第27章 相似 拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

数学(人教版)九年级下 3 第二十七章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF 的周长之比为 ( ) A. 1∶1 B. 1∶3 C. 1∶6 D. 1∶9 2. 如图,△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形,相似比 为2∶3,下列选项中,错误的是 ( ) A. AC∥A'C' B. S△A'B'C'∶S△ABC=4∶9 C. △BCO∽△B'C'O D. OB'∶BB'=3∶2 (第2题) (第3题) 3. 如图,点P 在△ABC的边AC上.若只添加一个条件,就可以判定 △ABP∽△ACB,则下列条件中,合适的是 ( ) A. AB AC= BP BC B. BP2=AP·PC C. AB2=AP·AC D. AB BP= AC CB 4. 如图,△ABC是面积为27cm2的等边三角形,被一平行于BC的矩 形所截,AB被截成三等份,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 9cm2 B. 8cm2 C. 6cm2 D. 12cm2 (第4题) (第5题) (第6题) 5. 如图,在正方形ABCD 中,点E在边BC上,且CE∶BE=1∶3,连 接AE,过点E作EF⊥AE,交CD 于点F,连接AF并延长,交BC 的延长线于点G.若CG=3,则正方形ABCD 的边长为 ( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 6. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D 在小 正方形的顶点处,AC与BD 相交于点O,则AO的长为 ( ) A. 29 3 B. 26 3 C. 29 2 D. 26 2 7. 如图,在△ABC中,D 是边BC的中点,AF=2BF,CE=3AE,连接 CF交DE于点P,则PDEP 的值为 ( ) A. 1 2 B. 2 5 C. 1 3 D. 2 7 (第7题) (第8题) 8. 把一条线段分割为两部分,使较大部分与全长的比值等于较小部分 与较大部分的比值,则这个分割法称为黄金分割,比值为 5-1 2 ,它 被公认为是最能引起美感的比.如图,E 是正方形ABCD 的边AB 上的黄金分割点,且AE>EB,以AE 为边作正方形AEHF,延长 EH 交CD 于点I,连接BF交EI于点G,连接BI,则 S△BCI S△FGH 的值为 ( ) A. 1 B. 5+1 3 C. 5-1 2 D. 5+1 2 9. 如图,等腰三角形ABC的面积为23,AB=AC,BC=2,作AE∥ BC且AE=12BC ,P是线段AB上一动点,连接PE,过点E作PE 的垂线,交BC的延长线于点F,M 是线段EF的中点.当点P从点 A运动到点B时,点M 的运动路径长为 ( ) A. 3 B. 3 C. 23 D. 4 (第9题) (第10题) 10. 如图,四边形ABCD 是一张矩形纸片,将其按如图所示的方式折 叠,使边DA落在边DC上,点A 落在点H 处,折痕为DE,使边 CB落在边CD 上,点B 落在点G 处,折痕为CF.若矩形HEFG 与原矩形ABCD 相似,AD=1,则CD 的长为 ( ) A. 2-1 B. 5-1 C. 2+1 D. 5+1 二、 填空题(每小题4分,共20分) 11. 如图,平行于BC的线段DE把△ABC分成面积相等的两部分.若 AD=1,则BD 的长为 . (第11题) (第12题) 12. 如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D 作DE∥ CB,且DE=DC,连接AE 交BC 于点F.若∠CAB=∠CFA, CF=1,则BF= . 13. 如图,在等边三角形ABC 中,OD∥BC,OE∥AC,OF∥AB.