5.1 二次函数-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

第5章　二次函数 5.1　二次函数 1. C 2. B 3. (1) ① (2) -4 4. 四 5. (1) 由题意,得m2-m=0且m- 1≠0,解得m=0. (2) 由题意,得m2-m≠0,解得m≠ 0且m≠1. 6. B 7. C [解析] ① 由题意,得y=x2, 属于二次函数关系;② 由题意,得 y= 1 2x (x-1)=12x 2-12x ,属于 二次函数关系;③ 由题意,得y= 6x2,属于二次函数关系;④ 由题意, 得y=120x,属于一次函数关系.综上 所述,两个变量所满足的函数关系属 于二次函数关系的有①②③,共3个. 8. D [解析] ∵ △ABC是等边三角 形,∴ ∠B=∠C=∠A=60°.又 ∵ DE∥BC,∴ ∠ADE=∠B=60°. ∴ △ADE 是等边三角形.∵ BD= xcm,∴ AD=AB-BD=(20- x)cm.∴ △ADE 的周长=3AD= 3(20-x)cm.又∵ △ABC的周长= 3AB=60cm,∴ y1=60-3(20- x)=3x.∵ 易得△ADE 的面积= 3 4AD 2= 3 4 (20-x)2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 cm2,△ABC 的面积= 34AB 2= 3 4×20 2􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 cm2, ∴ y2= 3 4×20 2- 34 (20-x)2= - 34x 2+103x.∴ y1与x、y2与x 满足的函数关系分别是一次函数关 系、二次函数关系. 9. 3 10. y=- 1 2x 2+x [解析] ∵ 四边 形ABCD 是正方形,∴ CD=BC= AB =2,∠C = ∠CDA =90°= ∠ADE.∵ DF 平 分 ∠ADE, ∴ ∠ADF = 12 ∠ADE = 45°. ∴ ∠MDF=90°+45°=135°.在BC 上截取CH =CM,连接 MH,则 △MCH 是等腰直角三角形,BH= MD=2-x.∴ ∠CHM=∠CMH= 45°.∴ ∠BHM=180°-∠CHM= 135°.∴ ∠MBH +∠HMB=45°, ∠BHM=∠MDF.∵ MF⊥BM, ∴ ∠FMB=90°.又∵ ∠CMH=45°, ∴ ∠FMD + ∠HMB = 45°. ∴ ∠MBH=∠FMD.∴ △HMB≌ △DFM.∴ S△HMB = S△DFM = 1 2CM ·BH.∴ y与x 之间的函数 表达 式 为y = 1 2x (2-x)= -12x 2+x. 根据图形性质建立函数表达式 解答与几何图形有关的问题 时,往往需要我们灵活地运用性 质,挖掘隐含在图形中的线段、角 之间的数量关系,进而建立函数表 达式. 11. (1) ∵ y是x的二次函数, ∴ m2-4≠0,解得m≠±2. (2) ∵ y是x的一次函数, ∴ m2-4=0,且m2-3m+2≠0,解 得m=-2. 12. y=6x-x2(0≤x≤6) [解析] 如图,延长CO,交AB 于点 G.∵ C 是 ☉O 的ACB︵ 的中点, ∴ CO⊥AB,AG=12AB= 1 2×6= 3.∴ AE2 =AG2 +EG2,EF2 = FG2+EG2.由题意,得当0≤x≤3 时,AF=x,FG=3-x.∴ y= AE2-EF2=AG2+EG2-FG2- EG2=AG2-FG2=9-(3-x)2= 6x-x2(0≤x≤3).当3<x≤6时, AF=x,FG=x-3.∴ y=AE2- EF2=AG2+EG2-FG2-EG2= AG2-FG2=9-(x-3)2=6x- x2(3<x≤6).综上所述,y=6x- x2(0≤x≤6). (第12题) 13. (1) ∵ 篱笆长为24m,花圃的宽 AB为xm, ∴ 花圃的长BC为(24-3x)m. ∴ S=(24-3x)x=-3x2+24x. 由题意,得24-3x>0,x>0,24- 3x>x, ∴ 0<x<6. (2) ∵ 24-3x≤9, ∴ x≥5. 结合(1),得5≤x<6. 5.2　二次函数的图像和性质 第1课时 二次函数y=ax2的 图像和性质 1. C 2. B 3. 2π 4. a1>a2> a3>a4 5. (1) 把x=3,y=3代入y=ax2, 得9a=3,解得a=13. ∴ 这个二次函数的表达式为y= 1 3x 2. 当x=-2时,y= 1 3× (-2)2=43. (2) ∵ y= 1 3x 2,1 3>0 , ∴ 图像开口向上,对称轴是y轴,顶 点坐标是(0,0). 6. C 7. C 8. D 9. y1<y2<y3 10. -2 [解析] ∵ 二次函数y= (m +1)x|m| 的 图 像 开 口 向 下, ∴ |m|=2 且 m +1<0,解 得 m=-2. 