26.1 专题特训(一)反比例函数中k的几何意义-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

8 　　 专题特训（一）　反比例函数中k的几何意义 ▶ “答案与解析”见P4 类型一 k与三角形面积 1. (2024·通辽模拟)根据如图①所示的程序, 得到了如图②所示的y与x之间的函数图 象.若M 是y轴正半轴上任意一点,过点M 作PQ∥x 轴,交图象于点P,Q,连接OP, OQ.有下列结论:① 当x<0时,y= 2 x ; ② △OPQ 的面积为定值;③ 当x>0时, y随x 的增大而增大;④ MQ =2PM; ⑤ ∠POQ可以等于90°.其中,正确的是 ( ) (第1题) A. ①②⑤ B. ②④⑤ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 2. 反比例函数C1:y= k x (k<0,x<0)的图象如 图所示,将该曲线绕点O按顺时针方向旋转 45°得到曲线C2,N 是曲线C2上一点,点M 在直线y=-x上,连接MN,ON.若MN= ON,△MON 的面积为23,则k的值为 ( ) (第2题) A. -2 B. -4 C. -23 D. -43 3. (2024·保定二模)如图,在平面直角坐标系 中,点A在反比例函数y= k x (k为常数,k> 0,x>0)的图象上,过点A作x轴的垂线,垂 足为B,连接OA.若△OAB 的面积为5,则 k= . (第3题) (第4题) 4. (2024·株洲模拟)如图,A,C是反比例函数 y= m x (m>0)的图象上不同的两点,其中 点A的横坐标为2 m,点C 的纵坐标为 3m,B为直线OA 与该反比例函数图象的 另一交点,连接AC,BC.若△ABC的面积为 11,则m的值为 . 类型二 k与平行四边形面积 5. (2023·南京模拟)如图,▱OABC的顶点O, B在y轴上,顶点A 在反比例函数y= k1 x (k1<0)的图象上,顶点C在反比例函数y= k2 x (k2>0)的图象上,则▱OABC的面积是 ( ) A. -2k1 B. 2k2 C. k1+k2 D. k2-k1 (第5题) (第6题) 6. (2023·宿迁模拟)如图,A 是反比 例函数y= 2 x (x>0)的图象上任意 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 9 一点,AB∥x轴,交反比例函数y=- 3 x (x< 0)的图象于点B,以AB 为边作▱ABCD, 点C,D在x轴上,则S▱ABCD= . 类型三 k与矩形面积 7. (2024·白城段考)反比例函数y= 3 x (x>0) 的图象L1和反比例函数y= 1 x (x>0)的图 象L2如图所示,设点P在L1上,PC⊥x轴 于点C,交L2于点A,PD⊥y轴于点D,交 L2于点B,则△AOB的面积为 ( ) A. 4 3 B. 5 3 C. 2 D. 3 (第7题) (第8题) 8. (2023·无锡一模)如图,矩形ABCD 的顶点 A和其对称中心在反比例函数y= k x (k≠0, x>0)的图象上.若矩形ABCD 的面积为 10,则k的值为 ( ) A. 10 B. 43 C. 32 D. 5 9. 如图,反比例函数y= k x (x>0)的图象上有 点P1,P2,P3,它们的纵坐标依次为6,2,1, 分别过这些点作x轴与y轴的垂线段.图中 矩形涂色部分的面积分别记为S1,S2.若 S2=3,则S1的值为 ( ) (第9题) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 类型四 k与菱形面积 10. 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的 顶点B在y轴上,顶点C在反比例函数y= -8x 的图象上,则菱形OABC 的面积为 . (第10题) 类型五 k与正方形面积 11. (2024·扬州三模)如图,四边形 OABC和四边形CDEF 均为正方 形,反比例函数y=- 10 x (x<0)的 图象经过点B,E,连接OB,OE,BE,则 △BOE的面积为 ( ) (第11题) A. 5 B. 23 C. 32 D. 10 12. (2023·齐齐哈尔)如图,点A 在反比例函 数y= k x (k≠0,x<0)的图象上,点B 在反 比例函数y=- k 2x (x>0)的图象上,点C, D 在x轴上.