26.2 第2课时 反比例函数在物理学科中的应用-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

7. 5π 2+5 [解析] ∵ k=2×4=8, ∴ 反比例函数的解析式为y= 8 x. 如 图,连 接 OB.∴ 易 得 ∠OAB = ∠ABO=45°,AB 为所在半圆的直 径.∴ ∠AOB=90°,OA=OB,OB所 对圆心角的度数为90°.∵ OA= 22+42 =2 5,∴ OB =2 5. ∴ AB= OA2+OB2 =2 10.设 OB︵ 所在圆的圆心为点E,CD 与x轴 交于点F,AB与x轴交于点G,连接 OE,则E 为AB 的中点.∴ OE= 1 2AB= 10 ,∠AEO=∠BEO= 90°.∵ ∠OAG = ∠OCF = 45°, ∠AOG = ∠COF,OA = OC, ∴ △AOG≌△COF.∵ 弓形AO 的 面积=扇形EAO的面积-△AOE的 面积=90×π×10360 - 1 2×10= 5π 2-5 , ∴ 图中涂色部分的面积之和=半圆 AOB的面积-弓形AO 的面积= 1 2×10π- 5π 2+5= 5π 2+5. (第7题) 26.2　实际问题 与反比例函数 第1课时 反比例函数在实际 问题中的应用 1. A 2. A 3. (1) 12;4. (2) 根据题意,得y与x之间的函数 解析式为y= 24 x ,自变量x的取值范 围是x>0. (3) ∵ y与x之间成反比例函数关 系,且k=24>0, ∴ 反比例函数图象在第一象限内,y 随x的增大而减小. 4. D [解析] ∵ 太簇律管的长度是 八寸,∴ 南吕律管的长度是8×23= 16 3 (寸).∴ 清姑洗律管的长度是 16 3× 2 3= 32 9 (寸).∴ 姑洗律管的长 度是32 9×2= 64 9 (寸).设律管频率为 yHz,律管长为x寸.由题意,设y= k x (k≠0).∵ 黄钟律管频率为 256Hz,律管长为9寸,∴ k=256× 9=2304.∴ y= 2304 x . 当x=649 时, y=324.∴ 姑洗律管频率为324Hz. 5. ④⑤ [解析] 由题意,得点T1的 纵坐标为6.∵ 反比例函数y=- 12 x 的图象经过点T1,∴ 将y=6代入 y=- 12 x ,得x=-2.∴ 点T1 的横 坐标为-2.∴ 点T2 的横坐标为0, 点T3的横坐标为2,点T4的横坐标 为4,点T5的横坐标为6,点T6的横 坐标为8.将x=2代入y= 10 x ,得 y=5;将x=4代入y= 10 x ,得y= 5 2 ;将x=6代入y= 10 x ,得y= 5 3 ; 将x=8代入y= 10 x ,得y= 5 4. 又 ∵ 点T2的纵坐标为5,点T3的纵坐 标为4,点T4的纵坐标为3,点T5的 纵坐标为2,点T6 的纵坐标为1, ∴ 易得反比例函数y= 10 x 的图象经 过的两级台阶为④⑤. 6. (1) 设v关于t的函数解析式为 v=kt. ∵ 当v=75时,t=4.00, ∴ k=4×75=300. ∴ v=300t . 经检验,当v=80时,t=3.75,当v= 85时,t≈3.53,当v=90时,t≈3.33, 当v=95时,t≈3.16. ∴ 平均速度v(km/h)关于行驶时间 t(h)的函数解析式为v=300t (t≥3). (2) 不能. 理由:∵ 10-7.5=2.5(h), ∴ 当t=2.5时,v=3002.5=120>100. ∴ 汽车上午7:30从A地出发,不能 在上午10:00之前到达B地. (3) 由反比例函数的性质,得当3.5≤ t≤4时,75≤v≤6007 . ∴ 平均速度v(km/h)的取值范围是 75≤v≤6007 . 7. (1) 由题意,设该二次函数的解析 式为y=a(x-12)2+100, 把(2,0)代入,得100a+100=0,解得 a=-1. ∴ 二次函数的解析式为y=-(x- 12)2+100. 把点(12,100)向左平移4个单位长 度,得到点(8,100), 将(8,100)代入y= k x ,得k=800. (2) 超过20min. 理由:由y=-(x-12)2+100=36, 解得x1=4,x2=20(不合题意,舍去). 由y= 800 x =36 ,解得x=2229 ,x+ 4=2229+4=26 2 9. ∵ 2629-4=22 2 9 (min),2229> 20, ∴ “拥挤状态”持续的时间超过 20min. 第2课时 反比例函数在 物理学科中的应用 1. D 2. 