27.2 第3课时 利用两角关系判定三角形相似&专题特训(四) 相似三角形的基本模型-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

28 第3课时 利用两角关系判定三角形相似 ▶ “答案与解析”见P16 1. 已知等腰三角形ABC的底角为75°,则下列 三角形中,一定与△ABC相似的是 ( ) A. 顶角为30°的等腰三角形 B. 顶角为40°的等腰三角形 C. 等边三角形 D. 顶角为75°的等腰三角形 2. 如图,在△ABC中,点D 在AB 上,点E 在 AC上,且∠1=∠2=∠3,则与△ADE 相似 的三角形的个数为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 (第2题) (第3题) 3. (2024·苏州期末)如图,△ABC是 ☉O 的内接三角形,AB 是☉O 的 直径,AC=3,BC=4,CD 平分 ∠ACB,交AB于点F,交☉O 于点D,连接 BD,BE⊥CD,垂足为E,则AF 的长为 . 4. 如图,☉O与△ABC的边AC相切于点C,与 边AB,BC分别交于点D,E,DE∥OA,CE 是☉O的直径,BD=4,CE=6,求AC的长. (第4题) 5. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=36°.分 别以点A,C为圆心,大于12AC 的长为半径 画弧,两弧相交于点D,E,作直线DE,分别 交AC,BC于点F,G.以点G为圆心,GC长 为半径画弧,交BC 于点H,连接AG,AH, 则下列说法中,错误的是 ( ) (第5题) A. AG=CG B. ∠B=2∠HAB C. △CAH≌△BAG D. △ACG∽△BCA 6. (2024·武威一模)如图,在正方形ABCD 中,E是BC的中点,F是CD 上一点,AE⊥ EF,有下列结论:① ∠BAE=30°;② CE2= AB·CF;③ CF=13CD ;④ △ABE∽ △AEF.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第6题) (第7题) 7. (2023·西安期中)如图,在△ABC中,AB= 4cm,AC=3cm,BC=6cm,D 是AC 上一 点,AD=2cm,点P 从点C出发沿C→B→ A的方向,以1cm/s的速度运动至点A 处, 线段DP将△ABC分成两部分,可以使其中 一部分与△ABC相似的点P的个数为 ( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 29 8. (2024·上饶二模)如图,在平面直角坐标系 中,AB 是☉C 的一条直径,点A,B 的坐标 分别为(0,6),(8,0),P 是☉C 上的一个动 点.当线段CP 截△AOB 所得的三角形与 △AOB相似时,点P的坐标为 . (第8题) (第9题) 9. ★如图,在四边形ABCD 中,AD∥ BC,AB=CD,DE⊥BC,BD⊥ DC,垂足分别为E,D.若DE=3, BD=5,则AB的长为 . 10. 如图,△ABC是等边三角形,点D,E 分别 在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交 于点F. (1) 求证:△ABE∽△FAE. (2) 若AF=7,DF=1,求BD的长. (第10题) 11. (新定义)定义:在三角形中,如果有一个角 是另一个角的2倍,那么称这个三角形是 “2倍角三角形”. (1) 性质探究:下面我们来探究“2倍角三角 形”的三边关系.如图①,在△ABC 中,若 ∠ABC=2∠A,则△ABC的三边存在如下 关系:AC2=BC·(AB+BC).我们可以这 样证明:如图①,作∠ABC的平分线BD 交 AC于点D,则有∠1=∠2=∠A.由∠2= ∠A,得BD=AD.∵ ∠1=∠A,∠C= ∠C,∴ △CBD∽△CAB.∴ CB CA= CD CB= BD AB. 