若四边形ABCD 是面积为9 的正方形,则实数k的值为 . (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十六章　反比例函数 ∴ 点P的纵坐标为1. 又∵ 点P 在反比例函数y=- 2 x 的 图象上, ∴ P(-2,1). ∴ MP=3-(-2)=5. (2) ∵ 点M 的横坐标为m,点N 的 横坐标为n,点M,N 都在反比例函数 y= 3 x 的图象上, ∴ M m,3m ,N n,3n . ∵ MP⊥y轴,NQ⊥x轴, ∴ 点P的纵坐标为 3 m ,点Q 的横坐 标为n. 又∵ 点P,Q 都在反比例函数y= -2x 的图象上, ∴ P -2m3 ,3 m ,Qn,-2n . ∴ MP=m- -2m3 =5m3,NQ= -2n- 3 n=- 5 n. 又∵ MP=NQ, ∴ 5m 3=- 5 n. ∴ mn=-3. (3) ① 由 (2),得 N n,3n , P -2m3 ,3 m . ∴ △MNP 的边 MP 上的高h 为 3 m- 3 n= 3(n-m) mn . 又∵ MP=5m3 , ∴ S△MNP= 1 2MP ·h=12× 5m 3 × 3(n-m) mn = 5n-5m 2n . ② 相等. 理 由:由 (2),得 M m,3m , Qn,-2n . ∴ △MNQ 的边NQ 上的高h'= m-n. 又∵ NQ=-5n , ∴ S△MNQ = 1 2 NQ ·h'= 12 × -5n ×(m-n)=5n-5m2n . 由①,知S△MNP= 5n-5m 2n . ∴ S△MNP=S△MNQ. ∴ 将MN 看作底时,两个三角形的高 相等,即点P,Q 到直线MN 的距离 相等. 专题特训（一）　反比例 函数中k的几何意义 1. B [解析] ① 当x<0时,y= -2x ,∴ ①错误.② 当x<0时, y= - 2 x ;当 x>0 时,y= 4 x , ∴ S△OPQ= 1 2×2+ 1 2×4=3 ,为定 值.∴ ②正确.③ 当x>0时,y= 4 x. ∵ 4>0,∴ y 随x 的增大而减小. ∴ ③错误.④ ∵ 易得S△OPM =1, S△OQM=2,PQ⊥y轴,∴ 易得MQ= 2PM.∴ ④正确.⑤ 设PM=-a (a<0),则OM=-2a ,MQ=-2a, PQ=PM+MQ=-3a.∴ PO2= PM2+OM2=(-a)2+ -2a 2 = a2 + 4 a2 ,QO2 = MQ2 +OM2 = (-2a)2+ -2a 2 =4a2+4 a2 .∴ 若 ∠POQ=90°,则PQ2=PO2+QO2= a2+4 a2 +4a2+4 a2 =5a2+8 a2 =9a2. 整理,得8 a2 =4a2.∴ a4=2.∵ a有 解,∴ ∠POQ=90°可能成立.∴ ⑤ 正确.综上所述,正确的有②④⑤. 2. C [解析] ∵ 将直线y=-x和 曲线C2 绕点O 按逆时针方向旋转 45°后,直线y=-x与x轴重合,曲 线C2 与曲线C1 重合,∴ 旋转后点 N 落在曲线C1 上,点M 落在x 轴 上.如图,设点M,N 的对应点分别为 M',N',过点N'作N'P⊥x 轴于点 P,连接ON',M'N'.∵ MN=ON, ∴ M'N'=ON'.∴ M'P =OP. ∴ S△MON =2S△PN'O=2× 1 2|k|= |k|=23.∵ k<0,∴ k=-23. (第2题) 3. 10 4. 23 [解析] 如图,连接OC,过 点C作ED∥x轴,交y轴于点E,过 点A作AF⊥x 轴于点F,延长FA 交ED 于点D.∵ 点A 的横坐标为 2 m,点A 在反比例函数y= m x (m>0)的图象上,∴ A 2 m, m 2 .∵ 点C 的纵坐标为 3m, 点C在反比例函数y= m x (m>0)的 图象 上,∴ C 3m3 , 3m . ∴ D(2 m,3m).∴ CD=2 m- 3m 3 ,AD = 3m - m2 ,则 S△ACD= 1 2 × 2 m - 3m3 · 3m - m2 = 13312 -1 m. