27.2 第1课时 相似三角形及平行线分线段成比例-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

∴ 易得直线CD 对应的函数解析式 为y=- 3 2x+10. (第7题) 第二十七章　相　似 27.1　图形的相似 1. C 2. D 3. A 4. A 5. 15 20 83° 相似多边形的性质的应用 相似多边形的性质通常用来 求两个相似多边形中的未知边或 角.同时,相似比是1的两个多边 形一定全等,即全等多边形是一种 特殊的相似多边形. 6. 设每条纵向小路的宽为xm. ∵ 小路内外边缘所围成的两个矩形 相似,两条横向小路的宽均为1.2m, ∴ 60-2×1.2 60 = 90-2x 90 ,解得x= 1.8,或60-2×1.290 = 90-2x 60 ,解得 x=25.8(不符合实际意义,舍去). ∴ 每条纵向小路的宽为1.8m. 7. C 8. B 9. 4 10. 2 [解析] ∵ a b = b c = 2 , ∴ a= 2b,c=b 2 = 22b.∴ a c = 2b 2 2b =2.∴ 题图中横线上应填写的 数值是2. 11. (1) 5;1. (2) 由题意,可知s= 11+a+ 1 1+b= a+b+2 a+b+ab+1= 5+2 5+1+1 =1. 12. (1) 2∶1. [解析] 如图,由折 叠过程,可知第一次折叠,点A 与点 D重合,四边形ABDC 为正方形,折 痕BC为对角线,由勾股定理,可得 BC=2AB;第二次折叠,第一次的折 痕与A4纸较长边重合,即BC与较长 边重合.∴ 较长边= 2AB.∴ A4纸 较长边与较短边的比为2∶1. (2) A4纸与A5纸是相似图形. 理由:∵ A4纸较长边与较短边的比 为2∶1, ∴ 设A4纸较短边为a,则较长边为 2a. ∵ 由题图②,可知A5纸的较长边与 A4纸的较短边一样长,A5纸的较短 边等于A4纸的较长边的一半, ∴ A5纸的较长边为a,较短边为 2 2a. ∴ A5纸的较长边与较短边的比为 a∶ 22a=2∶1. ∴ A4纸较长边与较短边的比=A5 纸较长边与较短边的比. 又∵ A4纸与 A5纸的四个角均为 直角, ∴ A4纸与A5纸为相似图形. (第12题) 27.2　相似三角形 第1课时 相似三角形 及平行线分线段成比例 1. A 2. B 利用平行线分线段成比例 求线段长的思路 利用平行线分线段成比例求 线段长,需先确定图形中的平行线, 由此找出线段间的比例关系,结合 待求线段与已知线段写出一个含 有它们的比例式,从而构造出方 程,然后解方程求出线段长. 3. 1 2 或5 2 4. ∵ EF∥CD,AE=2EC, ∴ AE EC= AF DF=2. ∵ DE∥BC, ∴ AD DB= AE EC=2. 设DF=m,则AF=2m,AD=3m, DB=32m. ∴ AF∶DF∶DB=2m∶m∶32m= 4∶2∶3. 5. B [解析] 如图,过点D 作DG∥ BE,交AC于点G.∵ DG∥BE,D 是 BC 的中点,∴ G 是CE 的中点. ∴ CG=EG=12EC.∵ EF∥DG, ∴ AF FD = AE EG = 1 4.∴ AE EC = 1 8. ∴ AE AC= 1 9. (第5题) 6. 6 n(n+1) [解析] ∵ OA1=1, ∴ A1A2=2×1=2,A2A3=3×1=3, A3A4=4×1=4,….∵ A1B1∥A2B2, ∴ 易得 OA1 OA2 = A1B1 A2B2 .∴ 1 1+2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 2×1 A2B2 .∴ A2B2=6=2×(2+1).同 理,可得A3B3=12=3×(3+1), A4B4 =20=4× (4+1),…. ∴ AnBn=n(n+1). 7. 5∶4 [解析] 如图,过点F 作 FF1∥BC,交AD 于点F1,过点E 作 EE1∥BC,交AD 于点E1.∵ BE= 1 4AB ,CF= 25AC ,∴ AF AC = 3 5 , AE AB= 3 4.∵ EE1∥BC,FF1∥BC, ∴ EE1∥FF1.∴ △E1EP∽△F1FP. ∴ EP FP= EE1 FF1 .∵ FF1∥BC,EE1∥ BC,∴ 易得 FF1 DC = AF AC= 3 5 ,EE1 BD = AE AB= 3 4. 又∵ D 是BC 的中点, ∴ BD=CD.∴ EE1 FF1 =54.∴ EP PF= EE1 FF1 =54 ,即EP∶PF=5∶4. (第7题) 8. 如图,过点D 作DM∥CF,交AB 于点M. 设FM=x,FQ=y. ∵ DM∥CF, ∴ BM FM= BD CD=p. ∴ BM=xp. ∴ FB=BM+FM=xp+x. ∵ AF FB=r , ∴ AF=xr(p+1). ∵ DM∥FQ, ∴ 易得FQ DM= AF AM. ∴ y DM= xr(p+1) x+xr(p+1). ∴ DM=1+r (p+1) r(p+1)y. ∵ DM∥CF, ∴ 易得DM CF= BM BF= xp xp+x= p p+1. ∴ CF=1+r (p+1) pr y . ∴ CQ QF= 1+r(p+1) pr y-y y =1+r pr . 过点F作FN∥BE交AC于点N,同 理可得BP PE= 1+q qr . (第8题) 9. (1) ∵ GF∥BC, ∴ DG BG= DF FC= 3 2. ∵ BD=20, ∴ BG=8. (2) ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD. ∴ 易得DM AB= DG GB. 