若 OD=3,OE=2,OF=1,则等边三角形ABC的面积为 . (第13题) (第14题) (第15题) 14. 如图,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=4,Q 是矩形ABCD 左侧的 一点,连接AQ,BQ,且∠AQB=90°,连接DQ,E 为DQ 的中点, 连接CE,则CE长的最大值为 . 15. 如图,正方形CEGF的边EC初始位置在BC上,绕正方形ABCD 的顶点C按顺时针方向旋转α(0°<α<45°),当B,E,F三点在同 一条直线上时,连接CG并延长,交AD 于点H,连接AC,AG.若 AG=3,GH=2,则BC的长为 . 三、 解答题(共50分) 16. (8分)如图,为了求出海岛上的山峰AB的高度,在D 处和F处竖 起标杆CD 和EF,标杆的高都是20米,D,F两处相隔200米,并 且AB,CD 和EF 在同一平面内.从标杆CD 处后退80米到G 处,可以看到峰顶A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆EF处 后退160米到H 处,可以看到峰顶A 和标杆顶端E 在同一条直 线上.求山峰AB的高度及它和标杆CD 的水平距离(BD 的长). (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 17. (8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在斜边AB 上,以点 O为圆心,OB长为半径作☉O,分别与BC,AB相交于点D,E,连 接AD,∠CAD=∠B. (1) 求证:AD 是☉O的切线. (2) 若AC=4,BD=6,求AE的长. (第17题) 18. (10分)如图,在等边三角形ABC 中,点E,F 分别在边AB,AC 上,将△AEF沿EF折叠,点A落在边BC上的点D 处. (1) 求证:△BED∽△CDF. (2) 若CD=2BD,求EDDF 的值. (第18题) 19. (12分)如图,在△ABC中,D,G 分别是边BC,AC 上的点,连接 AD,BG相交于点E,BE=BD,过点C作AD 的平行线,与BG的 延长线交于点F,CDBD= 1 2 ,DE EA= 2 3. (1) 求FG BG 的值. (2) 若BC=3FC,求证:AB=BF. (3) 若AB=AD,求CFBC 的值. (第19题) 20. (12分)如图①,在△ABC 中,AB=AC=17,BC=30,AD 是边 BC上的中线.如图②,将△ABC分别沿EF,GH 折叠,顶点B,C 均与点D 重合,折痕分别交AB,AC,BC于点E,G,F,H. (1) 如图②,试判断四边形AEDG的形状,并说明理由. (2) 如图③,将图②中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN 折 叠,使得顶点B与点H 重合,折痕分别交AB,BC于点M,N,BM 的对应线段交DG于点K,求四边形MKGA的面积. (第20题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 点在函数y= k x (k≠0,x>0)的图象 上,则点B的对应点为(4+m,1), ∴ 1×(4+m)=12,解得m=8. 若平移后,点D 的对应点在函数y= k x (k≠0,x>0)的图象上,则点D 的 对应点为(m,3), ∴ 3m=12,解得m=4. 若平移后,点A 的对应点在函数y= k x (k≠0,x>0)的图象上,则点A 的 对应点为(m,1), ∴ m=12. 综上所述,m的值为4或8或12. (3) a=2b+2. 20. (1) 如图①,延长FE交x轴于点 H,则FH⊥x轴,四边形AOHF 和 四边形DBHE是矩形. ∴ AF=OH,EH=BD. 由题意,得 AC =BC =2,CF = CD=1, ∴ OH=AF=AC+CF=3,EH= BD=BC-CD=1. ∴ E(3,1). ∵ 函数的图象经过点E, ∴ k=3. ∴ 这两个正方形的“和谐值”为3. (2) 设大正方形的边长为a,小正方 形的边长为b. 