26.1 专题特训(二)反比例函数与一次函数的综合-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

10 　 专题特训（二）　反比例函数与一次函数的综合 ▶ “答案与解析”见P5 类型一 反比例函数、一次函数的性质与图形 面积问题 1. ★(2023·广元)如图,一次函数y=kx+6的 图象与反比例函数y= m x (m>0)的图象交于 A(3,4),B 两点,与x轴交于点C,将直线 AB沿y轴向上平移3个单位长度,与反比 例函数的图象交于点D,E. (1) 求k,m的值及点C的坐标. (2) 连接AD,CD,求△ACD的面积. (第1题) 2. (2023·黄冈)如图,一次函数y1=kx+ b(k≠0)与反比例函数y2= m x (x>0)的图象 交于A(4,1),B 12 ,a 两点. (1) 求这两个函数的解析式. (2) 根据图象,直接写出满足y1-y2>0时 x的取值范围. (3) 点P在线段AB上,过点P作x轴的垂 线,垂足为M,交反比例函数y2的图象于点 Q,连接OP,OQ.若△POQ的面积为3,求点 P的坐标. (第2题) 类型二 反比例函数、一次函数与交点问题 3. (2024·镇江期末)如图,在平面直 角坐标系中,反比例函数y1= k x (k≠0)的图象(记为L1)与一次函 数y2=ax+b(a≠0)的图象(记为L2)交于 A(-2,6),B两点,点B的横坐标为3. (1) 求反比例函数与一次函数的解析式. (2) 连接OA,OB,求△AOB的面积. (3) 将函数y2=ax+b(a≠0)的图象L2向 下平移6个单位长度,得到新的图象L3,作 一平行于x轴的直线分别与图象L1、图象 L2、图象L3交于点C(xC,yC),D(xD,yD), E(xE,yE).设xC+xD-xE=m,若xE< xD<xC<0,请直接写出m的取值范围. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 11 类型三 反比例函数、一次函数与最值问题 4. 如图,A(1,6),B(n,2)是一次函数 y1=kx+b的图象与反比例函数 y2= m x (x>0)的图象的两个交点. (1) 求这两个函数的解析式. (2) 设P是y轴上的一个动点,当△PAB的 周长最小时,求点P的坐标. (第4题) 5. (核心素养·模型建构)(2023·苏州)如图, 一次函数y=2x的图象与反比例函数y= k x (x>0) 的图象交于点A(4,n).将点A 沿 x轴正方向平移m 个单位长度得到点B,D 为x 轴正半轴上的点,点B 的横坐标大于 点D的横坐标,连接BD,BD 的中点C在反 比例函数y= k x (x>0)的图象上. (1) 求n,k的值. (2) 当m为何值时,AB·OD 的值最大? 最 大值是多少? (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十六章　反比例函数 ∵ 反比例函数y= m x (m>0)的图象 是关于原点成中心对称的图形, ∴ OB=OA.∴ S△BOC =S△AOC = 1 2S△ABC= 11 2. 根据反比例函数中k 的几何意义,可知S△OCE+S△AOF= m.易 得 四 边 形 OFDE 是 矩 形, S矩形OFDE-S△ACD-S△OCE-S△AOF= S△AOC,∴ 23m- 13312 -1 m- m=112 ,解得m=23. (第4题) 5. D [解析] 如图,过点A 作AE⊥ y轴于点E,过点C作CD⊥y轴于点 D,则∠AEB=∠CDO=90°.∵ 四边 形OABC 是平行四边形,∴ AB∥ OC,AB=OC.∴ ∠ABE=∠COD. ∴ △ABE≌△COD.∴ △ABE 与 △COD的面积相等.又∵ 点C 在反 比例函数y= k2 x (k2>0)的图象上, ∴ S△ABE=S△COD= 1 2|k2|. 同理可得 S△AOE=S△CBD= 1 2|k1| ,∴ ▱OABC 的面积=2 12|k2|+12|k1| = |k2|+|k1|=k2-k1. (第5题) 6. 5 7. A [解析] 设P m,3m ,m>0. ∵ PC⊥x轴于点C,交L2 于点A, PD⊥y 轴于点D,交L2 于点B, ∴ A m,1m ,C(m,0),B m3,3m , D 0,3m .∴ S△AOB =S四边形OCPD - S△AOC-S△DOB-S△APB.∵ 易得四边 形OCPD 是矩形,∴ S矩形OCPD =3. ∴ S△AOB=3- 1 2×m× 1 m - 1 2× m 3× 3 m - 1 2× m- m 3 × 3m - 1 m =43. 8. D [解析] 设A m,km ,m>0. ∴ AB=km.