5.2 二次函数的图像和性质-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

4 5.2　二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y=ax2的图像和性质 ▶ “答案与解析”见P1 1. 对于抛物线y=x2和y=-x2在同一平面 直角坐标系中的位置,下列说法中错误的是 ( ) A. 两条抛物线关于x轴对称 B. 两条抛物线关于原点对称 C. 两条抛物线关于y轴对称 D. 两条抛物线的公共点为原点 2. 已知抛物线y=-4x2,则下列说法中,正确 的是 ( ) A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是(0,0) C. 抛物线的对称轴是直线x=-4 D. 当x<0时,y随x增大而减小 3. 如图,☉O的半径为2,C1是函数y=x2的 图像,C2是函数y=-x2的图像,则涂色部 分的面积是 . (第3题) (第4题) 4. (易错题)四个二次函数的图像如图所示,则 a1、a2、a3、a4 的大小关系是 (用“>”连接). 5. 已知二次函数y=ax2,当x=3时,y=3. (1) 当x=-2时,求y的值. (2) 写出它的图像的开口方向、对称轴和顶 点坐标. 6. (2023·苏州常熟段考)若二次函数y=ax2 的图像经过点P(4,3),则该图像必过点( ) A. (4,-3) B. (3,-4) C. (-4,3) D. (-3,4) 7. 已知a为常数,在同一平面直角坐标系中,函 数y=ax与y=ax2的图像可能是 ( ) A. B. C. D. 8. (学科内综合)如图,正方形ABCD 的边长为 10,分别以正方形的顶点A、B、C、D 为圆心 画四个全等的圆.若圆的半径为x,且0< x≤5,阴影部分的面积为y,则能反映y与x 之间的函数关系的图像大致是 ( ) (第8题) A. B. C. D. 9. 已知点A(-1,y1)、B(- 2,y2)、C(-2, y3)在函数y=(m2+1)x2的图像上,则y1、 y2、y3的大小关系是 (用“<” 连接). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 5 10. 若二次函数y=(m+1)x|m|的图像开口向 下,则m的值为 . 11. 已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像开口向 上,则直线y=ax-1经过第 象限. (第12题) 12. 二次函数y= 1 2x 2的图像如 图所示,线段AB∥x轴,交抛 物线于A、B两点,且点A 的 横坐标为2,则AB 的长为 . 13. 已知抛物线y=ax2与直线y=2x-3交于 点(1,b). (1) 求a、b的值. (2) 抛物线y=ax2上是否存在一点P,使 其到两条坐标轴的距离相等? 若存在,求出 点P的坐标;若不存在,请说明理由. 14. 如图,二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数 y=kx-2(k≠0)的图像相交于A、B两点, 且点A的坐标为(-1,-1),连接OA、OB, 求△OAB的面积. (第14题) 15. ★如图,正方形四个顶点的坐标依 次为(1,1)、(3,1)、(3,3)、(1,3). 若抛物线y=ax2与正方形有公共 点,则实数a的取值范围是 ( ) (第15题) A. 1 9≤a≤3 B. 1 9≤a≤1 C. 1 3≤a≤3 D. 1 3≤a≤1 16. 如图,在平面直角坐标系中,直线 y=kx-3与抛物线y=-x2相交 于A、B 两点(点A 在点B 的左 侧),点B关于y轴的对称点为B'. (1) 当k=2时,求A、B两点的坐标. (2) 连接OA、OB、AB'、BB'.若△B'AB的 面积与△OAB的面积相等,求k的值. (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 6 第2课时 二次函数y=ax2+k和y=a(x+h)2的 图像和性质 ▶ “答案与解析”见P3 1. 抛物线y=x2-2的顶点坐标是 ( ) A. (-2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,-2) 2. 已知二次函数y=(x+3)2,则下列说法中, 不正确的是 ( ) A. 二次函数的图像开口向上 B. 二次函数图像的对称轴是直线x=-3 C. 二次函数图像的顶点坐标为(-3,0) D. 当x<-3时,y随x增大而增大 3. 二次函数y=(m2+1)x2-1的图像开口 (填“向上”或“向下”). 4. (1) 若二次函数y=-2x2+(m-4)x+3的 图像的对称轴是y轴,则m的值为 . (2) 若二次函数y=mx2+m-2(m≠0)的 图像的顶点在y轴的负半轴上,且开口向上, 则m的取值范围是 . 5. 如图,抛物线y= 1 5 (x-5)2的顶点为A,抛 物线与y轴交于点B,过点B作x轴的平行 线,交抛物线于另外一点C,连接AB、AC. (1) 写出A、B、C三点的坐标. (2) 求△ABC的面积. (3) 试判断△ABC的形状,并说明理由. (第5题) 6. 在同一平面直角坐标系中,一次函数y= -mx+n2与二次函数y=x2-m 的图像可 能是 ( ) A. B. C. D. 7. 将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+ 2)2,则这个平移过程是 ( ) A. 