由CB CA= CD CB ,得CD=CB 2 CA ……请你完 成证明过程. (2) 性质应用:如图②,在△ABC中,∠C= 2∠B,AB =12,BC =10,则 AC = . (3) 拓 展 应 用:如 图 ③,在 △ABC 中, ∠ABC=3∠A,AC=6,BC=4.求AB 的长. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似 30 　　　专题特训（四）　相似三角形的基本模型 ▶ “答案与解析”见P18 类型一 “A”字型 1. (2023·宁德模拟)如图,在Rt△ABC 中, ∠B=90°,AB =4cm,BC =8cm,在 Rt△ABC的内部作一个矩形DBFE,其中 DB,BF 在两直角边上,设矩形的一边BF 的长为xcm. (1) AD= cm,BD= cm. (2) 设矩形DBFE的面积为ycm2. ① 求y与x之间的函数解析式. ② 当x 取何值时,y 的值最大? 最大值为 多少? (第1题) 类型二 “X”字型 2. (2023·太原一模)如图,正方形ABCD 的边 长为6,F是边BC上一点,连接AF,交对角 线BD于点E.若DE=2BE,则EF的长为 ( ) 第2题 A. 2 B. 5 C. 22 D. 3 3. (2024·合肥一模)如图,在△DAB 和△EBC中,DA=DB,EB=EC, ∠ADB=∠BEC,且点A,B,C 在 同一条直线上,连接AE,ED,AE 与BD 交 于点F. (1) 求证:DF·BC=BF·AB. (2) 若DF=CE,求DFBD 的值. (第3题) 类型三 “一线三等角”型 4. (2023·邵阳)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,B 是线段AD 上的一点,且CB⊥BE.已知 AB=8,AC=6,DE=4. (1) 求证:△ABC∽△DEB. (2) 求线段BD的长. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 31 5. (2023·武汉模拟)(1) 如图①,点B,C,D在 同一条直线上,∠B=∠ACE=∠D.求证: △ABC∽△CDE. (2) 在(1)的条件下,若C为BD 的中点,求 证:AC2=AB·AE. (3) 如图②,在△ABC中,∠BAC=90°,点O 是△ABC 的内心.若 OA=2 2,OB= 2OC,则BC的长为 . (第5题) 类型四 “手拉手”型 6. (2024·银川二模)图形的旋转变换 是研究数学相关问题的重要手段之 一.小华和小芳对等腰直角三角形 的旋转变换进行了研究.如图①,△ABC 和 △ADE均为等腰直角三角形,点D,E 分别 在线段AB,AC上,且∠C=∠AED=90°. (1) 小华将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋 转,连接BD,CE,设BD 的延长线交CE 于 点F,如图②,当点E与点F重合时. ① BD CE 的值为 . ② ∠BFC的度数为 . (2) 如图③,小芳在小华的基础上继续旋转 △ADE,连接BD,CE,设BD 的延长线交 CE于点F,则(1)中的两个结论是否仍然成 立? 请说明理由. (3) 若AE=DE= 2,AC=BC= 10,CE 所在的直线垂直于AD,求BD的长. (第6题) 类型五 “子母”型 7. ★(2023·广东模拟)如图,☉O为等边三角形 ABC的外接圆,P 为劣弧BC 上任意一点, CP的延长线和AB 的延长线交于点D,连 接BP. (1) 求∠BPC的度数. (2) 求证:AC2=CP·CD. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似 离为 2 2.∵ 5 25 =22 42 = 12 , ∴ “马”应该落在②处. 10. 设点E的坐标为t,12t+2 . 当y=0时, 1 2x+2=0 ,解得x= -4, ∴ A(-4,0). 