同(1),可得E(a+b,a-b), ∴ k=(a+b)(a-b)=a2-b2. ∵ S1=a2,S2=b2, ∴ S1-S2=a2-b2. ∴ k=S1-S2. (3) 设大正方形的面积为S1,小正方 形的面积为S2. ① 如图②,当AG=13AC 时, ∵ 正方形AOBC的边长为6, ∴ G(2,6). ∵ 点G在函数的图象上, ∴ k=12. 由(2),知k=S1-S2, ∴ S2=S1-k=62-12=24. ∴ 小正方形的边长为26. ② 如图③,当AG=23AC 时, ∵ 正方形AOBC的边长为6, ∴ G(4,6). ∵ 点G在函数的图象上, ∴ k=24. ∵ k=S1-S2, ∴ S2=S1-k=62-24=12. ∴ 小正方形的边长为23. 综上所述,小正方形的边长为23或 26. (第20题) 第二十七章拔尖测评 一、 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B 6. A 7. C [解析] 如图,过点E 作EH∥ CB,交AB于点G,交CF的延长线于 点H.∵ EG∥CB,CE=3AE,∴ 易 得EG BC= AG AB= AE AC= 1 4. 设EG=m, 则BC=4m.∵ AF=2BF,∴ 设 BF =a,则 AF =2a.∴ AG = 1 4AB= 3 4a ,FG=2a-34a= 5 4a. ∵ EG∥CB,∴ 易得GH BC = FG BF. ∴ GH 4m= 5 4a a .∴ GH=5m.∵ EG∥ CB,∴ 易得PD EP= CD EH.∵ D是边BC 的中 点,∴ CD = 12BC =2m. ∵ EH=EG+GH=6m,∴ PD EP= CD EH= 2m 6m= 1 3. (第7题) 8. D [解析] ∵ 四边形ABCD是正 方形,∴ BC=CD=DA=AB.∵ E 是正方形ABCD 的边AB 上的黄金 分割点,且AE>EB,∴ AE AB= BE AE= 5-1 2 .∵ 四边形AEHF 是正方形, ∴ EH=HF=FA=AE,FH∥AE, AF∥HE.∴ △FHG ∽ △BEG, △BEG∽△BAF.∴ 易得△FHG∽ △BAF.∴ GH FA= FH BA.∴ 易得GH HE= AE AB= 5-1 2 .∴ GH= 5-12 HE= 5-1 2 AE.∵ ∠C = ∠CBE = ∠BEI=90°,∴ 四边形BCIE 是矩 形.∴ IC = BE.∴ S△BCI S△FGH = 1 2BC ·IC 1 2FH ·HG = AB ·BE AE·HG = BE AE · AB HG= 5-1 2 · AB 5-1 2 AE = 5-12 × 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 85 1 5-1 2 × 5-1 2 = 5+12 . 9. B [解析] 如图,过点A作AH⊥ BC于点H.当点P'与点A 重合时, 点F'与点C重合,当点P″与点B 重 合时,点 F 的对应点为F″,连接 M'M″,点M 的运动轨迹是△ECF″的 中位线,M'M″= 12CF″.∵ AB= AC,AH ⊥BC,∴ BH =CH = 1 2BC.∵ AE∥BC,AE= 12BC , ∴ AE=CH.∴ 四边形AHCE是平 行四边形.∵ ∠AHC=90°,∴ 四边 形AHCE 是矩形.∴ EC ⊥BF″, AH=EC.∵ BC=2,S△ABC=23, ∴ 1 2×2×AH=23.∴ AH=EC= 23.∵ ∠BEF″=∠ECB=∠ECF″= 90°,∴ ∠BEC + ∠CEF″ =90°, ∠CEF″+∠F″=90°.∴ ∠BEC= ∠F″.∴ △ECB∽△F″CE.∴ EC F″C= CB CE ,即EC2=CB·CF″.∴ CF″= EC2 CB = (23)2 2 =6.∴ M'M″= 1 2CF″=3. (第9题) 10. C [解析] 设GH=x.∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠A=∠ADH= 90°,AD=BC=1.由折叠,得∠A= ∠DHE=90°,AD=DH=1,BC= CG=1,∴ 四边形ADHE 是矩形. ∵ AD=DH,∴ 四边形ADHE是正 方形.∴ AD =HE=1.∵ 矩形 HEFG 与 原 矩 形 ABCD 相 似, ∴ GH AD = HE DC.∴ x 1 = 1 1+x+1. ∴ x= 2-1.∴ GH = 2-1. ∴ CD=2+x=2+1. 二、 11. 2-1 12. 3 13. 93 [解析] 如图,延长DO 交 AC于点G,延长FO 交BC 于点H, 过 点 A 作 AM ⊥DG 于 点 M. ∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠B= ∠C=∠BAC=60°.∵ OF∥AB,即 OH∥BD,∴ ∠OHE=∠B=60°. ∵ OE∥AC,∴ ∠OEH=∠C=60°. ∴ △OHE是等边三角形.∴ EH= OE=2.∵ OF∥AB,∴ ∠GFO= ∠BAC = 60°.∵ OD ∥ BC, ∴ ∠FGO=∠C=60°.∴ △OFG 是 等边 三 角 形.∴ OG =OF =1. ∵ OD=3,∴ DG=4.∵ OD∥BC, ∴ 易 得 △ADG 是 等 边 三 角 形. ∴ DM=12DG=2 ,AD=DG=4.由 勾股定理,得AM=23,∴ S△ADG= 1 2DG ·AM =4 3.∵ OD∥BC, OF∥AB,∴ 四边形ODBH 是平行四 边形.∴ BH=OD=3.∵ OD∥BC, OE∥AC,∴ 四边形OGCE 是平行四 边形.∴ CE=OG=1.∴ BC=BH+ EH+CE=3+2+1=6.∵ OD∥BC, ∴ △ADG∽ △ABC.∴ S△ADG S△ABC = DG BC 2 . ∴ 43 S△ABC = 46 2 . ∴ S△ABC=93. (第13题) 14. 3 [解析] 如图,延长DC 至点 F,使CF=CD,连接FQ,取AB的中 点O,以点O为圆心,AB长为直径作 圆,连接FO,FO 的延长线交☉O 于 点Q',交BC于点G,连接DQ',OQ. ∵ ∠AQB=90°,∴ 点Q是在以点O 为圆心,AB 长为直径的圆上运动. ∵ Q 是矩形ABCD 左侧的一点, ∴ 点Q 是在AQB︵ 上运动.∵ CD= CF,∴ C为DF的中点.∵ E 为DQ 的中点,∴ CE 为△DQF 的中位线. ∴ CE=12FQ.∵ FQ≤FO+OQ, ∴ 当F,O,Q三点共线时,FQ最长, 即为FQ'的长.∵ AB=2,∴ OQ'= OA=OB=1.∵ 四边形ABCD 为矩 形,AB=2,BC=4,∴ AB=CD=2, AD=BC=4,AB∥CD,∠ABC= 90°.∴ CF=CD=2.∵ AB∥DF, ∴ △OBG∽△FCG.∴ OG FG= BG CG= OB CF= 1 2.∴ FG=2OG,CG=2BG. 设BG=x,则CG=2x,∴ x+2x= 4,解得x=43.∴ BG=43 ,CG=83. 在Rt△OBG中,由勾股定理,得OG= OB2+BG2= 12+ 43 2 =53 , ∴ FG=2OG=103.∴ FQ'=OQ'+ OG +FG =1+ 53 + 10 3 =6. ∴ CE最大=12FQ'=3. (第14题) 15. 35 2 [解析] ∵ 四边形ABCD、 四 边 形 CEGF 都 是 正 方 形, ∴ ∠HAC=45°,∠HGA=∠CGF= 45°. ∴ ∠HAC = ∠HGA. ∵ ∠AHG=∠CHA,∴ △AHG∽ △CHA.∴ AG CA= GH AH= AH CH.∵ 四边 形ABCD 是正方形,∴ 设 BC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 95 CD=AD=a,则CA=2a.