向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度 C. 向上平移2个单位长度 D. 向下平移2个单位长度 8. (易错题)已知二次函数y=-(x-h)2(h为 常数),当2≤x≤5时,y的最大值为-1,则 h的值为 ( ) A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6 9. 当x≥m 时,函数y1=-(x-4)2 和函数 y2=-(x-3)2 的函数值都随x增大而减 小,则m的最小值为 . 10. 已知抛物线y=a(x+m)2(m 为常数)的顶 点在y轴的右侧,且am<0,则此抛物线开 口 (填“向上”或“向下”). (第11题) 11. 如图,在平面直角坐标系中,抛物 线y=ax2(a>0)与y=a(x-2)2 交于点B,抛物线y=a(x-2)2交 y轴于点E,过点B 作 x轴的平行线,与两条抛 物线分别交于C、D 两 点,A 是x 轴上两条抛 物线顶点之间的一点,连 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 7 接AD、AC、EC、ED,则四边形ACED的面 积为 (用含a的代数式表示). 12. 如图,将抛物线y=2x2向右平移a个(a> 0)单位长度,顶点为A,与y轴交于点B.若 △AOB为等腰直角三角形,求a的值. (第12题) 13. 如图,正比例函数y=2x的图像与抛物线 y=ax2+3相交于点A(1,b),C为抛物线 的顶点,连接AC. (1) 求a、b的值. (2) 若点B(m,4)在函数y=2x的图像上, 连接BC,求△ABC的面积. (3) 若P 是x 轴上的一个动点,当PA+ PC的值最小时,求点P的坐标. (第13题) 14. 设函数y1=-(x-m)2,y2=-(x-n)2, 直线x=1与函数y1、y2的图像分别交于 点A(1,a1)、B(1,a2),则下列说法中,正确 的是 ( ) A. 若1<m<n,则a1<a2 B. 若m<1<n,则a1<a2 C. 若m<n<1,则a1<a2 D. 若m<n<1,则a2<a1 15. 在平面直角坐标系中,抛物线y= ax2-1a 与y轴交于点A,点A 关 于x轴的对称点为B. (1) 直接写出抛物线的对称轴. (2) 求点B的坐标(用含a的代数式表示). (3) 已知点P1,1a 、Q(3,0).若抛物线与 线段PQ恰有一个公共点,结合函数图像, 求a的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 8 第3课时 二次函数y=a(x+h)2+k的图像和性质 ▶ “答案与解析”见P4 1. 对于抛物线y=3(x-1)2+2,下列说法中正 确的是 ( ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1 C. 顶点坐标是(2,1) D. 可由抛物线y=3x2+2向右平移1个单 位长度得到 2. 二次函数y=-(x+h)2+k的图像如图所 示,则点(h,k)所在的象限是 ( ) (第2题) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 写出一个二次函数,其图像满足:① 开口向 下;② 顶点坐标是(1,3).这个二次函数的表 达式可以为 . 4. 将抛物线y=-(x-3)2先向下平移2个单 位长度,再向右平移3个单位长度. (1) 平移后得到的抛物线对应的函数表达式 为 . (2) 写出平移后得到的抛物线的开口方向、 顶点坐标和对称轴. (3) 对于平移后得到的抛物线,当x取何值 时,y随x增大而增大? 当x取何值时,y随 x增大而减小? 5. (2024·长沙雨花期末)抛物线y=-x2+4 通过平移变换可以得到抛物线y=-(x+ 1)2+1,则下列变换过程中,正确的是( ) A. 先向右平移1个单位长度,再向上平移 3个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度,再向下平移 3个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度,再向下平移 3个单位长度 D. 先向左平移1个单位长度,再向上平移 3个单位长度 6. (易错题)(2024·长沙期末)若点A(-2, y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在抛物线y=2(x- 1)2+m上,则y1、y2、y3的大小关系是 ( ) A. y1<y2<y3 B. y2<y1<y3 C. y2<y3<y1 D. y3<y2<y1 7. 已知抛物线y=-(x-1)2+2,当t<x<5时, y随x增大而减小,则实数t的取值范围是 ( ) A. -1<t≤0 B. 0<t≤1 C. 1≤t<5 D. t≤-1 8. 如图所示为二次函数y=(x-1)2-1的部分 图像(0≤x≤3),则y的取值范围是 . (第8题) 9. 若抛物线y=-3(x-2m)2+m-3的顶点 在直线y=2x-1上,则m= . 10. 已知A(m,2024)、B(m+n,2024)是抛物 线y=-(x-h)2+2040上的两点,则正数 n= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 9 11. 