当x=0时,y= 1 2×0+2=2 , ∴ B(0,2). ∴ BO=2. ∵ 点C的坐标为(4,4),CD⊥x轴, ∴ CD=4,BC= 42+(4-2)2 = 25. ∵ CD∥OB, ∴ ∠EBO=∠BCD. ∴ 当BE CB= BO CD 时,△EBO∽△BCD, 即BE 25 =24 ,解得BE=5. ∴ t2+ 12t+2-2 2 =5,解得t1=2 (不合题意,舍去),t2=-2,此时点E 的坐标为(-2,1). 当BE CD= BO CB 时,△OBE∽△BCD,即 BE 4= 2 25 ,解得BE=455 . ∴ t2+ 12t+2-2 2 =165 ,解得 t1= 8 5 (不合题意,舍去),t2=- 8 5 , 此时点E的坐标为 -85 ,6 5 . 综 上 所 述,点 E 的 坐 标 为 -85 ,6 5 或(-2,1). 11. (1) 设直线AD 对应的函数解析 式为y=kx+b. 把 A 43 ,5 3 ,D (0,1)代入,得 4 3k+b= 5 3 , b=1, 解得k= 1 2 , b=1. ∴ 直线AD对应的函数解析式为y= 1 2x+1. (2) 在y= 1 2x+1 中,当y=0时, 1 2x+1=0 ,解得x=-2. ∴ B(-2,0). ∴ OB=2. ∵ 点D的坐标为(0,1), ∴ OD=1. 在 Rt△BOD 中,由勾股定理,得 BD= OB2+OD2=5. 在y=-x+3中,令y=0,则x=3, ∴ C(3,0). ∴ OC=3. ∴ BC=BO+OC=5. 如图,△BOD与△BCE 相似,有两种 情况: ① 当 ∠BE1C=90°,即 △BOD ∽ △BE1C时,有 BD BC= BO BE1 =DOCE1 ,即 5 5= 2 BE1 = 1CE1 , ∴ BE1=25,CE1=5. 设点E1的纵坐标为h. 根据三角形的面积公式,有1 2BC · h=12CE1 ·BE1. ∴ h= CE1·BE1 BC = 5×25 5 =2. 当y=2时, 1 2x+1=2 ,解得x=2. ∴ E1 (2,2). ② 当 ∠BCE2 =90°,即 △BOD ∽ △BCE2时,CE2⊥x轴,此时点E2 的横坐标为3,纵坐标为12×3+ 1=52 , ∴ E2 3, 5 2 . 综上所述,当△BOD 与△BCE 相似 时,点E的坐标为(2,2)或 3,52 . (第11题) 考虑不全面,造成漏解 对于两个三角形的相似,若已 知一个三角形的三边长,但是另一 个三角形只给出一条边的长,且没 有给出两个三角形之间的对应关 系,则要进行分类讨论.本题中根 据坐标确定边的长,然后根据对应 边的不确定性进行分类讨论.因 此,此类题目容易因考虑不全面, 造成漏解. 第3课时 利用两角关系判定 三角形相似 1. A 2. C 3. 15 7 [解析] ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACF=∠DCB.∵ ∠CAF= ∠CDB,∴ △ACF∽△DCB.如图, 连接AD,过点A 作AH⊥CD 于点 H.∴ ∠AHD=∠DEB=90°.∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB =90°. ∴ ∠ACH=∠BCE=45°.∴ AD= DB,∠ADH = ∠DBE =90°- ∠BDE.∴ △AHD ≌ △DEB. ∴ AH=DE.∵ 易知AC= 2AH, BC= 2CE,∴ AC+BC= 2DE+ 2CE= 2CD.∵ AC=3,BC=4, ∴ 易得CD=722 ,AB=5.∵ 在 Rt△ABD 中,AB= AD2+DB2= 2 DB = 5,∴ DB = 522 . ∵ △ACF∽△DCB,∴ AF DB= AC CD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 ∴ AF=AC ·DB CD = 15 7. (第3题) 4. 连接OD. ∵ DE∥OA, ∴ ∠AOC = ∠OED,∠AOD = ∠ODE. ∵ OD=OE, ∴ ∠OED=∠ODE. ∴ ∠AOC=∠AOD. 