26.2 第1课时 反比例函数在实际问题中的应用-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

14 26.2　实际问题与反比例函数 第1课时 反比例函数在实际问题中的应用 ▶ “答案与解析”见P10 1. 若以12m3/h的速度向水箱注水,5h可以注 满,为了赶时间,现增加进水管,使进水速度 达到Qm3/h,则此时注满水箱所需要的时间 t(h)与Q(m3/h)之间的函数解析式为 ( ) A. t=60Q B. t=60Q C. t=12-60Q D. t=12+60Q 2. 研究发现,近视眼镜镜片的度数y(度)与镜 片焦距x(米)成反比例.小明佩戴的400度 近视眼镜的镜片焦距为0.25米,经过一段时 间的矫正治疗,现在镜片焦距为0.5米,则小 明的近视眼镜的镜片度数可以调整为( ) A. 200度B. 250度 C. 300度 D. 350度 3. 学校要制作一块面积为24平方米的矩形宣 传牌.小明发现宣传牌的长发生改变时,宽也 会随之改变.于是,他进行了如下探究,设矩 形的长为x米,宽为y米.下表给出了x与y 的一些对应值. x/米 … 1 2 3 n … y/米 … 24 m 8 6 … (1) m= ,n= . (2) 小明发现y是关于x的反比例函数,直 接写出y与x之间的函数解析式,及自变量 x的取值范围. (3) 根据以上信息,请你说说随着x值的变 化,y的值如何变化. 4. (2024·深圳模拟)我国古人用十二根长短不 同的竹子做成律管,用它们分别吹出十二个 标准音,称为十二律.如图,十二律的音高由 低到高排列依次如下:黄钟、大吕、太簇、夹 钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、 应钟.律管越长,音高越低,古人采用“隔八相 生法”“三分损益法”确定每根律管的长度:黄 钟律管长九寸,减去三分之一,得到隔八音的 林钟律管长六寸;林钟律管长减去三分之一, 得到隔八音的清太簇律管长四寸,将长度翻 倍,得到降八度对应的太簇律管长八寸,其余 以此类推,可以得出每根律管长.这也对应了 五音“宫生徵、徵生商、商生羽、羽生角”的相 生关系.律管频率与律管长成反比例关系,若 黄钟律管频率为256Hz,则姑洗律管频率为 (寸是我国古代的一种长度单位) ( ) (第4题) A. 64Hz B. 128Hz C. 256Hz D. 324Hz 5. 如图,在x轴上方有①~⑥六级台阶,它们的 拐角T1~T6 处均为90°,每级台阶的高为 1个单位长度,宽为2个单位长度.若反比例 函数y=- 12 x 的图象经过点T1,则反比例函 数y= 10 x 的图象经过两级台阶的横面(与 x轴平行的面,包括横面的两端点),这两级 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 15 台阶是 . (第5题) 6. A地某公司将农副产品运往B地进行销售. 记汽车的行驶时间为th,平均速度为vkm/h (汽车行驶速度不超过100km/h).根据经验, v,t的五组对应值如下表: v/(km/h) 75 80 85 90 95 t/h 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1) 根 据 表 中 的 数 据,求 出 平 均 速 度 v(km/h)关于行驶时间t(h)的函数解析式. (2) 汽车上午7:30从A地出发,能否在上午 10:00之前到达B地? 请说明理由. (3) 若汽车到达B地的行驶时间t(h)满足 3.5≤t≤4,求平均速度v(km/h)的取值 范围. 7. (新情境)(2023·宣城期末)学校下 午放学时,校门口的“堵塞”情况已 成为社会热点问题,某校对本校下 午放学校门口的“堵塞”情况做了一个调查, 发现:每天放学时间2min后校门外的学生 流量变化大致可以用“拥挤指数”y(%)与放 学后的时间x(min)之间的函数关系描述.如 图,2~12min是抛物线的一部分,且在第 12min达到该函数的最大值100,此后的变 化大致为反比例函数y= k x (x>0)的图象向 右平移4个单位长度得到的曲线.若“拥挤指 数”y≥36,校门外呈现“拥挤状态”,需要志愿 者维护秩序、疏导交通. (1) 求该二次函数的解析式和k的值. (2) “拥挤状态”持续的时间是否超过 20min? 请说明理由. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十六章　反比例函数 7. 