二次函数y=-(x+1)2+4的图像如图所 示,请在同一平面直角坐标系中画出二次函 数y=-(x-2)2+7的图像. (第11题) 12. (学科内综合)如图,二次函数y=a(x- 4)2+2(a≠0)的图像经过点A(2,0). (1) 求a的值. (2) 若二次函数的图像与y轴相交于点B, 且该二次函数图像的对称轴与x 轴交于 点C,连接BA、BC,求△ABC的面积. (第12题) 13. 已知点P(m,n)在抛物线y= a(x-5)2+9上.当3<m<4时, 总有n>1;当7<m<8时,总有 n<1.a的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 14. 已知抛物线C:y=a(x-m)2+ 2m+2(a<0)与x轴交于点A、B, 抛物线的顶点为P. (1) 求证:无论m为何值,顶点P一定在一 条直线上. (2) 在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐 标都是整数的点称为“整点”. ① 若m=1,抛物线与x轴围成的区域内 (不含边界)有7个“整点”,求a 的取值 范围. ② 若点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标 为(n,0),点P 在第一象限内,O 为坐标原 点,连接OP、PB,△OBP 内(不含边界)有 2个“整点”,求m的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 10 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 ▶ “答案与解析”见P5 1. 将抛物线y=x2+4x-1先向左平移2个单 位长度,再向上平移3个单位长度,得到的新 抛物线的顶点坐标是 ( ) A. (-2,3) B. (-4,-2) C. (0,-2) D. (-2,-4) 2. 在二次函数y=x2+bx+1中,当x>1时,y 随x增大而增大,则一次项系数b满足 ( ) A. b>-2 B. b≥-2 C. b<-2 D. b=-2 3. 如果二次函数y=x2+2x-m+2图像的顶 点在x轴上,那么m的值是 . 4. 已知二次函数y=-x2+2x,且当-1<x< a时,y随x增大而增大,则a的取值范围是 . 5. 在同一平面直角坐标系中,正比例函数 y=-2x与二次函数y=-x2+2x+c的图 像交于点A(-1,m).求: (1) m、c的值. (2) 二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 6. 抛物线y=x2-2mx+m2+2m-1的顶点 一定不在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 二次函数y=ax2-8ax+2的图像向左平移 m个(m>0)单位长度后过点(5,2),则m 的 值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知抛物线y=-x2+2mx+m,且 当-2<x<1时,y随x增大而增 大,则此抛物线的顶点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. (学科内综合)如图,在平面直角坐标系中, A是抛物线y=x2-6x+17上的一个动点, 过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线 作矩形ABCD,连接BD,则BD 长的最小值 为 . (第9题) 10. (易错题)已知抛物线y=ax2+bx+c(a> 0)经过点A(3-m,y1)、B(m+1,y2)、 C(2-n,1)、D(n,1),且y1>y2,则实数m 的取值范围是 . 11. (1) 已知二次函数y=x2-4x+8,则当 -4≤x≤3时,y的取值范围是 . (2) 已知抛物线y=x2-2mx+2m+3的 顶点的纵坐标为p,则当m≥2时,p的最大 值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 11 12. 已知抛物线y=-x2-3x+t经过点A(0,3). (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 若点P(m,n)在该抛物线上,求m+n 的最大值. 13. 设二次函数y1、y2的图像的顶点坐标分别 为(a,b)、(c,d).若a=2c,b=2d,且两个 函数的图像开口方向相同,则称y1是y2的 “同倍项二次函数”. (1) 写出二次函数y=x2+x+1的一个“同 倍项二次函数”. (2) 已知关于x的二次函数y1=x2+nx和 二次函数y2=x2+3nx+1.若y1+y2 是 y1的“同倍项二次函数”,求n的值. 14. 已知a-b+c=0,9a+3b+c=0.如果b> 0,那么二次函数y=ax2+bx+c的图像的 顶点在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 已知抛物线y=ax2-(b+2)x- a+b+6(a<0,a、b均为常数)过 点(3,4). (1) 求a、b之间的数量关系及该抛物线的 对称轴. (2) 若函数y的最大值为5,求该抛物线与 y轴的交点坐标. (3) 当自变量x满足0≤x≤3时,记函数y 的最大值为m,最小值为n,求证:3m+ n=16. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 第5章　二次函数 5.1　二次函数 1. C 2. B 3. (1) ① (2) -4 4. 