27.2 第2课时 利用三边比例关系、边角关系判定三角形相似-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

26 第2课时 利用三边比例关系、边角关系判定三角形相似 ▶ “答案与解析”见P15 1. (2024·武威一模)如图,小正方形的边长均 为1,则下列三角形(涂色部分)中,与△ABC 相似的是 ( ) (第1题) A. B. C. D. 2. 如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交 于点O,且将这个四边形分成①②③④四个 三角形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列说法 中,一定正确的是 ( ) (第2题) A. ①②相似 B. ①③相似 C. ①④相似 D. ②③相似 3. (2024·赤峰一模)如图,在△ABC 中,D 为 边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12, AC=8,AD=6.当△ADP 和△ABC 相似 时,AP的长为 ( ) (第3题) A. 9 B. 6 C. 4或9 D. 6或9 4. (2024·宿迁一模)如图,在Rt△ABC 中, ∠C=90°,AC=3,BC=4,点P 在边BC上 (不与点B,C 重合),过点 P 作直线截 △ABC,使截得的新三角形与△ABC 相似. 当截得新三角形与△ABC相似的个数仅为3 时,PC长的取值范围是 . (第4题) (第5题) 5. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC= 3,D是边AB上的一点,AD=1,E 是边AC 上的一点(不与端点重合).如果以A,D,E 为顶点的三角形与△ABC相似,那么AE的 长是 . 6. 如图,△ABC和△PBD 都是正方形网格(每 个小正方形的边长均为1)上的格点三角形 (顶点为网格线的交点).若要使△ABC∽ △PBD,则点P的位置应落在 ( ) (第6题) A. 点P1上 B. 点P2上 C. 点P3上 D. 点P4上 7. (2023·射洪期中)如图,AB=4,CD=6, BD=10,AB⊥BD,CD⊥BD,在线段BD上 有一点P,使得△PAB和△PCD 相似,则满 足条件的点P有 ( ) (第7题) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 27 8. ★(2023·沈阳期末)如图,在由边长为1的小 正方形组成的网格上有5个三角形(三角形 的顶点均在格点上):① △ABC;② △ADE; ③ △AEF;④ △AFH;⑤ △AHG.在②~⑤ 中,与①相似的三角形是 ( ) (第8题) A. ②④ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤ 9. (新情境)在如图所示的象棋盘(各个小正方 形的边长均为1)中,根据“马走日”的规则, 要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三 角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的 三角形相似,则“马”应落在 ( ) (第9题) A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 10. (2023·成都期末)如图,在平面直 角坐标系中,一次函数y= 1 2x+2 的图象分别交x轴、y轴于A,B两点,过该 函数图象上一点C(4,4)作CD⊥x轴于点 D,E是线段AB 上一动点,连接BD,EO. 若以B,E,O为顶点的三角形与△BCD 相 似,求点E的坐标. (第10题) 11. ★如图,在平面直角坐标系中,直线y= -x+3与x轴交于点C,与直线AD 交于 点A 43 ,5 3 ,点D的坐标为(0,1). (1) 求直线AD对应的函数解析式. (2) 直线AD与x 轴交于点B,若E是直线 AD上一动点(不与点B 重合),当△BOD 与△BCE相似时,求点E的坐标. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似 2×1 A2B2 .∴ A2B2=6=2×(2+1).同 理,可得A3B3=12=3×(3+1), A4B4 =20=4× (4+1),…. ∴ AnBn=n(n+1). 7. 5∶4 [解析] 如图,过点F 作 FF1∥BC,交AD 于点F1,过点E 作 EE1∥BC,交AD 于点E1.∵ BE= 1 4AB ,CF= 25AC ,∴ AF AC = 3 5 , AE AB= 3 4.∵ EE1∥BC,FF1∥BC, ∴ EE1∥FF1.∴ △E1EP∽△F1FP. ∴ EP FP= EE1 FF1 .∵ FF1∥BC,EE1∥ BC,∴ 易得 FF1 DC = AF AC= 3 5 ,EE1 BD = AE AB= 3 4. 又∵ D 是BC 的中点, ∴ BD=CD.∴ EE1 FF1 =54.∴ EP PF= EE1 FF1 =54 ,即EP∶PF=5∶4. (第7题) 8. 如图,过点D 作DM∥CF,交AB 于点M. 设FM=x,FQ=y. ∵ DM∥CF, ∴ BM FM= BD CD=p. ∴ BM=xp. ∴ FB=BM+FM=xp+x. ∵ AF FB=r , ∴ AF=xr(p+1). ∵ DM∥FQ, ∴ 易得FQ DM= AF AM. ∴ y DM= xr(p+1) x+xr(p+1). ∴ DM=1+r (p+1) r(p+1)y. ∵ DM∥CF, ∴ 易得DM CF= BM BF= xp xp+x= p p+1. ∴ CF=1+r (p+1) pr y . ∴ CQ QF= 1+r(p+1) pr y-y y =1+r pr . 过点F作FN∥BE交AC于点N,同 理可得BP PE= 1+q qr . (第8题) 9. (1) ∵ GF∥BC, ∴ DG BG= DF FC= 3 2. ∵ BD=20, ∴ BG=8. (2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD. ∴ 易得DM AB= DG GB. 