又OA=OA,OC=OD. ∴ △AOC≌△AOD. ∴ ∠ACO=∠ADO. ∵ CE是☉O 的直径,AC 为☉O 的 切线, ∴ OC⊥AC. ∴ ∠ACO=90°. ∴ ∠ADO=90°. ∴ OD⊥AB. ∴ ∠BDO=90°. ∵ CE=6, ∴ OD=OC=3. 在 Rt△OBD 中,BD =4,OB2 = BD2+OD2, ∴ OB= 42+32=5. ∴ BC=OB+OC=5+3=8. ∵ ∠BDO=∠BCA=90°,∠B= ∠B, ∴ △BDO∽△BCA. ∴ BD BC= OD AC. ∴ 4 8= 3 AC. ∴ AC=6. 5. C 6. B [解析] 设正方形ABCD 的边 长为 2a.∵ E 是 BC 的 中 点, ∴ BE=CE=a.∴ BE AB= a 2a= 1 2. ∴ ∠BAE ≠30°.故 ① 不 正 确. ∵ AE⊥EF,∴ ∠AEB+∠FEC= 90°.∵ ∠AEB + ∠EAB =90°, ∴ ∠EAB= ∠FEC.又 ∵ ∠B = ∠C=90°,∴ Rt△ABE∽Rt△ECF. ∴ BE CF= AB EC.∴ BE·EC=AB· CF.∵ BE=CE,∴ CE2=AB·CF. 故②正确.∴ CF=CE 2 AB = a2 2a= a 2. ∴ CF CD= 1 2a 2a = 1 4. 故③不正确.在 Rt△CEF中,EF= a2+ 12a 2 = 5 2 a ;在 Rt△ABE 中,AE = (2a)2+a2= 5a.∵ AB AE= 2a 5a = 25 5 ,BE EF= a 5 2a =255 ,∴ AB AE= BE EF. ∵ ∠ABE=∠AEF=90°,∴ △ABE∽ △AEF.故④正确.综上所述,正确的 是②④,有2个. 7. D [解 析] ① 如 图 ①,当 ∠DPC=∠A 时,△ABC∽△PDC. ② 如图 ②,当 ∠PDC = ∠A 时, △ABC ∽ △DPC.③ 如 图 ③,当 ∠APD=∠B 时,△ABC∽△APD. ④ 如图 ④,当 ∠APD = ∠C 时, △ABC∽△ADP.综上所述,符合要 求的点P的个数为4. (第7题) 8. (-1,3)或(4,-2)或(1,-1) [解析] ∵ 点A,B的坐标分别为(0, 6),(8,0),AB 是☉C 的一条直径, ∴ C(4,3),OA=6,OB=8.∴ AB= OA2+OB2=10.∴ 半径CP=5. 如图,过点C作CP1⊥y轴于点D,交 ☉C于点P1,则∠ADC=∠AOB= 90°,∠DAC=∠OAB.∴ △ADC∽ △AOB.∵ C (4,3),CP1 =5, ∴ DP1=5-4=1.∴ 点P1 的坐标 为(-1,3).过点C作CP2⊥x轴于点 E,交 ☉C 于 点 P2,则 ∠CEB = ∠AOB =90°,∠CBE = ∠ABO. ∴ △CEB∽△AOB.∵ C(4,3), CP2=5,∴ EP2=5-3=2.∴ 点P2 的坐标为(4,-2).过点C 作CP3⊥ AB,交x轴于点F,交☉C 于点P3, 则∠BCF=∠AOB=90°,∠CBF= ∠OBA.∴ △BCF∽△BOA.过点 P3 作 P3G ⊥CP2 于 点 G,则 ∠P3GC = ∠CEB = 90°. ∵ ∠P3CG+∠ECB=90°,∠CBE+ ∠ECB=90°,∴ ∠CBE=∠P3CG. ∵ P3C=CB,∴ △P3GC≌△CEB. ∴ CG=BE,P3G=CE.∵ C(4,3), B(8,0),∴ CG=BE=4,P3G= CE=3.∴ 点P3 的坐标为(1,-1). 综上所述,点P 的坐标为(-1,3)或 (4,-2)或(1,-1). (第8题) 9. 15 4 [解 析]∵ DE ⊥BC, ∴ ∠BED=90°.∵ DE=3,BD=5, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 ∴ 在Rt△BDE 中,由勾股定理,得 BE= BD2-DE2 =4.∵ BD⊥ DC,∴ ∠BDC=∠BED=90°.