四 5. (1) 由题意,得m2-m=0且m- 1≠0,解得m=0. (2) 由题意,得m2-m≠0,解得m≠ 0且m≠1. 6. B 7. C [解析] ① 由题意,得y=x2, 属于二次函数关系;② 由题意,得 y= 1 2x (x-1)=12x 2-12x ,属于 二次函数关系;③ 由题意,得y= 6x2,属于二次函数关系;④ 由题意, 得y=120x,属于一次函数关系.综上 所述,两个变量所满足的函数关系属 于二次函数关系的有①②③,共3个. 8. D [解析] ∵ △ABC是等边三角 形,∴ ∠B=∠C=∠A=60°.又 ∵ DE∥BC,∴ ∠ADE=∠B=60°. ∴ △ADE 是等边三角形.∵ BD= xcm,∴ AD=AB-BD=(20- x)cm.∴ △ADE 的周长=3AD= 3(20-x)cm.又∵ △ABC的周长= 3AB=60cm,∴ y1=60-3(20- x)=3x.∵ 易得△ADE 的面积= 3 4AD 2= 3 4 (20-x)2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 cm2,△ABC 的面积= 34AB 2= 3 4×20 2􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 cm2, ∴ y2= 3 4×20 2- 34 (20-x)2= - 34x 2+103x.∴ y1与x、y2与x 满足的函数关系分别是一次函数关 系、二次函数关系. 9. 3 10. y=- 1 2x 2+x [解析] ∵ 四边 形ABCD 是正方形,∴ CD=BC= AB =2,∠C = ∠CDA =90°= ∠ADE.∵ DF 平 分 ∠ADE, ∴ ∠ADF = 12 ∠ADE = 45°. ∴ ∠MDF=90°+45°=135°.在BC 上截取CH =CM,连接 MH,则 △MCH 是等腰直角三角形,BH= MD=2-x.∴ ∠CHM=∠CMH= 45°.∴ ∠BHM=180°-∠CHM= 135°.∴ ∠MBH +∠HMB=45°, ∠BHM=∠MDF.∵ MF⊥BM, ∴ ∠FMB=90°.又∵ ∠CMH=45°, ∴ ∠FMD + ∠HMB = 45°. ∴ ∠MBH=∠FMD.∴ △HMB≌ △DFM.∴ S△HMB = S△DFM = 1 2CM ·BH.∴ y与x 之间的函数 表达 式 为y = 1 2x (2-x)= -12x 2+x. 根据图形性质建立函数表达式 解答与几何图形有关的问题 时,往往需要我们灵活地运用性 质,挖掘隐含在图形中的线段、角 之间的数量关系,进而建立函数表 达式. 11. (1) ∵ y是x的二次函数, ∴ m2-4≠0,解得m≠±2. (2) ∵ y是x的一次函数, ∴ m2-4=0,且m2-3m+2≠0,解 得m=-2. 12. y=6x-x2(0≤x≤6) [解析] 如图,延长CO,交AB 于点 G.∵ C 是 ☉O 的ACB︵ 的中点, ∴ CO⊥AB,AG=12AB= 1 2×6= 3.∴ AE2 =AG2 +EG2,EF2 = FG2+EG2.由题意,得当0≤x≤3 时,AF=x,FG=3-x.∴ y= AE2-EF2=AG2+EG2-FG2- EG2=AG2-FG2=9-(3-x)2= 6x-x2(0≤x≤3).当3<x≤6时, AF=x,FG=x-3.∴ y=AE2- EF2=AG2+EG2-FG2-EG2= AG2-FG2=9-(x-3)2=6x- x2(3<x≤6).综上所述,y=6x- x2(0≤x≤6). (第12题) 13. (1) ∵ 篱笆长为24m,花圃的宽 AB为xm, ∴ 花圃的长BC为(24-3x)m. ∴ S=(24-3x)x=-3x2+24x. 由题意,得24-3x>0,x>0,24- 3x>x, ∴ 0<x<6. (2) ∵ 24-3x≤9, ∴ x≥5. 结合(1),得5≤x<6. 5.2　二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y=ax2的 图像和性质 1. C 2. B 3. 2π 4. a1>a2> a3>a4 5. (1) 把x=3,y=3代入y=ax2, 得9a=3,解得a=13. ∴ 这个二次函数的表达式为y= 1 3x 2. 当x=-2时,y= 1 3× (-2)2=43. (2) ∵ y= 1 3x 2,1 3>0 , ∴ 图像开口向上,对称轴是y轴,顶 点坐标是(0,0). 6. C 7. C 8. D 9. y1<y2<y3 10. -2 [解析] ∵ 二次函数y= (m +1)x|m| 的 图 像 开 口 向 下, ∴ |m|=2 且 m +1<0,解 得 m=-2. 11. 一、三、四 [解析] ∵ 二次函数 y=ax2(a≠0)的图像开口向上, ∴ a>0.又∵ 直线y=ax-1与y轴 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 交于点(0,-1),∴ 直线y=ax-1经 过第一、三、四象限. 12. 4 13. (1) 把(1,b)代入y=2x-3,得 b=2×1-3=-1. 把(1,-1)代入y=ax2,得-1=a× 12,解得a=-1. (2) 存在. 由(1),知a=-1. ∴ y=-x2. 设点P的坐标为(m,-m2). ∵ 点P到两条坐标轴的距离相等, ∴ |m|=|-m2|,解得m=0或1 或-1. ∴ 点P的坐标为(0,0)或(1,-1)或 (-1,-1). 14. 设直线AB 与y 轴交于点G. ∵ 一次函数y=kx-2的图像经过 点A(-1,-1), ∴ -1=-k-2,解得k=-1. ∴ 一次函数的表达式为y=-x-2. 