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 ∵ 反比例函数y= m x (m>0)的图象 是关于原点成中心对称的图形, ∴ OB=OA.∴ S△BOC =S△AOC = 1 2S△ABC= 11 2. 根据反比例函数中k 的几何意义,可知S△OCE+S△AOF= m.易 得 四 边 形 OFDE 是 矩 形, S矩形OFDE-S△ACD-S△OCE-S△AOF= S△AOC,∴ 23m- 13312 -1 m- m=112 ,解得m=23. (第4题) 5. D [解析] 如图,过点A 作AE⊥ y轴于点E,过点C作CD⊥y轴于点 D,则∠AEB=∠CDO=90°.∵ 四边 形OABC 是平行四边形,∴ AB∥ OC,AB=OC.∴ ∠ABE=∠COD. ∴ △ABE≌△COD.∴ △ABE 与 △COD的面积相等.又∵ 点C 在反 比例函数y= k2 x (k2>0)的图象上, ∴ S△ABE=S△COD= 1 2|k2|. 同理可得 S△AOE=S△CBD= 1 2|k1| ,∴ ▱OABC 的面积=2 12|k2|+12|k1| = |k2|+|k1|=k2-k1. (第5题) 6. 5 7. A [解析] 设P m,3m ,m>0. ∵ PC⊥x轴于点C,交L2 于点A, PD⊥y 轴于点D,交L2 于点B, ∴ A m,1m ,C(m,0),B m3,3m , D 0,3m .∴ S△AOB =S四边形OCPD - S△AOC-S△DOB-S△APB.∵ 易得四边 形OCPD 是矩形,∴ S矩形OCPD =3. ∴ S△AOB=3- 1 2×m× 1 m - 1 2× m 3× 3 m - 1 2× m- m 3 × 3m - 1 m =43. 8. D [解析] 设A m,km ,m>0. ∴ AB=km.∵ 矩形ABCD 的面积 为10,∴ BC=10k m =10mk .∴ 矩形 ABCD的对称中心的坐标为 m+ 1 2× 10m k ,1 2× k m ,即 m+5mk , k 2m .∵ 对称中心在反比例函数y= k x (k≠0,x>0)的图象上,∴ k 2m= k m+5mk .∴ mk-5m=0,即m(k- 5)=0.∴ m=0(不合题意,舍去)或 k=5. 9. B [解析] 把y=1代入y= k x , 得x=k,∴ P3(k,1).同理可得 P1 k 6 ,6 ,P2 k2,2 .∵ S2 = k-k2 ×1=3,∴ k=6.∴ S1= k 6× (6-2)=4. 10. 16 [解析] 如图,连接AC,交 OB于点D.∵ 菱形OABC的顶点B 在y轴 上,∴ S菱形OABC =4S△ODC. ∵ 顶点C在反比例函数y=- 8 x 的 图象上,∴ 易得S△ODC= |-8| 2 =4. ∴ S菱形OABC=4S△ODC=16. (第10题) 11. A [解析] ∵ 四边形OABC为 正方形,点B在反比例函数y=- 10 x (x<0)的图象上,∴ 正方形OABC 的面积为10.∴ OC=AB=BC= OA= 10.设正方形CDEF 的边长 为a(a>0),即CF=EF=ED= CD=a.∴ E(- 10-a,a).∵ 点 E在反比例函数y=- 10 x (x<0)的 图象上,∴ a(- 10-a)=-10,解 得 a = - 10+522 或 a = - 10-52 2 (不 合 题 意,舍 去). ∵ S△BOE =S梯形BCFE +S△BOC - S△EOF,而 S△BOC = S△EOF = 5, ∴ S△BOE = S梯形BCFE = 1 2 × - 10+522 + 10 × - 10+52 2 =5. 12. -6 [解析] ∵ 正方形ABCD 的面积为9,∴ AD=BC=AB=3. ∴ 易得点A 的坐标为 k3,3 ,点B 的坐标为 -k6,3 .∴ AB=-k6- k 3=3 ,解得k=-6. 专题特训（二）　反比例 函数与一次函数的综合 1. (1) ∵ 一次函数y=kx+6的图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5