∵ 矩形ABCD 的面积 为10,∴ BC=10k m =10mk .∴ 矩形 ABCD的对称中心的坐标为 m+ 1 2× 10m k ,1 2× k m ,即 m+5mk , k 2m .∵ 对称中心在反比例函数y= k x (k≠0,x>0)的图象上,∴ k 2m= k m+5mk .∴ mk-5m=0,即m(k- 5)=0.∴ m=0(不合题意,舍去)或 k=5. 9. B [解析] 把y=1代入y= k x , 得x=k,∴ P3(k,1).同理可得 P1 k 6 ,6 ,P2 k2,2 .∵ S2 = k-k2 ×1=3,∴ k=6.∴ S1= k 6× (6-2)=4. 10. 16 [解析] 如图,连接AC,交 OB于点D.∵ 菱形OABC的顶点B 在y轴 上,∴ S菱形OABC =4S△ODC. ∵ 顶点C在反比例函数y=- 8 x 的 图象上,∴ 易得S△ODC= |-8| 2 =4. ∴ S菱形OABC=4S△ODC=16. (第10题) 11. A [解析] ∵ 四边形OABC为 正方形,点B在反比例函数y=- 10 x (x<0)的图象上,∴ 正方形OABC 的面积为10.∴ OC=AB=BC= OA= 10.设正方形CDEF 的边长 为a(a>0),即CF=EF=ED= CD=a.∴ E(- 10-a,a).∵ 点 E在反比例函数y=- 10 x (x<0)的 图象上,∴ a(- 10-a)=-10,解 得 a = - 10+522 或 a = - 10-52 2 (不 合 题 意,舍 去). ∵ S△BOE =S梯形BCFE +S△BOC - S△EOF,而 S△BOC = S△EOF = 5, ∴ S△BOE = S梯形BCFE = 1 2 × - 10+522 + 10 × - 10+52 2 =5. 12. -6 [解析] ∵ 正方形ABCD 的面积为9,∴ AD=BC=AB=3. ∴ 易得点A 的坐标为 k3,3 ,点B 的坐标为 -k6,3 .∴ AB=-k6- k 3=3 ,解得k=-6. 专题特训（二）　反比例 函数与一次函数的综合 1. (1) ∵ 一次函数y=kx+6的图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 象与反比例函数y= m x (m>0)的图 象交于A(3,4),B两点, ∴ 4=3k+6, 4=m3 , 解得k=- 2 3 , m=12. ∴ 一次函数的解析式为y=- 2 3x+ 6,反比例函数的解析式为y= 12 x. 把y=0代入y=- 2 3x+6 ,得0= -23x+6 ,解得x=9. ∴ 点C的坐标为(9,0). (2) 如图,延长DA交x轴于点F. 将直线AB沿y轴向上平移3个单位 长度后所得直线对应的函数解析式为 y=- 2 3x+6+3=- 2 3x+9. 联立 y=- 2 3x+9 , y= 12 x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 x=32 , y=8 或 x=12, y=1. ∴ D 32 ,8 . 设直线AD对应的函数解析式为y= ax+b. 将 A (3,4),D 32 ,8 代 入,得 3a+b=4, 3 2a+b=8 , 解得 a=- 8 3 , b=12. ∴ 直线AD对应的函数解析式为y= -83x+12. 令y=0,则0=- 8 3x+12 ,解得 x=92. ∴ F 92 ,0 . ∴ CF=9-92= 9 2. ∴ S△ACD =S△CDF -S△CAF = 1 2 × 9 2×8- 1 2× 9 2×4=9. (第1题) 求坐标系中三角形面积时 常用的方法 如果三角形有一边与坐标轴重 合,那么可直接利用三角形的顶点 坐标求面积;如果三角形的任何一 边均不与坐标轴重合,那么可以考 虑利用“割补法”求得三角形的面积. 2. (1) ∵ 反比例函数y2= m x (x>0) 的图象经过点A(4,1), ∴ 1=m4. ∴ m=4. ∴ 反比例函数的解析式为y2= 4 x (x>0). 把B 12 ,a 代入y2=4x(x>0),得 a=8. ∴ 点B的坐标为 12 ,8 . ∵ 一次函数y1=kx+b(k≠0)的图 象经过点A(4,1),B 12 ,8 , ∴ 4k+b=1, 1 2k+b=8 , 解得k=-2,b=9. ∴ 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y1 = -2x+9. (2) ∵ y1-y2>0, ∴ y1>y2. 由题图,可得1 2<x<4. (3) 由题意,设P(p,-2p+9)且 1 2≤p≤4 , ∴ Q p, 4 p . ∴ PQ=-2p+9- 4 p . ∴ S△POQ= 1 2 -2p+9- 4 p ·p= 3,解得p1= 5 2 ,p2=2. ∴ 点P的坐标为 52 ,4 或(2,5). 