令x=0,得y=-2. ∴ G(0,-2). ∵ 二次函数y=ax2 的图像经过 点A(-1,-1), ∴ -1=a×1,解得a=-1. ∴ 二次函数的表达式为y=-x2. 联立 y=-x-2, y=-x2, 解得 x1=-1, y1=-1, x2=2, y2=-4. ∵ A(-1,-1), ∴ B(2,-4). ∴ S△OAB=S△OAG+S△OBG= 1 2×2× 1+12×2×2=1+2=3. 15. A [解析] 由题意,得当抛物线 经过点(1,3)时,a=3;当抛物线经过 点(3,1)时,a=19. 观察图像,可知 1 9≤a≤3. 抓住抛物线的特殊点 确定待定系数的取值范围 解答这类根据抛物线与几何 图形的交点情形,确定二次函数中 待定系数的取值范围问题时,往往 需要从经过的特殊点,确定待定系 数的特殊值,进而确定其取值范围. 16. (1) 当k=2时,y=2x-3. 联立 y=2x-3, y=-x2, 解得 x=-3 , y=-9 或 x=1, y=-1. ∵ 点A在点B的左侧, ∴ 点A的坐标为(-3,-9),点B的 坐标为(1,-1). (2) 分两种情况讨论: ① 当k>0时,如图①,连接OB',设 直线y=kx-3与y轴交于点C,BB' 与y轴交于点D. ∵ △B'AB 的面积与△OAB 的面积 相等, ∴ 易知OB'∥AB. ∴ ∠OB'B=∠CBB'. ∵ 点B、B'关于y轴对称, ∴ OB=OB',∠ODB=∠ODB'=90°. ∴ ∠OB'B=∠OBB'. ∴ ∠OBB'=∠CBB'. ∵ ∠ODB=∠CDB=90°,BD=BD, ∴ △BOD≌△BCD. ∴ OD=CD. 在y=kx-3中,令x=0,得y=-3. ∴ C(0,-3),即OC=3. ∴ OD=12OC= 3 2 ,即D 0,-32 . 在y= -x2 中,令y= - 3 2 ,得 -x2=-32 ,解得x=62 或x=-62. ∴ B 62,-32 . 把B 62,-32 代入y=kx-3,得 6 2k-3=- 3 2 ,解得k= 62. ② 当k<0时,如图②,过点B'作 B'F∥AB,交y轴于点F,连接BF,设 直线y=kx-3与y轴交于点E,BB' 与y轴交于点G. 在y=kx-3中,令x=0,得y=-3. ∴ E(0,-3),即OE=3. ∵ △B'AB 的面积与△OAB 的面积 相等, ∴ 易得OE=EF=3. ∵ 点B、B'关于y轴对称, ∴ FB=FB',∠FGB=∠FGB'=90°. ∴ ∠FB'B=∠FBB'. ∵ B'F∥AB, ∴ ∠EBB'=∠FB'B. ∴ ∠EBB'=∠FBB'. ∵ ∠BGE=∠BGF=90°,BG=BG, ∴ △BGE≌△BGF. ∴ GE=GF=12EF= 3 2. ∴ OG = OE + GE = 92 ,即 G 0,-92 . 在y= -x2 中,令y= - 9 2 ,得 -x2=-92 ,解得x=322 或x= -322 . ∴ B 32 2 ,-92 . 把B 322 ,-92 代入y=kx-3,得 32 2k-3=- 9 2 ,解得k=- 22. 综上所述,k的值为 62 或- 22. (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 第2课时 二次函数y=ax2+k 和y=a(x+h)2的图像和性质 1. D 2. D 3. 向上 4. (1) 4 (2) 0<m<2 5. (1) 易知点A的坐标为(5,0). 在y= 1 5 (x-5)2中,令x=0,得y=5. ∴ 点B的坐标为(0,5). ∵ 抛物线的对称轴为直线x=5, ∴ 点C的坐标为(10,5). (2) S△ABC= 1 2×10×5=25. (3) △ABC是等腰直角三角形. 理由:∵ A(5,0)、B(0,5)、C(10,5), ∴ 易得AB=AC=52,BC=10. ∵ AB2+AC2=(52)2+(52)2= 100=102=BC2, ∴ △ABC是等腰直角三角形. 6. B 7. A 8. B [解析] 当h<2时,由题意, 得-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2= 3(不合题意,舍去);当2≤h≤5时, y=-(x-h)2的最大值为0,不符合 题意;当h>5时,由题意,得-(5- h)2=-1,解得h3=4(不合题意,舍 去),h4=6.综上所述,h 的值为1 或6. 9. 4 [解析] ∵ y1=-(x-4)2, ∴ 函数y1=-(x-4)2 的图像开口 向下,对称轴为直线x=4.∵ y2= -(x-3)2,∴ 函数y2=-(x-3)2 的图像开口向下,对称轴为直线x= 3.∴ 当x≥4时,y1、y2 都随x增大 而减小.∴ m≥4.∴ m 的最小值 为4. 10. 向上 [解析] ∵ 抛物线y= a(x+m)2(m 为常数)的对称轴为直 线x=-m,顶点在y 轴的右侧, ∴ -m>0.∴ m<0.∵ am<0, ∴ a>0.∴ 此抛物线开口向上. 11. 8a [解析] 由题意,易得BD= BC=2.∴ DC=4.∵ y=a(x- 2)2=ax2-4ax+4a,∴ 易得E(0, 4a).∴ S四边形ACED=S△ACD+S△CDE= 1 2DC ·OE=12×4×4a=8a. 12. 将抛物线y=2x2 向右平移a个 (a>0)单位长度后,得到的抛物线对 应的函数表达式为y=2(x-a)2,则 A(a,0)、B(0,2a2). ∵ △AOB为等腰直角三角形, ∴ a=2a2,解得a1=0(不合题意,舍 去),a2= 1 2. ∴ a的值是 1 2. 