∵ AG CA= GH AH ,∴ 3 2a = 2AH ,解得AH=23a. ∴ DH=AD-AH=a-23a= 1 3a , CH = CD2+DH2 = 103 a. ∵ AG CA = AH CH ,∴ 3 2a = 2 3a 10 3a . ∴ a=352 .∴ BC=352 . 三、 16. 由题意,得AB⊥BH,CD⊥ BH,EF⊥BH, ∴ ∠ABH =∠CDH = ∠EFH = 90°. ∵ ∠CGD=∠AGB, ∴ △CDG∽△ABG. ∴ CD AB= DG BG. 设AB=a米,BD=b米. ∴ 20 a= 80 80+b. ∵ ∠H=∠H, ∴ △EHF∽△AHB. ∴ EF AB= FH BH. ∴ 20 a= 160 160+200+b. ∴ 80 80+b= 160 160+200+b. ∴ b=200,即BD=200米. ∴ 20 a= 80 80+200. ∴ a=70,即AB=70米. ∴ 山峰AB 的高度为70米,它和标 杆CD的水平距离(BD的长)为200米. 17. (1) 连接OD. ∵ ∠C=90°, ∴ ∠CAD+∠ADC=90°. ∵ OB=OD, ∴ ∠B=∠ODB. ∵ ∠CAD=∠B, ∴ ∠CAD=∠ODB. ∴ ∠ODB+∠ADC=90°. ∴ ∠ADO=90°. 又∵ OD是☉O的半径, ∴ AD是☉O的切线. (2) 连接DE. ∵ BE是☉O的直径, ∴ ∠BDE=90°. ∴ ∠C=∠BDE=90°. ∴ AC∥DE. ∵ ∠B=∠CAD,∠ACD=∠BDE, ∴ △ACD∽△BDE. ∴ AC BD= CD DE= 4 6= 2 3. 设CD=2x,则DE=3x. ∵ AC∥DE, ∴ 易得DE AC= BD BC. ∴ 3x 4= 6 6+2x. ∴ x=1. ∴ CD=2,BC=BD+CD=8. ∴ AB= AC2+BC2=45. ∵ DE∥AC, ∴ AE AB= CD BC. ∴ AE=AB ·CD BC = 45×2 8 =5. 18. (1) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ ∠A=∠B=∠C=60°. ∵ 将△AEF 沿EF 折叠,点A 落在 边BC上的点D处, ∴ ∠EDF=∠A=60°. ∵ ∠BED+∠BDE=180°-∠B= 180°-60°=120°,∠BDE+∠CDF= 180°-∠EDF=180°-60°=120°, ∴ ∠BED=∠CDF. 又∵ ∠B=∠C, ∴ △BED∽△CDF. (2) ∵ CD=2BD, ∴ 设BD=1,则CD=2. 由折叠,可设ED=AE=x,DF= AF=y. ∴ AB=BC=AC=3,BE=3-x, CF=3-y. ∵ △BED∽△CDF, ∴ ED DF= BD CF= BE CD. ∴ x y = 13-y= 3-x 2 . 由x y = 13-y ,得y= 3x 1+x ;由x y = 3-x 2 ,得y= 2x 3-x. ∴ 3x 1+x= 2x 3-x ,解得x=75 或x=0 (不合题意,舍去).经检验,x=75 是 原方程的解. ∴ y= 7 4. ∴ x y =45. ∴ ED DF= 4 5. 19. (1) ∵ DE∥CF, ∴ △BDE∽△BCF. ∴ DE CF= BE BF= BD BC. ∵ CD BD= 1 2 , ∴ BD=2CD. ∴ DE CF= BE BF= 2CD 2CD+CD= 2 3. 设DE=2a,则CF=3a. ∵ DE EA= 2 3 , ∴ EA=3a. ∵ AE∥CF, ∴ △AEG∽△CFG. ∴ EG FG= AE CF= AG CG= 3a 3a=1. ∴ EG=FG. ∵ DE∥CF, ∴ CD BD= EF BE= 1 2. ∴ BE=2EF=4GF. ∴ FG BG= FG FG+4FG= 1 5. (2) 过点B作BH⊥DE于点H. ∵ BD=BE, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 06 ∴ DH=EH=a. ∵ DE∥CF, ∴ △BDE∽△BCF. ∴ BD BC= BE BF ,即BD BE= BC BF. ∴ BC=BF=3CF=33a. ∴ BE=23BF=23a. ∴ EF=12BE=3a. ∴ EG= 32a. ∵ BE AE= 23a 3a = 23 3 ,EH EG= a 3 2a = 23 3 , ∴ BE AE= EH EG. ∵ ∠BEH=∠AEG, ∴ △BEH∽△AEG. ∴ ∠BHE=∠AGE=90°. 