3. (1) ∵ 点A(-2,6)在反比例函数 y1= k x 的图象上, ∴ k=-2×6=-12. ∴ 反比例函数的解析式为y1= -12x. ∵ 点B在反比例函数y1=- 12 x 的图 象上,且点B的横坐标为3, ∴ B(3,-4). ∵ 点A(-2,6),B(3,-4)在一次函 数y2=ax+b的图象上, ∴ 3a+b=-4, -2a+b=6. ∴ a=-2, b=2. ∴ 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y2 = -2x+2. (2) 如图①,设一次函数y2=-2x+ 2的图象与y轴交于点Q. ∴ 易得Q(0,2). 又∵ A(-2,6),B(3,-4), ∴ S△AOB=S△AQO+S△BQO= 1 2×2× 2+12×2×3=5. (3) ∵ 将一次函数y2=-2x+2的 图象L2 向下平移6个单位长度,得 到新的图象L3, ∴ 新的图象L3对应的函数解析式为 y3=-2x+2-6,即y3=-2x-4. ∵ 平行于x 轴的直线分别与图象 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 L1、图象L2、图象L3 交于点C(xC, yC),D(xD,yD),E(xE,yE),且 xE<xD<xC<0, ∴ 如图②,当平行于x轴的直线在直 线y=6上方时符合题意. 记该平行于x轴的直线上的点的纵 坐标均为y. ∵ y1=- 12 x , ∴ xC=- 12 y . ∵ y2=-2x+2, ∴ xD= 2-y 2 . ∵ y3=-2x-4, ∴ xE= -4-y 2 . ∴ m =xC +xD -xE = - 12 y + 2-y 2 + 4+y 2 =- 12 y +3. ∵ 易知y>6, ∴ 0<1 y <16. ∴ -2<-12 y <0. ∴ 1<-12 y +3<3. ∴ 1<m<3. ① ② (第3题) 4. (1) ∵ 反比例函数y2= m x 的图象 经过点A(1,6), ∴ m=1×6=6. ∴ 反比例函数的解析式为y2= 6 x. 将B(n,2)代入y2= 6 x ,得2=6n , ∴ n=3. ∴ B(3,2). 将A(1,6),B(3,2)代入y1=kx+b, 得 k+b=6, 3k+b=2, 解得k=-2 , b=8. ∴ 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y1 = -2x+8. (2) 如图,作点B关于y轴的对称点 B',连接AB'交y轴于点P,连接PB. ∴ PB=PB'. ∴ PB+PA+AB=PB'+PA+ AB=AB'+AB. 此时△PAB的周长最小. ∵ B(3,2), ∴ B'(-3,2). 设直线AB'对应的函数解析式为y= k'x+b'. 将B'(-3,2),A(1,6)代入,得 -3k'+b'=2, k'+b'=6, 解得k'=1 , b'=5. ∴ 直线AB'对应的函数解析式为 y=x+5. 将x=0代入y=x+5,得y=5, ∴ 点P的坐标为(0,5). (第4题) 5. (1) 将A(4,n)代入y=2x,得 n=8, ∴ 点A的坐标为(4,8). 将A(4,8)代入y= k x ,得k=32. (2) ∵ 点B的横坐标大于点D 的横 坐标, ∴ 点B在点D的右侧. 如图,过点C 作直线EF⊥x轴于点 F,交AB于点E. 由平移的性质,得AB∥x轴,AB=m, ∴ ∠B=∠CDF. ∵ C为BD的中点, ∴ BC=DC. 在△ECB和△FCD中, ∠B=∠CDF, BC=DC, ∠BCE=∠DCF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECB≌△FCD. ∴ BE=DF,CE=CF. ∵ AB∥x轴,点A的坐标为(4,8), ∴ EF=8. ∴ CE=CF=4. ∴ 点C的纵坐标为4. 由(1),知反比例函数的解析式为 y= 32 x , ∴ 当y=4时,x=8. ∴ 点C的坐标为(8,4). ∴ 点E的坐标为(8,8),点F的坐标 为(8,0). ∵ 点A 的坐标为(4,8),AB=m, AB∥x轴, ∴ 点B的坐标为(m+4,8). ∵ BE=m+4-8=m-4, ∴ DF=BE=m-4. ∴ OD=8-(m-4)=12-m. ∴ AB·OD=m(12-m)=-(m- 6)2+36. ∴ 当 m=6时,AB·OD 取得最大 值,最大值为36. (第5题) 专题特训（三）　反比例 函数与几何图形的综合 1. (8,1) [解析] 由题意,得C(2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7