13. (1) 把A(1,b)代入y=2x,得 b=2. ∴ A(1,2). 把A(1,2)代入y=ax2+3,得2= a+3,解得a=-1. (2) 把B(m,4)代入y=2x,得4= 2m,解得m=2. ∴ B(2,4). 由(1),得抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+3. ∵ C为抛物线y=-x2+3的顶点, ∴ C(0,3). ∴ OC=3. ∴ S△ABC=S△OBC-S△OAC= 1 2×3× 2-12×3×1= 3 2. (3) 设点C关于x轴的对称点为C', 则点C'的坐标为(0,-3). 连接AC',交x轴于点P,此时PA+ PC的值最小. 设直线AC'对应的函数表达式为y= kx+n. 把A(1,2)、C'(0,-3)代入,得 k+n=2, n=-3, 解得k=5 , n=-3. ∴ y=5x-3. 当y=0时,5x-3=0,解得x= 3 5. ∴ 点P的坐标是 35 ,0 . 14. C [解析] 如图①,若1<m<n, 则a1>a2,故选项A错误;如图②③, 若m<1<n,则a1>a2或a1<a2,故 选项B错误;如图④,若m<n<1,则 a1<a2,故选项C正确,选项D错误. (第14题) 15. (1) 抛物线的对称轴为y轴. (2) ∵ 抛物线y=ax2- 1 a 与y轴交 于点A, ∴ A 0,-1a . ∵ 点A关于x轴的对称点为B, ∴ B 0,1a . (3) 当a>0时,如图①. ① 若抛物线经过点P,则a-1a = 1 a ,解得a= 2或a=- 2(不合题 意,舍去). ② 若抛物线经过点Q,则9a-1a= 0,解得a=13 或a=-13 (不合题意, 舍去). ∴ 由图像,知当1 3≤a≤ 2 时,抛物 线与线段PQ恰有一个公共点. 当a<0时,如图②. ① 若抛物线经过点P,则a-1a = 1 a ,解得a=- 2或a= 2(不合题 意,舍去). ② 若抛物线经过点Q,则9a-1a= 0,解得a=-13 或a=13 (不合题意, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 舍去). ∴ 由图像,知当- 2≤a≤-13 时, 抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 综上所述,若抛物线与线段PQ 恰有 一个公共点,a 的取值范围是13≤ a≤2或-2≤a≤-13. (第15题) 第3课时 二次函数y=a(x+ h)2+k的图像和性质 1. D 2. B 3. 答案不唯一,如 y=-(x-1)2+3 4. (1) y=-(x-6)2-2. (2) ∵ y=-(x-6)2-2, ∴ 平移后得到的抛物线开口向下、顶 点坐标为(6,-2),对称轴为直线 x=6. (3) ∵ 抛物线开口向下、对称轴为直 线x=6, ∴ 当x<6时,y随x增大而增大;当 x>6时,y随x增大而减小. 5. B 6. C [解析] ∵ 抛物线y=2(x- 1)2+m的对称轴为直线x=1,∴ 点 A到对称轴的距离为1-(-2)=3, 点B到对称轴的距离为2-1=1,点 C到对称轴的距离为3-1=2.∵ 在 y=2(x-1)2+m 中,2>0,∴ 抛物 线开口向上.∵ 1<2<3,∴ y2< y3<y1. 7. C [解析] ∵ 抛物线的对称轴为 直线x=1,开口向下,∴ 当x>1时, y随x 增大而减小.∵ 当t<x<5 时,y随x增大而减小,∴ 1≤t<5. 8. -1≤y≤3 9. -23 [解析] 抛物线y=-3(x- 2m)2+m-3的顶点坐标为(2m,m- 3),将其代入y=2x-1,得m-3= 2×2m-1,解得m=-23. 10. 8 [解析] ∵ A(m,2024)、 B(m+n,2024)是抛物线y=-(x- h)2+2040上的两点,∴ -(m- h)2+2040=2024,-(m+n-h)2+ 2040=2024.∴ (m-h)2=16,(m+ n-h)2=16.∴ m-h=±4,m+n- h = ± 4,即 m-h=4, m+n-h=-4 或 m-h=-4, m+n-h=4. ∴ n=-8或n=8. ∵ n为正数,∴ n=8. 11. 如图. (第11题) 12. (1) 把A(2,0)代入y=a(x- 4)2+2,得(2-4)2a+2=0,解得 a=-12. ∴ a的值为-12. (2) 由(1),可知二次函数的表达式为 y=- 1 2 (x-4)2+2. ∴ 该函数图像的对称轴为直线 x=4. ∴ C(4,0). 令x=0,得y=-6. ∴ B(0,-6). ∴ OB=6. ∵ A(2,0), ∴ AC=4-2=2. ∴ S△ABC= 1 2AC ·OB=12×2× 6=6. 13. D [解析] 易知抛物线y= a(x-5)2+9的顶点坐标为(5,9). ∵ 当7<m<8时,总有n<1,∴ a< 0.∴ 当x<5时,y随x增大而增大; 当x>5时,y随x增大而减小.∵ 当 3<m<4时,总有n>1;当7<m<8 时,总有n<1,∴ 当m=3时,n≥1; 当m=7时,n≤1.∴ 4a+9≥1, 4a+9≤1, 则 4a+9=1.∴ a=-2. 14. (1) ∵ y=a(x-m)2+2m+2, ∴ 抛物线的顶点P 的坐标为(m, 2m+2). 设x=m,y=2m+2. ∴ y=2x+2. ∴ 抛物线的顶点P 一定在直线y= 2x+2上,即无论m 为何值,顶点P 一定在一条直线上. (2) ① 当 m=1时,y=a(x- 1)2+4, ∴ 抛物线的顶点P 的坐标为(1,4), 对称轴为直线x=1. ∵ a<0, ∴ 抛物线的对称轴上的点(1,1)、(1, 2)、(1,3)必在区域内. 