由(1),得DGGB= 3 2 , ∴ DM AB= 3 2. ∴ DM CD= 3 2. ∴ CM CD= 1 2. 10. (1) ∵ CE∥AD, ∴ BD CD= AB AE ,∠2=∠ACE,∠1=∠E. ∵ AD平分∠BAC, ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠ACE=∠E. ∴ AE=AC. ∴ AB AC= BD CD. (2) ∵ AB=3,BC=4,∠ABC=90°, ∴ 在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC= AB2+BC2=5. ∵ AD平分∠BAC, ∴ AC AB= CD BD ,即5 3= CD BD. ∴ BD=38BC= 3 2. ∴ 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 AD= BD2+AB2= 32 2 +32= 35 2 . ∴ △ABD 的 周 长 = 32 +3+ 35 2 = 9+35 2 . 第2课时 利用三边比例关系、 边角关系判定三角形相似 1. C 2. C 3. C 4. 9 4<PC<4 5. 4 5 或5 4 6. B 7. B 8. A [解析] 由题意,得在①②④ 中,∠ABC= ∠ADE = ∠AFH = 135°.又∵ AB BC = AD DE = FH AF = 2 2 , ∴ AB AD= BC DE ,AB FH= BC AF.∴ △ABC∽ △ADE∽△HFA. 利用边角关系判定两个 三角形相似的方法 先找出两个三角形中相等的 角,再分别找出两个三角形中夹这 个角的两条边,并且按从大到小的 顺序排列,找出对应边,最后看这 两组对应边是否成比例.若成比 例,则这两个三角形相似;否则不 相似. 9. B [解析] 由题意,易知“帅”“相” “兵”所在位置的格点构成的三角形的 三边长分别为2,25,42;“车”与 “炮”之间的距离为1,“炮”与②处之 间的距离为5,“车”与②处之间的距 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 离为 2 2.∵ 5 25 =22 42 = 12 , ∴ “马”应该落在②处. 10. 设点E的坐标为t,12t+2 . 当y=0时, 1 2x+2=0 ,解得x= -4, ∴ A(-4,0). 当x=0时,y= 1 2×0+2=2 , ∴ B(0,2). ∴ BO=2. ∵ 点C的坐标为(4,4),CD⊥x轴, ∴ CD=4,BC= 42+(4-2)2 = 25. ∵ CD∥OB, ∴ ∠EBO=∠BCD. ∴ 当BE CB= BO CD 时,△EBO∽△BCD, 即BE 25 =24 ,解得BE=5. ∴ t2+ 12t+2-2 2 =5,解得t1=2 (不合题意,舍去),t2=-2,此时点E 的坐标为(-2,1). 当BE CD= BO CB 时,△OBE∽△BCD,即 BE 4= 2 25 ,解得BE=455 . ∴ t2+ 12t+2-2 2 =165 ,解得 t1= 8 5 (不合题意,舍去),t2=- 8 5 , 此时点E的坐标为 -85 ,6 5 . 综 上 所 述,点 E 的 坐 标 为 -85 ,6 5 或(-2,1). 11. (1) 设直线AD 对应的函数解析 式为y=kx+b. 把 A 43 ,5 3 ,D (0,1)代入,得 4 3k+b= 5 3 , b=1, 解得k= 1 2 , b=1. ∴ 直线AD对应的函数解析式为y= 1 2x+1. (2) 在y= 1 2x+1 中,当y=0时, 1 2x+1=0 ,解得x=-2. ∴ B(-2,0). ∴ OB=2. ∵ 点D的坐标为(0,1), ∴ OD=1. 在 Rt△BOD 中,由勾股定理,得 BD= OB2+OD2=5. 在y=-x+3中,令y=0,则x=3, ∴ C(3,0). ∴ OC=3. ∴ BC=BO+OC=5. 如图,△BOD与△BCE 相似,有两种 情况: ① 当 ∠BE1C=90°,即 △BOD ∽ △BE1C时,有 BD BC= BO BE1 =DOCE1 ,即 5 5= 2 BE1 = 1CE1 , ∴ BE1=25,CE1=5. 设点E1的纵坐标为h. 根据三角形的面积公式,有1 2BC · h=12CE1 ·BE1. ∴ h= CE1·BE1 BC = 5×25 5 =2. 当y=2时, 1 2x+1=2 ,解得x=2. ∴ E1 (2,2). ② 当 ∠BCE2 =90°,即 △BOD ∽ △BCE2时,CE2⊥x轴,此时点E2 的横坐标为3,纵坐标为12×3+ 1=52 , ∴ E2 3, 5 2 . 综上所述,当△BOD 与△BCE 相似 时,点E的坐标为(2,2)或 3,52 . (第11题) 考虑不全面,造成漏解 对于两个三角形的相似,若已 知一个三角形的三边长,但是另一 个三角形只给出一条边的长,且没 有给出两个三角形之间的对应关 系,则要进行分类讨论.本题中根 据坐标确定边的长,然后根据对应 边的不确定性进行分类讨论.因 此,此类题目容易因考虑不全面, 造成漏解. 第3课时 利用两角关系判定 三角形相似 1. A 2. C 3. 15 7 [解析] ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACF=∠DCB.∵ ∠CAF= ∠CDB,∴ △ACF∽△DCB.如图, 连接AD,过点A 作AH⊥CD 于点 H.∴ ∠AHD=∠DEB=90°.∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB =90°. ∴ ∠ACH=∠BCE=45°.∴ AD= DB,∠ADH = ∠DBE =90°- ∠BDE.∴ △AHD ≌ △DEB. ∴ AH=DE.∵ 易知AC= 2AH, BC= 2CE,∴ AC+BC= 2DE+ 2CE= 2CD.∵ AC=3,BC=4, ∴ 易得CD=722 ,AB=5.∵ 在 Rt△ABD 中,AB= AD2+DB2= 2 DB = 5,∴ DB = 522 . ∵ △ACF∽△DCB,∴ AF DB= AC CD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61