由(1),得DGGB= 3 2 , ∴ DM AB= 3 2. ∴ DM CD= 3 2. ∴ CM CD= 1 2. 10. (1) ∵ CE∥AD, ∴ BD CD= AB AE ,∠2=∠ACE,∠1=∠E. ∵ AD平分∠BAC, ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠ACE=∠E. ∴ AE=AC. ∴ AB AC= BD CD. (2) ∵ AB=3,BC=4,∠ABC=90°, ∴ 在Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC= AB2+BC2=5. ∵ AD平分∠BAC, ∴ AC AB= CD BD ,即5 3= CD BD. ∴ BD=38BC= 3 2. ∴ 在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 AD= BD2+AB2= 32 2 +32= 35 2 . ∴ △ABD 的 周 长 = 32 +3+ 35 2 = 9+35 2 . 第2课时 利用三边比例关系、 边角关系判定三角形相似 1. C 2. C 3. C 4. 9 4<PC<4 5. 4 5 或5 4 6. B 7. B 8. A [解析] 由题意,得在①②④ 中,∠ABC= ∠ADE = ∠AFH = 135°.又∵ AB BC = AD DE = FH AF = 2 2 , ∴ AB AD= BC DE ,AB FH= BC AF.∴ △ABC∽ △ADE∽△HFA. 利用边角关系判定两个 三角形相似的方法 先找出两个三角形中相等的 角,再分别找出两个三角形中夹这 个角的两条边,并且按从大到小的 顺序排列,找出对应边,最后看这 两组对应边是否成比例.若成比 例,则这两个三角形相似;否则不 相似. 9. B [解析] 由题意,易知“帅”“相” “兵”所在位置的格点构成的三角形的 三边长分别为2,25,42;“车”与 “炮”之间的距离为1,“炮”与②处之 间的距离为5,“车”与②处之间的距 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 24 27.2　相似三角形 第1课时 相似三角形及平行线分线段成比例 ▶ “答案与解析”见P14 1. (2024·长沙模拟)如图,在△ABC中,DE∥ AB,且CDBD= 3 2 ,则CE CA 的值为 ( ) A. 3 5 B. 2 3 C. 4 5 D. 3 2 (第1题) (第2题) 2. ★如图,AB∥EF∥CD,AB=6,CD=4,则 EF的长为 ( ) A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 3. (2024·营口一模)在△ABC中,点D在直线 AB上,过点D 作DE∥BC,交直线AC于点 E.如果AB=3,BD=2,那么AECE 的值是 . 4. (2023·上海期中)如图,在△ABC 中,若 DE∥BC,EF∥CD,AE=2EC,求AF∶ DF∶DB. (第4题) 5. (2024·赤峰二模)如图,AD 是△ABC的中 线,点E 在AC 上,BE 交AD 于点F.若 AF FD= 1 4 ,则AE AC 的值为 ( ) (第5题) A. 1 8 B. 1 9 C. 1 10 D. 1 11 6. 如图,点A1,A2,A3,…和点B1,B2,B3,…分 别在射线OM,ON 上.若OA1=1,A1B1= 2OA1,A1A2=2OA1,A2A3=3OA1,A3A4= 4OA1,…,A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4…,则 A2B2的长为 ,AnBn 的长为 (n为正整数). (第6题) 7. 如图,在△ABC 中,D 为BC 的中点,E 为 AB上一点,且BE=14AB ,F为AC上一点, 且CF=25AC ,EF 交AD 于点P,则EP∶ PF= . (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 25 8. 如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC, AB上一点,连接AD,BE,CF,CF 与BE, AD分别交于点P,Q.若BDCD=p ,CE AE=q , AF FB=r ,求CQ QF ,BP PE 的值. (第8题) 9. (2023·安庆期中)如图,在▱ABCD中,E为 边BC上一点,连接AE并延长,交DC的延 长线于点M,交BD 于点G,过点G作GF∥ BC,交DC于点F,DFFC= 3 2. (1) 若BD=20,求BG的长. (2) 求CM CD 的值. (第9题) 10. 请阅读以下材料,并解答相应的 问题. 角平分线分线段成比例定理:如图 ①,在△ABC中,AD平分∠BAC,则ABAC= BD CD. 这个定理的部分证明过程如下: 证明:如图②,过点C作CE∥DA,交BA的 延长线于点E. (1) 请按照上面的证明思路,写出该证明的 剩余部分. (2) 如图③,在Rt△ABC中,AB=3,BC= 4,∠ABC =90°,AD 平 分 ∠BAC,求 △ABD的周长. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似