当点(0,3)在抛物线上时,得a+4= 3,解得a=-1,此时y=-(x- 1)2+4. 令x=-1,得y=-(-1-1)2+4=0. ∴ 当-1≤x<0时,区域内不存在 “整点”. 易知点(0,1)、(0,2)在区域内. 由抛物线的对称性,可知点(2,1)、 (2,2)也在区域内. ∴ 7个“整点”的坐标分别为(1,1)、 (1,2)、(1,3)、(0,1)、(0,2)、(2,1)、 (2,2). ∴ 在y=a(x-1)2+4中,令x=0, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 得y=a+4. ∴ 易得2<a+4≤3. ∴ -2<a≤-1. ② ∵ 抛物线y=a(x-m)2+2m+2 的对称轴为直线x=m,A(-1,0)、 B(n,0), ∴ -1+n=2m. ∴ n=2m+1. ∴ B(2m+1,0). ∵ 点P在第一象限内, ∴ m>0. 设直线PB对应的函数表达式为y= kx+b(k≠0). 将P(m,2m+2)、B(2m+1,0)代入, 得 mk+b=2m+2, (2m+1)k+b=0, ∴ k=-2, b=4m+2. ∴ y=-2x+4m+2. 当点(1,3)在直线PB 上时,-2+ 4m+2=3,解得m=34. ∴ y=-2x+5. 此时点(2,1)也在直线y=-2x+5上. ∴ △OBP 内(不含边界)有2个“整 点”(1,1)、(1,2). ∴ 在y=-2x+4m+2中,令x=1, 得y=-2+4m+2=4m. ∴ 2<4m≤3. ∴ 1 2<m≤ 3 4. 第4课时 二次函数y=ax2+ bx+c的图像和性质 1. B 2. B 3. 1 4. -1<a≤1 5. (1) ∵ 点A(-1,m)在正比例函 数y=-2x的图像上, ∴ m=-2×(-1)=2. ∴ 点A的坐标为(-1,2). ∵ 点A在二次函数y=-x2+2x+c 的图像上, ∴ -1-2+c=2,解得c=5. (2) ∵ 二次函数的表达式为y= -x2+2x+5=-(x-1)2+6, ∴ 二次函数图像的对称轴为直线 x=1,顶点坐标为(1,6). 6. B [解析] 由题意,得y=x2- 2mx+m2+2m-1=(x-m)2+ 2m-1,∴ 顶点坐标为(m,2m-1). 令x=m,y=2m-1,得y=2x-1. ∴ 顶点在函数y=2x-1的图像上. ∵ 2>0,-1<0,∴ 函数y=2x-1 的图像过第一、三、四象限,不过第二 象限.∴ 顶点一定不在第二象限. 7. B [解析] 将二次函数y=ax2- 8ax+2=a(x-4)2+2-16a的图像 向左平移m个(m>0)单位长度后,得 到的图像对应的函数表达式为y= a(x-4+m)2+2-16a.∵ 平移后的 图像经过点(5,2),a≠0,m>0, ∴ a(5-4+m)2+2-16a=2.整理, 得(1+m)2=16,解得 m=3或 m=-5(不合题意,舍去).∴ m=3. 8. A [解析] ∵ y=-x2+2mx+ m=-(x-m)2+m2+m,∴ 抛物线 开口向下,对称轴为直线x=m,顶点 坐标为(m,m2+m).∴ 当x<m 时, y随x增大而增大.∵ 当-2<x<1 时,y 随x 增大而增大,∴ m≥1. ∴ m2+m>0.∴ 抛物线的顶点(m, m2+m)在第一象限. 9. 8 [解析] ∵ y=x2-6x+17= (x-3)2+8,∴ 抛物线的顶点坐标为 (3,8).∴ AC长的最小值为8.∵ 四 边形ABCD 是矩形,∴ BD=AC. ∴ BD长的最小值为8. 10. m<1 [解析] ∵ 抛物线y= ax2+bx+c(a>0)经过点C(2-n, 1)、D(n,1),∴ 抛物线开口向上,对 称轴为直线x=2-n+n2 =1.∵ 抛物 线y=ax2+bx+c(a>0)经过点 A(3-m,y1)、B(m+1,y2),且y1> y2,∴ 点A(3-m,y1)到对称轴的距 离大于点B(m+1,y2)到对称轴的距 离.∴ |3-m-1|>|m+1-1|. ∴ m<1. 11. (1) 4≤y≤40 [解析] ∵ y= x2-4x+8=(x-2)2+4,∴ 该二次 函数图像的对称轴为直线x=2. ∵ 1>0,∴ 当x=2时,y取得最小 值,最小值为4;当-4≤x<2时,y随 x增大而减小;当2<x≤3时,y随x 增大而增大.当x=-4时,y=40;当 x=3时,y=5.∴ 当-4≤x≤3时,y 的最大值为40.∴ 当-4≤x≤3时,y 的取值范围是4≤y≤40. (2) 3 [解析] ∵ y=x2-2mx+ 2m+3=(x-m)2-m2+2m+3, ∴ 抛物线的顶点坐标为(m,-m2+ 2m+3).∴ p=-m2+2m+3= -(m-1)2+4.∴ 当m≥2时,p随 m增大而减小.∴ 当m=2时,p取得 最大值,最大值为3. 12. (1) 将A(0,3)代入y=-x2- 3x+t,得t=3. ∴ 抛物线对应的函数表达式为 y=-x2-3x+3. (2) ∵ 点P(m,n)在抛物线y= -x2-3x+3上, ∴ n=-m2-3m+3. ∴ m+n=-m2-2m+3=-(m+ 1)2+4. ∴ 当m=-1时,m+n取得最大值, 最大值为4. 