又 ∵ ∠DBC=∠EBD,∴ △BCD∽ △BDE.∴ CD DE= BD BE ,即CD 3 = 5 4. ∴ CD=154.∵ AB=CD,∴ AB=154. 直角三角形及其斜边上的高 组成的基本图形 如图,直角三角形斜边上的高 把直角三角形分成的两个小三角 形与原三角形相似且这两个小三 角形也相似.该基本图形中含有 AD2=BD·CD,AB2=BD·BC, AC2=CD·BC. 10. (1) ∵ △ABC是等边三角形, ∴ AB=BC,∠ABD = ∠BCE = ∠BAC=60°. 在△ABD和△BCE中, AB=BC, ∠ABD=∠BCE, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△BCE. ∴ ∠BAD=∠CBE. 又∵ ∠ABC=∠BAC, ∴ ∠ABC - ∠CBE = ∠BAC - ∠BAD,即∠ABE=∠EAF. 又∵ ∠BEA=∠AEF, ∴ △ABE∽△FAE. (2) ∵ ∠BAD=∠CBE,∠BDA= ∠FDB, ∴ △ABD∽△BFD. ∴ AD BD= BD DF. ∵ AF=7,DF=1, ∴ BD2=AD·DF=(AF+DF)· DF=8. ∴ BD=22. 11. (1) 由CB CA = BD AB ,得 BD = AB·CB CA . ∵ BD=AD=AC-CD,CD=CB 2 CA , ∴ AC-CB 2 CA= AB·CB CA . ∴ AC2-BC2=AB·BC. ∴ AC2=AB·BC+BC2=BC· (AB+BC). ∴ 在△ABC 中,若∠ABC=2∠A, 则AC2=BC·(AB+BC). (2) 8. (3) 如图,作∠CBD=∠A,点D 在 AC上,则∠ABD=2∠A. ∴ △ABD是“2倍角三角形”. ∴ AD2=BD·(BD+AB). ∵ ∠BDC是△ABD 的外角, ∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A. ∴ ∠BDC=∠ABC. 又∵ ∠C=∠C, ∴ △CBD∽△CAB. ∴ CB CA= BD AB= CD CB. ∵ AC=6,BC=4, ∴ CB CA= CD CB ,即CD=CB ·CB CA = 8 3 , CB CA= BD AB ,即BD AB= 2 3. ∴ AD=AC-CD=103. 设BD=2x,则AB=3x. ∴ 10 3 2 =2x(2x+3x), 解得x= 103 (负值舍去). ∴ AB=3× 103 = 10. (第11题) 专题特训（四）　相似 三角形的基本模型 1. (1) x 2 ;4-x2 . (2) ① 根据题意,得y=BD·BF= 4-x2 x, ∴ y=- 1 2x 2+4x(0<x<8). ② 当x=- 4 2× -12 =4时,y的 值最大,最大值为8. 2. B [解析] ∵ 在正方形ABCD 中,AD∥BC,∴ △FEB∽△AED. ∵ DE=2BE,∴ BE DE= 1 2= BF AD= EF AE.∵ 正方形ABCD 的边长为6, ∴ AD=6.∴ 1 2= BF 6.∴ BF=3. ∵ 在正方形ABCD中,∠ABC=90°, ∴ 在Rt△ABF 中,由勾股定理,得 AF= AB2+BF2=35.∴ 1 2= EF AE= EF AF-EF= EF 35-EF ,即35- EF=2EF,解得EF=5. 3. (1) ∵ DA=DB,EB=EC, ∴ DA EB= DB EC. 又∵ ∠ADB=∠BEC, ∴ △DAB∽△EBC. ∴ ∠DAB=∠EBC,DAEB= AB BC. ∴ AD∥EB. ∴ ∠DAF = ∠AEB,∠ADF = ∠DBE. ∴ △ADF∽△EBF. ∴ AD EB= DF BF. ∴ AB BC= DF BF. ∴ DF·BC=BF·AB. (2) 由(1),得△DAB∽△EBC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 ∴ ∠DBA=∠ECB. ∵ ∠FAB=∠EAC, ∴ △ABF∽△ACE. ∴ AB AC= BF CE ,即AC AB= CE BF. ∵ DF=CE, ∴ AC AB= DF BF. 