=0的近似解(精确到0.1). (第5题) 6. 二次函数y=x2+bx的图像如图所示,对称 轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程 x2+bx-t=0(t为实数)在-3<x<3的范 围内有解,则t的取值范围是 ( ) A. t≥1 B. -1≤t<8 C. 3<t<15 D. -1≤t<15 (第6题) (第7题) 7. 函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0) 的部分图像如图所示.已知图像过点(-1, 0),对称轴为直线x=2,方程a(x+1)(x- 5)=-3的两根分别为x1和x2,且x1<x2, 则下列结论中,正确的是 ( ) A. x1<-1<5<x2 B. x1<-1<x2<5 C. -1<x1<5<x2 D. -1<x1<x2<5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 17 8. (学科内综合)已知二次函数y=ax2+bx+c 的图像经过(3,0)与(-1,0)两点,关于x的 方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根, 其中一个根是5.若关于x的方程ax2+bx+ c+n=0(0<n<m)有两个整数根,则这两个 整数根分别是 ( ) A. -2和4 B. -2和0 C. 0和4 D. -2和5 9. 类比一元一次方程的解可以看成是两条直线 的交点的横坐标,一元二次方程x2+x-3= 0的解可以看成是抛物线y=x2+x-3与直 线y=0(x轴)的交点的横坐标;也可以看成 是抛物线y=x2与直线y= 的交点 的横坐标;还可以看成是抛物线y= 与直线y=-x的交点的横坐标. 10. 可以用如下方法求方程x2-2x-2=0的实 数根的范围:利用函数y=x2-2x-2的图 像,可知当x=0时,y<0;当x=-1时, y>0.因此方程x2-2x-2=0的一个根 在-1和0之间. (1) 根据上面的方法,求方程x2-2x-2= 0的另一个根在哪两个连续的整数之间. (2) 若方程x2-2x+c=0有一个根在0和 1之间,求c的取值范围. 11. 若m、n(n<m)是关于x的一元二 次方程1-(x-a)(x-b)=0的 两个根,且b<a,则m、n、b、a的大 小关系是 ( ) A. m<a<b<n B. a<m<n<b C. b<n<m<a D. n<b<a<m 12. 已知二次函数y=x2-bx+c(b、c 为常数). (1) 若该函数的图像与x轴的交 点坐标分别是(-1,0)、(2,0),求b-2c 的值. (2) 若该函数图像的顶点的纵坐标为3. ① 用含b的代数式表示c. ② 若当1<x<m 时,y的取值范围是3≤ y<4,求c的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数