13. (1) ∵ y=x2+x+1= x+ 1 2 2 +34 , ∴ 二次函数y=x2+x+1的图像的 顶点坐标为 -12,34 . ∴ 二次函数y=x2+x+1的一个 “同倍项二次函数”的图像的顶点坐标 为 -1,32 . ∴ 二次函数y=x2+x+1的一个 “同倍项二次函数”的表达式可以为 y=(x+1)2+ 3 2 (答案不唯一). (2) ∵ y1 =x2 +nx = x + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 n 2 2 -n 2 4 , ∴ 二次函数y1 的图像的顶点坐标 为 -n2 ,-n 2 4 . ∵ y1+y2=x2+nx+x2+3nx+1= 2x2+4nx+1=2(x+n)2+1-2n2, ∴ 二次函数y1+y2的图像的顶点坐 标为(-n,1-2n2). ∵ y1+y2是y1的“同倍项二次函数”, ∴ 1-2n2=2× -n 2 4 ,解得n= ± 63. 14. A [解析] ∵ a-b+c=0,9a+ 3b+c=0,∴ 在y=ax2+bx+c中, 当y=0时,x=-1或x=3.∴ 图像 的对称轴为直线x=3+ (-1) 2 =1. ∴ 图像的顶点只可能在第一象限或 第四象限.∵ b>0,∴ a<0.∵ 当图 像的顶点在第四象限时,该图像与 x轴没有交点,∴ 图像的顶点在第一 象限. 15. (1)∵ 抛物线y=ax2-(b+ 2)x-a+b+6(a<0,a、b均为常数) 经过点(3,4), ∴ 9a-3(b+2)-a+b+6=4. ∴ b=4a-2. ∴ 该抛物线的对称轴为直线x= -- (b+2) 2a =2. (2) ∵ b=4a-2, ∴ y=ax2-4ax+3a+4=a(x- 2)2-a+4. ∵ 函数y的最大值为5,a<0, ∴ -a+4=5,解得a=-1. 令x=0,得y=3a+4=1. ∴ 该抛物线与y 轴的交点坐标是 (0,1). (3) ∵ y=a(x-2)2-a+4(a<0), ∴ 抛物线开口向下. ∵ 0≤x≤3, ∴ 易知当x=2时,函数y的值最大, 此时y=4-a,即m=4-a;当x=0 时,函数y的值最小,此时y=3a+4, 即n=3a+4. ∴ 3m+n=12-3a+3a+4=16. 5.3　用待定系数法确定 二次函数表达式 1. C 2. D 3. y=-x2+4x+3 4. 答案不唯一,如y=x2-6x 5. 由题意,将P(2,m)代入y=4x- 8,得 m =8-8,解得 m =0;将 Q(n,-8)代入y=4x-8,得-8= 4n-8,解得n=0. ∴ P(2,0)、Q(0,-8). 设该二次函数的表达式为y=ax2+ bx-8(a≠0). ∵ 该二次函数图像的对称轴是直线 x=-1, ∴ -b2a=-1 ,即b=2a①. 将P(2,0)代入y=ax2+bx-8,得 0=4a+2b-8②. 联立①②,解得a=1,b=2. ∴ 该二次函数的表达式为y=x2+ 2x-8. 6. B [解析] ∵ 抛物线y=x2+ (3m-1)x-3m(m>0)的最低点的 纵坐标为-4,∴ 4ac-b2 4a =-4 ,即 4×1×(-3m)-(3m-1)2 4×1 =-4 ,解 得m1=1,m2=- 5 3 (不合题意,舍 去).∴ m=1.∴ 该抛物线对应的函 数表达式为y=x2+2x-3. 7. D [解析] ∵ y=ax2-6ax+3 (a<0),∴ 二次函数的图像开口向 下,对称轴为直线x=3.∵ 当2≤x≤ 5时,8≤y≤12,∴ 当x=3时,y取 得最大值12.∴ 12=9a-18a+3,解 得a=-1. 8. C [解 析 ] 由 题 意,得 2=a(1-h)2+k, 6=a(5-h)2+k. 整理,得a(5- h)2-a(1-h)2=4,即a(6-2h)=1. 若h=2,则a=12>0 ,故选项A错 误.若h=4,则a=-12<0 ,故选项B 错误.若h=6,则a=-16<0 ,故选 项C正确.若h=8,则a=-110<0 , 故选项D错误. 9. y= 5 2x 2-92x+2 [解析] 由题 图,可知经过点A、B、D 的二次函数 的图像开口向上,a>0;经过点A、B、 C的二次函数的图像开口向上,a> 0;经过点B、C、D的二次函数的图像 开口向下,a<0;经过点A、D、C的二 次函数的图像开口向下,a<0.∵ 经 过点A、B、D的二次函数的图像的开 口小于经过点A、B、C的二次函数的 图像的开口,∴ 当图像经过点A、B、 D 时,二次函数的a的值最大.当二 次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 像 经 过 点 A、B、D 时,可 得 c=2, a+b+c=0, 4a+2b+c=3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=52 , b=-92 , c=2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴ 当 a的值最大时,二次函数的表达式为 y= 5 2x 2-92x+2. 10. y=2x2+4x+1 [解析] ∵ CD∥ x轴,点C 的坐标为(0,1),∴ 点D 的坐标为(-2,1).∴ 该抛物线的对 称轴为直线x=-1.∴ - b2×2= -1,解得b=4.把C(0,1)代入y= 2x2+4x+c,得c=1.∴ 该抛物线对 应的函数表达式为y=2x2+4x+1. 11. -10 [解析] ∵ y=x2+bx+ c= x+b2 2 +c-b 2 4 ,∴ 当x= -b2 时,y 取得最小值,为c- b2 4. ∵ b>0,c<0,∴ 二次函数的图像的 顶点在第三象限.∵ 当-5≤x≤0 时,-11≤y≤5,∴ 易得当x=-5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6