5π 2+5 [解析] ∵ k=2×4=8, ∴ 反比例函数的解析式为y= 8 x. 如 图,连 接 OB.∴ 易 得 ∠OAB = ∠ABO=45°,AB 为所在半圆的直 径.∴ ∠AOB=90°,OA=OB,OB所 对圆心角的度数为90°.∵ OA= 22+42 =2 5,∴ OB =2 5. ∴ AB= OA2+OB2 =2 10.设 OB︵ 所在圆的圆心为点E,CD 与x轴 交于点F,AB与x轴交于点G,连接 OE,则E 为AB 的中点.∴ OE= 1 2AB= 10 ,∠AEO=∠BEO= 90°.∵ ∠OAG = ∠OCF = 45°, ∠AOG = ∠COF,OA = OC, ∴ △AOG≌△COF.∵ 弓形AO 的 面积=扇形EAO的面积-△AOE的 面积=90×π×10360 - 1 2×10= 5π 2-5 , ∴ 图中涂色部分的面积之和=半圆 AOB的面积-弓形AO 的面积= 1 2×10π- 5π 2+5= 5π 2+5. (第7题) 26.2　实际问题 与反比例函数 第1课时 反比例函数在实际 问题中的应用 1. A 2. A 3. (1) 12;4. (2) 根据题意,得y与x之间的函数 解析式为y= 24 x ,自变量x的取值范 围是x>0. (3) ∵ y与x之间成反比例函数关 系,且k=24>0, ∴ 反比例函数图象在第一象限内,y 随x的增大而减小. 4. D [解析] ∵ 太簇律管的长度是 八寸,∴ 南吕律管的长度是8×23= 16 3 (寸).∴ 清姑洗律管的长度是 16 3× 2 3= 32 9 (寸).∴ 姑洗律管的长 度是32 9×2= 64 9 (寸).设律管频率为 yHz,律管长为x寸.由题意,设y= k x (k≠0).∵ 黄钟律管频率为 256Hz,律管长为9寸,∴ k=256× 9=2304.∴ y= 2304 x . 当x=649 时, y=324.∴ 姑洗律管频率为324Hz. 5. ④⑤ [解析] 由题意,得点T1的 纵坐标为6.∵ 反比例函数y=- 12 x 的图象经过点T1,∴ 将y=6代入 y=- 12 x ,得x=-2.∴ 点T1 的横 坐标为-2.∴ 点T2 的横坐标为0, 点T3的横坐标为2,点T4的横坐标 为4,点T5的横坐标为6,点T6的横 坐标为8.将x=2代入y= 10 x ,得 y=5;将x=4代入y= 10 x ,得y= 5 2 ;将x=6代入y= 10 x ,得y= 5 3 ; 将x=8代入y= 10 x ,得y= 5 4. 又 ∵ 点T2的纵坐标为5,点T3的纵坐 标为4,点T4的纵坐标为3,点T5的 纵坐标为2,点T6 的纵坐标为1, ∴ 易得反比例函数y= 10 x 的图象经 过的两级台阶为④⑤. 6. (1) 设v关于t的函数解析式为 v=kt. ∵ 当v=75时,t=4.00, ∴ k=4×75=300. ∴ v=300t . 经检验,当v=80时,t=3.75,当v= 85时,t≈3.53,当v=90时,t≈3.33, 当v=95时,t≈3.16. ∴ 平均速度v(km/h)关于行驶时间 t(h)的函数解析式为v=300t (t≥3). (2) 不能. 理由:∵ 10-7.5=2.5(h), ∴ 当t=2.5时,v=3002.5=120>100. ∴ 汽车上午7:30从A地出发,不能 在上午10:00之前到达B地. (3) 由反比例函数的性质,得当3.5≤ t≤4时,75≤v≤6007 . ∴ 平均速度v(km/h)的取值范围是 75≤v≤6007 . 7. (1) 由题意,设该二次函数的解析 式为y=a(x-12)2+100, 把(2,0)代入,得100a+100=0,解得 a=-1. ∴ 二次函数的解析式为y=-(x- 12)2+100. 把点(12,100)向左平移4个单位长 度,得到点(8,100), 将(8,100)代入y= k x ,得k=800. (2) 超过20min. 理由:由y=-(x-12)2+100=36, 解得x1=4,x2=20(不合题意,舍去). 由y= 800 x =36 ,解得x=2229 ,x+ 4=2229+4=26 2 9. ∵ 2629-4=22 2 9 (min),2229> 20, ∴ “拥挤状态”持续的时间超过 20min. 第2课时 反比例函数在 物理学科中的应用 1. D 2. 4 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01