11. 一、三、四 [解析] ∵ 二次函数 y=ax2(a≠0)的图像开口向上, ∴ a>0.又∵ 直线y=ax-1与y轴 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 2 5.1　二次函数 ▶ “答案与解析”见P1 1. 下列关系中,属于二次函数关系的是 ( ) A. 当距离s一定时,汽车行驶的时间t与速 度v之间的关系 B. 在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体 的质量x之间的关系 C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系 D. 正方形的周长C与边长a之间的关系 2. (易错题)已知y=(m+1)xm 2+1+2x-3是 关于x的二次函数,则m的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. -1 D. 1或-1 3. (1) 有下列函数:① y=6x2+1;② y=6x+ 1;③ y= 6 x+1 ;④ y= 6 x2 +1.其中,属于二 次函数的是 (填序号). (2) 二次函数y=2x(x-3)的二次项系数与 一次项系数的和为 . 4. 若y=(m+1)x|m|+1+4x-5是关于x的二 次函数,则一次函数y=mx+m 的图像不经 过第 象限. 5. 已知关于x的函数y=(m2-m)x2+(m- 1)x+m+1. (1) 若这个函数是一次函数,求m的值. (2) 若这个函数是二次函数,求m 的取值 范围. 6. 有下列函数:① y=1-x2;② y=x(x-1); ③ y= 1 x2+1 ;④ y=(x-2)2-x2.其中,属 于二次函数的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 有下列不同的情境:① 设正方形的边长为x, 面积为y,则y与x之间的函数关系;② x支 球队参加比赛,每两支球队之间比赛一场,则 比赛的场次数y与x之间的函数关系;③ 设 正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x之 间的函数关系;④ 若一辆汽车以120km/h 的速度匀速行驶,则汽车行驶的路程y(km) 与行驶时间x(h)之间的函数关系.其中,两 个变量所满足的函数关系属于二次函数关系 的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. (学科内综合)如图,等边三角形ABC的边长 为20cm,点D 在边AB 上(不与点A、B 重 合),过点D 作DE∥BC,交AC 于点E.设 BD=xcm,△ADE的周长比△ABC的周长 小y1cm,△ADE的面积比△ABC的面积小 y2cm2,当x在一定范围内变化时,y1和y2 都随x变化而变化,则y1与x、y2与x满足 的函数关系分别是 ( ) (第8题) A. 反比例函数关系、一次函数关系 B. 反比例函数关系、二次函数关系 C. 一次函数关系、一次函数关系 D. 一次函数关系、二次函数关系 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 第5章　二次函数 3 9. 已知函数y=(k2+k)xk 2-2k-1是二次函数, 则k= . 10. ★如图,在正方形ABCD 中,AB=2,M 为 正方形ABCD 的边CD 上的动点(不与点 C、D 重合),连接BM,过点 M 作MF⊥ BM,与正方形ABCD 的外角∠ADE 的平 分线交于点F.设CM=x,△DFM 的面积 为y,则y 与x 之间的函数表达式为 (无需写出自变量的取值 范围). (第10题) 11. 已知函数y=(m2-4)x2+(m2-3m+ 2)x-m-1. (1) 当m为何值时,y是x的二次函数? (2) 当m为何值时,y是x的一次函数? 12. 如图,C是☉O的ACB ︵ 的中点,弦 AB=6,E为OC上任意一点,动点 F从点A出发,以每秒1个单位长 度的速度沿AB 方向向点B 匀速运动.设 y=AE2-EF2,动点F的运动时间为x秒, 则y与x之间的函数表达式为 . (第12题) 13. 如图,在一面靠墙的空地上用长为 24m的篱笆围成中间隔有一道篱 笆的矩形花圃ABCD(BC>AB). 设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2. (1) 求S与x之间的函数表达式及自变量 x的取值范围. (2) 若墙的最大可用长度为9m,求此时自 变量x的取值范围. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”.