由(1),得AG=CG, ∴ BG垂直平分AC. ∴ BA=BC. ∴ AB=BF. (3) ∵ AB=AD, ∴ ∠ABD=∠ADB. ∵ BD=BE, ∴ ∠BED=∠BDE. ∴ ∠BED=∠ABD. ∵ ∠BDE=∠ADB, ∴ △DBE∽△DAB. ∴ DB DA= DE BD ,即BD 5a= 2a BD. ∴ BD= 10a. ∵ CD BD= 1 2 , ∴ BD BC= 2 3. ∴ BC=32BD= 3 10 2 a. ∴ CF BC= 3a 3 10 2 a = 105 . 20. (1) 四边形AEDG是菱形. 理由:∵ AB=AC,AD 是边BC上的 中线, ∴ BD=CD=12BC ,AD⊥BC. ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. 由折叠,得BF=DF=12BD ,CH= DH=12CD ,EF⊥BD,GH⊥CD, ∴ EF∥GH∥AD. ∴ BE AE= BF DF=1 ,CG AG= CH DH=1. ∴ BE=AE,CG=AG. ∴ DE=AE=12AB ,GD=AG= 1 2AC. ∵ AB=AC, ∴ DE=AE=GD=AG. ∴ 四边形AEDG是菱形. (2) 如图,过点K 作KI⊥DH 于点 I,则∠KIH=90°. ∵ AB=AC=17,BC=30,AD 是边 BC上的中线, ∴ AD⊥BC,BD=CD=12BC= 1 2×30=15. ∴ AD= AB2-BD2= 172-152= 8,CH=DH=12CD= 1 2×15= 15 2. ∴ BH=BC-CH=30-152= 45 2. ∵ CH=DH,CG=AG, ∴ GH=12AD= 1 2×8=4. 由折叠,得BN =HN = 12BH = 1 2× 45 2= 45 4 ,MN⊥BH, ∴ MN∥AD. ∴ △MBN∽△ABD. ∴ MN AD= BN BD= 45 4 15= 3 4. ∴ MN=34AD= 3 4×8=6. ∵ ∠KHD=∠B,∠KDH=∠C,且 ∠B=∠C, ∴ ∠KHD=∠KDH. ∴ KD=KH. ∴ DI=HI=12DH= 1 2× 15 2= 15 4. ∵ 易得△KIH∽△ADC, ∴ KI HI= AD CD= 8 15. ∴ KI=815HI= 8 15× 15 4=2. ∵ S四边形MKGA =S△ABC -S△MBH - S△GDC+S△KDH, ∴ S四边形MKGA = 1 2×30×8- 1 2× 45 2×6- 1 2×15×4+ 1 2× 15 2 × 2=30. ∴ 四边形MKGA的面积是30. (第20题) 期中拔尖测评 一、 1. C 2. A 3. D [解析] 如图,过点A作x轴的 垂线EF,过点B作BE⊥EF于点E, 过点D 作DF⊥EF 于点F.∵ 四边 形ABCD 是正方形,∴ AB=AD, ∠DAB=90°.∴ ∠DAF+∠BAE= 90°.∵ BE ⊥ EF,DF ⊥ EF, ∴ ∠AFD=∠BEA=90°.∴ ∠ABE+ ∠BAE=90°.∴ ∠DAF=∠ABE. 在△DAF和△ABE中, ∠AFD=∠BEA, ∠DAF=∠ABE, AD=BA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAF ≌ △ABE.∴ AF =BE,DF =AE. ∵ 四边形ABCD 是正方形,点A 的 坐标为(4,-1),点D 的坐标为(6, 3),∴ AF=BE=4,AE=DF=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16