由(1),得ABBC= DF BF. ∴ AB BC= AC AB. ∴ AB BC= AB+BC AB =1+ BC AB. ∴ 易得AB BC= 5+1 2 . ∴ AC AB= DF BF= 5+1 2 . 设DF=(5+1)x,则BF=2x. ∴ DF BD= DF BF+DF= (5+1)x 2x+(5+1)x = 5+1 5+3 = 5-12 . ∴ DF BD 的值为 5-1 2 . 4. (1) ∵ CA ⊥AD,ED ⊥AD, CB⊥BE, ∴ ∠A=∠CBE=∠D=90°. ∴ ∠C+ ∠CBA =90°,∠CBA + ∠DBE=90°. ∴ ∠C=∠DBE. ∴ △ABC∽△DEB. (2) ∵ △ABC∽△DEB, ∴ AC BD= AB DE. ∵ AB=8,AC=6,DE=4, ∴ 6 BD= 8 4. ∴ BD=3. 5. (1) ∵ ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD=∠B+∠BAC,∠ACE= ∠B, ∴ ∠BAC=∠ECD. ∵ ∠B=∠D, ∴ △ABC∽△CDE. (2) ∵ △ABC∽△CDE, ∴ AB CD= BC DE= AC CE. ∵ C为BD的中点, ∴ BC=CD. ∴ AB BC= AC CE. 又∵ ∠B=∠ACE, ∴ △ABC∽△ACE. ∴ AB AC= AC AE. ∴ AC2=AB·AE. (3) 10. [解析] 如图,过点O 作 EF⊥OA,交AB于点E,交AC于点 F.∵ 点 O 是 △ABC 的 内 心, ∴ ∠EAO = ∠FAO,∠ABO = ∠CBO,∠ACO=∠BCO.∵ AO= AO,∠AOE = ∠AOF = 90°, ∴ △AOE≌△AOF.∴ AE=AF. 又∵ ∠BAC=90°,∴ △AEF 是等 腰 直 角 三 角 形.∴ ∠AEF = ∠AFE=45°,OE=OF=OA= 22.∴ AE = OE2+OA2 = (22)2+(22)2 = 4 = AF, ∠BEO=∠OFC=135°.∵ ∠BAC= 90°,∴ ∠CBO + ∠BCO = 12 × (180°-90°)=45°.∴ ∠BOC = 180°- 45°= 135°.∴ ∠BEO = ∠BOC.∵ ∠BOF = ∠BEO + ∠OBE,∠BOF=∠BOC+∠COF, ∴ ∠OBE=∠COF.∴ △BOE∽ △OCF.∴ OE CF= BE OF= BO OC.∵ OB= 2OC,∴ OE CF = BE OF = OB OC = 2. ∴ BE=2OF= 2×22=4,CF= OE 2 =22 2 =2.∴ AB=AE+BE= 4+4=8,AC=AF+CF=4+2=6. 在Rt△BAC中,BC= AB2+AC2= 82+62=10. (第5题) 6. (1) ① 2. ② 45°. (2) 仍然成立. 理由:如图①,设AC交BF于点O. ∵ △ABC 和△ADE 均为等腰直角 三角形, ∴ ∠CAB= ∠EAD =45°,AB= 2AC,AD=2AE. ∴ ∠DAB=∠EAC,ABAC= AD AE=2. ∴ △DAB∽△EAC. ∴ BD CE= AD AE=2 ,∠ABD=∠ACE. ∵ ∠AOB=∠FOC, ∴ ∠BAO = ∠CFO = 45°,即 ∠BFC=45°. (3) 如图②,当CE⊥AD于点O时, ∵ AE=DE= 2,AC=BC= 10, ∠AED=∠ACB=90°, ∴ AD=2AE=2. ∵ EO⊥AD, ∴ OD=OA=OE=1. ∴ 在 Rt △AOC 中,OC = AC2-AO2=3. ∴ EC=OE+OC=4. 由(2),得BD=2EC, ∴ BD=42. 如图③,当EC⊥AD 时,延长CE 交 AD于点O. 同理,可得OD=OA=OE=1,OC= 3,则EC=3-1=2. ∴ BD=2EC=22. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 综上所述,BD的长为42或22. (第6题) 7. (1) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ ∠A=60°. ∵ 四边形ABPC 为☉O 的内接四 边形, ∴ ∠BPC+∠A=180°. ∴ ∠BPC=180°-∠A=180°- 60°=120°. (2) ∵ △ABC为等边三角形, ∴ AC=BC,∠ABC=60°. ∴ ∠DBC=180°-∠ABC=180°- 60°=120°. 由(1)可知,∠DBC=∠BPC=120°, 又∵ ∠BCP=∠DCB, ∴ △BPC∽△DBC. ∴ BC CD= PC BC. ∴ BC2=CP·CD,即AC2=CP·CD. 利用相似三角形证明 等积式的方法 证明等积式时,一般把等积式 中的四条线段分别看成两个三角 形中的两组边,然后通过证明这两 个三角形相似得出比例式,再转化 为等积式. 第4课时 相似三角形的性质 1. B 2. B 3. 18 4. 43 3 5. (1) ∵ △ABC∽△ACD, ∴ ∠B=∠ACD. ∵ CD平分∠ACB,∠ACD=35°, ∴ ∠ACD=∠DCB=∠B=35°. ∴ ∠ADC=35°+35°=70°. (2) ∵ △ABC∽△ACD, ∴ AC AD= AB AC. ∵ AD=3,BD=5, ∴ AC 3= 3+5 AC . ∴ AC=26. 6. D 7. A 8. 3或5 [解析] 如图,过点E 作 EF⊥BC,交BC的延长线于点F.在 Rt△ABC 中,AC= AB2-BC2= 6. ∵ Rt△ABC ∽ Rt△ADE, ∴ ∠BAC = ∠DAE,ABAD = AC AE. ∴ AB AC = AD AE ,∠BAD = ∠CAE. ∴ △ABD∽△ACE.∴ ∠ABD= ∠ACE,BDCE = AB AC = 10 6 = 5 3. 设 BD=x,则CE=3x5.∵ EF⊥BC, AC⊥BC,∴ EF∥AC.∴ ∠CEF= ∠ACE. ∴ ∠ABC = ∠CEF. ∵ ∠ACB = ∠CFE = 90°, ∴ △ABC∽△CEF.∴ AB CE = BC EF. ∴ EF=12x25.∴ S△CDE = 1 2CD · EF=12 (8-x)·12x25=3.6.∴ x2- 8x+15=0,解得x1=3,x2=5. ∴ BD的长为3或5. (第8题) 9. 9 [解析] ∵ 等边三角形ABC沿 边AC上的高BD 平移得到△EFG, ∴ S△ABC = S△EFG,AC ∥ EG. ∴ △MFN ∽ △EFG ∽ △ABC. ∴ S△MFN S△ABC = FDBD 2 .∵ BF FD = 1 3 , ∴ FD BD= 3 4.∵ △MFN 的面积记为 S,S△ABC=16,∴ S 16= 3 4 2 ,解得 S=9. 三角形面积比的规律总结 (1) 相似三角形的面积比等于 相似比的平方. (2) 同(等)高三角形的面积之 比等于底之比. (3) 同(等)底三角形的面积之 比等于高之比. 10. ∵ ∠BAM + ∠AMB =90°, ∠AMB + ∠CMQ = 180° - ∠AMQ=90°, ∴ ∠BAM=∠CMQ. 又∵ ∠ABM=∠C=90°, ∴ △ABM∽△MCQ. ∴ AB MC= AM MQ. ∵ △MCQ∽△AMQ, ∴ △ABM∽△AMQ. ∴ AB BM= AM MQ. ∴ AB MC= AB BM. ∴ BM=MC. 11. (1) ∵ Rt△AEP∽Rt△DPC, ∴ ∠AEP=∠CPD. ∵ ∠CPD=30°,CD=AB=23, ∴ PC=2DC=43. ∴ 易得PD=3DC=6. ∴ AP=AD-PD=4. ∵ ∠AEP=∠CPD=30°, ∴ 易得AE=3AP=43. (2) 存在. 假设存在这样的点P, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02