4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 3. (1) 如图,结合图象可知,它是反比 例函数. (2) 设y关于x的函数解析式为y= k x (x>0). ∵ 点(10,24)在图象上, ∴ k=10×24=240. ∴ y 关于x 的函数解析式为y= 240 x (x>0). (3) ∵ 在y= 240 x 中,当x>0时,y随 x的增大而减小, ∴ 当x的值最大时,y最小. ∴ 当x=80时,弹簧秤的示数y取得 最小值,最小值为3. (第3题) 4. D 5. B 6. 1 4 [解析] 根据题意和压强公 式,可知100=FS2 ,即S2= F 100 ;400= F S1 ,即S1= F 400.∴ S1 S2 =14. 反比例函数在物理学科 中的应用 反比例函数在物理学科中的 应用主要体现在:阻力×阻力臂= 动力×动力臂,压力=压强×受力 面积,电流=电压÷电阻,体积= 质量÷密度等. 7. R= 60 t (10≤t≤30), 4 15t-6 (t>30) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 [解析] ∵ 温 度在由室温10℃上升到30℃的过程 中,电阻与温度之间成反比例函数关 系,∴ 当10≤t≤30时,可设函数解 析式为R=kt. 将(10,6)代入,得 k 10=6 ,解得k=60.∴ 当10≤t≤30 时,R 与t之间的函数解析式为R= 60 t.∵ 当t=30时,R=6030=2 ,∴ 当 温度为30℃时,电阻为2kΩ.∵ 当温 度达到30℃时,电阻下降到最小值, 随后电阻随温度的升高而增加,且温 度每上升1℃,电阻增加415kΩ ,∴ 当 t>30时,R=2+415 (t-30)=415t- 6.∴ R与t之间的函数解析式为R= 60 t (10≤t≤30), 4 15t-6 (t>30). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 8. (1) 如图所示. (2) 能. ∵ 1.5×400=2×300=2.5×240= 3×200=4×150=600, ∴ M关于n的函数解析式为M=600n . (3) 当M=240时,n=2.5;当M= 500时,n=600500=1.2. ∵ 在反比例函数M=600n 中,M 随n 的增大而减小, ∴ 此场景中该发动机转数n(kr/min) 的取值范围是1.2≤n≤2.5. (第8题) 第二十六章复习 ［知识体系构建］ y= k x 双曲线 在每一个象限内 y随x的增大而增大 |k| ［高频考点突破］ 典例1 < [解析] ∵ 点A(a,m), B(b,n)在反比例函数y= 1 x 的图象 上,∴ am=bn=1.∵ mn<0,即m,n 异号,∴ a,b异号.∵ a<b,∴ a<0, b>0.∴ 点A(a,m)在反比例函数 y= 1 x 第三象限的图象上,点B(b,n) 在反比例函数y= 1 x 第一象限的图象 上.∴ m<0,n>0,即m<n. [跟踪训练] 1. 5<k≤9 [解析] 由 题意,设C(1,n)(1<n<5).∴ AC= n-1.∵ AB=4,∴ BC=AB-AC= 5-n.由旋转,得CD=BC=5-n. ∴ D(6-n,n).∵ 点D 在反比例函 数y= k x (k≠0)的图象上,∴ k= n(6-n)=-n2+6n=-(n-3)2+ 9.∴ 当n=1时,k=5;当n=3时, k=9.∴ 5<k≤9. 典例2 -2 [解析] 连接OB,OA. ∵ AB∥x 轴,∴ △OAB 的面积= △ABC的面积=4.∵ △OPB 的面 积=62=3 ,△OAP 的面积=|k|2 , ∴ |k| 2 +3=4.∵ k<0,∴ k=-2. [跟踪训练] 2. 8 [解析] 过点A 作AM ⊥x轴于点 M,过点 D 作 DN⊥x轴于点N.∵ 反比例函数y= k x 的图象经过点A和边BC的中点D, ∴ S△AOM=S△DON= 1 2k.∵ 四边形 OABC是平行四边形,∴ OA∥BC. ∵ D 是BC 的中点,∴ S△ABD = S△OCD.∴ S△AOD = 2S△OCD = 2S△ABD=2×3=6.设D k n ,n ,则 易得点B的纵坐标为2n,∴ A k2n, 2n .∴ S△AOD=S△AOM+S梯形AMND- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 16 第2课时 反比例函数在物理学科中的应用 ▶ “答案与解析”见P10 1. 一定质量的干松木,当它的体积为2m3时,它 的密度为0.5×103kg/m3,则密度ρ(kg/m3) 关于体积V(m3)的函数解析式为 ( ) A. ρ=1000V B. ρ=V+1000 C. ρ= 500 V D. ρ= 1000 V 2. 欢欢同学通过学习数学和物理知识,知道了 电磁波的波长λ(m)会随着电磁波的频率 f(MHz)的变化而变化.已知波长λ与频率f 是反比例函数关系,它们的部分对应值如 下表: 频率f/MHz 10 15 50 波长λ/m 30 20 6 若f=75,则λ= . 3. (2024·绍兴期末)如图①,把细绳绑在秤杆 上点O处,在秤钩上挂一个物体,在点O 左 侧的秤杆上的动点A 处用一个弹簧秤向下 拉(点O,A之间的最大距离为80cm).当秤 杆处于水平状态时,分别测得弹簧秤的示数 y(N)与OA的长度x(cm)的五组对应值,已 在如图②所示的平面直角坐标系中描点. (第3题) (1) 请在图②中画出y与x之间的函数图 象,并判断它是什么函数. (2) 求y关于x的函数解析式. (3) 移动弹簧秤的位置,若秤杆仍处于水平 状态,求弹簧秤的示数y的最小值. 4. (2023·南阳模拟)近视眼镜是一种 为了矫正视力,让人们可以清晰地 看到远距离物体的凹透镜片.研究发 现,近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米) 的函数关系如图所示,则下列说法中,错误 的是 ( ) (第4题) A. 当x的值增大时,y的值随之减小 B. 当镜片焦距为0.2米时,近视眼镜的度数 约为500度 C. 当镜片焦距为0.3米时,近视眼镜的度数 约为333度 D. 某人近视眼镜的度数为200度,镜片焦距 应该调试为0.6米 5. (2024·余姚期末)为保护视力,某公司推出 一款亮度可调节的台灯.导体中的电流I与 导体的电阻R 和导体两端的电压U 之间满 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 17 足关系式I=UR. 通过调节总电阻来控制电流 的变化,可以实现台灯灯光亮度的改变.如图 所示为该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)的 反比例函数图象,根据图象判断下列说法中, 错误的是 ( ) (第5题) A. I与R的函数解析式为I=220R (R>0) B. 当R=440时,I=0.55 C. 当电阻R(Ω)减小时,通过该台灯的电流 I(A)增大 D. 当500<R<880时,I 的取值范围是 0.25<I<0.44 6. ★如图,一个圆台形物体的上底面积是S1,下 底面积是S2.若正放在桌面上,则对桌面的 压强是100Pa;若翻过来放,则对桌面的压强 是400Pa. S1 S2 的值是 . (第6题) (第7题) 7. 家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热 材料,在一定范围内,它的电阻R(kΩ)随温 度t(℃)变化的大致图象如图所示.通电后, 发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃ 的过程中,电阻与温度之间成反比例函数关 系,且在温度达到30℃时,电阻下降到最小 值,随后电阻随温度的升高而增加,温度每上 升1℃,电阻增加415kΩ.R 与t之间的函数 解析式为 . 8. (2023·宁波期中)当发动机的输出功率一定 时,输出的扭矩M(使物体发生转动的力矩, 单位:N·m)与发动机转数n(发动机曲轴的 转动速度,单位:kr/min)存在一定的关系,某 兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行 试验,得到对应的扭矩M 和转数n的一部分 对应值如下表: n/(kr/min) 1.5 2 2.5 3 4 M/(N·m) 400 300 240 200 150 (1) 以表中各组对应值为点的坐标,在如图 所示的平面直角坐标系中描出相应的点并用 光滑曲线连起来. (2) 能否用学过的函数刻画变量M 和n之间 的关系? 如果能,请求出M 关于n的函数解 析式(不必写出n的取值范围);如果不能,请 说明理由. (3) 某个使用场景需要此款发动机输出的扭 矩不低于240N·m,但不超过500N·m,求 此场景中该发动机转数n(kr/min)的取值 范围. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十六章　反比例函数